Embed Size (px)
Citation preview
Razturi na maturiPosebna priloga Nedela in Nedeljskih novic
Naloge in rešitve iz matematike
»Potrebujete inštrukcije?Izberite nas!«
☞ inštrukcije za vse predmete☞ priprave na maturo, teste in izpite
Tcollege SlovenijaPodmilščakova 24, 1000 Ljubljana
M: 051 33 55 46 I www.tcollege.si
Dextro Energy je dekstroza in je prednostno gorivo za možgane. Gre neposredno v kri in podpira sposobnost koncentracije.
Ne, Dextro Energy ti ne da kril.Pač pa požene tvoje možgane v tek!
www.magistrat.siZa zdrav način življenja je pomembna raznolika in uravnotežena prehrana.
3
Naloge in rešitve iz matematike
ker je matematika za marsikoga od vas trd oreh, matura iz nje pa pravcat zrelostni izpit, smo za lažjo pripravo na maturo zbrali stare maturitetne naloge z rešitvami in jih izdali v prilogi Razturi na matu-ri, ki je priložena Nedelu in Nedeljskim novicam. Verjamemo, da vam bo zbirka nalog v pomoč in vam bo olajšale
priprave na spomladanski rok iz splošne mature, ki je prva prelomna točka v novo obdobje – svet odraslih. Želimo vam veliko uspeha na maturi in pri snovanju nadaljnje študijske poti.
Delo d.o.o.
Priloga Razturi na maturi, ki je dodana kolportažnim izvodom Nedela in Nedeljskih novic, vsebuje prepis matematičnih nalog in rešitev iz splošne mature iz preteklih let, ki so javno dostopne na elektronski povezavi http://www.ric.si/splosna_matura/predmeti/matematika/. Delo d.o.o. ne odgovarja za morebitne tiskarske, slovnične in vsebinske napake oziroma za vsebinsko nepopolne naloge in rešitve.
Razturi na maturi Posebna priloga Nedela in Nedeljskih novic
Oblikovanje Alen Ograjenšek
Lektoriranje Zala Budkovič
Glavna direktorica Irma Gubanec
Direktorica trženja Dragica Grilj
Direktorica marketinga Dolores Podbevšek Plemeniti
Oglasno trženje
T: 01/47 37 501
F: 01/47 37 511
Izdajatelj
Delo d.o.o., Dunajska 5, 1509 Ljubljana
Tisk Tiskarsko središče
Naklada: 15.500
Dragi dijak, draga dijakinja,
Formule
4
Naloge in rešitve iz matematike
1. Premica p na sliki poteka skozi točki A in B.
Zapišite enačbo premice v katerikoli izmed znanih oblik. Izraču-najte velikost ostrega kota, ki ga premica določa z abscisno osjo. Rezultat zaokrožite na stotinko stopinje.
3. Med števili 7 in 448 vrinite pet števil tako, da dobimo a) prvih 7 členov aritmetičnega zaporedja, b) prvih 7 členov naraščajočega geometrijskega zaporedja.
Izračunajte diferenco d in kvocient q ter zapišite vrinjene člene obeh zaporedij.
4. V trapezu ABCD meri stranica a = IAB I = 9 cm, c = ICD I = 4 cm, d = IAD I = 6 cm in kot = 60°.
4.1. Konstruirajte trapez ABCD. Skozi oglišče D narišite vzporednico p k stranici b = BC. Premica p seka stranico a v točki E. Zapišite delilno razmerje IAE I : IEB I.
4.2. Izračunajte obseg in ploščino trapeza ABCD. Rezultata naj bosta točna.
2. Na sliki je graf polinoma p (x ) tretje stopnje, ki ima ničle x1= -2, x2= -1, x3= 1.
2.1. Odgovorite na spodnja vprašanja:a.) Ali je vodilni koeficient polinoma p(x)pozitiven ali negativen?
b.) Ali je prosti člen polinomap(x) pozitiven ali negativen?
c.) Koliko realnih rešitev ima enačba p(x)=0?
d.) Zapišite ostanek pri deljenju polinoma p(x) s polinomom q(x) = x2 - 1.
