Rechenbuch Kraftfahrzeugtechnik - Österreich · 2014. 11. 19. · Kraftfahrzeugtechnisches Rechnen.Die Themen Vergleichsleistung, Rollenprüfstand, Einspritzmenge und Lenkung sind

Rechenbuch

KraftfahrzeugtechnikLehr- und Übungsbuch

A 9. Auflage als Ausgabe für Österreich

Bearbeitet von Gewerbelehrern und Ingenieuren (siehe Rückseite)

Lektorat: Rolf Gscheidle, Studiendirektor, Winnenden-Stuttgart

FS FACHBUCH Verlag und Vertriebs Gesellschaft mbH, Wien

Das Unterrichtsmittel „Rechenbuch Kfz“ wurde antragsgemäß in der vorlie-genden Fassung gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGB 1.Nr. 472/86 und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für denUnterrichtsgebrauch an Berufsschulen für die Lehrberufe Kraft fahr zeug -mechaniker, Kraftfahrzeugelektriker und Landmaschinenmechaniker im Unter -richtsgegenstand Fachrechnen approbiert (APPr. Zl. 41.412/3-I /9/92).

Buch-Nr.: 0324

EUROPA-FACHBUCHREIHEfür Kraftfahrzeugtechnik

Ö-KFZ 001-004 2010_ Ö/KFZ 001-004 2008 19.11.10 08:35 Seite 1

Autoren:Fischer, Richard Studiendirektor Polling-MünchenGscheidle, Rolf Studiendirektor Winnenden-StuttgartHeider, Uwe Kfz-Elektriker-Meister,Trainer Audi AG Neckarsulm-OedheimHohmann, Berthold Studiendirektor Eversberg-MeschedeKeil, Wolfgang Oberstudiendirektor MünchenMann, Jochen Dipl.-Gwl. Oberstudienrat Schorndorf-StuttgartSchlögl, , Bernd Dipl.-Gwl. Studiendirektor Rastatt-GaggenauWimmer, Alois Oberstudienrat Remseck-StuttgartWormer, Günter Dipl.-Ingenieur KarlsruheLeitung des Arbeitskreises und Lektorat: Rolf Gscheidle, Studiendirektor, Winnenden-StuttgartBildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Ostfildern

VorwortDas Rechenbuch Kraftfahrzeugtechnik wurde in der 9. Auflage umfassend überarbeitet und durch neue In-halte ergänzt. Zielgruppen sind auszubildende Kraftfahrzeugmechatroniker/-innen, KFZ-Techniker/-innen und Meister/-innen im Kraftfahrzeugtechnik-Handwerk. Bei diesem Lehr- und Übungsbuch wurden die Erklärungen undAufgabenstellungen berufsbezogen ausgewählt und an die Erfordernisse der Technik angepasst.In allen Kapiteln wird der Stoff methodisch entwickelt und mit Beispielen, mehrfarbigen Bildern und grafischenDarstellungen veranschaulicht. Zahlreiche Übungsaufgaben geben dem Schüler/der Schülerin Gelegenheit, dasErlernte an praktischen berufsbezogenen Fällen anzuwenden und zu vertiefen.Um selbstständiges Lernen und Üben zu fördern, sind zur Kontrolle der Aufgaben nach jedem Auf gaben block dieLösungen angegeben. Das Buch ist in 5 Abschnitte gegliedert:● Allgemeines Rechnen. In diesem Kapitel sind mathematische und physikalische Begriffe, Umrechnen von Dezimal,

Dual- und Hexadezimalzahlen neu aufgenommen. ● Technisches Rechnen. Dieser Abschnitt ist durch aktuelle berufsbezogene Aufgaben ergänzt.● Kraftfahrzeugtechnisches Rechnen. Die Themen Vergleichsleistung, Rollenprüfstand, Einspritzmenge und Lenkung

sind neu bearbeitet. Ebenso ist der Bereich Elektrotechnik neu gestaltet und um die Inhalte Frequenz,Blindwiderstände, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis, RL- und RC-Sieb schal tungen, Be rech nun gen zurDiode und Transistor erweitert.

● Kostenrechnen. Das Kapitel ist komplett überarbeitet worden.● Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung. Die Aufgabensätze zu gemischten Aufgaben wurden aktualisiert und durch

neue berufsbezogene Projektaufgaben erweitert.Größengleichungen nach DIN 1313. Diese Formeln sind im erklärenden Text ocker umrahmt. Zahlenwertgleichungen nach DIN 1313 sind blau umrahmt. Einheitengleichungen sind schwarz umrahmt.Merksätze oder Rechenregeln, die besonders wichtig sind, sind mit Grünraster unterlegt.Das Buch bildet zusammen mit den weiteren Büchern der Fachbuchreihe Kraftfahrzeugtechnik eine Einheit, da alleWerke inhaltlich aufeinander abgestimmt sind.Im Sommer 2008 Die Autoren des Arbeitskreises Kraftfahrzeugtechnik

Begleitwort zur Ausgabe für Österreich

Das Rechenbuch Kraftfahrzeugtechnik ist in der Schulpraxis bewährt und liegt nun in einer in vielen Teilen überarbeite-ten, und in wichtigen Bereichen ergänzten, neuen Auflage vor. Das Buch ist auf die fachlichen und gesetzlichenGegebenheiten Österreichs abgestimmt.Die vorliegene Ausgabe für Österreich ist auf die geltenden Lehrpläne für Schulen des Bereichs Kraftfahrzeugtechnikabgestimmt und bildet eine Einheit mit den ebenfalls für Österreich approbierten Büchern der FachbuchreiheKraftfahrzeugtechnik.Steyr, im Sommer 2008 Ing. Alfred Riha

9. Auflage 2008Druck 5 4 3 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinanderunverändert sind.Umschlaggestaltung unter Verwendung eines Fotos der Fa. Volkswagen AG, WolfsburgAlle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregel-ten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.© 2008 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.deSatz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.comDruck: B.o.s.s Druck und Medien GmbH, 47574 Goch

Ö-KFZ 001-004 2010_ Ö/KFZ 001-004 2008 22.04.13 09:37 Seite 2

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1 Allgemeines Rechnen

1.1 Mathematische und physikalische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Zahlen und Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Rechnen mit Zahlengrößen . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Umrechnen von Dezimal-, Dual- undHexadezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Dreisatzrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Prozentrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Zinsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9 Rechnen mit dem Taschenrechner . . . . . . 18

1.10 Zeitberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11 Winkelberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12 Rechnen mit Buchstabengrößen . . . . . . . . 23

1.13 Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.14 Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.15 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.16 Verhältnisgleichungen, Mischungsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.17 Grafische DarstellungenSchaubilder, Diagramme . . . . . . . . . . . . . . 34

1.18 Rechnen mit Winkelfunktionen . . . . . . . . . 37

2. Technisches Rechnen

2.1 Längenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.1 Längeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.2 Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3 Längenteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.4 Rollen- und Hülsenketten . . . . . . . . . . . . . . 462.1.5 Lehrsatz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.6 Umfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.7 Gestreckte Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.8 Kegelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2 Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.1 Flächeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.2 Flächenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 Volumenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.1 Volumeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.2 Gleichdicke Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.3 Spitze Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.4 Abgestumpfte Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.5 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.6 Umdrehungskörper

(Guldinsche Regel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.7 Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . . . . . 60

2.4 Masse und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Kraft, Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.6 Darstellung von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . 652.6.1 Zusammensetzen von Kräften . . . . . . . . . . 652.6.2 Zerlegen einer Kraft in Teilkräfte . . . . . . . . 67

2.7 Fliehkraft (Zentrifugalkraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.8 Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . 702.8.1 Gleichförmige Geschwindigkeit,

Durchschnittsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . 702.8.2 Umfangsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 742.8.3 Schnittgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 752.8.4 Beschleunigung, Verzögerung . . . . . . . . . . 762.8.5 Überholen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.9 Mechanische Arbeit, Energie . . . . . . . . . . . 832.9.1 Mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.9.2 Mechanische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.10 Mechanische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.11 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.12 Drehmoment, Hebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.13 Auflagerkräfte, Achskräfte . . . . . . . . . . . . . . 94

