Razumem, torej bom!

Študijski programi 1. stopnje Matematika Finančna matematika Pedagoška matematika Računalništvo in matematika Praktična matematika

oddelek za matematiko Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljanihttp://mat.fmf.uni-lj.si

Študentska pisarna Jadranska ulica 21, 3. nadstropje, soba 3.03Telefon: 01/476 65 15, 01/476 65 18Elektronska pošta: matematika@fmf.uni-lj.siUradne ure ob delavnikih od 10.00 do 12.00

matematična knjižnicaJadranska ulica 19, 3. nadstropjeOdprto ob delavnikih od 7.00 do 15.00

prodajalna strokovne literatureJadranska ulica 21, pritličje, soba P. 21 http://www.dmfa-zaloznistvo.si/

1

Zelo rad kolegom iz drugih strok, predvsem inženirjem, pomagam tako, da se z njimi pogovarjam o njihovih pro-blemih in jim probleme pomagam formulirati. Zado-voljni so, ko jim iz njihove začetne neurejene mešanice misli in vprašanj pomagam izluščiti bistveno, kar na koncu skupaj formuliramo. Tu mi pomaga tisto, kar sem se naučil pri študiju matema-tike: logično razmišljanje, jasno izražanje in neobre-menjenost s konkretno nara-vo pojmov, ki v problemih nastopajo. Mislim, da smo ravno zaradi teh sposobnosti matematiki uporabni na mnogih področjih.

Svet, v katerem živimo, se bliskovito spreminja. Težko si predstav- ljamo, do kakšnih sprememb v našem delovnem in življenjskem okolju bo prišlo v naslednjih desetih, dvajsetih in več letih. Marsikatera novost, tehnični napredek ali celo družbena spremem-ba lahko vse, kar vemo, postavijo na glavo, naše znanje in delovne sposobnosti pa hitro postanejo zastareli in nepotrebni. A matema-tik se zmore hitro prilagoditi spremembam in novostim, saj ni preveč obremenjen z znanji, ki so tesno povezana z nekim mestom in časom. Matematika namreč ne zastara, saj so matematična znanja vedno aktualna, glavne odlike matematika pa so hitra učljivost in izjemne sposobnosti razmišljanja. Pri matematičnem študiju se namreč ne učimo le matematike, temveč predvsem raz-vijamo sposobnosti natančnega in analitičnega premišljevanja, učimo se razločevati med bistvenim in nebistvenim ter se osredotočiti na jedro problema. Kdor si pridobi te sposobnosti, lahko uspe v vsakem poklicu, pri katerem je potrebno razmišljati s svojo glavo.

Klasični zaposlitvi matematika sta poučevanje in programiranje. A kje vse lahko najde matematik zaposlitev, izziv in uveljavitev svojih sposobnosti, je nemogoče povedati. Možnosti za zaposlitev matematika, še posebej tistega, ki ima tudi bogato računalniško izobrazbo, so naravnost neomejene. Najpogosteje se matematiki zaposlijo v bankah in zavarovalnicah, na borzi, v organizacijah in podjetjih, ki se ukvarjajo z računalništvom, statistiko, marketin-gom, finančnim svetovanjem in upravljanjem, v državni upravi, v naravoslovnih, ekonomskih in tehničnih inštitutih ter tehnoloških parkih, v svetovalnih podjetjih ter nenazadnje na univerzah in visokih šolah. Najdemo pa jih tudi na številnih odgovornih in vplivnih vodstvenih položajih.

Matematiki sodelujejo pri raziskavah in odkritjih na mnogoterih področjih, saj je matematika na različnih nivojih vgrajena v skorajda sleherno človeško dejavnost. Brez matematičnih teorij danes ne bi poznali zgoščenk, računalnikov, mobilnih telefonov, televizijske in digitalne slike, ne bi poznali vesoljskih poletov in ne bi videli natančnih slik oddaljenih vesoljskih teles in galaksij. Razumevanje nastanka in razvoja vesolja ter najmanjših delcev snovi bi bilo brez matematike utopija. Razvoj znanosti s področja kemije, fizike, meteorologije, oceanografije ali astronomije bi bil na precej primitivnem nivoju. Brez matematične statistike bi malo vedeli o ekologiji, medicini, farmaciji in sociologiji. Moderni poleti z letali ne

Služabnikov sem šest imel,po imenih Kaj in Kdaj, Kako, Zakaj in Kje in Kdo,in vse, prav vse, kar znam,njih delu sem dolžan.Rudyard Kipling, pesnik in pisatelj

Josip Globevnik, akademik in zaslužni profesor na Oddelku za matematiko

Matematika je preprosta in lepa, a dostopna le najboljšim in najvztrajnejšim. Bogato obdaruje potrpežljive in nagradi izvirne. Nevedni se ji posmehujejo le iz daljave. Spoštljivim pusti, da se ji približajo.

POKLIC: MATEMATIK / MATEMATIČARKA

Matematika izpričuje ne samo resnico, ampak tudi dovršeno lepoto – univerzalno in dostojanstveno, podobno lepoti kipa, ki privlači duha ... vzvišeno čisto, sposobno nepopustljive popol-nosti, takšno, kakršno lahko izpriča le najplemenitejša umetnost.Bertrand Russel, logik in filozof

Živimo v zlati dobi matematike, katere sodobni dosežki so senzacionalni ter katere raziskave so med najboljšimi kulturnimi naložbami, ob katerih se lahko upodabljajoče umetnosti, literatura in gledališče skrijejo.Hans Magnus Enzensberger, pesnik, pisatelj in esejist

Matematika še prav posebej izpostavlja urejenost, simetrijo in omejenost, to je največje atribute lepote.Aristotel, starogrški filozof

bi bili možni brez matematičnih teorij v termodinamiki. Moderna skeniranja v medicini bi bila brez matematike znanstvena fantasti-ka. S pomočjo matematičnih teorij se poglablja razumevanje genetike in omogoča izgradnja moderne medicinske tehnike in celo umetnih organov. Matematične teorije kaosa in zlasti verjet-nostnega računa pomagajo predvideti dogajanja v ekonomiji in razložiti naravne pojave od epidemij do izbruhov vulkanov.

Na Fakulteti za matematiko in fiziko sem obiskovala smer uporabna matematika, ki se je izvajala še pred bolonjsko prenovo univerzitetnega izobraževanja. Študij na matematični fakulteti je bil nadvse resen, časa za zabavo je bilo malo, v glavnem smo cele dneve študirali. Vse, kar so profesorji zahtevali od nas, je bilo izključno znanje in pri tem niso niti najmanj popuščali. Ocenjevali so nas strogo. Mislim, da so ravnali abso-lutno prav. Dandanes, ko je konkurenca neizprosna, za vsako delovno mesto je na tisoče in tisoče kandidatov, pričakovanja delodajalcev pa so visoka, mi namreč vse to znanje, delavnost, resnost in prilagojenost na trdo delo izjemno koristijo.

