Upload
victor-huamani
View
3.313
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL.
Llamado también ángulos en posición canónica ó estándar, es aquel ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema de coordenada. Su lado inicial coincide con el semi-eje positivo de las abscisas ( eje X ) y su lado final se ubica en cualquier región del plano.
Ejemplo:
Definición de las R.T. de un ángulo en posición normal.
1.Sea P ( x ; y ) perteneciente al primer cuadrante y a un ángulo en posición normal.
ysen
ra
cosx
ra
tany
xa
xctg
ya
secr
xa
cscr
ya
2. Encuentra las R.T. para P ( - x ; y ), P ( - x ; - y ) y P ( x ; - y ) con un ángulo «a»en posición normal.
SIGNO DE LAS R.T.
Problemas resueltos
1. Siendo un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal «a», halla sen a
( 5; 2)P
Desarrollo: y
x5
- 2a
- 23
2
3sena
2. Si ctg a = 2,4 además Halla:IIICa
12 cos
4M sena a
Desarrollo:
24 12
10 5ctg
- 12
- 5 13
5 1 122
13 4 13M
10 3
13 13M
13
13M
M = - 1
3. Si , 270°< q < 360°. Halla:2 25
169sen q
12 tan 13cos 2M q q
Desarrollo:
25
169senq
5
13senq
- 5
13
12
5 1212 13 2
12 13M
5 12 2M
9M
M = 3
4. Indica el signo de:
2
2
200 cos 400 tan 100
sec 600 csc300 cos500
senM
Desarrollo:
200 IIIC Sen 200° ( - )
400 IC Cos 400° ( + )
100 IIC 2tan 100 ( + )
600 IIIC2sec 600 ( + )
300 IVC Csc 300° ( - )
500 IIC Cos 500° ( - )
Reemplazando los signos:
M
M
ÁNGULO CUADRANTAL.Un ángulo en posición normal se llama cuadrantal cuando su lado final coincidecon un semieje.En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantales son: 0°, 90°,180°, 270° y 360° y todo ángulo cuadrantal tiene comomedida un múltiplo de 90°.
R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES.
I. R.T.para 90°
De la figura se observa:
y = r x = 0
ysen
rq
cosx
rq
tany
xq
cotx
yq
secr
xq
cscr
yq
90 1y
seny
0cos90 0
y
tan90 .0
yN D
0cot 90 0
y
sec90 .0
rN D
csc90 1y
y
R.T. de 180°
-x = - r y = 0
ysen
rq
cosx
rq
tany
xq
cotx
yq
secr
xq
cscr
yq
0180 0sen
r
cos180 1r
r
0tan180 0
r
cot180 .0
rN D
sec180 1r
r
csc180 .0
rN D
ysen
rq
cosx
rq
tany
xq
cotx
yq
secr
xq
cscr
yq
R.T. para 270°
x = 0 - y = - r
270 1r
senr
0cos270 0
r
tan 270 .0
rN D
0cot 270 0
r
sec270 .0
rN D
csc270 1r
r
ysen
rq
cosx
rq
tany
xq
cotx
yq
secr
xq
cscr
yq
R.T.para 360° y 0°
x = r y = 0
0360 0sen
r
cos360 1r
r
0tan360 0
r
cot360 .0
rN D
sec360 1r
r
c360 .0
rcs N D
Sen
tan
cot
sec
csc
0° 90° 180° 270° 360°
0 1 0 - 1 0
1 0 - 1 0 1
0 N.D 0 N.D 0
N.D 0 N.D 0 N.D
1 N.D - 1 N.D 1
N.D 1 N.D - 1 N.D
Ejemplos:
1. Halla el valor de :
2cos0 . 270 2cos180 .tan 45M sen
Desarrollo:
2
1 1 2 1 1M
M = 1 + 2 = 3
2. Halla el valor de:
30
90 sec180sen
M sen
1
21 1M
1
22M
2M
Dos ángulos en posición normal se llamarán coterminales si sus lados finalescoinciden.
a Y q son coterminales420° y 60° son coterminales.
Si a y q son coterminales tal que a > q entonces se cumple que:
360 ;k k Za q
Ejemplos:
1. 405° y 45° son coterminales por que:405° - 45° = 360° = 1 vuelta
2. 780° y 60° so coterminales por que: 780° - 60° = 720° = 2 vueltas
3. 330° y – 30° son coterminales por que:330° - ( - 30° ) = 360° = 1 vuelta.
4. 2200° y 40° son coterminales por que:2200° - 40° = 2160° = 6 vueltas
5. 1500° y 60° son coterminales por que:1500° - 60° = 1440° = 4 vueltas.
K: número de vueltas
R.T. ÁNGULOS COTERMINALES.
a Y q son coterminales entonces se cumple:
. .RT RTa qcsc
r
yq
ysen
rq
cosx
rq
tany
xq
cotx
yq
secr
xq
ysen
ra
cosx
ra
tany
xa
cotx
ya
secr
xa
cr
csy
a
Ejemplos:
1. 405° y 45° son coterminales
2. 780° y 60° son coterminales.
3. 750° y 30° son coterminales.
4. 330° y – 30° son coterminales.