2.14 Rollen, Flaschenzüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.15 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.16 Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.16.1 Zugfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.16.2 Druckfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.16.3 Scherfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.16.4 Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.17 Hydraulik-Pneumatik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.17.1 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.17.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.17.3 Auftrieb in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 1052.17.4 Hydraulische Kraftübertragung . . . . . . . . 1062.17.5 Strömung bei Querschnittsänderung . . . 1072.17.6 Druck und Volumen von Gasen . . . . . . . . 1082.17.7 Druck, Volumen und Temperatur

von Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.18 Wärmetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.18.1 Temperatur und Wärme . . . . . . . . . . . . . . 1102.18.2 Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.18.3 Wärmedehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.19 Riementrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.19.1 Einfache Übersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.19.2 Doppelte, mehrfache Übersetzung . . . . . 115

2.20 Zahnradtrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.20.1 Einfache Übersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.20.2 Schneckentrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.20.3 Doppelte, mehrfache Übersetzung . . . . . 1182.20.4 Zahnradabmessungen, Achsabstand . . . 120

2.21 Grenzmaße und Passungen . . . . . . . . . . . 121

3. Kraftfahrzeugtechnisches Rechnen

3.1 Berechnungen am Motor . . . . . . . . . . . . . 1233.1.1 Hubraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1.2 Verbrennungsraum, Verdichtungs-

verhältnis, Verdichtungsraum . . . . . . . . . 1243.1.3 Verdichtungsänderung . . . . . . . . . . . . . . . 1253.1.4 Hubverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Inhaltsverzeichnis

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Inhaltsverzeichnis4

3.1.5 Motorsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.1.6 Kolbengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 1303.1.7 Gasgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.1.8 Pleuelstangenverhältnis . . . . . . . . . . . . . . 1323.1.9 Gasdruck und Kolbenkraft . . . . . . . . . . . . 1333.1.10 Kräfte am Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.1.11 Motorarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.1.12 Motorleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.1.13 Motorprüfstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.1.14 Vergleichsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.1.15 Kraftstoffverbrauch,

Spezifischer Kraftstoffverbrauch . . . . . . . 1423.1.16 Effektiver Wirkungsgrad,

(Nutzwirkungsgrad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.1.17 Rollenleistungsprüfstand . . . . . . . . . . . . . 1443.1.18 Kraftstoff-Einspritzmenge . . . . . . . . . . . . . 1453.1.19 Spezifischer Schmierölverbrauch . . . . . . 1453.1.20 Schmieröldurchsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.1.21 Kenngrößen von

Verbrennungsmotoren . . . . . . . . . . . . . . . 1473.1.22 Kraftstoffverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.1.23 Luftverhältnis, Luftbedarf

Luftverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.1.24 Angesaugte Luftmenge, Liefergrad,

CO2-Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.1.25 Schmierölverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.1.26 Wärmeverbrauch und Kühlung

des Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.2 Berechnungen am Triebwerk . . . . . . . . . . 1573.2.1 Kupplung (Reibungskupplung) . . . . . . . . 1573.2.2 Wechselgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.2.3 Ausgleichsgetriebe, Ausgleichssperre . . 1663.2.4 Gesamttriebwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.2.5 Äußere Fahrwiderstände . . . . . . . . . . . . . 172

3.3 Berechnungen am Fahrwerk . . . . . . . . . . 1773.3.1 Lenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.3.2 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.4 Elektrotechnik-Kraftfahrzeugelektrik . . . . 1923.4.1 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.4.2 Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.4.3 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.4.4 Widerstand und Temperatur . . . . . . . . . . 1953.4.5 Spannungsabfall in Leitungen . . . . . . . . . 1943.4.6 Reihenschaltung von Widerständen . . . . 1953.4.7 Parallelschaltung von Widerständen . . . .1983.4.8 Gemischte Schaltungen

von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.4.9 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.4.10 Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad . . . . . . . . 2033.4.11 Umwandlung von elektrischer Energie

in Wärmeenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063.4.12 Wechselspannung und Wechselstrom . . 2073.4.13 Periodendauer, Frequenz,

Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.4.14 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.4.15 Schaltungen von Kondensatoren . . . . . . . 2103.4.16 Kapazitiver Blindwiderstand . . . . . . . . . . . 2113.4.17 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.4.18 Induktiver Scheinwiderstand . . . . . . . . . . 2133.4.19 Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.4.20 RC- und RL-Siebschaltungen . . . . . . . . . . 215

3.4.21 Dämpfung und Verstärkung . . . . . . . . . . . 2163.4.22 Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.4.23 Spannungsstabilisierung mit

Zenerdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.4.24 Transistor als Verstärker . . . . . . . . . . . . . . 2193.4.25 Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.4.26 Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2223.4.27 Starterbatterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233.4.28 Leitungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.4.29 Zündanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4 Kostenrechnen

4.1 Kosten- und Leistungsrechnung . . . . . . . 2294.1.1 Kostenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304.1.2 Lohnberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.2 Kostenrechnung in der Kfz-Werkstatt . . . 235

4.3 Kraftfahrzeugkosten, Kilometerkosten . . 240

4.4 Maschinenkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5 Prüfungsaufgaben – Projektorientiert

5.1 Gemischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 2445.1.1 Prozent-, Dreisatz-, Mischungsrechnen . . 2445.1.2 Volumen, Dichte, Masse . . . . . . . . . . . . . . 2455.1.3 Wärmetechnik, Energieverbrauch . . . . . . 2455.1.4 Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.1.5 Kraftübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.1.6 Fahrwerk – Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.1.7 Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.1.8 Kostenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.2 Projektaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266

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1 Allgemeines Rechnen 5

1 Allgemeines Rechnen1.1 Mathematische und physikalische BegriffeGrößen, Einheiten, FormelzeichenPhysikalische GrößenDies sind messbare Eigenschaften von Zuständen und Vorgän-gen. Eine physikalische Größe ist immer das Produkt aus einemZahlenwert und einer Einheit.

BasisgrößenBasisgrößen sind physikalische Grundgrößen von denen ande-re physikalische Größen abgeleitet werden.

BasiseinheitenBasiseinheiten sind internationale Einheiten im Messwesen (Si-Einheiten).

Abgeleitete Größen und deren EinheitenSie setzen sich aus Basisgrößen und Basiseinheiten zusam-men.

FormelzeichenFormelzeichen ersetzen Wörter für physikalische Größen unddienen zum Rechnen mit Formeln.

KoeffizientenDies sind Größen, die den Einfluss einer Stoffeigenschaft aufeinen physikalischen Vorgang kennzeichnen.

KonstantenKonstanten sind Zahlenwerte in der Physik oder Mathematik,die bei Berechnungen gleich bleiben.

GleichungenFormelnFormeln sind physikalische oder technische Gleichungen, die inForm von Formelzeichen angegeben werden.

GleichungenSie beschreiben die Abhängigkeit von mathematischen oderphysikalischen Größen.

EinheitengleichungenSie stellen die Beziehungen zwischen Einheiten dar.

GrößengleichungenGrößengleichungen stellen Beziehungen zwischen physikali-schen oder technischen Größen dar. Sie sind unabhängig vonder gewählten Einheit.Im vorliegenden Buch sind die Größengleichungen durch einenockerfarbenen Rahmen gekennzeichnet.

ZahlenwertgleichungenBei diesen Gleichungen sind die Zahlenwerte an die vorgegebe-nen Einheiten gebunden. Das Ergebnis erhält die gewünschteEinheit nur dann, wenn alle Zahlenwerte in den jeweils vorge-schriebenen Einheiten eingesetzt werden. Im vorliegenden Buch sind die Zahlenwertgleichungen durcheinen blauen Rahmen gekennzeichnet.

Länge, Druck, Temperatur, …§ = 5 m

Zahlenwert Einheit

Länge, Masse, Zeit, elektrischeStromstärke, Temperatur, Stoffmen-ge, Lichtstärke

F für Kraftm für Massea für Beschleunigung

c = 4,16 kJ/kg · K(spez. Wärmekapazität von Wasser)

π = 3,14159265 (Kreiszahl Pi)g = 9,81 m/s2 (Erdbeschleunigung)

F = m · a

25 – 8 = 12 + 5Drehmoment = Kraft · Hebelarm

1 m3 = 1000 dm3 = 1000000 cm3

v = �st

�

P = �M955

·0n

�

Meter, Kilogramm, Sekunde,Ampere, Kelvin, Mol, Candela

Kraft = Masse · Beschleunigung1 N = 1 kg · 1m/s2 = 1 kg · m/s2

P in kWM in Nmn in 1/min

Ö/KFZ 005-042 2008 10.07.2008 7:41 Uhr Seite 5

1 Allgemeines Rechnen6

1.2 Zahlen und Zahlensysteme ZahlenNatürliche ZahlenAlle geraden und ungeraden Zahlen.

PrimzahlenSie sind nur durch 1 oder sich selbst ohne Rest teilbare natür-liche Zahlen.