Saša Kariž, diplomantka upo-rabne matematike, zaposlena v podjetju Cisco Systems, ZDA

2

ODDELEK ZA MATEMATIKO

Oddelek za matematiko na Fakulteti za matematiko in fiziko je največja slovenska matematična šola in obenem tudi največja matematična raziskovalna ustanova. Zaposlujemo več kot polovi-co vseh univerzitetnih profesorjev matematike v Sloveniji. Mnogi med nami so veliko časa poučevali in raziskovali na uglednih tujih univerzah in sodelovanje z matematiki z vseh koncev sveta se iz leta v leto poglablja.

Svoje pedagoške in strokovne izkušnje uspešno prenašamo na študente. Raziskava Družbeni profil študentov (2005) je med vsemi fakultetami v Sloveniji postavila FMF na prvo mesto glede na odnos pedagoškega in administrativnega osebja do študentov in po zadovoljstvu študentov s pridobljenim znanjem.

Matematika ima na Univerzi v Ljubljani dolgoletno tradicijo. Njen ugled potrjuje tudi to, da sta bila prva rektorja Univerze v Ljubljani prav matematika, dr. Josip Plemelj in dr. Rihard Zupančič. Študij matematike že od začetka delovanja Univerze leta 1919 teče na visokem strokovnem nivoju in je enakovreden kakovostnim študijem na tujih univerzah.

Zakaj bi študirali matematiko? Ker nas zanima, ker jo imamo radi in ker se želimo usposobiti za vrsto ustvarjalnih in zanimivih poklicev.

3

4

Splošna značilnost vseh usmeritev študija matematike je resen in razmeroma zahteven študij, ki daje diplomantom dobro strokovno podlago za ustvarjalno in uspešno delo na številnih področjih. Pridobljeno znanje je zelo dobra osnova za uspešno nadaljevanje študija tako doma kot v tujini.

V prvih dveh letih univerzitetnega študija dobi študent dobro teoretično podlago, v naslednjih letih pa temeljna znanja nadgradi z uporabnimi. S številnimi možnimi usmeritvami v zadnjem letu prve stopnje in zlasti na drugi stopnji lahko študent študij prilagodi svojim interesom.

Po vsebini je program prvega letnika visokošolskega strokov-nega študija Praktična matematika (kljub drugačnim imenom predmetov) zelo podoben univerzitetnim programom, je pa manj abstrakten in bolj praktično naravnan.

Študij je organiziran po sistemu ECTS (European Credit Transfer System), ki predstavlja enoten evropski sistem vrednotenja študijskega dela. Ta sistem omogoča prehajanje študentov med programi in visokošolskimi ustanovami, lažjo primerjavo njihovih študijskih dosežkov ter s tem vzpodbuja izbirnost, interdisciplinarnost in mednarodno sodelovanje.

Od bodočih študentov pričakujemo solidno znanje srednje-šolske matematike, nekaj smisla za abstraktno mišljenje, pred-vsem pa veliko pripravljenosti za resno delo. V primeru preve-likega števila kandidatov je kriterij za vpis srednješolski uspeh (splošni uspeh in ocene iz matematike v 3. in 4. letniku ter na maturi, poklicni maturi oziroma na zaključnem izpitu).

V srednji šoli me je matemati-ka od vseh predmetov najbolj zanimala, zato študij na FMF sploh ni bil vprašanje. Motivirajoče in hkrati spro-ščeno okolje, veliko medseboj-ne pomoči med sošolci ter odličen odnos profesorjev do študentov naredijo študijska leta prijetna, kvaliteta preda-vanj in strokovnost preda-vateljev pa sta brez težav pri-merljivi s tistimi na drugih evropskih univerzah. Za uspeh pri študiju je potrebno vložiti veliko dela in vztrajnosti, a zadovoljstvo ob rešenih ma- tematičnih problemih po- plača ves trud. Matematika pa zaradi svojih mnogih ugank nikoli ne postane dolgočasna.

Polona Durcik, diplomantka programa Matematika, podoktorska raziskovalka na inštitutu Caltech, ZDA.

O ŠTUDIJU

Naravne sposobnosti so kot rastline; potrebujejo negovanje s študijem.Francis Bacon, filozof, znanstvenik in državnik

5

Matematika je veliko več kot računstvo, matematika je veda, ki uči strukturiranega in jasnega razmišljanja. Matematika tako odlikujejo sposobnosti ločevanja med pravilnim in nepravilnim ter med bistvenim in nebistvenim, hitrega učenja in postavljanja preglednih modelov, ki opisujejo in rešujejo dileme na različnih področjih dela, od družboslovja preko medicine do inženirstva.

Diplomanti programa Matematika so tako kar najbolje usposo-bljeni za prevajanje praktičnih problemov v matematični jezik, za matematično analizo tako dobljenih modelov, za izdelavo algoritmov za simulacijo modelov ter implementacijo rezulta-tov nazaj v praktično okolje. Ob tem diplomanti pridobijo sposobnost tako avtonomnega kot timskega strokovnega dela ter temeljna znanja, ki so potrebna za nadaljnji študij matema-tike ali drugih (interdisciplinarnih) področij.

Študij traja 3 leta in obsega 180 kreditnih točk po sistemu ECTS. Temelj programa so obvezni predmeti (spodaj navedeni v pokončnem tisku), ki dajejo široko in poglobljeno znanje osnovnih matematičnih in računalniških vsebin. Te dopolnjuje-jo izbirni predmeti (spodaj stavljeni poševno): študent v 2. letniku izbere dva izbirna predmeta, v 3. letniku pa štiri.

1. letnik: Analiza 1, Algebra 1, Logika in množice, Računalniški praktikum, Uvod v programiranje, Fizika 1, Proseminar A ali B.

2. letnik: Analiza 2a in 2b, Algebra 2, Programiranje 1, Splošna topologija, Diskretna matematika 1, Fizika 2, Seminar, Programiranje 2, Algebraične krivulje, Uvod v geometrijsko topologijo, Afina in projektivna geometrija.

3. letnik: Analiza 3 in 4, Uvod v numerične metode, Verjetnost, Statistika, Mehanika 1, Diplomski seminar, Numerična linearna algebra, Mehanika 2, Matematično modeliranje, Podatkovne struk-ture in algoritmi 1 in 2, Teorija kodiranja in kriptografija, Diskretna matematika 2, Optimizacija 1, Osnove podatkovnih baz, Finančna matematika 1, Teorija iger, Uvod v diferencialno geometrijo, Elementarna teorija števil, Elementarna geometrija, Slučajni pro-cesi 1, Algebra 3, Izbrane teme iz analize podatkov.

