Rýchla Fourierovazenis.dnp.fmph.uniba.sk/vtv/fft.pdf · Rýchla Fourierova transformácia 1. FYZ-230/00 Algoritmy vedeckotechnických výpo£tov Obsah Úvod do Fourierovej transformácie

FYZ-230/00 Algoritmy vedeckotechnických výpo£tov

FYZ-230/00Algoritmy vedeckotechnických výpo£tov

Rýchla Fourierova

transformácia

1


Obsah

• Úvod do Fourierovej transformácie

• Diskrétna Fourierova transformácia

• Rýchla Fourierova transformácia

2


Úvod do Fourierovej transformácie

Majme periodickú funkciu f(t) s periódou T

f(t) = f(t+ T ), ω0 =2π

T

Funkciu f(t) môºeme zapísa´ pomocou Fourierovho radu

f(t) = a0 +

∞∑k=1

ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t)

kde

a0 =1

T

∫ T0

f(t) dt

ak =2

T

∫ T0

f(t) cos(kω0t) dt = a−k

bk =2

T

∫ T0

f(t) sin(kω0t) dt = −b−k

3


Odvodenie a0

Integrova´ obidve strany Fourierovho radu∫ T0

4


Odvodenie ak

Vynásobi´ obidve strany Fourierovho radu cos(mω0t) a integrova´∫ T0

5


Odvodenie bk

Vynásobi´ obidve strany Fourierovho radu sin(mω0t) a integrova´∫ T0

6


Fourierova transformácia � príklad

Obd¨ºniková funkcia:

f(t) =

{1, ak t+ kT ∈ (0, t1)0, ak t+ kT ∈ (t1, T )

, k je celé £íslo

Zvolíme T = 1, ω0 = 2π.

a0 =1

T

∫ T0

f(t) dt =1

1

∫ t10

1 dt+1

1

∫ 1t1

0 dt = t1

ak =2

T

∫ T0

f(t) cos(kω0t) dt =2

1

∫ t10

1 cos(kω0t) dt+2

1

∫ 1t1

0 cos(kω0t) dt =

= 21

kω0[sin(kω0t)]

t10 =

2 sin(kω0t1)

kω0

bk =2

T

∫ T0

f(t) sin(kω0t) dt =2

1

∫ t10

1 sin(kω0t) dt+2

1

∫ 1t1

0 sin(kω0t) dt =

7


= −2 1kω0

[cos(kω0t)]t10 =

2− 2 cos(kω0t1)kω0

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

f(t)

t

Príklad 1 - obdĺžniková funkcia

f(x)f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)f5(x)f6(x)f7(x)f8(x)

8


Fourierova transformácia � príklad 2

Pílovitá funkcia:

f(t) =

{t+kTt1

, ak t+ kT ∈ (0, t1)0, ak t+ kT ∈ (t1, T )

, k je celé £íslo

Zvolíme T = 1, ω0 = 2π.

a0 =1

T

∫ T0

f(t) dt =1

1

∫ t10

t

t1dt+

1

1

∫ 1t1

0 dt =t12

ak =2

T

∫ T0

f(t) cos(kω0t) dt =2

1

∫ t10

t

t1cos(kω0t) dt+

2

1

∫ 1t1

0 cos(kω0t) dt =

=2

k2ω20t1[kω0t sin(kω0t) + cos(kω0t)]

t10 =

2

k2ω20t1(kω0t1 sin(kω0t1) + cos(kω0t1)− 1)

bk =2

T

∫ T0

f(t) sin(kω0t) dt =2

1

∫ t10

t

t1sin(kω0t) dt+

2

1

∫ 1t1

0 sin(kω0t) dt =

9


=2

k2ω20t1[sin(kω0t)− kω0t cos(kω0t)]t10 =

2

k2ω20t1(sin(kω0t1)− kω0t1 cos(kω0t1) + 1)

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

f(t)

t

Príklad 1 - pílovitá funkcia

f(x)f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)f5(x)f6(x)f7(x)f8(x)

10


Komplexný zápis Fourierovho radu

Pouºijeme Eulerovu identitu:

eix = cos(x) + i sin(x), e−ix = cos(x)− i sin(x)

sin(x) =eix − e−ix

2i= − sin(−x)

cos(x) =eix + e−ix

2= cos(−x)