Ganze ZahlenAlle positiven oder negativen natürlichen Zahlen einschließ-lich der Null.

Irrationale ZahlenAlle nichtperiodischen Dezimalzahlen mit unendlich vielenStellen.

ZahlensystemeDezimalsystemDas Dezimalsystem oder Zehnersystem verwendet zehn Zif-fern zur Darstellung von Zahlen.

Dezimalzahlen/DezimalbrücheDezimalzahlen mit Komma können auch als Dezimalbrüchegeschrieben werden.

DualsystemBeim Dualsystem, auch Binärsystem genannt, ist die Basis 2.Es werden nur zwei Ziffern (0 und 1) zur Darstellung von Zah-len benutzt.

HexadezimalsystemBeim Hexadezimalsystem werden zur Darstellung von Zahlen16 Zeichen verwendet. Ziffern 0 … 9 und Buchstaben A … F

Vorsätze für Zehnerpotenzen

Gerade Zahlen, z.B. 2, 4, 6 ,8, 10, …Ungerade Zahlen, z.B. 1, 3, 5, 7, 9, …

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Positive ganze Zahlen, z. B. + 1, + 2, …Negative ganze Zahlen, z.B. – 1, – 2, …

Ziffern des Dezimalsystems:0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9

0,1 = 1/10; 7,05 = 705/100;18,003 = 18003/1000

Dezimal Dual1; 2; 3; … 1; 10; 11; …

Beispiel: 10 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 1010

Dezimal Hexadezimal0 … 9 0 … 910 A11 … 15 B … F

y2� = 1,4142…3y4� = 1,5874…

π = 3,1415927…

Vorsatz Vorsatz- Faktor Ausgeschriebene Zahl Beispielzeichen

Mikro µ 10–6 0,000 001 4,7 · 10–6 F = 4,7 µF

Milli m 10–3 0,001 2,8 · 10–3 bar = 2,8 mbar

Zenti c 10–2 0,01 4,8 · 10–2 m = 4,8 cm

Dezi d 10–1 0,1 1,45 · 10–1 m = 1,45 dm

Deka da 101 10 2,4 · 101 N = 2,4 daN

Hekto h 102 100 0,8 · 102 î = 0,8 hî

Kilo k 103 1000 4,4 · 103 g = 4,4 kg

Mega M 106 1 000 000 3,3 · 106 W = 3,3 MW

Aufgaben

1 Wandeln Sie nachfolgende Dezimalzahlen in Dezimalbrüche um.a) 0,25 b) 0,003 c) 4,27 d) 3,0204 e) 113,4 f) 0,876 g) 0,125 h) 0,0000115

2 Ordnen Sie den physikalischen Einheiten die Namen der jeweiligen physikalischen Größe zu.a) kW b) m c) cm3 d) A e) J f) N g) kg h) Pai) mm2 k) V l) kWh m) K n) s o) km/h p) m/s2 q) Nm

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1.3 Rechnen mit ZahlengrößenAddieren (Zusammenzählen)Die Reihenfolge der Summenden ist beliebig. Es dürfen nurGrößen mit gleicher Einheit addiert werden.

Subtrahieren (Abziehen)Die Subtrahenden werden in beliebiger Reihenfolge vom Aus-gangswert abgezogen. Es dürfen nur Größen mit gleicher Einheit subtrahiert wer-den.

Multiplizieren (Malnehmen)Die Reihenfolge der Faktoren ist beliebig. Hat in einer Multipli-kation ein Faktor den Wert 0, so ist das Produkt auch 0.

Dividieren (Teilen)Durch 0 darf nicht geteilt werden, da Divisionen durch Nullnicht definiert sind.

Gemischte Punkt- und StrichrechnungPunktrechnungen (· und :) sind vor Strichrechnungen (+ und –)durchzuführen. 1. Punktrechnung 2. Strichrechnung

KlammerrechnungDie in einer Klammer stehenden Werte werden zuerst ausge-rechnet.

Runden von ZahlenErgibt eine Rechnung nach dem Komma mehr Stellen, als esdie Genauigkeit verlangt, so wird auf eine bestimmte Stellen-zahl auf- oder abgerundet.

AbrundenIst die Ziffer nach der letzten Stelle – die noch angegeben wer-den soll – eine 0, 1, 2, 3, 4, so bleibt die noch anzugebende Stel-le unverändert.

AufrundenIst die Ziffer nach der letzten Stelle – die noch angegeben wer-den soll – eine 5, 6, 7, 8, 9, so wird die letzte noch anzugeben-de Ziffer um 1 erhöht.

Aufgaben

1 a) 15 · 2 + 7 · 3 – 12 = ? b) 0,785 · 36 + 0,785 · 16 = ? c) 127 : 25,4 + 157 : 3,14 = ?2 a) (7 + 6) · (5 – 3) = ? b) (12 – 3) · (8 + 12) = ? c) 81 · 0,85 – 25 · 0,785 = ?3 a) (6,3 + 3,7) · 3 : 5 = ? b) (26,4 – 4,6) : 0,5 – 2 · 4,4 = ? c) 169 : 13 – 8 · 0,5 = ?4 a) (27 + 3) – 3 · (2,4 + 1,6) = ? b) (6 + 2) · (6 – 2) = ? c) (6 + 2) – (6 + 2) = ?5 Wandeln Sie in Zehner-Potenzschreibweise um.

a) 532 = ? b) 0,4 = ? c) 95 = ? d) 9930000 = ? e) 0,006 = ?6 Wandeln Sie in Dezimalschreibweise um.

a) 3,2 · 107 = ? b) 6 · 10– 3 = ? c) 2,93 · 104 = ? d) 4,2 · 10– 6 = ? e) 5,62 · 103 = ?f) 7,5 ·10– 1 = ? g) 3,14 · 106 = ? h) 4,43 · 10– 9 = ? i) 9,564 · 102 = ? k) 0,5454 · 10– 3 = ?

20 – 3 – 7 – 5 = 20 – 7 – 5 – 3 = 5SubtrahendAusgangswert

13 m – 0,2 m = 12,8 m

5 + 7 = 7 + 5 = 126,83 m + 6,5 m + 1,22 m = 14,55 m

5 · 6 · 4 = 6 · 4 · 5 = 12013 · 0 = 028 · 0 · 4 = 0

12 (8 + 22) – 4 (6 + 3) = ?12 · 30 – 4 · 9 = 324

9 · 3 + 6 · 5 – 4 · 2 = ?9 · 3 = 27 + 6 · 5 = 30 – 4 · 2 = 8

27 + 30 – 8 = 49

Rechnungsbeträge werden auf zweiStellen hinter dem Komma angege-ben.

Die Zahlen 9,652 und 8,7849 sollenauf die zweite Stelle hinter dem Kom-ma gerundet werden.9,652 = 9,65; 8,7849 = 8,78

Die Zahlen 6,28 und 13,4732 sollenauf eine Stelle nach dem Kommagerundet werden.6,28 = 6,3; 13,4732 = 13,5

�803� ➝ Error

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1.4 Umrechnen von Dezimal-, Dual- und Hexadezimalzahlen

Dezimalzahlen (z10)Bei Dezimalzahlen werden in jeder Stelle die Ziffern0 bis 9 verwendet. Daraus ergibt sich die Basis (B) = 10. Alle Zahlen können deshalb als Multiplika-toren der Zehnerpotenzen geschrieben werden. DieZahl 234 setzt sich aus den folgenden Zehnerpoten-zen zusammen:

2 · 102 + 3 · 101 + 4 · 100 = 234

Dual-(Binär)zahlen (z2)Die Rechenvorgänge in der elektronischen Daten-verarbeitung (EDV) lassen nur die Verwendung derZiffern 0 für den Zustand AUS und 1 für den Zu-stand EIN zu. Deshalb werden hier die Dualzahlenverwendet.

Bei Dualzahlen werden in jeder Stelle die Ziffern 0und 1 verwendet. Somit ergibt sich die Basis (B) = 2. Bei der Darstellung einer Dualzahl werdennur die Multiplikatoren angegeben.

Umwandlung von Dezimalzahlen inDualzahlen Die Dezimalzahl wird durch die höchstmöglicheZweierpotenz dividiert. Der verbleibende Rest wirdwiederum durch die höchstmögliche Zweierpotenzdividiert, usw.

BeispielDie Dezimalzahl 14 ist in eine Dualzahl umzuwan-deln. Die rechts dargestellte Tabelle zeigt denRechenvorgang.

Umwandlung von Dualzahlen inDezimalzahlenDie Zweierpotenz der entsprechenden Stelle wirdmit dem Multiplikator 0 oder 1 multipliziert. Dieerrechneten Werte der Stellen werden danachaddiert.

BeispielDie Dualzahl 01110100 ist in eine Dezimalzahlumzuwandeln. Die rechts dargestellte Tabelle zeigtden Rechenvorgang.

Stelle 3 2 1Potenz 102 = 100 101 = 10 100 = 1Multiplikator 2 3 4234 = 2 · 102 + 3 · 101 + 4 · 100

Stelle 8 7 6 5 4 3 2 1

Potenz 27 26 25 24 23 22 21 20

= 128 = 64 32 16 8 4 2 1

Multipli-kator

1 1 1 0 1 0 1 0

234 = 1·128 1· 64 1· 32 0 ·16 1· 8 0 · 4 1· 2 0 ·1+ + + + + + +

Stelle 8 7 6 5 4 3 2 1Potenz 27 26 25 24 23 22 21 2 0

=128 =64 =32 =16 =8 =4 =2 =1Multipli-kator

0 1 1 1 0 1 0 0

z10 = 0·128 1· 64 1· 32 1 ·16 0· 8 1 · 4 0· 2 0 ·1z10 = 0 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0z10 = 116

Stelle 4 3 2 1Potenz 23 22 21 20

14 : 23 = 14 : 8 = 1 (Rest 6) 1 6 : 22 = 6 : 4 = 1 (Rest 2) 12 : 21 = 2 : 2 = 1 (Rest 0) 10 : 20 = 0 : 1 = 0 0

Ergebnis z2 = 1 1 1 0

Dezimalzahl mit dem Wert 234

Dualzahl mit dem Wert 234

Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl

Dezimalwert der Dualzahl z2 = 01110100

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Hexadezimalzahlen (z16) Sie werden wie die Dualzahlen in der EDV ange-wendet. Sie dienen dazu, die Lesbarkeit und Über-sicht der oft sehr langen Dualzahlen zu verbessern.Dabei wandeln die zur Programmierung und Dia-gnose verwendeten Softwareprogramme die Dual-zahlen für die Anzeige in Hexadezimalzahlen um.Sie werden dann auf dem Computerbildschirmoder Diagnosetester angezeigt (Bild1).Bei diesem Zahlensystem werden neben den Zif-fern 0 bis 9 zusätzlich die Buchstaben A bis F ver-wendet. Das bedeutet der Multiplikator an einerStelle kann den Wert von 0 bis 15 haben. Somit istdie Basis (B) = 16. Die Multiplikatoren werden andie entsprechende Stelle geschrieben.Im Allgemeinen werden Hexadezimalzahlen zurbesseren Unterscheidung von Dezimalzahlen mitden Buchstaben h, x, H oder hx vor oder nach derZahl gekennzeichnet.Mögliche Schreibweisen:H0EA; h0EA; x0EA; hx0EA; 0EAH, 0EAh; 0EAx;0EAhx

Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen Die Dezimalzahl wird durch die höchstmöglichePotenz der Basis B = 16 dividiert. Der verbleibendeRest wird wiederum durch die höchstmöglichePotenz der Basis B = 16 dividiert, usw. BeispielDie Dezimalzahl 51966 ist in eine Hexadezimalzahlumzuwandeln.Mögliche Schreibweisen:HCAFE; hCAFE; xCAFE; hxCAFE; CAFEH; CAFEh;CAFEx; CAFEhx

Umwandlung von Hexadezimalzahlen inDezimalzahlenDie 16er-Potenz der entsprechenden Stelle wird mitdem Multiplikator 0 bis 15 multipliziert. Die errech-neten Werte der Stellen werden danach addiert. BeispielDie Hexadezimalzahl 5AC ist in eine Dezimalzahl(z10) umzuwandeln.

Stelle 3 2 1Potenz 162 = 256 161 = 16 160 = 1234 = 0 · 256 + 14 · 16 + 10 · 1Multiplikator 0 14 = E 10 = A

16er Potenzen 163 162 161 160

51966 : 163 = 12= C (Rest 2814) C2814 : 162 = 10

= A (Rest 254) A254 : 161 = 15

= F (Rest 14) F14 : 160 = 14= E (Rest 0) EErgebnis: z16 = C A F E

Wert der Ziffern hexadezimaler Zahlen

Ziffer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E FWert 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hexadezimalzahl mit dem Wert 234

Stelle 3 2 1Potenz 162 = 256 161 = 16 160 = 1Multi-plikator 5 A = 10 C = 12z10 = 5 · 162 10 · 161 12 · 160

z10 = 1280 + 160 + 12z10 = 1452

Dezimalwert der Hexadezimalzahl 5AC

Umwandlung der Dezimalzahl z10 = 51966 in eine Hexadezimalzahl

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Umwandlung von Dualzahlen in HexadezimalzahlenDie Umwandlung wird durch die Einteilung derDualzahlen in Tetraden/Nipples wesentlich verein-facht. Bei Tetraden werden vier Stellen der Dual-zahlen von rechts beginnend zusammengesetzt.Danach wird der Wert jeder Tetrade in eine Stelleder Hexadezimalzahl umgewandelt. Das bedeutet,dass sich eine Stelle einer Hexadezimalzahl aus vierStellen einer Dualzahl zusammensetzt. BeispielDie Dualzahl 11010011 ist in eine Hexadezimalzahlumzuwandeln.

Umwandlung von Hexadezimalzahlen inDualzahlenJede Stelle der Hexadezimalzahl wird in vier Stellen(Tetraden) der Dualzahl umgewandelt und in dergleichen Reihenfolge geschrieben. BeispielDie Hexadezimalzahl CD ist in eine Dualzahl umzu-wandeln. C entspricht dem Multiplikator 12 und Ddem Multiplikator 13.

z2 = 1101 0011

1101 0011Tetrade 2 Tetrade 1

Wert: 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20

= 13 = D = 3

Ergebnis: z16 = D 3

Umwandlung der Dualzahl z2 = 11010011 in eine Hexadezimalzahl

z16 = C = 12 D = 13

12 : 23 = 1 (Rest 4) 13 : 23 = 1 (Rest 5)4 : 22 = 1 (Rest 0) 5 : 22 = 1 (Rest 1)0 : 21 = 0 1 : 21 = 0 (Rest 1)0 : 20 = 0 1 : 20 = 1 (Rest 0)

Tetrade 1100 1101

Ergebnis: z2 = 1100 1101

Umwandlung der Hexdezimalzahl z16 = CD in eine Dualzahl

Aufgaben

1 Die Dezimalzahlen sind in Dualzahlen sowie Hexadezimalzahlen umzuwandeln.a) 24 b) 48 c) 255 d) 45054

2 Die Dualzahlen sind sind in Dezimalzahlen sowie Hexadezimalzahlen umzuwandeln.a) 100 b) 1010 c) 11101 d) 11010111

3 Die Hexadezimalzahlen sind in Dezimalzahlen und Dualzahlen umzuwandeln.a) 68h b) A0h c) 96h d) FFh

4 Über ein Datenbussystem im Kraftfahrzeug wird die Information „Motordrehzahl“ übertragen. DerComputer zeigt beim Auslesen der aktuellen Motordrehzahl die Zahl 315h an. a) Wie hoch ist die aktuelle Drehzahl?b) Welche Dualzahl wird tatsächlich in Form von Bits auf dem Datenbus übertragen?

5 Sie lesen eine Botschaft, die verschiedene Schalterzustände angibt, mit Hilfe einer Diagnosesoftwarefür Datenbussysteme aus. Die Software stellt die Inhalte der Botschaft anhand von Hexadezimalzahlendar (Bild 1). Ermitteln Sie für das im Bild rot gekennzeichnete Datenbyte (8 Bit) mit Hilfe der Tabelle,welcher Schalter im Moment der Messung eingeschaltet war (Wert 1 = EIN).

Stelle 8 7 6 5 4 3 2 1

Schalter Tipp- Wischer Wischer Wischer Blinken Blinken Fern- Licht-wischen Stufe 1 Stufe 2 Intervall links rechts licht hupe

Lösungen

11000; 18; 110000; 30; 11111111; FF; 1010111111111110; AFFE / 4; 4; 10; A; 29; 1D; 215; D7 / 104; 1101000;160; 10100000; 150; 10010110; 255; 11111111 / 789; 1100010101 / Wischerintervall, Lichthupe

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1.5 BruchrechnenTeilt man ein Ganzes – dargestellt durch eine Kreisfläche – in 8gleiche Teile, so ist jedes dieser Teile ein Achtel.

Dafür schreibt man �18

� .

Der Zähler zählt die Teilstücke. Er gibt also an, wie viele Teilstückevorhanden sind.

Der Nenner benennt die Teilung des Ganzen. Er gibt also an, inwie viele Teile das Ganze zu teilen ist.

Der waagrechte (–) oder der schräge (/) Bruchstrich trennt Zählerund Nenner. Bruchstriche können auch durch das Teilungszeichen(:) ersetzt werden.

Jeder Bruch ist eine Umschreibung einer Teilung (Division) undwird als Quotient bezeichnet.

Arten von BrüchenEchter Bruch.Der Nenner ist größer als der Zähler.

Unechter Bruch.Der Zähler ist größer als der Nenner.

Gemischte Zahl.Sie besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.

Gleichnamige Brüche.Sie haben gleiche Nenner.

Ungleichnamige Brüche.Sie haben unterschiedliche Nenner.

Rechnen mit BrüchenErweitern von BrüchenErweitern eines Bruches heißt, Zähler und Nenner mit der glei-chen Zahl zu multiplizieren. Dabei ändert sich der Wert des Bru-ches nicht.

Kürzen von BrüchenKürzen eines Bruches heißt, Zähler und Nenner durch die gleicheZahl zu dividieren. Dabei ändert sich der Wert des Bruches nicht.

Bestehen Zähler oder Nenner aus einer Summe oder einer Diffe-renz, dann werden diese vor dem Kürzen berechnet.

Addieren und Subtrahieren von BrüchenBei gleichnamigen Brüchen sind die Zähler zu addieren bzw. zusubtrahieren.

Bei ungleichnamigen Brüchen ist vor dem Addieren oder Subtra-hieren der Hauptnenner zu suchen, d.h. die Brüche sind gleich-namig zu machen.

Als Hauptnenner verwendet man das kleinste gemeinsame Vielfa-che, in dem alle Nenner der zu addierenden oder zu subtrahieren-den Brüche enthalten sind.Dazu sind alle Brüche auf den Hauptnenner zu erweitern.

�34

� = �34

··22

� = �68

�

�34

� + �54

� – �14

� = �74

� = 1 �34

�

�13

� + �35

� = ? Hauptnenner: 3 ·5 = 15

�13

� = �13

··55

� = �155� ; �

35

� = �35

··33

� = �195�

�13

� + �35

� = �155� + �

195� = �

1145�

�13

� �23

� �78

�

�43

� �85

� �176�

3 �12

� 1 �25

� 6 �38

�

�14

� �24

� �34

�

�13

� �27

� �49

�

Bruch = �NZeänhnleerr

� = �18

�

�18

� = 1/8 = 1 : 8

�4688+–

193+–3116

� = �4950� =

= �4950

::4455

� = �12

�

3 2

6 7

5

4

8

1

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Multiplizieren von Brüchen

Bruch mit ganzer ZahlEin Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indemman den Zähler des Bruches mit der ganzen Zahl multipli-ziert. Der Nenner des Bruches bleibt unverändert.

Bruch mit BruchEin Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem manZähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Gemischte Zahl mit ganzer ZahlDie gemischte Zahl wird zuerst in einen unechten Bruch ver-wandelt und dann der Zähler mit der ganzen Zahl multipli-ziert.

Dividieren von Brüchen

Bruch durch ganze ZahlEin Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem manden Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert oder denZähler durch die ganze Zahl dividiert.

Bruch durch BruchEin Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man denersten Bruch mit dem Kehrwert (reziproken Wert) des zwei-ten Bruches multipliziert.

Lösung von DoppelbrüchenZählerbruch wird durch Nennerbruch dividiert (siehe „Bruchdurch Bruch“).Der Zählerbruch wird mit dem Kehrwert des Nennerbruchesmultipliziert.

DezimalbrücheDezimalbrüche sind Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000.Sie können stets auch als Dezimalzahlen geschrieben wer-den.

Verwandeln von BrüchenBruch in DezimalbruchEin Bruch wird in einen Dezimalbruch verwandelt, indemman den Zähler durch den Nenner dividiert und somit eineDezimalzahl erhält. Diese verwandelt man dann in einenDezimalbruch.

Endlicher Dezimalbruch in BruchEin endlicher Dezimalbruch wird in einen Bruch verwandelt,indem man in den Zähler alle Ziffern nach dem Kommaschreibt und in den Nenner eine 1 mit so vielen Nullen, wieder Zähler Stellen hat.

�130� · 7 = �3

1·07

� = �2110� = 2 �

110�

�35

� · �74

� = �35

··74

� = �2210� = 1 �

210�

4 �12

� · 3 = �92

� · 3 = �227� = 13 �

12

�

�89

� : 4 = �9

8· 4� = �

386� = �

29

� oder

�89

� : 4 = �89: 4� = �

29

�

�58

� : �37

� = �58

� · �73

� = �3254� = 1 �

1214�

= �47

� : �25

� = �47

� · �52

� = �2104� = �

170� = 1 �

37

��47

�

��25

�

�190� = 0,9; �

1300� = 0,03; �

10700� = 0,007

�12

� = 1 : 2 = 0,5 = �150�

Bruch Division Dezimal- Dezimal-zahl bruch

0,12 = �11020

� = �235�

0,285 = �1208050

� = �25070

�

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Aufgaben

Umwandlung in Brüche

17 0,4; 0,07; 0,25; 0,003; 4,270; 3,0204; 113,4; 0,875; 0,72; 0,125

1 a) �14

� + �34

� – �24

�

2 a) �234� + �

34

�

3 a) �16

� + �132� + �

56

�

4 a) �141� + �

35

� + �49

�

5 a) �9162� – �

4405� + 3

6 a) �865� – �

18354

�

7 a) 6 �1123� + 4 �

79

�

8 a) �34

� · �47

�

9 a) �79

� · 3 �12

�

10 a) ��23

� + �34

�� · �13

�

11 a) �45

� : �37

�

12 a) 9 �12

� : 2 �34

�

13 a)�136�

��57

�

14 a) �256� + – �

151� : �

35

� b) 0,42 : �39

� + �153� · 0,7 c) 6 �

23

� + 0,75 – 3 �38

� + 2,25 : �57

�

15 a) 7 �35

� + 7 · �35

� b) 4 �37

� : �2 · �37

�� c) �2541� : ��

34

� · �27

��

�38

�

�2

16 �34

�; �78

�; �196�; �

2205�; 2 �

12

�; �265�; 4 �

25

�; �54

�; �1257

�; �15507

�

b)2 �

34

�

��35

�

c)�49

�

��251�

d)�79

�

��23

�

e)�57

�

��63

�

f)3 �

47

�

�1 �

171�

b) �191� · �

272�

b) 2 �15

� · �43

�

b) 7 · ��42

� – �13

��b) �

45

� : 6

b) 1 �16

� : 7

c) �13

� · �78

� · �23

�

c) 4 �23

� · 3 �34

�

c) ��130� + �

14

�� · 6

c) �134� : 10

c) �3514� : 1 �

17

�

b) �38

� + �78

� + �18

� – �58

�

b) �1557

� + �2205�

b) �34

� + �47

� + �59

�

b) �78

� – �27

� – �14

�

b) �9710� + �

23150

� – �130�

b) �148� + �

1257

� – 7 �12

�

b) 5 �23

� – 2 �59

� + 3 �78

�

c) �52

� + �32

� + �12

� – �72

�

c) �1680� + �

2712�

c) �47

� + �35

� + �78

�

c) �1113� – �

14

� + �38

�

c) 6 �1117� – �

1169�

c) �12034

� – �3140� + 1 �

35

�

c) �267� + �

4133� – �

272�

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

Doppelbrüche

Gemischte Bruchrechnungsaufgaben

Umwandlung in Dezimalbrüche

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Je größer, desto kleiner


1.6 DreisatzrechnenBei Dreisatzrechnungen wird aus drei bekannten Größen eine vierte unbekannte Größe berechnet. Beimeinfachen Dreisatz besteht der Rechenweg aus drei Schritten:1. Behauptungssatz 2. Mittelsatz 3. SchlusssatzBei Dreisatzaufgaben unterscheidet man zwischen direkten (geraden) und umgekehrten Verhältnissen.