Študijski program MATEMATIKA

Ker je bila matematika v gimnaziji moj najljubši predmet, sem se vpisala na študij matematike. Študentska leta so mi ostala v lepem spominu. Nekaj tekmovalnosti med sošolci je seveda bilo, medsebojne pomoči in druženja pa še več. Dekleta smo se tako po številu kot po študijskem uspehu enakovredno kosala s sošolci. Ob študiju sem se ukvarjala še z badmintonom in bridžem. Ker me je mate-matika čedalje bolj zanimala, sem nadaljevala študij do doktorata. Ob pedagoškem in raziskovalnem delu, ki ga opravljam, mi ostane tudi dovolj časa za družino.

Barbara Drinovec Drnovšek, profesorica na Oddelku za matematiko

Jurij Volčič, magister programa Matematika, podoktorski raziskovalec na univerzi Texas A&M, ZDA.

Študij matematike na FMF veliko terja od študenta, kar pa se kasneje obilno povrne. Tu ne mislim zgolj na prido-bljena specifična znanja, ampak tudi na splošni razvoj posameznikovega mišljenja. Kot so namreč matematični rezultati in metode neposred-no uporabni v naravoslovnih in družboslovnih disciplinah, pa razumevanje dokazov vzgaja odprt, analitičen in natančen um, ki je sposoben reševanja prej še neobravna-vanih problemov. Oddelek za matematiko pa poleg pokri-vanja širokega spektra matematičnih ved odlikuje tudi kolektiv, ki je vedno na razpolago za nasvete in pomoč.

6

Kvantitativna analitična znanja so pomembna pri finančnih in drugih ekonomskih odločitvah. Zato so bili matematiki vselej iskani s strani zaposlovalcev v finančnem sektorju gospodarstva. Študijski program Finančna matematika daje poleg matematičnih znanj tudi pomemben delež znanj iz financ in ekonomije ter iz informatike. Je odlična osnova za nadaljnje izobraževanje tako na bolj matematičnih kot tudi na ekonomskih in finančnih programih. Cilj programa je vzgojiti strokovnjaka, ki bo sposoben reševati zahtevne matematične probleme, ki se pojavljajo v bančnem in zavarovalniškem sektorju, pri delovanju borze in borzno-posredniških hiš, pri trgovanju z ener-genti in drugim blagom ter pri upravljanju pokojninskih in zdravst-venih skladov. Poleg tega bodo diplomanti pridobili dovolj teoretičnih znanj za nadaljevanje študija na drugi stopnji.

Študij traja 3 leta in obsega 180 kreditnih točk po sistemu ECTS. Temelj programa so obvezni predmeti (spodaj navedeni v pokončnem tisku), ki dajejo široko in poglobljeno znanje osnovnih matematičnih, ekonomskih in finančnih vsebin ter vsebin iz informatike. Te dopol-njujejo izbirni predmeti (spodaj stavljeni poševno): študent v 3. letni-ku izbere praviloma štiri izbirne predmete. Ekonomske in finančne predmete izvajajo profesorji z Ekonomske fakultete.

1. letnik: Analiza 1 in 2, Algebra 1, Diskretne strukture, Mikro- ekonomija, Računalniški praktikum, Uvod v programiranje, Optimizacijske metode, Proseminar.

2. letnik: Analiza 3, Verjetnost 1, Verjetnost in statistika, Numerične metode 1 in 2, Makroekonomija, Denar in finance, Operacijske raziskave, Finančna matematika 1, Analiza podatkov s programom R, Seminar.

3. letnik: Teorija iger, Statistika 1, Slučajni procesi 1, Finančni prakti-kum, Finančni trgi in institucije, Verjetnost z mero, Diplomski seminar, Temelji finančnega in poslovodnega računovodstva, Organizacija in struktura trga, Monetarna ekonomija, Ekonometrija 1, Izbrane teme iz analize podatkov, Analiza 4, Matematično modeliranje, Osnove podatkovnih baz, Podatkovne strukture in algoritmi 1 in 2, Programiranje 2. Na izbiro so tudi drugi predmeti s programa Matematika in progra-mov Ekonomske fakultete.

Študijski program FINANČNA MATEMATIKA

Študij finančne matematike sem za izobrazbeni temelj karierne poti izbral zaradi želje po razumevanju doga-janja v finančnih in gospo-darskih sferah ter veselja do analitičnega razmišljanja in matematičnih vsebin. Medtem ko je prva študijska stopnja postavila trdno analitično osnovo, je pred-metnik druge stopnje z uglednimi gostujočimi pre-davatelji omogočil pogla-bljanja v široko paleto vsebin, katerih razumevanje je prvim magistrom hitro ponudilo karierne priložnosti v finančni industriji, energetiki in zavarovalništvu. Sam sem prvo zaposlitev našel v Direktoratu za zakladništvo Ministrstva za finance, kjer za državo zahtevni časi zame predstavljajo edinstveno priložnost praktične uporabe in vsebinske nadgradnje pri-dobljenih znanj.

Naj podam še misel o študij-skih kolegih – prepoznal sem jih kot praktično naravnane in marljive osebe, ki so zaradi lastnih ambicij in prijetnega vzdušja na fakulteti z ves-eljem prihajali na preda- vanja, ob tem pa smo sklenili iskrena prijateljstva, ki vsake-mu izmed nas predstavljajo pomemben del nastajajoče poslovno-socialne mreže.

Gregor Cigüt, diplomant in magister programa Finančna matematika, zaposlen na Ministrstvu za finance

7

Pri poučevanju matematike se združujejo sposobnosti in potrebe globokega razumevanja matematike in prefinjenega občutka za delo z mladimi. Učiteljski poklic je za matematiko in družbo v celoti najbrž dolgoročno pomembnejši od mnogih drugih poklicev. Odlični učitelji matematike namreč ne vzgajajo le bodočih matematikov, ampak tudi logične, zanesljive, preudarne, razumne ... zdravnike, bančnike, inženirje. Pouk matematike in vzgoja za logično mišljenje je poleg etičnih vrednot zagotovo temelj vzgoje in izobraževanja ter osnovni gradnik razvoja naše civilizacije.

Magistri so usposobljeni za poučevanje matematike v srednjih šolah vseh smeri. Lahko se zaposlujejo tudi na inštitucijah, ki se ukvarjajo z razvojem šolstva. Zaradi pridobljenih sposobnosti analitičnega mišljenja in uporabe informacijske tehnologije lahko najdejo zaposlitev tudi v gospodarstvu.

Študij traja 5 let in obsega 300 kreditnih točk po sistemu ECTS.

1. letnik: Analiza 1, Algebra 1, Logika in množice, Računalniški praktikum, Uvod v programiranje, Fizika 1, Proseminar A ali B.

2. letnik: Analiza 2a in 2b, Fizika 2, Algebra 2, Splošna topologija, Afina in projektivna geometrija, Elementarna geometrija, Pro-gramska oprema pri pouku, Diskretna matematika 1

3. letnik: Analiza 3, Elementarna teorija števil, Uvod v numerične metode, Verjetnost, Statistika, Didaktika matematike 1/2 (cikel), Pedagoška praksa 1, Didaktika 1, Astronomija, Seminar 1, dva izbirna predmeta.

4. letnik: Didaktika matematike 1/2 (cikel), Pedagogika z andra-gogiko, Pedagoška praksa 2, Statistika v šoli / Matematična obzorja (cikel), Zgodovina matematike / Matematika za nadarjene (cikel), Seminar 2, Psihologija učenja in pouka, Simbolno računanje in dinamična geometrija / Sodobni trendi v izobraževanju matema-tike (cikel), trije izbirni predmeti.

5. letnik: Statistika v šoli / Matematična obzorja (cikel), Simbolno računanje in dinamična geometrija / Sodobni trendi v izobraževanju matematike (cikel), Zgodovina matematike / Matematika za nadar-jene (cikel), trije izbirni predmeti, Magistrsko delo.

Izbirni predmeti matematičnih vsebin so: Uvod v diferencialno geometrijo, Algebraične krivulje, Numerična linearna algebra, Matematično modeliranje, Teorija kodiranja in kriptografija, Optimizacija 1, Programiranje 1, Finančna matematika 1 in številni drugi zahtevnejši matematični predmeti z druge stopnje progra-ma Matematika.

Izbirni predmeti pedagoških vsebin se izvajajo na Filozofski fakulteti.

Magistrski študijski program PEDAGOŠKA MATEMATIKA

Pedagoška matematika – smer, kjer se matematika preplete s pedagoškimi vsebi-nami, kjer si brez sošolcev ne predstavljaš študija in kjer so tudi profesorji na tvoji strani.

Študij, ki veliko da in pripo-more k čudovitim izkušnjam.Lara Rugelj, magistrica programa Pedagoška matematika

V razumni družbi bi najboljši izmed nas želeli postati učitelji, kajti prenašanje spoznanj človeštva na nove generacije je dejavnost naj-višje časti in odgovornosti, kar si jih je mogoče zamisliti.Lee Iacocca, legenda poslovnega sveta ter dolgoletni direktor podjetij Ford in Chrysler

Matematika se v praksi pojavlja skorajda na vsakem koraku. V večji ali manjši meri se z njo srečujejo inženirji na mnogih področjih: v elektrotehniki, gradbeništvu, strojništvu, računalništvu ... Njihovo znanje matematike je večinoma dovolj obsežno, da znajo poiskati uporabne rešitve. Naloga matematika v praksi pa je, da te rešitve izpili, predlaga učinkovitejše in natančnejše pristope ter kritično presoja dobljene rezultate. Delovati mora kot vez med inženirsko prakso in abstraktno teorijo. To je pogosto težka naloga, ki je velik izziv vsem uporabnim matematikom.

Sposobnost uporabe matematičnih metod ter analitičen in algoritmičen pristop k reševanju problemov so zato osnova uspešnega dela na mnogih področjih. Temeljni cilj študijskega programa Praktična matematika je izobraziti strokovnjaka, ki bo lahko reševal matematične probleme v praksi, še posebej v informacijsko-računalniškem, tehnološkem ter logističnem sek-torju gospodarstva. Študij na tem programu je manj abstrakten kot na programih Matematika in Finančna matematika, je pa bolj praktično naravnan. Zato diplomantkam in diplomantom daje dobre zaposlitvene možnosti v gospodarskem sektorju, predvsem na področjih, kjer so potrebne računalniške implementacije modelov, ki vsaj deloma slonijo na matematiki.

Študij traja 3 leta in obsega 180 kreditnih točk po sistemu ECTS. Temelj programa so obvezni predmeti (spodaj navedeni v pokončnem tisku), ki dajejo trdno znanje osnovnih matematičnih vsebin in programiranja. Te dopolnjujejo izbirni predmeti (spodaj stavljeni poševno): študent v 1. letniku izbere enega ali dva, v 3. letniku pa tri izbirne predmete.

1. letnik: Matematika 1, Linearna algebra, Programiranje 1, Računalniški praktikum, Računalniška orodja v matematiki, Komuniciranje v matematiki, Uvod v fiziko, Matematično izražanje v angleškem jeziku ali dva splošna izbirna predmeta.

2. letnik: Matematika 2, Numerične metode 1, Matematika v praksi, Algebra in diskretna matematika, Verjetnost, Fizikalni prakti-kum, Programiranje 2, Statistika, Matematična orodja v fiziki, Diferencialne enačbe.

3. letnik: Optimizacija, Računalništvo 1, Podatkovne baze 1, Mehanika, Parcialne diferencialne enačbe, Praktično usposabljanje, Matematično modeliranje, Diskretno modeliranje, Modeliranje in upravljanje procesov, Dinamično modeliranje, Numerične metode 2, Programiranje 3, Računalništvo 2, Podatkovne baze 2, Izbrana poglav-ja iz fizike, Izbrana poglavja iz praktične matematike.

Visokošolski študijski program PRAKTIČNA MATEMATIKA

Srednja šola, ki sem jo obiskovala, mi je dala samo osnovno znanje iz matematike, želja po računanju pa je bila tako velika, da sem nadaljevala v tej smeri, za kar mi ni žal. Študij je težak, zato je potrebno veliko motivacije, učenja, predvsem pa želje po znanju iz matematike. Program Praktična matematika zahteva veliko sprotnega učenja, saj se snovi med seboj dopolnjujejo. Velik poudarek je na računalništvu oz. programiranju, zato tistim, ki se v srednji šoli še niste srečali s programiranjem, svetujem intenzivno sodelovanje pri vajah, saj boste le tako lahko postali dobri tudi kot programerji.

Eva Hriberšek, diplomantka programa Praktična matematika

8

Interdisciplinarni univerzitetni študijski program Računalništvo in matematika izvajamo skupaj s Fakulteto za računalništvo in informatiko. Namenjen je usposabljanju v teoretičnih osnovah računalništva in z njimi povezanimi modernimi vejami diskretne in računalniške matematike. Diplomanti imajo široko pregledno znanje osnov informatike in računalništva ter so zmožni obvlado-vati in kasneje tudi razvijati nove dosežke na tem področju. Diplomanti imajo tudi ustrezno predznanje za prehod na nova interdisciplinarna področja, pri katerih je potrebno obvladovanje teoretičnega računalništva in ustreznih matematičnih podlag, kot so na primer nekatere vede s področja biotehnologij, biomedicine, teoretične kemije itd. Diplomant pridobi sposobnost tako avtonomnega strokovnega dela kot dela v skupini ter temeljna znanja, ki so potrebna za študij na drugi stopnji.

Študij traja 3 leta in obsega 180 kreditnih točk po sistemu ECTS. Temelj programa so obvezni predmeti, ki dajejo široko znanje osnovnih računalniških in informacijskih vsebin na eni strani ter za njihovo razumevanje potrebnih matematičnih vsebin na drugi strani. Te dopolnjujejo izbirni predmeti, ki so skoncentrirani v 3. letniku.

1. letnik: Analiza 1 in 2, Linearna algebra, Diskretne strukture 1 in 2, Programiranje 1 in 2, Osnove digitalnih vezij, Arhitektura računalniških sistemov.

2. letnik: Analiza 3, Kombinatorika, Optimizacijske metode, Izbrana poglavja iz matematike, Algoritmi in podatkovne strukture 1 in 2, Osnove podatkovnih baz, Principi programskih jezikov, Izračunljivost in računska zahtevnost, Računalniške komunikacije.

3. letnik: Numerične metode, Verjetnostni račun in statistika, Osnove umetne inteligence, Diplomski seminar. Interdisciplinarni študijski program Računalništvo in matematika nima lastnih izbirnih predmetov, temveč je vsa izbirnost zunanja, tj. na drugih študijskih programih. Strokovno izbirnost tvori izbira enega študijskega modula iz programa Računalništvo na FRI ter enega izmed ponujenih izbirnih predmetov iz programov Matematika in Finančna matematika na FMF. Predmeti modula na FRI so določeni tako, da tvorijo logično in vsebinsko celoto, izbirni predmeti na FMF pa nudijo predmete iz sklopov geometrija, finančna matema-tika itd., ki koristno dopolnjujejo program IŠRM. Splošno izbirnost tvori 10 ECTS, ki jih študent lahko opravi v kateremkoli akreditira-nem študijskem programu na UL.

Študijski program RAČUNALNIŠTVO IN MATEMATIKA

Andrej Bauer ni samo univerzitetni profesor matematike in računalništva, ampak tudi mojster aikida. Raziskovalno se ukvarja z logiko in povezavami med matematiko in računalništvom. Doktoriral je na priznani računalniški šoli na Carnegie Mellon University v ZDA, od koder je prinesel tudi dinamičen in sproščen način poučevanja. Leta 2004 je prejel svečano listino Univerze v Ljubljani za izjemne pedagoške in znanstvene dosežke.

9

Oddelek za matematiko deluje v obnov-ljeni in sodobno opremljeni stavbi na Jadranski 21 v Ljubljani. Predavalnice so opremljene s projektorji, nekatere pa tudi z elektronskimi tablami. Na računalnikih v računalniških učilnicah imajo študenti dostop do specializiranih programskih paketov, za nekatere izmed njih lahko pridobijo tudi licence za namestitev na svoj računalnik. Za samostojno delo sta študentom na voljo dve računalniški učilnici, opremljeni s sodobnimi več-opravilnimi napravami. V vseh prostorih Fakultete je na voljo brezžično omrežje Eduroam. V četrtem nadstropju so klepetalnice, namenjene študiju v manjših skupinah ter pogovorom med tutorji (študenti višjih letnikov) in študenti nižjih letnikov.

Matematična knjižnica je s svojim velikim knjižnim fondom največja knjižnica z matematično litera-turo v Sloveniji, ki zagotavlja tudi sodobni elektronski dostop do izbranih matematičnih revij. Veliko učnega gradiva, namen-jenega študentom, je v sloven-skem jeziku. Študentom in zapos-lenim na fakulteti je v okviru Matematične knjižnice na voljo čitalnica, ki jo študentje radi upo-rabljajo za študij. Poleg te so za samostojni ali skupinski študij zelo popularne nekatere avle.

ŠTUDIJSKO OKOLJE

Ali si že opazil, da so ljudje, ki so po naravi nadarjeni za matematiko, zelo uspešni tudi v vseh drugih strokah? Celo trdoglavci, ki se uče računstva in se vadijo v njem, imajo od tega korist, da se jim bistri um in da začnejo hitreje dojemati.Platon, starogrški filozof

10

Program ERASMUS

Študent lahko opravi en do dva semestra študija na eni od evrop-skih partnerskih univerz. Naši študenti se redno poslužujejo te možnosti in so v preteklih letih gostovali na primer na Univerzi v Padovi, ETH Zürich, Karlovi univerzi v Pragi, Univerzi v Amsterdamu, Univerzi na Dunaju, Univerzi v Konstanzu in Univerzi Kantabrije v Santanderju. Vsako leto nekaj tujih študentov pride tudi na študij matematike v Ljubljano. Pri nas so tako študirali študenti iz Karlove Univerze v Pragi, Univerze Zahodne Češke v Plznu, Univerze Komenskega v Bratislavi, Tehnične univerze v Berlinu, Univerze v Karlsruheju, Univerze v Bonnu in Univerze v Trstu.

Med razlogi za odhod na izmenjavo so pogosto: študij specialnih vsebin, ki pri nas niso na voljo; izpopolnjevanje znanja tujih jezikov; izkušnje v tujem okolju, ki lahko povečajo zaposlitvene možnosti. Med izmenjavo je študent redno vpisan na Univerzo v Ljubljani, na tuji univerzi mu ni treba plačati šolnine. Poleg tega je upravičen do Erasmus štipendije.

Program DVOJNE DIPLOME Z UNIVERZO V TRSTU

Na prvostopenjskem študijskem programu Matematika izvajamo tudi program Dvojne diplome z Univerzo v Trstu. Študenti se v ta program lahko prijavijo v 2. letniku študija in preživijo zadnji letnik v Trstu. Diplomanti pridobijo diplomo iz matematike Univerze v Ljubljani in diplomo iz matematike (Laureato in Matematica) Univerze v Trstu.

MEDNARODNE IZMENJAVE ŠTUDENTOV

11

I came to Ljubljana for one year as an Erasmus student. At my home University TU Berlin I study Mathematics and as a minor subject also Computer Science. I’m in my third year of Bachelor now. I chose Ljubljana because the University offers a wide range of courses in both Mathematics and Computer Sciences. Slovenia and espe-cially Ljubljana is a great place to live and I do not regret my choice. Erasmus is the best part of studying, be sure not to miss it!

Vsem, ki jim je matematika ljuba, svetujem študij matema-tike. Študij okrepi sposobnost analitičnega razmišljanja in strukturiranja idej. Študentje obenem razvijejo vztrajnost, potrpežljivost in natančnost. Študij nadgradi tako profesio-nalno kot zasebno življenje med drugim tudi zaradi mate-matičnega načina razmišljanja, ki temelji na natančnem iskanju vzrokov.Prepričana sem, da program dvojne diplome med univerza-ma v Ljubljani in Trstu, ki sem ga obiskovala, predstavlja dobro priložnost, saj omogoča dvojen pogled na obravnavane snovi ter okolje nasploh. Udeležbo svetujem vsakomur, ki je priprav-ljen zapustiti svoje območje udobja, se primerjati v drugač-nem okolju in sprejemati nove študijske ter osebne izzive.

Mona Setje-Eilers, dodiplomska študentka na Tehnični univerzi v Berlinu, na Erasmus izmenjavi na Oddelku za matematiko

Veronika Pegan, diplomantka študija dvojne diplome z Univerzo v Trstu, magistricaprograma Matematika

Študijski programi Matematika, Finančna matematika in interdisci-plinarni študijski program Računalništvo in matematika so obliko-vani po sistemu 3+2. Po zaključeni prvi stopnji lahko študij nadalju-jete na drugi stopnji istega programa ali pa na kakšnem drugem drugostopenjskem programu.

Na drugi stopnji boste poglobili in razširili znanja, pridobljena na prvi stopnji. Študij je zasnovan tako, da omogoča veliko izbirnost strokovnih predmetov in splošno izbirnost, zato si lahko vsak študent v veliki meri oblikuje študij po svojih željah.

Večja splošna izbirnost in možnost delovne prakse, ki je na pro-gramu Finančna matematika obvezna, študentu omogočata, da pridobi tudi znanja in vedenja s strokovnega področja in okolja, v katerem bo morda kasneje poklicno deloval, precej verjetno celo v okviru interdisciplinarnega okolja. Študentom je tako že v času študija omogočeno spoznati izzive, ki jih prinaša delo mate-matika v stiku z drugimi strokovnimi področji.

Študij pedagoške matematike traja 5 let, saj vključuje prvo in drugo stopnjo. Ob ustreznih pogojih je mogoče po končani 1. stopnji študija na drugih smereh nadaljevati študij tudi na tem programu. Prehodi so mogoči tudi v obratni smeri. Nekateri študentje se odločijo tudi za pridobitev dveh diplom s hkratno izpolnitvijo pogojev za dokončanje na dveh različnih dodiplomskih ali magis-trskih programih.

Najboljši diplomanti drugostopenjskih programov bodo študij lahko nadaljevali na naših doktorskih programih. Dobri rezultati študija skupaj z visokim ugledom naše šole pa bodo diplomantom odprli tudi številne možnosti za nadaljevanje študija v tujini.

12

NADALJEVANJE ŠTUDIJA

Pred leti sem, tako kot ti sedaj, iskala informacije in se odločala o študiju. Danes vem, da sem z vpisom na Finančno matematko na FMF izbrala najboljšo pot. In zakaj sem o tem tako prepričana? Najprej sem bila navdušena nad kvalitetnimi, odličnimi in zanimivimi pre-davanji, v majhnih skupinah, kjer je mogoč oseben kontakt s profesorji in asistenti, ki so vedno pripravljeni pomagati.

Počutila sem se človek, ne številka. Fakulteta mi je tudi omogočila, da sem del obveznosti opravila v tujini. Na Erasmus izmenjavi v Padovi v Italiji, sem vsako-dnevno občutila, da je moje znanje na visokem nivoju. Pa ne le to. Znanje mi je odprlo tudi možnost prijave na prakso v tujini. Prijavila sem se na Summer intern-ship, kjer sem bila v hudi konkurenci študentov najbolj elitnih evropskih fakultet (Cambridge, Oxford, Russian school of mathematics…) sprejeta v eno največjih angleških bank, Barclays, na oddelek Quantitative Analysis.

Ana Hvalica, magistrica progra-ma Finančna matematika

13

Za študij matematike sem se odločil po dolgem premis-leku. Zanimala in veselila so me mnoga področja, od zgodovine, umetnosti, do filozofije in še marsičesa. Eden od bistvenih kriterijev pri izbiri študija pa je bil, s kakšno izobrazbo se bom lahko zaposlil oz. si služil kruh. Vesel sem, da sem se odločil, kot sem se. Matematika ima veliko področij; nekatera so bolj filozofska, druga zelo uporabna. Vsekakor pa je matematika prisotna na vseh področjih življenja. Zato je zanimiva, pa tudi zaposlitev je mogoče najti v računal-ništvu, šolstvu, finančnem sektorju, znanosti itd.

Odločitev za študij matema-tike je bila zelo naravna, saj je izhajala iz moje ljubezni do tega področja že iz osnovno-šolskih dni. Uporabna smer študija ter pridobljeni način razmišljanja in pristop k odkri-vanju neznanega sta mi dala bogato popotnico za široko paleto raznorodnih področij poklicnega udejstvovanja. Odlično sem se počutila v vlogi programerke in arhitektke zahtevnih informacijskih in komunikacijskih sistemov, delujočih tudi v realnem času, kar je še posebna strast. Modeliranje tako kompleksnih domenskih področij in njihova izvedba je izziv za kreativne ljudi, ki najdejo na videz pre-proste, pa vendar elegantne in univerzalne rešitve. In taki smo matematiki.

Martin Pečar, diplomant uporabne matematike, ustanovitelj in vodja podjetja OmniOpti.

Ana Robnik, diplomantka uporabne matematike in magistrica računalništva, zaposlena v podjetju Iskratel

V skoraj stoletni zgodovini je na Oddelku za matematiko diplomi-ralo že več kot 2000 študentov. Naše diplomante odlikujejo visoko razvito analitično mišljenje, sposobnost reševanja kompleksnih problemov, dobre delovne navade in seveda poglobljeno znanje teoretične matematike, statistike in računalništva. Zato ni nič nenavadnega, da so zelo cenjeni v akademski in raziskovalni sferi, v programerskih podjetjih, kot učitelji na naših šolah, v javni upravi ...