11


Komplexný zápis Fourierovho radu

f(t) = a0 +

∞∑k=1

ak

(eikω0t + e−ikω0t

2

)+ bk

(eikω0t − e−ikω0t

2i

)

f(t) = a0 +

∞∑k=1

eikω0t(ak − ibk

2

)+ e−ikω0t

(ak + ibk

2

)alej ozna£me

C̃0 = a0

C̃k =ak − ibk

2

C̃−k =a−k − ib−k

2=ak + ibk

2

12


f(t) = C̃0 +

∞∑k=1

C̃keikω0t +

∞∑k=1

C̃−ke−ikω0t

=

∞∑k=0

C̃keikω0t +

−1∑k=−∞

C̃keikω0t

=

∞∑k=−∞

C̃keikω0t

C̃k =1

2

2

T

(∫ T0

f(t) cos(kω0t) dt− i∫ T0

f(t) sin(kω0t) dt

)

=1

T

(∫ T0

f(t) (cos(kω0t)− i sin(kω0t)) dt

)

=1

T

∫ T0

f(t)e−ikω0t dt

13


Diskrétna Fourierova transformácia

Máme len diskrétne hodnoty £asu t1 = ∆t, t2 = 2∆t, t3 = 3∆t, . . . ; tn = n∆t.

Fourierov rad h©adáme v tvare:

f(tn) =

N−1∑k=0

C̃keikω0tn

alej ozna£me

tn = n

f(n) =

N−1∑k=0

C̃keikω0n

14


Obidve strany vynásobíme e−ilω0n a presumujeme cez n

N−1∑n=0

f(n)e−ilω0n =

N−1∑n=0

N−1∑k=0

C̃k eikω0n e−ilω0n

=

N−1∑n=0

N−1∑k=0

C̃k ei(k−l)ω0n

Na pravej strane vymeníme poradie sumovania

N−1∑n=0

f(n) e−il2πN n =

N−1∑k=0

C̃k

N−1∑n=0

ei(k−l)2πN n

Ozna£me:

A =

N−1∑n=0

ei(k−l)2πN n

15


Prípad (1) k − l je celo£íselný násobok N

(k − l) = mN, k = l +mN, kde m = 0,±1,±2, . . .

A =

N−1∑n=0

eim2πn =

N−1∑n=0

=1︷︸︸︷cos(mn2π) +i

=0︷︸︸︷sin(mn2π) = N

16


Prípad (2) k − l nie je celo£íselný násobok N

A =

N−1∑n=0

ei(k−l)2πN n =

N−1∑n=0

(ei(k−l)

2πN

)nOzna£me

a = ei(k−l)2πN = cos

((k − l)2π

N

)+ i sin

((k − l)2π

N

)Dostaneme

A =

N−1∑n=0

an

Dostali sme geometrický rad

A =

N−1∑n=0

an =

N, ak a = 11− aN1− a

, ak a 6= 117


Dosadíme za a

A =1− aN

1− a=

1−=1︷︸︸︷

ei(k−l)2π

1− a= 0

18


Spolo£ný výsledok

Spo£ítame obidva prípady:A = N + 0 = N

Získali smeN−1∑n=0

f(n) e−ilω0n =

N−1∑k=0

C̃kN

Nenulový vklad sme dostali len pre k = l +mN . Pre m = 0 dostaneme

k = l

N−1∑n=0

f(n) e−ilω0n = C̃lN

19


Diskrétna Fourierova transformácia

C̃k =1

N

N−1∑n=0

f(n)e−ikω0n =1

N

N−1∑n=0

f(n)(cos(kω0n)− i sin(kω0n))

f(n) =

N−1∑k=0

C̃k eikω0n =

N−1∑k=0

C̃k(cos(kω0n) + i sin(kω0n))

20


Rýchla Fourierova transformácia pre N = 2r

Máme:

C̃n =

N−1∑k=0

f(k)e−inω0k

f(k) =1

N

N−1∑n=0

C̃n einω0k

kde ω0 = 2πN , n, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Ozna£me W = e−i2πN ,(WN = e−i2π = 1,W

N2 = e−iπ = −1

).

Získame zápis:

C̃n = C̃(n) =

N−1∑k=0

f(k)Wnk

f(k) =1

N

N−1∑n=0

C̃nW−nk

21


Príklad pre N = 4

Na získanie koe�cientov C̃(n) potrenujeme vyrie²i´ sústavu lineárnych rovníc:

1

N

1 1 1 11 W−1 W−2 W−3

1 W−2 W−4 W−6

1 W−3 W−6 W−9

C̃(0)

C̃(1)

C̃(2)

C̃(3)

=

f(0)f(1)f(2)f(3)

Inverzná matica sa dá ©ahko získa´: 1N

1 1 1 11 W−1 W−2 W−3

1 W−2 W−4 W−6

1 W−3 W−6 W−9

−1

=

1 1 1 11 W 1 W 2 W 3

1 W 2 W 4 W 6

1 W 3 W 6 W 9

22


Výpo£et C̃(n) pre N = 4

C̃(0)

C̃(1)

C̃(2)

C̃(3)

=

W (0)(0) W (0)(1) W (0)(2) W (0)(3)

W (1)(0) W (1)(1) W (1)(2) W (1)(3)

W (2)(0) W (2)(1) W (2)(2) W (2)(3)

W (3)(0) W (3)(1) W (3)(2) W (3)(3)

f(0)f(1)f(2)f(3)

C̃(0)

C̃(1)

C̃(2)

C̃(3)

=

W 0 W 0 W 0 W 0

W 0 W 1 W 2 W 3

W 0 W 2 W 4 W 6

W 0 W 3 W 6 W 9

f(0)f(1)f(2)f(3)

Výpo£tová náro£nos´: 16 (N2) komplexných násobení a 12 (N(N − 1)) komplexných s£ítaní.

23


Zjednodu²enie £lenov

Príklad N = 4, n = 2, k = 3:

Wnk = W 6 =

=1︷︸︸︷W 4 W 2 = W 2

Príklad N = 4, n = 3, k = 3:

Wnk = W 9 =

=1︷︸︸︷W 4

2W 1 = W 1

Vo v²eobecnosti:Wnk = Wnk (mod N)

C̃(0)

C̃(1)

C̃(2)

C̃(3)

=

W 0 W 0 W 0 W 0

W 0 W 1 W 2 W 3

W 0 W 2 W 0 W 2

W 0 W 3 W 2 W 1

f(0)f(1)f(2)f(3)

24


Získaná matica sa dá (po výmene riadkov) rozloºi´ na sú£in 2 matíc:C̃(0)

C̃(2)

C̃(1)

C̃(3)

=

1 W 0 0 01 W 2 0 00 0 1 W 1

0 0 1 W 3

1 0 W 0 00 1 0 W 0

1 0 W 2 00 1 0 W 2

f(0)f(1)f(2)f(3)

Ozna£me: f1(0)f1(1)f1(2)f1(3)

=

1 0 W 0 00 1 0 W 0

1 0 W 2 00 1 0 W 2

f(0)f(1)f(2)f(3)

Iný zápis:

f1(0) = f(0) +W0f(2)

f1(1) = f(1) +W0f(3)

f1(2) = f(0) +W2f(2) = f(0)−W 0f(2)

f1(3) = f(1) +W2f(3) = f(1)−W 0f(3)

25


Výpo£tová náro£nos´ 1. £asti: 2 komplexné násobenia a 4 komplexné s£ítania.

2. £as´: C̃(0)

C̃(2)

C̃(1)

C̃(3)

=

f2(0)f2(1)f2(2)f2(3)

=

1 W 0 0 01 W 2 0 00 0 1 W 1

0 0 1 W 3

f1(0)f1(1)f1(2)f1(3)

Iný zápis:

f2(0) = f1(0) +W0f1(1)

f2(1) = f1(0) +W2f1(1) = f1(0)−W 0f1(1)

f2(2) = f1(2) +W1f1(3)

f2(3) = f1(2) +W3f1(3) = f1(2)−W 1f1(3)

Výpo£tová náro£nos´ 2. £asti: 2 komplexné násobenia a 4 komplexné s£ítania.

Pomer po£tu komplexných násobení pre ve©ké N = 2r: N2

Nr2

= 2Nr .

26


Gra�cké znázornenie výpo£tu pre N = 4

W0

W0

W2

W2

W0

W2

W1

W3

f(0)

f(1)

f(2)

f(3)

f1(0)

f1(1)

f1(2)

f1(3)

f2(0)

f2(1)

f2(2)

f2(3)

• Potrebujeme vypo£íta´ 2 vektory.

• V kaºdom kroku vypo£ítame 2 prvky.

• Môºme pouºi´ jeden pamä´ový priestor pre v²etky vektory.

27


Gra�cké znázornenie výpo£tu pre N = 16

W0

W0

W0

W0

W0

W0

W0

W8

W8

W8

W8

W8

W8

W8

W0 W0

W0

W0

W0

W8

W8

W8

W8

W4

W4

W4

W12

W12

W12

W0

W8

W8

W4

W4

W12

W12

W2

W2

W10

W10

W6

W14

W8

W12

W10

W9

W13

W14

W11

W0

W4

W2

W6

W1

W5

W3

W0

W8

W4

W12

W6

W14 W7

W15

f(1)

f(2)

f(3)

f(4)

f(5)

f(6)

f(7)

f(9)

f(10)

f(11)

f(12)

f(13)

f(14)

f(15)

f1(1)

f1(2)

f1(3)

f1(4)

f1(5)

f1(6)

f1(7)

f1(9)

f1(10)

f1(11)

f1(12)

f1(13)

f1(14)

f1(15)

f(0) f1(0)

f(8) f1(8)

f2(0)

f2(1)

f2(2)

f2(3)

f2(4)

f2(5)

f2(6)

f2(7)

f2(9)

f2(10)

f2(11)

f2(13)

f2(14)

f2(15)

f3(0)

f3(1)

f3(2)

f3(3)

f3(4)

f3(5)

f3(6)

f3(7)

f3(8)

f3(9)

f3(10)

f3(11)

f3(13)

f3(15)

f4(0)

f4(1)

f4(2)

f4(3)

f4(4)

f4(5)

f4(6)

f4(7)

f4(8)

f4(9)

f4(10)

f4(11)

f4(12)

f4(13)

f2(8)

f2(12) f3(12)

f3(14) f4(14)

f4(15)

C̃(0)

C̃(6)

C̃(1)

C̃(2)

C̃(3)

C̃(4)

C̃(5)

C̃(7)

C̃(8)

C̃(9)

C̃(10)

C̃(11)

C̃(12)

C̃(13)

C̃(14)

C̃(15)

28


• Vzdialenos´ medzi nódmi: N2l

� Pre l = 1 vzdialenost k = N2l

= 1621

= 8: f1(0), f1(8)� Pre l = 2 vzdialenost k = N

2l= 16

22= 4: f2(8), f2(12)

• Výpo£et nódov:

� f2(8) = f1(8) + f1(12)W4

� f2(12) = f1(8) + f1(12)W12 = f1(8) + f1(12)

=−1︷︸︸︷W 8 W 4 = f1(8)− f1(12)W 4

• V²eobecne:

� fl(k) = fl−1(k) + fl−1(k + N

2l

)WP

� fl(k + N

2l

)= fl−1(k)− fl−1

(k + N

2l

)WP

� Výpo£et P:∗ Zapísa´ k binárne∗ Posunút o r − l bitov do prava a doplni´ nulami∗ Obráti´ poradie bitov (po£et bitov r)

� Príklad k = 8, l = 2, r = 4:∗ k = 8 = (1000)2 → (0010)2 → P = (0100)2 = 4

29


Vz´ah medzi C̃(n) a fr(k)

• Zapísa´ k v 2-kovej sústave: k = (kr−1kr−2 . . . k2k1k0)2

• Obráti´ poradie ki: n = (k0k1k2 . . . kr−2kr−1)2

Príklad pre N = 8:

k = 0 = (000)2 → n = (000)2 = 0, C̃(0) = f3(0)k = 1 = (001)2 → n = (100)2 = 4, C̃(4) = f3(1)k = 2 = (010)2 → n = (010)2 = 2, C̃(2) = f3(2)k = 3 = (011)2 → n = (110)2 = 6, C̃(6) = f3(3)k = 4 = (100)2 → n = (001)2 = 1, C̃(1) = f3(4)k = 5 = (101)2 → n = (101)2 = 5, C̃(5) = f3(5)k = 6 = (110)2 → n = (011)2 = 3, C̃(3) = f3(6)k = 7 = (111)2 → n = (111)2 = 7, C̃(7) = f3(7)

30


Rýchla Fourierova transformácia pre N 6= 2r

• Doplni´ dáta nulami, aby N = 2r.

• V prípade N = r1r2 . . . rl matica pre výpo£et C̃(n) sa dá rozloºi´ na sú£in l matíc.

31

Documents

Rýchla Fourierovazenis.dnp.fmph.uniba.sk/vtv/fft.pdf · Rýchla Fourierova transformácia 1. FYZ-230/00 Algoritmy vedeckotechnických výpo£tov Obsah Úvod do Fourierovej transformácie