Direkter DreisatzBeispiel 1Was kosten 40 Schrauben, wenn 72 Stück 27,00 € kosten?1. 72 Schrauben kosten 27,00 €

2. 1 Schraube kostet �27

7,020 €�

3. 40 Schrauben kosten �27,00

72€ · 40� = 15,00 €

Umgekehrter DreisatzBeispiel 26 Arbeiter brauchen 180 Stunden zur Fertigstellung einer Arbeit. Wie lange brauchen 9 Arbeiter dazu?1. 6 Arbeiter brauchen 180 h2. 1 Arbeiter braucht 180 h · 6

3. 9 Arbeiter brauchen �180

9h · 6� = 120 h

Mehrfacher DreisatzBeispiel 360 Werkstücke werden von 4 Arbeitern in 5 Tagen hergestellt. Wielange brauchen 6 Arbeiter zur Herstellung von 72 Werkstücken?1. 4 Arbeiter fertigen 60 Werkstücke in 5 Tagen2. 1 Arbeiter fertigt 60 Werkstücke in 4 · 5 Tagen3. 6 Arbeiter fertigen 60 Werkstücke in 4 · 5 Tagen/64. 6 Arbeiter fertigen 1 Werkstück in 4 · 5 Tagen/6 · 60

5. 6 Arbeiter fertigen 72 Werkstücke in = 4 Tagen4 · 5 Tagen · 72��

6 · 60

Aufgaben

1 5 Reifen kosten 727,70 €. Wie viel kosten 2 Reifen?2 3,5 î Öl kosten 22,40 €. Wie viel kosten 2,8 î Öl?3 Ein Kraftfahrzeug fährt in 2 Minuten 2,3 km. Wie viel Kilometer fährt es in einer Stunde?4 Ein Motor verbraucht 2,5 î Kraftstoff in 0,3 h. Wie lange läuft der Motor mit 17,3 î Kraftstoff?5 Ein Pkw braucht 33 î Kraftstoff für 425 km. Wie viel Liter Kraftstoff werden für 260 km benötigt?6 Ein Behälter mit einem Fassungsvermögen von 12 000 î wird in 1,8 Stunden gefüllt. Wie lange dau-

ert die Füllung eines 8000-Liter-Behälters?7 38,25 Liter Benzin-Öl-Mischung enthalten 0,75 î Öl. Wie viel Öl muss bei gleichem Mischungs-

verhältnis in 25,5 î Benzin-Öl-Mischung enthalten sein?8 Für eine Steigung von 8 km Länge benötigt ein Lkw 15 Minuten. Welche Zeit wird bei einer gleichen

Steigung von 22 km Länge benötigt?9 Ein Kfz fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h von Wels nach Salzburg in

1,12 Stunden. Wie lange dauert die Fahrt bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h?10 7 Lkw fahren in 9 Stunden 378 Tonnen Kies zu einer Baustelle. Wie viel Tonnen Kies können von

5 Lkw in 12 Stunden gefahren werden?Lösungen

291,08 € / 17,92 € / 69 km / 2,08 h / 20,19 î / 1,2 h / 0,5 î / 41,25 min / 1,054 h / 360 t

Je größer, desto kleiner

Je kleiner, desto kleiner

Je größer, desto größer

Beide Zahlenangaben nehmenzu oder ab.

oder

Eine Zahlenangabe des Behaup-tungssatzes nimmt zu, währenddie andere abnimmt.

oder

Bei einem Dreisatz sind mehrereGrößen zu berechnen.

Er setzt sich ausmindestens2 Schlusssätzenzusammen.

1. Dreisatz

2. Dreisatz

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1.7 ProzentrechnenProzentrechnung (%). Sie ist eine Vergleichsrechnung.Dabei entspricht ein Ganzes 100 %.Grundwert G. Er bezieht sich immer auf das Ganze, d. h. auf100%. Der Grundwert ist meist eine Zahl mit Einheit.Prozentwert P. Er ist die mit dem Grundwert zu verglei-chende Zahl mit gleicher Einheit wie der Grundwert.Prozentsatz p. Er gibt an, wie viel Hundertstel vom Grund-wert zu nehmen sind.Promillerechnung (‰). Sie ist wie die Prozentrechnung eineVergleichsrechnung. Ein Ganzes entspricht 1000 ‰.Endwert E. Er ist der um den Prozentwert verminderteGrundwert Emin oder erhöhte Grundwert Emax.

Beispiel 1Ein Werkstück wiegt 6,4 kg, das Rohteil 7,2 kg. Wie groß istder Verschnitt in Prozent bezogen auf das Fertigteil?Gegeben: P = 7,2 kg – 6,4 kg = 0,8 kg; G = 6,4 kgGesucht: p in %

Lösung p = �100

G· P

� = �100

6%,4

·k0g,8 kg

� = 12,5%

Beispiel 2Beim Kauf eines Motorrollers wird ein Nachlass von 168,00 € gewährt. Das sind 12% des Listenpreises. Wie hoch ist der Listen-preis?Gegeben: P = 168,00 €; p = 12 %Gesucht: G in €

Lösung G = �100

p· P

� = = 1400,00 €

Beispiel 325 î Kraftstoff-Öl-Mischung enthalten 1,96% Öl. Wie vielLiter Öl sind dies?Gegeben: G = 25 î; p = 1,96 %Gesucht: P in î

Lösung P = �G10

·0p

� = �25

1î ·010,%96%� = 0,49 î

Beispiel 4Nach einer Preiserhöhung um 5 % kostet ein Reifen 115,50 €(vermehrter Wert). Wie hoch war der alte Listenpreis?Gegeben: p = 5%; Emax = 115,00 €Gesucht: G in €

Lösung G = �110000·+Em

pax� = �

10100%0%

· 1+15

5,5%0 €

� = 110,00 €

Beispiel 5Nach Abzug von 35% beträgt der Nettolohn 1625,00 € (ver-minderter Wert). Wie groß war der Bruttolohn?Gegeben: p = 35%; Emin = 1625,00 €Gesucht: G in €

Lösung G = �110000·–Em

pin� = = 2500,00€

100% · 1625,00 €��

100% – 35%

100% · 168,00 €��

12%

% Prozent

G Grundwert

P Prozentwert

p Prozentsatz

‰ Promille

Emin Endwert vermindertEmax Endwert vermehrt

Prozentsatz = 100 x Prozentwert��

Grundwert

p = �100

G· P

�

Grundwert = 100 x Prozentwert��

Prozentsatz

G = �100

p· P

�

Prozentwert =Grundwert x Prozentsatz��

100

P = �G

10

·

0

p�

Grundwert = 100 x Endwert vermehrt��

100 + Prozentsatz

G = �1

1

0

0

0

0

·

+

Em

pax�

Grundwert = 100 x Endwert vermindert��

100 – Prozentsatz

G = �1

1

0

0

0

0

·

–

Em

pin�

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Lösungen

49,5 / 14,28% / 386,12 € / 21350,00 € / 1320,00 € / 0,27kg; 0,18 kg / 103,82 € / 8,40% / 1,44 € / 15,2% / 19740,00 € / 98,00 € / 3326,13 €; 3634,74 €; 308,61 € / 16,54 € / 47432,00 € / 60%; 40%

Aufgaben

1 Berechnen Sie die fehlenden Werte:

Auf- Grundwert Prozentwert Prozentsatzgabe G P p

a 480 € 30 € ? %

b 36 min 5,5 min ? %

c 6000 m 48 m ? %

d 5,3 kg ? kg 22,5 %

e 780 km ? km 18 %

f 6,8 m ? m 7,5 %

g ? kW 46,75 kW 85 %

h ? î 455 î 13 %

2 Vergrößern Sie die Zahl 50 um 10% und ver-kleinern Sie das Ergebnis um 10%.

3 Die Fertigungszeit für ein Werkstück wird von21 Minuten auf 18 Minuten gesenkt. Wie groß ist die Zeitersparnis in Prozent?

4 Bei Barzahlung von 394,00 € erhält der Kunde2% Skonto. Welcher Betrag ist zu zahlen?

5 Ein Gebrauchtwagen wird 30% unter seinemNeupreis (30500,00 €) verkauft. Wie hoch ist der Verkaufspreis?

6 Eine Werkstatteinrichtung im Werte von 0,6 Mio. € wird versichert. Wie hoch ist die Jahresprämie in €, wenn sie2,2‰ des Wertes der Werkstatteinrichtungbeträgt?

7 Eine Stange Lötzinn von 0,45 kg besteht aus60% Zinn und 40% Blei. Wie viel kg Zinn und wie viel kg Blei enthältdie Legierung?

8 Eine Rückleuchte kostet bei einem Rabatt von22% noch 80,98 €. Wie hoch ist der Listenpreis?

9 Durch Teilzahlung erhöht sich der Preis eines gebrauchten Kfz von 12900,00 € auf 13984,00 €. Wie viel Prozent des Preises beträgt der Auf-schlag?

10 Der Preis von 1 Liter Kraftstoff wird von 1,39 €um 3,6% erhöht. Wie viel kostet 1 Liter Kraftstoff nach derPreiserhöhung?

11 Ein Werkstück wiegt 23 kg, das Rohteil 26,5 kg. Wie groß ist der Verschnitt in Prozent?

12 Der Verkaufspreis eines Kfz wird von21 000,00 € um 6% gesenkt. Wie hoch ist der neue Verkaufspreis?

13 Ein Kfz-Reifen soll mit 11,76 € Gewinn, dassind 12% des Verkaufspreises, verkauft wer-den.Wie viel kostet der Reifen?

14 Bei Barkauf eines Rollers werden 3% Skontovom Listenpreis (3429,00 €) gewährt. Bei Ra-tenzahlung sind je Monat 1% Zins vom Listen-preis zu zahlen.a) Wie groß ist der Preis bei Barzahlung?

b) Wie groß ist der Preis bei Ratenzahlung in 6 Monaten?

c) Welcher Preisunterschied besteht zwischenBar- und Ratenzahlung?

15 Ein Kfz-Techniker hat einen Brutto-Stunden-lohn von 16,00 €. Wie hoch ist sein Stundenlohn nach einerLohnerhöhung von 3,4%?

16 In einer Werkstatt sind 8 Kfz-Techniker mit je 38,5 h je Woche (5 Arbeitstage) beschäf-tigt. Die reinen Bruttolohnkosten betragen8624,00 € pro Woche. Aufgrund zusätzlicherArbeit werden zwei weitere Kfz-Techniker ein-gestellt.Wie hoch sind die durchschnittlichen Brutto-lohnkosten in einem Monat mit 22 Arbeits-tagen?

17 Zwei Behälter haben ein Fassungsvermögenvon 10 m3 bzw. 20 m3; sie enthalten 6 m3 bzw. 8 m3 Flüssigkeit.Zu wie viel Prozent ist das Fassungsvermögenjeweils ausgenutzt?

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1.8 ZinsrechnenZinsen werden üblicherweise für geliehenes oder verliehenes Geld(Kapital) berechnet.Die Höhe des Zinssatzes errechnet sich aus dem Kapital k, demZinssatz p (Zinsfuß, Prozentsatz) und der Zeitdauer t (Jahre,Monate, Tage). Der Zinssatz wird üblicherweise auf ein Jahr(p.a., per anno) bezogen. Bei Zinsrechnungen nimmt man einJahr zu 360 Tagen und einen Monat zu 30 Tagen an.

Beispiel 1Ein Kapital von 15000,00 € wird 80 Tage (d) lang zu einem Zins-satz von 8,5% verzinst. Wie hoch sind die Zinsen?Gegeben: k = 15000,00 €; p = 8,5%; t = 80dGesucht: z in €

Lösung z = �1k00

· p· 3

·6t0

� =

z = = 283,33 €

Beispiel 2Ein Kapital von 3 000,00 € bringt nach 42 Monaten Zinsen inHöhe von 336,00 €. Wie hoch ist der Zinssatz?Gegeben: k = 3000,00 €; t = 42 Monate · 30 Tage/Monat = 1260d

z = 336,00 €Gesucht: p in %

Lösung p = �100

k· 3

·6t0 · z

� =

z = = 3,2 %100% · 360 d · 336,00 €��

3000,00 € · 1260 d

15000,00 € · 8,5% · 80 d��

100% · 360 d

z Zinsen in €k Kapital in €p Zinssatz in % pro Jahrt Zeit in Jahren a

oder Tagend

t = �100

k

· 3

·

6

p

0 · z�

z = �1

k

00

· p

· 3

·

6

t

0�

z = �k

1

·

0

p

0

· t�

k = �10

p

0

·

·

t

z�; p = �

10

k

0

·

·

t

z�

k = �100

p

· 3

·

6

t

0 · z�; p = �

100

k

· 3

·

6

t

0 · z�

t = �1

k

00

· p

· z�

Für Zeitangaben in Jahren gilt:

Für Zeitangaben in Tagen gilt:

Aufgaben

1 Wie hoch sind die Zinsen für ein Kapital von 5000,00 €, das bei einem Zinssatz von 7,5% für ein3/4 Jahr angelegt wird?

2 Wie hoch sind die Zinsen für ein Kapital von 2500,00 € bei 5,5% für 3 Jahre, 5 Monate und 18 Tage?

3 800,00 € werden vom 18. 1. bis 21. 8. zu 4,5% ausgeliehen. Wie hoch ist der Zins?

4 Ein Darlehen von 500,00 € wird nach 6 Monaten mit 510,00 € zurück erstattet. Wie hoch war derZinssatz?

5 Bei einem Zinssatz von 3,5% mussten 68,00 € Zinsen für die Zeit vom 1.1. bis 15.9. gezahlt werden.Wie hoch war das Darlehen?

6 Ein Darlehen von 12000,00 € wird für 2 Jahre zu einem Zinssatz von 8,2% aufgenommen. WelcherBetrag einschließlich der Zinsen muss bei Fälligkeit zurück gezahlt werden?

7 Für ein Kapital von 14 600,00 € erhält man Zinsen in Höhe von 250,00 € bei einem Zinssatz von 6,5%ausgezahlt. Wie viele Tage war das Kapital angelegt?

8 Für ein Darlehen von 5000,00 € sind 225,00 € an Zinsen bei einem Zinssatz von 9% zu zahlen.Wie lange war die Laufzeit des Darlehens?

9 Ein Kapital von 20000,00 € wird zu einem Zinssatz von 8,8% für 3 Jahre fest angelegt, wobei diejährlichen Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden. Berechnen Sie jeweils für die einzelnen Jah-re die Zinsen und das Anwachsen des Grundkapitals.

Lösungen

281,25 € / 476,67 € / 21,40 € (214 Tage) / 4% / 2743,00 € (255 Tage) / 13 968,00 € / 95 Tage / 6 Monate / z1 = 1760,00 € + k1 = 21760,00 €; z2 = 1914,88 € + k2 = 23 674,88 €; z3 = 2083,40 € + k3 = 25 758,28 €

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1.9 Rechnen mit dem TaschenrechnerMit Hilfe von Taschenrechnern können Rechenoperationen einfach und schnell durchgeführt werden. BeiTaschenrechnern unterscheidet man Bedienfeld (= Eingabeteil) und Anzeigefeld (= Ausgabeteil). Die Aus-stattung der Taschenrechner ist sehr unterschiedlich; ihre Bedienung muss entsprechend der Bedie-nungsanleitung erfolgen.

Ein- und Ausschaltfunktion ON – OFFZifferntasten 0 – 9Punkttaste für Dezimalzeichen •Tasten für Standard- + – � �rechenoperationenErgebnistaste =Löschtasten C ACSpeichertasten M M+ M– MinSpeicherwert abrufen MRFunktionstasten % +/– x2 1/x xy yx�

[(…)] sin cos tan π …Umschalttaste SHIFT/INV/2nd aktiviert die

Zweitbelegung der TastenBetriebsarten MODE. In Verbindung mit

einer weiteren Taste kanndamit z.B. die Anzahl derKommastellen festgelegtwerden.