Da bi našim študentom pomagali pri izbiri kariere po diplomi in da bi jim olajšali iskanje zaposlitve, organiziramo vrsto aktivnosti:- Na Srečanjih z matematiki klepetamo z našimi diplomanti, ki so zaposleni v gospodarstvu ali se ukvarjajo z uporabno matematiko.- V študijskem letu 2013/14 smo prvič organizirali Zaposlitveni sejem, na katerem so se spoznavali študenti in predstavniki podjetij, ki zaposlujejo matematike. - Študente spodbujamo tudi pri iskanju praks in študentskega dela, ki sta dobra načina za iskanje redne zaposlitve po končanem študiju.- Na fakultetni oglasni deski redno objavljamo oglase za delovna mesta, na katerih delodajalci kot resne kandidate vidijo tudi naše diplomante.

Foto

Dom

en B

lenk

uš

ZAPOSLITVE

Zgodovina matematičnega raziskovanja med Slovenci sega nazaj vsaj do Jurija Vege, čigar veliki logaritmovnik Thesaurus loga-rithmorum completus iz leta 1794 hranimo tudi v Matematični knjižnici. Velik razmah pa je raziskovalno delo doseglo v prejšnjem stoletju, začenši z dr. Josipom Plemljem, ki je pomembno prispe-val k razvoju teorije integralskih enačb in funkcijske teorije. Prihod tako uglednega matematika, ki je pred ustanovitvijo Univerze v Ljubljani deloval v Černovicah (na ozemlju sedanje Ukrajine), je bil dobra osnova za razvoj slovenske matematične znanosti. Dandanes slovenski matematiki raziskujemo na različnih in razno-likih matematičnih področjih, kot so funkcionalna in kompleksna analiza, algebra, diferencialna in algebraična geometrija, numerična matematika, diskretna matematika, verjetnost, statis-tika, topologija ...

Profesorji na oddelku smo hkrati tudi aktivni raziskovalci in vodi-mo številne raziskovalne projekte doma ter sodelujemo pri mednarodnih projektih. Velik del raziskovalnega dela poteka preko Inštituta za matematiko, fiziko in mehaniko, ki je nastal leta 1960. V uglednih svetovnih matematičnih publikacijah vsako leto objavimo na desetine člankov z novimi matematičnimi odkritji. Velik ugled in pomen dela nekaterih naših raziskovalcev kaže tudi njihovo članstvo v uredniških odborih pomembnih mednarodnih revij. Vpetost slovenske matematike v aktualno raziskovalno delo se pozitivno odraža tudi pri poučevanju, saj imajo študenti pred-vsem na drugi in tretji stopnji pogosto možnost poslušati pre-davanja, ki predstavljajo osnovo za razumevanje in nadgrajevanje najnovejših raziskovalnih dosežkov.

14

Počutim se kot deček, ki se igra na obali in včasih najde kakšen kamenček, ki je bolj gladek kot ostali, ali školjko, ki je lepša od običajnih, medtem ko sta morje resnice in ocean skrivnosti neodkrita in nedostopna pred mano.Isaac Newton, matematik, fizik in filozof

Matematika je in bo ostala nedokončana zgradba človeškega uma.

Nikdar v življenju mi ni bila matematika nadležna, ne pri prenašanju na druge ne pri meni samem. Bila mi je življenjska potreba in umet-niški užitek, ki ga lahko vidi vsak matematik na mojih delih ... Bralcem svojih del pa želim, da bi imeli vsaj del užitka, ki sem ga bil deležen jaz sam.

Josip Plemelj, matematik in prvi rektor Univerze v Ljubljani

RAZISKOVALNO DELO

KAKOVOST

imam prednost pred študenti, ki so študirali le računalništvo na dodiplomskem nivoju, saj imajo enostavno veliko manj izkušenj z abstraktnim mišlje-njem. Veliko lažje se je namreč samostojno priučiti bolj kon-kretnih tem v računalništvu kot pa ustreznega matema-tičnega mišljenja. Skratka, mis-lim, da mi je študij matematike dal zelo dobro osnovo za delo, ki ga trenutno opravljam.Glede bolj praktičnih lastnosti študija pa bi rad izpostavil prijaznost osebja, predavate-ljev, asistentov ter administra-tivnega osebja. Predavatelji in asistenti so bili v veliki večini dobro pripravljeni na preda-vanjih in vajah in snov je bila večinoma dobro razložena. Sedaj, ko moram tudi sam voditi vaje, vidim, da je dobra razlaga vse prej kot enostavno opravilo.

Na koncu srednje šole sem izbiral med študijem fizike, računalništva in matematike. Vpisal sem študij matematike v prepričanju, da je razumevanje matematike skupno vsem trem vedam in bom tako, če razumem osnove matematike, imel v rokah orodje, s katerim bom dosti lažje usvojil ostale vede.Sedaj sem doktorski študent na področju teorije program-skih jezikov. Pri delu mi zelo koristi način razmišljanja – natančnost, sposobnost za izluščenje bistva problema, za posploševanje in reševanje izpeljanih posplošenih prob-lemov ter aplikacijo rešitve nazaj na začetni problem – pridobljen tekom študija. Menim, da je kombinacija načina razmišljanja in nabora standardnih prijemov za reševanje problemov najpo-membnejši rezultat študija. Matematična zrelost mi omogoča, da lahko relativno hitro razumem nove mate-matične metode, ki jih potrebu-jem pri raziskovanju. Tako

Pomembni kazalci kakovosti študija na Oddelku za matematiko so: zadovoljstvo študentov in diplomantov tako s študijem samim kot s pridobljenim znanjem, ki se kaže tudi v primerjalnih raziskavah v slovenskem merilu; zadovoljstvo zaposlovalcev z našimi diplo-manti; dobra pripravljenost naših diplomantov na študij v tujini; številni naši diplomanti, ki tudi kot profesorji in raziskovalci delujejo na uglednih univerzah in inštitutih po svetu; ter ne nazad-nje mednarodni ugled slovenske (raziskovalne) matematike.

Študijska programa Matematika in Pedagoška matematika sta naslednika predbolonjskega študija matematike, ki si je v letih od ustanovitve Univerze v Ljubljani zagotovil velik ugled. Od leta 2007 do danes si je ugled doma in v tujini pridobil tudi študijski program Finančna matematika. Nekateri naši diplomanti prve stopnje so uspešno končali magistrski študij tako matematično kot tudi ekonomsko usmerjenih programov na prestižnih univerzah, kot so London School of Economics, Oxford University, ETH Zurich, TU Berlin in University of Tilburg.