Sen 405° = sen 45°
Cos 780° = cos 60°
Tan 750° = tan 30°
Csc 330° = csc ( - 30° )
En general:
. 360 .RT k RTq q
Ejemplos:
1. Cos 780° = cos ( 720° + 60° ) = cos 60° = 1
2
2. Tan 1500° = tan ( 1440° + 60° ) = tan 60° = 3
3. Sen 900° = sen ( 720° + 180° ) = sen 180° = 0
4. 61tan tan 20 tan 3
3 3 3
Problemas resueltos:
1.Si A = sen90° + csc 270° y B = tan 180° + sec 360°.Halla el valor de:
A BM
A B
Desarrollo:
A = sen 90° + csc 270°
A = 1 + - 1 = 0
B = tan 180° + sec 360°
B = 0 + 1 = 1
0 1
0 1M
M = - 1
2.Encuentra el valor de :
2
3
90 2 tan 0 cos180 .sec 360
csc 270 3cot 90 tan180 .cos0
senM
Desarrollo:
2
3
1 2 0 1 1
1 3 0 0 1M
1 1
1M
M = - 2
3. Halla: E = cos a. sec b
Desarrollo:
a Y b son coterminales
Como los ángulos son iguales:
E = cos a. sec b 1
Veamos:
20 29. 1
29 20E
cosx
ra
secr
xa
y
senr
a
tany
xa
cotx
ya
cscr
ya
- Sen a
Cos a
- Tan a
- Cot a
Sec a
- Ccs a
Se observa que el cos y sec de un ángulo negativo es positivo.
Ejemplo:
1. Sen ( - 30° ) = - sen 30° =
2. Cos ( - 30° ) = cos 30° =
3. Tan ( - 60° ) = - tan 60° =
1
2
3
2
3
4. 3 tan 60 2sec 45E
Desarrollo:
3 3 2 2E
3 2E
E = - 5
Definición:Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea.
R.T.( ) R.T.( )
: no es agudo : sí es agudo
CASOS:
1. Ángulos menores que una vuelta. ( 360° )
Ejemplos:
1. Tan 240° = tan ( 180° + 60° ) = tan 60° =
2. Cos 150° = cos ( 180° - 30° ) = - cos 30°= -
3. Cos 120° = cos ( 90° + 30° ) = - sen 30° = -
4. Sen 225° = sen ( 270° - 45° ) = - cos 45° = -
5. Cot 323° = cot ( 360°- 37° ) = - cot 37° = -
6. Sec 300° = sec ( 360° - 60° ) = sec 60° = 2
7. Sen 300° = sen ( 270° + 30° ) = - cos 30° = -
8. Tan 135° = tan ( 90° + 45° ) = - cot 45° = - 1
3
3
2
1
2
1
2
4
3
3
2
Problemas resueltos.
1. Indica la verdad o la falsedad de las proposiciones:
a) Sen ( 360° - x ) = - sen x b) Cos ( 360° - x ) = cos x c) Tan ( 180° + x ) = tan x d) Sen ( 270° - x ) = - sen x e) Cot ( 90° + x ) = - tan x
2. Reduzca : cos ( 90° + x ) + sen ( 180° - x )
Desarrollo:
- Sen x + sen x = 0
VVVF
V
3. reduzca la expresión:
tan 90 cos 360
tan 270 270
x xE
x sen x
Desarrollo:
cot cos
cot cos
x xE
x x
E = - 1 – 1
E = - 2
4.Halla el resultado de:
csc40 .cos 50
1 tan 45E
Desarrollo:
csc40 .cos50
1 tan 45E
csc40 . 40
1 tan 45
senE
1
1 1E
1
2E
5.Hallar el valor de:
30 tan 45 cos 60
sec 120 tan 225
senE
Desarrollo:
30 tan 45 cos60
sec60 cot 45
senE
Sec ( 120° ) = - sec ( 180°- 60° )Tan ( 225° ) = tan ( 270° - 45° )
Recuerda:
Entonces:
1 11
2 2
2 1E
1
1E
E = 1
2. Ángulos mayores que una vuelta.
Si el ángulo es mayor que 360°, se divide el ángulo entre 360° y se trabaja con elresiduo y aplicamos los casos antes visto.
Sea a > que una vuelta
N° de vueltas
residuo
Entonces:
R.T. ( a ) = R.T. b
Ejemplos:
1. Encuentra el valor de tan 780°
Desarrollo:
Dividiendo 780° entre 360° se tiene:
780° = 2( 360° ) + 60°
Tan 780° = tan 60°= 3
2. Halla el valor de cos 1230°
Desarrollo:
Dividiendo 1230° entre 360° se tiene:
1230° = 3 ( 360° ) + 150° 150 II
Cos 150° = - ( 180° - 30° )
= - cos 30° =3
2
3. Halla el valor de sen 1320°
Desarrollo:
Dividiendo 1320° entre 360°
1320° = 3 ( 360° ) + 240° 240 III
Sen 240° = - ( 270° - 30° ) = - sen 30° =1
2
impar
1. Sen 1634° = par
0Sen 0° = 0
Cos = - 12. Cos 1773° =
3. Tan ( 2236° + x ) = par
0Tan x
4. Cot ( 1679° – x )=
impar
Cot ( – x ) = - cot x
5.7
4sen
24
sen
2
4 2sen
IV C
6. 5
tan3
tan 2
3
tan
3
3
IV C
7. cos 42
cos
2
0
9cos
2
8. tan4
tan 1
4
III Cimpar
9.
1117tan
4
tan 279
4
117cot
2x
cot 58
2x
par
cot2
x
tan x
Problemas resueltos.
1.Hallar el 19
cos4
Desarrollo:
cos 54
cos
4
II C
cos4
1 2
22
2.Halla el resultado de :
cos2 tan3
sec tan5
senN
Desarrollo:
cos2 tan3
sec tan5
senN
cos0 tan
sec tan
senN
0 1 0
1 0N
N = - 1
3. Simplifica la expresión:
25 7sec .
2 2
csc 15 .cos 5
x sen x
Ex x
Desarrollo:
Primero:
2513
2 2
74
2 2
Entonces: