razones y proporciones

Donde:| PROBLEMAS RESUELTOS]problema nosnmeros son entre si como 7 es a 13 si al menorse le suma 140, para que el valor de la razn no se altere, el valor del otro nmerodebe quintuplicarse.Hallar el mayor de los 2 nmeros.C) 65A) 52 0)78B) 130 E) 104Resolucin:Sean los dos nmeros: a y bdonde:a_ 7k c> (# Menor) E'TSPTcO (# Mayor)n(rl8sumamos 140 Y al otro nmero Pilcamos la razn no altera, veamos:7k+ 140 _ 7"srtSKT'is7(k+20) = 7x5kSok = 5Ulam9s e* vator del nmero b-13K b* 13x5 65mayor.Problemas (2)Dos nmeros son entre si como 5 a 8 si la suma de sus cuadrados es 712 su diferenciaA) 9V2D) 8^/2B) 3V2 E) 4^2C) V2Resolucin:Sean los dos nmeros: a y b-, /< /a5k.s ir-v * rb*8kDel enunciado:Suma de sus cuadrados es 712.(Stf + ak?-71?25k2 + 64k2 = 71289k2712k-nmeros5-a8K-5kO

RpUtC

...0)

b - asDRpta. CProblema (Db + c6k + 9kb + c = 15k = l5(4)En una proporcin geomtrica continua ios ttminos extremos son entre s como 4 a 9. Si la suma de los trminos de la primera razn es 40. Hallar la suma de los consecuentes.A) 45 B) 50 C) 60 D) 72 E) 80Resolucin:Sea la proporcin geomtricaral1ra. Razn = -g-JProblema ()b + C as 60Rpta.cLa suma, la diferencia y el producto de dce nmeros estn en la misma relacin que lo nmeros 11,3 y 560. Hallar uno de los nme- ros.A) 85 D) 120Resolucin:B) 90 E) 140C)110 2da. RaznSean los dos nmeros a y b Del enunciado, obtenemos:

ax cDe donde:0a + b = 11k)a - b = 3ki)a x b = 560kDe (i) y (ii)e Los trminos extremos son entre si como 4 es a 9_a _ 4 j-k _ 4k c 'T '~vPor propiedad:Producto extremos = Producto Mediosbxb

b= 11k b3k

a x c = b2...o)Reemplazamos (I) en (II):4kx9k-b2a11k + 3kb =11k-3ka =7k b =*4kO

b = 6kk = 4Suma de trminos de la primera razn es 40 a + b = 40 4k + 6k = 40Lxiego, calculamos la suma de los consecuentes.

Luego, reemplazamos los valores de (0 en7k x 4k = 560kk_ 560 28.-. | k = 20 fReemplazando el valor de k en (I); obtened

a = 7x 20 = 140 b = 4 x 20 = 80.-. j Uno de los nmeros es 140 | Rpta e Problemas (T)En una proporcin geomtrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Hallar uno de los trminos medios si se sabe que el producto de los cuatro trminos de la proporcin es 2 601b(14 -f b) = 3(17)De donde[b = 3(trmino medio)UncKleno^mm^Problema (6)Rpta. DA) 4 B) 2C)1 D) 3Sea la proporcin discreta:E) 5De donde:i) a = bk i)c = dkDel enunciado del problema * Diferencia entre los medios es 14.c - b = 14reemplazamos (il) en (I)dk-b = 14(I)En una reunin de camaradera por cada 5 hombres adultos que entran, ingresan 6 nios, y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 nias. Si en total ingresaron 572 nios y el nmero de hombres es al nmero de mujeres como 7 a 4 cuntos hombres asistieron a dicha reunin?.A) 120 B) 210 C) 320D)410 E)N.AResolucin:Sean:H = # de hombres adultos M s # de mujeres adultas N * nios que entran con los hombres N1 s nias que entran con las mujeresOel enunciado del problema, obtenemos.i)dk= 14 + bH _5 r>TT -B ^1(a)** producto de los cuatro tnninos es 601axbxcxd=2 601bk x b x dk x d = 2 601(b x dk)2 2 601 b x dk >/2 6oT b x (dk) = 51*"0*0Reemplazamos (U) en (lll):i)M a3tr TDivkttmof miembro a miembro (i) y 00-HTr5|oN2 40|X-FT-TBb(14 + b) * 51^7T UV2Reemplazamos (iii) en (I): 4 N, _18

N240 x 47T;-T5ir7oN80TT 65-Primer Terrenal [Segundo TerT^T)N80 k 63 kDe donde:Por dato:N, + N2 = 572..(II)(III)Reemplazamos (II) en (III): 63k + 80k = 572 143k = 572Por dato:Area = Area E3/ 2 = b x h(I)Adems uno de los lados del primero es al lado menor del segundo como 3 es a 2.rf - *-h ""Reemplazamos (II) en (I):k = 4Reemplazamos el valor de k" en (II):(tf-bxhN, = 63k N, = 63 x 4-h=b4N1 = 252De donde:Luego, reemplazamos el valor de N," en (a):H=|.x252H = 210Rpta. B9 2h=bxh 4(III)