2.2. Zapišite predpis polinoma p, če njegov graf seka ordinatno os v točki T (0, 3).
x
y
3
10
1
–1
–2
5
p
A
B
–2 –1 1–1
0
1
3
x
y
Rešitve.
1.
2.1.
a:) negativen b:) pozitiven c:) tri d:) 0
2.2.
3.
4.
5
Naloge in rešitve iz matematike
5. Za poljubni naravni števili m in n označimo z D (m,n) največji skupni delitelj teh dveh števil in z v (m,n) njun najmanjši skupni večkratnik.
5.1. razcepite števila 45, 48 in 60 na prafaktorje.
5.2. Izračunajte:
8. Zemljišče s ploščino 405 m ima obliko pravokotnika. Za njegovo ograditev bi potrebovali 81 m ograje. Izračunajte dolžino in širino zemljišča.
6. Naj bosta a in b poljubni realni števili, a > 0 in b≠0. Vsak izraz v levem stolpu preglednice je enak izrazu v desnem stolpcu. Izrazi v desnem stolpcu so označeni s črkami od A do L.
V preglednico v za to namenjen prostor vpišite črko izraza, ki je enak izrazu v levem stolpcu preglednice (prva vrstica je že pravilno izpolnjena).
7. Določite realni števili x in y tako, da velja enakost (2 +ix) * (5+ i) = 14 + iy
Rešitve.
5.
6.
7. x = -4, y = -18
8.
6
Naloge in rešitve iz matematike
11. Dani sta paraboli z enačbama y = x2 – x – 2 in y= x2 .
11.1. Paraboli se sekata v točki P. Izračunajte koordinati točke
11.2. Zapišite enačbi tangent na paraboli v njunem presečišču.
11.3. Izračunajte kot med parabolama.
9. V razredu z 28 učenci je 12 deklet in 16 fantov. Trem fantom je ime Anže.
9.1. Učitelj bo za spraševanje naključno izbral enega od učencev (dekle ali fanta) tega razreda. Izračunajte verjetnost dogodka A, da bo naključno vprašanemu ime Anže.
9.2. Učitelj bo za spraševanje naključno izbral dva fanta od fantov tega razreda. Izračunajte verjetnost dogodka B, da bo natanko enemu ime Anže.
9.3.Učitelj bo za spraševanje naključno izbral tri učence tega razreda. Izračunajte verjetnost dogodka C, da bosta v naključno izbrani trojki zastopana oba spola.
10. Dana je funkcija f s predpisom:
10.1. V spodnji koordinatni sistem narišite graf funkcije f za c = 1. V katerih točkah je funkcija zvezna?
10.2. Določite vrednost konstante c tako, da bo funkcija f zvezna za vsak .
Rešitve.
9.1.
9.2. število ugodnih izidov za dogodek B
število vseh izidov za dogodek B
izračunana verjetnosti za dogodek B
9.3. število vseh izidov za dogodek C
število ugodnih izidov za dogodek C
10.1.
10.2.
11.1.
11.2.
11.3.
7
Naloge in rešitve iz matematike
14. Dani sta števili a₁ = 3 in a₂ = 6.
14.1. Števili a1 in a₂ sta prva dva člena aritmetičnega zaporedja. Zapišite peti člen tega zaporedja in izračunajte vsoto prvih sto členov.
14.2. Števili a1 in a₂ sta prva dva člena geometrijskega zaporedja. Zapišite četrti člen tega zaporedja in izračunajte vsoto prvih petnajst členov.
12. Na sliki je enakostranični trikotnik ABC s stranico a = 2 cm. Vsaka od krožnic poteka skozi dve oglišči trikotnika in ima središče v tretjem oglišču. Krožnici omejujeta kroga K 1 in K 2.
Izračunajte ploščino preseka K 1 ∩ K2.
13. Dana sta intervala A = [-2, 3) in B=[1, 5].
13.1. Množici A in B ponazorite na številski premici.
13.2. Zapišite intervale
Rešitve.
12.
13.1.
13.2.
14.1.
14.2.
8
Naloge in rešitve iz matematike
16. Rešite enačbi brez uporabe računala.
16.1.
16.2.
15. Izračunajte neznane količine , x in y. Rezultate zaokrožite na eno decimalno mesto natančno.
15.1.
15.1.
15.2.
Rešitve.
15.1.
15.2.
15.3.
16.1.
16.2.
9
Naloge in rešitve iz matematike
20. Rešite neenačbo17. Poenostavite izraza.
17.1.
17.2
18. V trirazsežnem prostoru sta dani točki A (3, -2, 1) in B (-3, 1, 7).
18.1. Izračunajte koordinate točke M, da velja
18.2. Dan je vektor . Izračunajte realno število x, da bo vektor pravokoten na krajevni vektor točke A.
19. Na izbiro imamo črke I, D, E, J in A.
19.1. Koliko različnih besed, v katerih vsaka črka nastopi natanko enkrat, lahko zapišemo?
19.2. Koliko različnih besed z dvema črkama lahko sestavimo iz danih črk, če se črke ne smejo ponavljati?
19.3. Iz danih črk naključno izberemo natanko tri črke (črke se ne ponavljajo). Kolikšna je verjetnost, da smo izbrali vse tri samoglasnike?
Rešitve.
17.1.
17.2.
18.1.
18.2.
19.1.
19.2.
19.3.
20.
10
Naloge in rešitve iz matematike
20. Po vzponu na vrh Triglava (nadmorska višina 2864 m) se nam v lepem vremenu odpre čudovit razgled.
20.1. Pod kotom 67°11’ vidimo planinski dom Planika, ki je od vrha Triglava oddaljen 1194 m.
Izračunajte nadmorsko višino planinskega doma Planika. Rezultat zaokrožite na metre.
20.2. Na zemljevidu, ki je narisan v merilu 1:50000, je razdalja med vrhom Triglava in vrhom Stola (nadmorska višina 2236 m) 50,7 cm. Na meter natančno izračunajte, koliko sta vrh Triglava in vrh Stola oddaljena drug od drugega v naravi.
Rešitve.
19.
20.1.
20.2. 50,7 cm na zemljevidu je 25350 m v naravi. k = 628
21. abscisi
19. V dani koordinatni sistem narišite graf funkcije f, ki je
dana s predpisom . Zapišite presečišči grafa s
koordinatnima osema in enačbi navpične in vodoravne asimptote.
Računsko dokažite, da funkcija f nima stacionarnih točk.
21. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta krivulji
11
Naloge in rešitve iz matematike
Rešitve.
22.1.
22.2. 22.3.
23.1.
23.2.
23.3.
23.4.
24.1.
24.2.
24.3.
24.4.
22. V Nalogo rešite brez uporabe računala. Na sliki je krožnica,
dana z enačbo .
22.1. Zapišite točki A in B s koordinatami.
22.2. Zapišite koordinati središča in polmer kroga.
22.3. Izračunajte ploščino osenčenega dela (oba odseka). Rezultat naj bo točen.
23. Naj bo {an} geometrijsko zaporedje s kvocientom q = e2 in prvim členom a1 = 1. Naj bo dano še zaporedje s splošnim členom bn = ln (an).
23.1. Zapišite splošni člen zaporedja {an} in dokažite, da je zaporedje {bn} aritmetično z diferenco d = 2.
23.2. Izračunajte vsoto prvih 100 členov zaporedja {bn}.
23.3. Dokažite, da za poljuben par naravnih števil m, n velja, da bm in bn nista tuji si števili.
23.4. Naj bo za vsako naravno število n pn polinom, definiran s predpisom pn(x) = b1 + b2x + b3x
2 + ... + bn+1xn.
Dokažite, da ima za vsako naravno število n polinom pn na intervalu [0, ∞) natanko eno ničlo.
24. Dane so množice A = {2,4,6,8,10} , B = {2,3,4,5,6,7,8} in C = {1,3,5} .
Zapišite množice tako, da navedete njihove elemente.
Napišite vse podmnožice množice C .
24.1.
24.2.
24.3.
24.4. Podmnožice množice C :
12
Naloge in rešitve iz matematike
25. Dodekaeder je pravilni polieder, omejen z 12 pravilnimi petkotniki. Na vsako ploskev napišemo po eno izmed števil od 1 do 12, ki se ne ponavljajo.
