RAZONES Y PROPORCIONESRaznRazn entre dos nmerosSiempre que
hablemos deRaznentre dos nmeros nos estaremos refiriendo al
cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.Entonces:Teniendo
dos nmeros cualesquieraayb, laRazn es el cociente entre
en ambos casos se lee: a es a b, donde b es distinto de cero (b
0)
Por ejemplo, laraznentre 10 y 2es 5, ya que
Y la razn entre los nmeros 0,15 y 0,3 es
Proporcin numricaAhora, cuando se nos presentandos razonespara
ser comparadas entre s y al efectuar las divisiones
correspondientes se obtiene el mismo resultado para ambas razones,
se puede establecer una igualdad entre una y otra. Esta igualdad se
denomina proporcin.En general:Dados 4 nmerosa, b, cydforman
unaproporcinsi la razn entreaybes la misma que entrecyd.
Es decir
Se lee aes abcomoces ad
Por ejemplo:Los nmeros 16, 4 y 24, 6 forman una proporcin, ya
que la razn entre 16 y 4 es la misma que la razn entre 24 y 6.Es
decir
En una proporcin se distinguen las siguientes partes: primera
razn, segunda razn, trminos extremos, trminos medios.
Propiedad fundamentalLa propiedad fundamental de las
proporciones es:En toda proporcin, el producto de los extremos es
igual al de los medios.As, en la proporcin anterior
Calculo de los valores de una proporcin:Si se desconoce uno de
los valores de una proporcin, por ejemplo, el de x en
Resulta sencillo deducir su valor, mediante la aplicacin de la
propiedad fundamental de las proporciones. Por tanto:
Al despejar la incgnita, se obtiene:
Proporcionalidad DirectaSi dos magnitudes se relacionan de forma
tal que, cada vez que multiplicamos una de las cantidades por un
nmero, la otra cantidad se multiplica por el mismo nmero, decimos
que las dos magnitudes son directamente proporcionales.Si dos
magnitudes son directamente proporcionales, siempre se cumple que,
a la suma de dos valores de una de las magnitudes, le corresponde
la suma de los valores correspondientes de la otra
magnitud.Constante de proporcionalidad: cuando entre dos magnitudes
hay proporcionalidad directa, existe un nmero llamado constante de
proporcionalidad, que permite pasar de una cantidad a
otra.Ejemplo:Anala es la encargada de un negocio que vende madera
para armar estantes. En este negocio, habitualmente no realizan
ningn tipo de descuento. El otro da, Federico compr 5 metros y pag
$45.
a) Cuntos metros de la misma madera llev Pablo si pag $90?, y
Ana, que pag $180?
b) Si Julin compr 2 metros y medio de la misma madera, Cunto
habr pagado?
En la situacin problemtica, hay cantidades de dos magnitudes que
se relacionan: metros de madera y precio. Donde se cumple: Al doble
de una cantidad, le corresponde el doble de la otra que se
relaciona con ella. Al multiplicar por 4 por 10 una de las
cantidades, su correspondiente de la otra queda multiplicada por 4
por 10, respectivamente. Al dividir por 2 una cantidad, la otra
queda dividida por 2. A la suma de dos cantidades de una columna,
le corresponde la suma de las cantidades correspondientes de la
otra columna.
Representacin GrficaPara ubicar, en el plano cartesiano, se
trazan rectas perpendiculares que se cortan en un punto, denominado
origen de coordenadas. En cada una de las rectas, se indican las
cantidades de las magnitudes cuya relacin se busca representar.Si
representamos en un grfico dos magnitudes directamente
proporcionales, los puntos que se obtienen estarn siempre sobre una
recta que pasa por el origen de coordenadas.
Proporcionalidad InversaCuando dos magnitudes se relacionan de
modo que, al dividir (o multiplicar) una cantidad de una magnitud
por un nmero, la cantidad correspondiente de la otra magnitud se
multiplica (o divide) por el mismo nmero, decimos que hay
proporcionalidad inversa entre dos magnitudes.Si dos magnitudes son
inversamente proporcionales, el producto de dos cantidades que se
corresponden es constante.
Ejemplo: En noviembre ltimo, un comerciante compr 100 kg de
manzanas a $4 el kilo. a) Si en enero el precio del kilogramo es de
$2, y el comerciante destina la misma cantidad de dinero para la
compra de manzanas, Cuntos kilos podr comprar?b) Y en marzo, en que
el precio es de $1 el kilo?c) De cunto dinero dispona mensualmente
para la compra de manzanas?
En la situacin problemtica, nuevamente, las tablas pueden
ayudarnos a organizar la informacin.
Como pods observar, en este caso, se cumple:
A la mitad de una cantidad, le corresponde el doble de la otra.
A la cuarta parte de una cantidad, le corresponde el cudruple de la
otra.El dinero de que dispona el comerciante para esta compra se
puede calcular haciendo:4$/kg x 100 kg = $400 2$/kg x 200 kg = $400
1$/kg x 400 kg = $400
Representacin GrficaLa grfica es una curva, llamada rama de
hiprbola, que nunca alcanza el 0 en ninguno de los ejes. Aunque si
tiende al valor 0 en el eje vertical. Cuanto mayor sea el valor de
la abscisa (en el eje horizontal) menor ser el valor de la variable
dependiente, con lo cual si la variable independiente se hace lo
suficientemente grande la variable dependiente se har muy
pequea.
EJERCICIOS1) Cul de los siguientesparesde razones forman una
proporcin?a) 1/2 y 5/10b) 2/3 y 4/5
2) Calcula elvalorde X:a) X/8 = 12/32b) 5/12 = X/36c) 6/15 =
48/Xd) 0.2/5 = 18/X
3) En el supermercado Bambi, 5 paquetes de caf cuestan $22,50.
En el supermercado Dunas, 9 paquetes iguales a los otros cuestan
$43,20.a) Dnde conviene comprar caf? Por qu?b) Si compraron todos
los paquetes en un mismo supermercado y se gastaron 62,40, en cul
de los supermercados se compr?c) Responde a la pregunta b), pero,
ahora, suponiendo que se gastaron $72.
4) En la siguiente tabla, se registraron los valores
correspondientes a la distancia que recorre un auto, que se
traslada siempre a la misma velocidad, en relacin con el tiempo que
transcurre desde un momento inicial. Marca los puntos en un grfico
cartesiano.
Tiempo(hs)Distancia(km)
00
2240
4480
5600
En una carrera de autos, un equipo electrnico indica la
velocidad a la que se desplaza cada vehculo. Un auto que va a 180
km/h tarda 3 minutos en recorrer el circuito.
a) Si se pasa otro coche y el indicador seala 240 km/h, Cunto
tarda este auto en recorrer el circuito? (suponiendo que mantiene
su velocidad).
b) Otro auto tarda exactamente 2 minutos en recorrer el mismo
circuito y va siempre a la misma velocidad. A que velocidad va?
c) Anota algunos valores en la tabla, y marca los puntos en el
grfico.