Problema (7)Reemplazamos (III) en (II)

B>SE) N.A.24k 1226k 13Se tiene dos terrenos uno de forma cuadrada y otro de forma rectangular si uno de los lados del primero es al lado menor del segundo como 3 es a'2 En qu relacin estn sus permetros, si sus reas son iguales?A \11a)t? 11 D)tcResolucin

/=|x(4k)C> |/= 6kLuego calculamos la relacin entre sus permetros: . ., Permetro Relacin =Permetro a4(6k)Relacin

)Rpta. Bd)(II)Relacin = 13problemaSe tiene una proporcin geomtrica continua de trminos y razn enteros. La suma de los extremos menos la suma de los medios es 245. Hallar la media geomtrica.A) 40 B) 35 C) 42 D) 48E)56Resolucin:Sea la proporcin geomtrica continua:

De donde:i)a = bkii) b = ckReemplazamos (ii) en (i) a = ck k

Problemas (}Tres nmeros a bvccnnDnim cu, . y c son entre si como 9 1?y 5. Si la cuarta proporcional de a, b y c es 520 Cual es la tercera proporcional de a y b?A) 24 B) 45C)32 D) 27 E) 96Resolucin:Del enunciado obtenemos a _ b _ c 7T?-gT = kDe donde:i)a = 9k

')b = 12k

iil)c = 65k

Adems; la cuarta proporcional de a, b y c es 520.a cb 520Reeplazamos (I) en (II):9k 65 k

a = ck2k =520x912x65k = 6Del enunciado: La suma de los extremosAfinos la suma de los medios es 245.(a + c) - 2b = 245ck2+ c - 2ck = 245; factorizamos "c"c(k2 - 2k+ 1) = 245c(k^i)2 = 5(j)2Dedonde Ui^ar'rpL3 hllar ,a media geomtrica noseriestecaimP a2ar va*ores en (i) Y3 que "b" 0 ^presenta la media geomtricab = ckb = 5 x 8Luego, calculamos la tercera ^ _ proporcional de a y b.bDespejando V se obtiene: Reemplazamos (I) en (III):* o9kx = 16k; pero;2- (III)144kX=-5Tk = 6b = 40Rpta. Ax 16(6) O ** Ix = 96 | Rpa.E Problema (lo)Si a cada uno de los 4 trminos de una proporcin se le quita una misma cantidad se obtien 20, 28, 32 y 44.Hallar la suma de los trminosde dicha proporcin.

A) 120 B) 130 C) 140 D) 160 E) N.AResolucin:Sea la proporcin;b dAl quitar una misma cantidad a cada trmino obtenemos: 20,28, 32 y 44.Veamos:a - x = 20 b - x = 28 c - x = 32 d - x = 44a = 20 + x b = 28 + x c = 32 + x d = 44 + xI MAM: a + b + c + d-4x= 124a + b + c + d = 124 + 4x (a)Reemplazamos los valores de (II) en (I):20 + x _ 32 + x 28 + x 44 + x880 + 64x + x2 = 896 + 60x + x24x= 16x = 4Luego, reemplazamos el valor de V en a:a + b + c + d = 124 + 4(4) a + b + c + d=140 | Rpta. C Problema (Ti)Se tiene 3 nmeros enteros que son entre si como 4,7 y 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores nmeros menos el cuadrado del mayor es 360. Hallar la suma de los 3 nmeros.A) 40 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120Resolucin:Sean los tres nmeros enteros: a, b y cDe donde:a = 4k b = 7k c = 9k(II)()Del enunciado obtenemos:(4k + 7k)2 - (9k)2 = 360121 k2 - 81k2 = 36040k2= 360k2 = 9k = 3Ahora, reemplazamos el valor de k en (a):a = 4(3)= 12 b = 7(3) = 21 c = 9(3) = 27I M.A.M: a + b + c = 60 Rpta. B Problema (Ti)En una reunin el nmero de hombres es al nmero de mujeres como 5 es a 4 y en un determinado instante: El nmero de hombres que bailan es al nmero de los que no bailan como 5 es a 3, luego elnmero de mujeres que no bailan es al nmero de los hombres que no bailan como:A) 25/7B) 5/8C) 25/12D) 7/25E) 7/15Resolucin:Hb + HNb = HDe donde: Adems:()

De donde:49 = b b 4= =>"\/ 49 x 4 = b49 x 4 = b 7 x2 = bA)120 B)240C)245 D)250Resolucin:Sean las tres razones geomtricas continuas iguales.b= 14(Media proporcional de 49 y 4)]abelo c ~ 3" kII(a)En segundo lugar, calculamos la tercera proporcional de 16 y 4; para eso tomamos una proporcin geomtrica continua:Por dato:La suma de las tres razones = 9/5a _ c b "doooDe donde:164k + k 4- k: = O 3k = 55c = 1