25.1. Hkrati zakotalimo dva oštevilčena dodekaedra. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da je vsota števil na obeh zgornjih ploskvah praštevilo, manjše ali enako 5?
25.2. En oštevilčeni dodekaeder zakotalimo 20-krat. Kolikšna je verjetnost dogodka B, da se bo v teh 20 ponovitvah poskusa število 7 pojavilo na zgornji ploskvi natanko 3-krat? Rezultat zaokrožite na tri decimalna mesta.
25.3. Naj bo dolžina roba dodekaedra enaka a = 6 cm. Izračunajte vsoto dolžin vseh robov in površino tega dodekaedra.
26. Izračunajte diskriminante in poiščite vse rešitve kvadratnih enačb. Rezultate zapišite v preglednico.
27. Plašč pokončnega stožca razgrnemo v ravnino. Dobimo krožni izsek, ki je enak polovici kroga s polmerom 12 cm. Izračunajte površino in prostornino tega pokončnega stožca. Rezultata naj bosta točna.
Rešitve.
25.1.
25.2.
25.3. Vseh izidov je 144, ugodnih je 7.
26.
27.
Enačba Diskriminanta Rešitve enačbe
x2 - 6x + 9 = 0
x2 - 3x -10 = 0
x2 - 6x +10 = 0
Enačba Diskriminanta Rešitve enačbe
x2 - 6x + 9 = 0 0 3
x2 - 3x -10 = 0 49 5, -2
x2 - 6x +10 = 0 -4 3 ± 1
13
Naloge in rešitve iz matematike
28. V prostoru sta dani točki A (1,2,3) in B (2,3,4) ter vektor = (1, -2,1). Zapišite vektor s komponentami. Izračunajte natančno dolžino vektorja in računsko dokažite, da sta vektorja in pravokotna.
30. Nalogo rešite brez uporabe računala.
Rešite enačbo log2 (4 - x) + log2 (-4 - x) = 7.
29. V koordinatnem sistemu je narisan graf odsekoma linearne funkcije f.
29.1. Izračunajte ploščino trapeza med grafom te funkcije in abscisno osjo.
29.2. Dopolnite funkcijski predpis funkcije f.
Rešitve.
28.
29.1.
29.2.
30.
5S
14
Naloge in rešitve iz matematike
31. Na sliki je narisan graf racionalne funkcije
31.1. Dopolnite besedilo (vrednosti odčitajte s slike ali jih izračunajte).
Ničli funkcije sta x1 = ________ in x2 = ________.
Pola funkcije sta v x = ________ in x = ________.
Začetna vrednost f (0) = ________.
Enačba vodoravne asimptote je __________.
31.2. Izračunajte vrednosti konstant a in b .
a = ________
b = ________
32. Izračunajte in zapišite presečišči elipse 4x2 + y2 - 8 = 0 in parabole y2 = 4x.
33. Izračunajte realno število x, za katero je kompleksno število z = (2 - i)2 + i20 + xi realno.
Rešitve.
31.1. ničli
pola
začetna vrednost
enačba asimptote
31.2.
32.
33.
TEŽAVAKožne nečistoče so značilne za mlado kožo, vendar jih pozna tudi zrela. Za boj proti tej nevšečnosti je treba redno uporabljati funkcionalno kozmetiko.Pomembno je, da izberete nemastno kozmetiko z lahko teksturo, ki se enostavno vpija in deluje pomirjujoče.
PRED, MED MATURO IN PO NJEJKREMNI GEL REUMATONIL®je učinkovit zlasti pri preobremenjenih sklepih in mišicah. Uporablja se po telesnih naporih in športnih aktivnostih, predvsem v predelu rok, nog, hrbtenice in vratu.
HITRO OLAJŠANJE z glukozaminom, hondroitin sulfatom, hudičevim krempljem in čilijem
Kremni gel je s svojo bogato sestavo namenjen za pomoč pri vzpostavljanju normalnega tonusa kože, kar omogoča izvleček hudičevega kremplja in čilija skupaj s sinergičnim učinkom hondroitin sulfata in glukozamina. Gel se zelo hitro vpije. Čili daje koži prijeten občutek gretja, ki se z nežno masažo še poveča.