15

Aleš Bizjak, diplomant programa Matematika, doktorski študent na Univerzi v Aarhusu, Danska

Kakovost ni dejanje. Kakovost je navada.Aristotel, starogrški filozof

Vztrajnost je dvojčica odličnosti. Prva prinaša kakovost, druga potem pride s časom.Steve Jobs, soustanovitelj podjetja Apple in računalniški vizionar

Delo je kot palica, ki ima dva nasprotna konca. Če z delom stremite k vedenju, bo vaša stvaritev prežeta s kakovostjo, če z delom zadovoljujete kakega norca, bo nastal kič.Aleksander Solženicin, pisatelj in Nobelov nagrajenec

Na Oddelku za matematiko Fakultete za matematiko in fiziko se poleg študija dogaja še marsikaj. Študentje aktivno delujejo v študentskih orga-nizacijah, kot sta Študentski svet, ki ima v stavbi Oddelka za matematiko tudi svoj prostor, in Študentska organizacija FMF, sodelujejo pa tudi pri raznolikih manj formalnih aktivnostih. Študentje preko svojih organizacij na vseh nivojih aktivno soodločajo o razvoju in aktivnostih naše fakultete.

Študentje organizirajo številne zanimive dogodke, kot so MAFIjski piknik, strokovna ekskurzija, dobrodelni teden in še marsikaj. Študentje matema-tike so družabni in kolegialni. V klepetalnicah, avlah in predavalnicah se med odmori dogajajo spontane individualne inštrukcije, partije taroka in še marsikaj drugega.

Študentje matematike so aktivni v okviru MARSa (matematično razisko-valno srečanje), ki že vrsto let na družabno zanimiv način, tudi v okviru večdnevnih taborov, srednješolcem predstavlja zanimivosti matematike.

Prijetno vzdušje na Oddelku za matematiko se začne že s sproščenimi medosebnimi odnosi, ki vladajo med profesorji, asistenti in študenti. Zgodilo se vam bo, da ne boste vedeli, kdaj ima profesor govorilne ure. Pa ne zato, ker ga ne bi mogli dobiti, ampak zato, ker se prenekatera govorilna ura začne nenačrtovano kar na hodniku.

V takem ambientu ni nenavadno, da so tudi neštudijski odnosi in aktivno-sti med študenti vzpodbudni, prijetni in raznoliki.

x

POLEG ŠTUDIJA

16

Kako je mogoče, da je matematika, ki jo je oblikoval človeški um neodvisno od poskusa, tako izjemno prilagojena objektivni realnosti?Albert Einstein, fizik

Kako noro je bilo dvomiti, da skozi točko zunaj premice obstaja natanko ena vzporedna premica, nam pove izsek pisma, ki ga je Jánošu Bolyaiju, enemu od tvorcev hiperbolične geometrije, pisal njegov oče: Za Božjo voljo, prenehaj s tem, kajti to je kot telesna strast, ki te lahko popolnoma zasvoji, ti vzame zdravje, zdravo pamet in srečo v življenju.

Izdal in založil: Oddelek za matematiko, Fakulteta za matematiko in fiziko,Univerza v Ljubljani I Uredniški odbor: Damjan Kobal, Tomaž Košir, Sašo Strle (odgovorni urednik), Emil Žagar, Matjaž Željko, Lucijan Plevnik I Fotografija: Peter Legiša I Grafično oblikovanje: Nives Lunder, Studio Grad I Tiskarna: Pro Grafika I Naklada: 1600 izvodov I Ljubljana 2019

·

·

·

*Lester Hill (1891-1961), ameriški matematik in učitelj, znan po uporabi matematike v komunikacijah. Poleg Hillovega šifriranja (1929) je posebej znan tudi po metodah za preprečevanje napak v telegrafiji.

Naloga je kot nalašč za ljubitelje matematike (in računalništva). Razvozlajte skrivnostni zapis na naslovnici in nam pošljite rešitev na sifra@fmf.uni-lj.si .

=

Sodobnega sveta si ni mogoče predstavljati brez kodiranja in šifriranja. S ‘kodiranjem’ imamo običajno v mislih različnim tehnološkim potrebam prilagojene zapise, ki sami po sebi niso tajni. Dobro znani primeri kodiranja so EMŠO, ISBN, (trgovske)črtne kode, QR (Quick Response code) ... ‘Šifriranje’ pa je skrivanje sporočil in podatkov, ki jih lahko prebere le tisti, ki pozna ‘ključ’. V razvoju kodiranja in šifriranja matematika že tisočletja igra najpomembnejšo vlogo. Dandanes sta kodiranje in šifriranje nepogrešljivi orodji pri poslovanju na vseh področjih.Zelo staro, za sodobno matematiko enostavno, a še vedno zanimivo, je Hillovo* šifriranje:Matematiki znamo računati ne samo s števili, ampak tudi z matrikami. Produkt matrike velikosti 3x3 z matriko velikosti 3x2 je matrika velikosti 3x2. Pri tem ima dobljena matrika toliko vrstic kot prva in toliko stolpcev kot druga matrika. Elemente nove matrike dobimo z ‘zanimivim produktom vrstic s stolpci’. Če si pogledamo npr. produkt 1 1 1 4 -4 3 8 0 3 1 5 5 = 9 22 2 0 1 -6 7 2 -1

in povemo, da smo npr. element v TRETJI vrstici in PRVEM stolpcu (to je 2) dobili tako, da smo ‘zmnožili TRETJO vrstico prve in PRVI stolpec druge matrike’ in sicer na naslednji način 2 · 4 + 0 · 5 + 1 · (-6) = 2, bo skrbni bralec gotovo sam znal določiti pravila matričnega množenja.

Znake (abecedo), s katerimi bomo pisali, oštevilčimo s števili od 0 do p - 1 za neko praštevilo p, npr. p = 61:abcčdefghijklmnopqrsštuvwxyzžABCČDEFGHIJKLMNOPQRSŠTUVWXYZŽ.,-Stavek ‘Matematika-je-kul.’ bi tako lahko zapisali v mat-riko s črkami in v matriko z ustreznimi številkami, pač glede na vrstni red naše abecede:

M e t a e u 42 5 21 0 5 22 a m i - - l 0 13 9 60 60 12 t a k j k . 21 0 11 10 11 58

Če to matriko (z leve) pomnožimo npr. z našo zgornjo matriko (ključ), dobljena števila poračunamo po modulu 61 in ustreznimštevilom spet priredimo znake naše abecede, se bo naš stavek zašifriral v nerazumljivo šifro:

1 1 1 42 5 21 0 5 22 c r L i o C0 3 1 0 13 9 60 60 12 t J I g h D2 0 1 21 0 11 10 11 58 O j W j t L

ctOrJjLIWigjohtCDL

Radovednemu bralcu namignimo, da je z istim ključem in na isti način zašifrirano tudi sporočilo na naslovnici. Da bi tako šifro razšifrirali, je potrebno poznati ključ/matriko, oziroma njej (po modulu 61) inverzno matriko:

58 1 2 1 1 1 1 0 0 59 1 1 0 3 1 0 1 0 6 59 58 2 0 1 0 0 1

m a t e m a t i k a