VITADYN® MEMOokus jagodePrehransko dopolnilo z rastlinskimi ekstrakti in fosfoserinom. Sibirski ginseng in rožni koren sta znana po svojem adaptogenem delovanju. Sibirski ginseng krepi učenje in spomin. Rožni koren pomaga pri utrujenosti in mentalni izčrpanosti. Borovnice so znane po svojem antioksidativnem delovanju.
MULTIVITAMINI IN MINERALI VITADYN®okus pomarančaPrehransko dopolnilo z vitamini in minerali. Vitamini B2, B3, B6 in B12, pantotenska kislina, magnezij in železo omogočajo okrevanje po izčrpanosti in utrujenosti. Še posebej magnezij pomaga pri vzpostavljanju elektrolitskega ravnovesja, pripomore k normalnemu metabolizmu ter pomaga pri normalnem delovanju mišic, skupaj z vitaminom B1 omogoča vzpostavitev normalnega delovanja živcev in psihološkega ravnotežja. Pantotenska kislina pripomore k normalnemu mentalnemu ravnotežju, železo pa pomaga ohranjati normalno delovanje spomina in kognitivnih funkcij ter omogoča normalen prenos kisika po krvi. Vitamina C in E, cink, baker in mangan zaščitijo celice pred oksidativnim stresom in omogočajo normalno delovanje imunskega sistema. Vitamin A skrbi za normalno delovanje vida, vitamin D3 pa pomaga pri optimalni absorpciji kalcija in fosforja.
VITADYN® SOSTEGNOz okusom malineVitadyn Sostegno je prehransko dopolnilo na osnovi rastlinskih ekstraktov, z argininom in minerali (mangan in baker). Grahovec in baker pomagata pri krepitvi imunskega sistema. Šisandra in mangan sta dodana kot antioksidanta. Baker pomaga pri normalnem metabolizmu in pripomore k optimalnemu delovanju živčnega sistema.
HLADILNI IN OSVEŽILNI MENTOL HEADEZENaravno in enostavno do olajšanja bolečin. Nanesite na čelo s priročnim aplikatorjem in si odpočijte od bolečin s hladilnim in osvežilnim delovanjem mentola.
SKIN-ACT SYSTEM 3NOVA METODA ZA NEČISTO KOŽO, NAGNJENO K AKNAM
SKIN-ACT System 3Nova naravna dermatološka nega. Čista koža se spet smeji.
SKIN-ACT System 3 je plod stalnih raziskav v kozmetiki Naturando.
Linijo sestavljajo trije proizvodi, ki omogočajo intenzivno sinergično delovanje v boju proti nevšečnostim, značilnim za to vrsto kože. Gre za usmerjeno, učinkovito in hkrati občutljivo nego. Zaradi ekskluzivne mešanice aktivnih učinkovin so izdelki Skin Act sposobni uravnotežiti in očistiti nečisto, aknasto kožo in kožo s seborejo.
Učinkovitost nege nečiste kože SKIN-ACT System 3 zagotavlja naslednje zaporedje:1. UMIVANJE, OČIŠČENJE in OSVEŽITEV – CLEAN Čistilni gel. Uporabljamo ga kot osnovo za
čiščenje mastne, nečiste kože z aknami.2. URAVNOVEŠANJE, NORMALIZIRANJE
IZLOČANJA SEBUMA in VLAŽENJE – TOP Krema za uravnoteženje izločanja sebuma.
Dnevna nega, ki normalizira izločanje sebuma in vlaži.
3. ODSTRANITEV NEČISTOČE in BLAŽENJE – FAST Koncentrat proti nepravilnostim. Hitra in
enostavna uporaba, ki pospešuje odpravo nepravilnosti.
Izdelki so na voljo v spletni prodajalni www.trgovina-medisanus.si. Lahko jih naročite tudi po telefonu 01 320 08 09 ali e-pošti [email protected].
Oglasno sporočilo
eStudentski servis_print_203x271_varuska.indd 1 06/03/17 14:32