*)

*) 1.23456789004 = 12345.67890Exponent 04: Kommastelle 4 Stellen

nach rechts verschieben1.234567890–04 = 0.0001234567890Exponent –04: Kommastelle 4 Stellen

nach links verschieben

Beispiel Tastenfolge Ergebnis Anmerkung

Werteingabe345,76 345 76 Der Dezimalpunkt ersetzt das

Komma.0,48 48 Die Null vor dem Komma muss

nicht eingegeben werden.

Addition/Subtraktion234,57 + 3,59 – 118,16 = ? 234.57 3.59 118.16 120 Das Ergebnis wird durch Be-

tätigen der „=“-Taste ausge-geben.

Multiplizieren/Dividieren

= ? 24 600 1200 15 600 Ist ein Zähler durch mehrere2 25 156 2 Faktoren im Nenner zu teilen,

so ist bei jedem Teilen die÷ Taste zu betätigen.

KlammerrechnungDie Klammerrechnung ist zu-

�7,5

3+ 9� = ? 7.5 9 3 5.5 erst auszuführen.

= ? 6 11.4 6.2 2.8 Am Ende der Klammerrech-32 1.5 nung ist die Klammertaste so

oft zu drücken, wie Klammerngeöffnet wurden.

Prozentrechnung15% von 4500 = ? 4500 15 675 Die Prozenttaste bewirkt die 2400 + 15% von 2400 2400 15 2760 Rechenoperation 1/100.+%SHIFT�

%SHIFT�

=�

))–(–(�6 · (11,4 – (6,2 – 2,8))��

32

=�)+(

=��

=+�24 · 600 + 1200��

2 · 25 · 156

=–+

·

·

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Beispiel Tastenfolge Ergebnis Anmerkung

Kehrwertvon 0,2 0.2 5 Die Kehrwerttaste errechnet, wie

oft der betreffende Zahlenwert inEins enthalten ist.

Potenzieren

�π ·

4162

� = ? π 16 4 201.06193 x2 bewirkt das Quadrieren (x · x)der vorhergehenden Ziffernein-gabe.

34 = ? 3 4 81 Mit der Taste xy (sprich: x hoch y)kann jede Zahl mit einem beliebi-gen Faktor potenziert werden(= x · x · x ·x…).

Wurzelziehen;2025� = ? 2025 45 Die Funktionstaste ;x� bewirkt die

Rechenoperation Quadratwurzelaus dem Radikanden x.

3;125� = ? 125 5 Die Funktionstaste3;x� bewirkt die

Rechenoperation Kubikwurzel ausdem Radikanden x.

Speicherrechnung254 : 4 + (3 – 12) – 8 · 5 = ? 254 4 Die Tasten M+/M– bewirken eine

3 12 Addition/Subtraktion im Speicher8 5 Die Taste MR bewirkt Spei-

14.5 cherwertausgabe.Speicherlöschung ist durch dieEingabe von 0 oder durch Drü-cken von MC möglich.

Festwert speichern17 · 3 + 23 · 3 – 40 · 3 = ? Es kann jeder beliebige Zahlen-Festwert = 3 3 wert in den Festwertspeicher

17 MR durch Drücken der Funktions-23 MR taste Min eingegeben werden.40 MR 0 Mit der Funktionstaste MR kann

der Zahlenwert für Rechenope-rationen wieder abgerufen wer-den.

=�

–�

+�

Min

MR

M–SHIFT�

M+–M+�

3;x�

;x�

=xn

=�x2�

1/x

Aufgaben

1 Addieren und Subtrahieren

a) 17 432,5 – 28,24 + 148,3 – 198,31 b) 67,32 – 0,374 + 28,54 – 284,33c) 0,078 – 1,003 + 18,47 – 9,368 d) 381,47 + 84 391,3 – 0,793 – 5,84 e) – 2,7 – (– 9,08) + 0,016 f) – 15,98 – 12,52 – (– 17,4)

2 Multiplizieren und Dividieren

a) �2768

··517268

�

d)16,59 · 9,37 · 18,5��

17 · 8,02 · 12,1

b) �58816··4324398660··1779

�

e)73,74 · 52,913 · 11,382��

6,1 · 5,9 · 2,4

c) �63

1859,

·54·61,072,49

�

f)12,84 · 0,09 · 138,73��

19,8 · 2,07 · 17,6

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3 Klammeraufgaben

a) 4 · 5,5 + 6 · 7,5 b) 4 · (5,5 + 6) · 7,5c) (4 · 5,5 + 6) · 7,5 d) 4 · (5,5 + 6 · 7,5)e) (289 + 19) · (17 + 133) f) (344 + 276) · (908 – 738)g) (48,3 – 12,9 + 73,7 – 3,42) · (9,73 – 0,88 – 6,35 – 0,52) h) (0,87 – 3,56) · (13,41 – 0,93)i) (78,57 – 16,39) · (27,46 – 23,15) · (68,71 – 43,99) k) (695,4 – 149,5) · (537,6 – 48,2)l) (12,39 – 0,34) · (0,97 + 0,74) · (13,13 + 0,43) · (34,12 – 23,49)

4 Bruchrechnen

5 Potenzieren und Radizieren

6 Kreisumfang und Kreisfläche

7 Gemischte Aufgaben

8 Rechnen mit einer Konstanten

9 Berechnen Sie den Prozentsatz.

a) 30 von 150 b) 25 von 75 c) 80 von 120d) 68 von 750 e) 91,24 von 4 562 f) 1423,5 von 10950

10 Berechnen Sie den Prozentwert.

a) 25% von 700 b) 40% von 200 c) 16% von 560d) 87% von 105 e) 2% von 288,45 f) 13% von 86,62

11 Berechnen Sie den vermehrten bzw. den verminderten Endwert.a) 350 vermehrt um 19% b) 32 vermehrt um 47% c) 1,5 vermehrt um 82%d) 160 vermindert um 15% e) 1,1 vermindert um 31% f) 0,84 vermindert um 90%

a) �13

� · �14

� · �15

�

d) �12

� + �14

� + �18

�

g) �3 + 4 +

16 + 7�

a) ™ = �327

4+3

43�

d) Vh = �π · 8

4,152

� · 7,62

g) A = �π4

� · (2252 – 1502)

k) §2 = 79,95 · (1 + 0,0000175 · 180)

b) s’ = �9,3

75– 1� – �

9,575

– 1� c) Vh = 48,85 · (9,5 – 1)

e) d = Ö�4 ·

π44�,1�

�f) A = �

π ·42802

� – �π ·

41652

�

h) R = �44,,55

+· 2

2,,55

� i) §1 =

l) Mk = 2 · �π4

� · (202 – 132) · 18 · 0,32 · �20

4+13�

1,501725��1 + 0,0000115 · 100

a) 132

e) 43

i) y196�

n)3y343�

b) 842

f) 45,53

k) y96040�0�

o)3y16637�5�

c) 0,192

g) 1313

l) y6225,�21�

p)3y0,027�

d) 8,742

h) 0,523

m) ;5112,�25�

q)3;7414,�875�

b) �115� · 12 · �

15

� · �14

�

e) �13

� – �15

� + �17

�

h) �2 + 9 +

16 + 3� + �

14

� + �13

�

c) �17

� · �12

� · 63 · �13

� · �19

�

f) �16

� · �18

� – �15

� + 18

i) �31 +

16 – 27� – �

15

� + �13

�

a) π · 20

e) �π ·

4152

�

b) π · 5,47

f) �π ·

41,52

�

c) π · 0,98

g) �π · 1

42,82

�

d) π · 135,6

h) �π · 0

4,522

�

a) 1,234 + 18 1,234 + 31,955 1,234 – 0,734 1,234 – 18,789

b) �π4

� · 25 �π4

� · 64 �π4

� · 6,25 �π4

� · 144

c) 63 : 3,6 90 : 3,6 100 : 3,6 130 : 3,6

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1.10 ZeitberechnungenDie SI-Einheit der Zeit t ist die Sekunde (s).Als Zeitbasis für eine Sekunde wird heute die Frequenz des Caesium-Atoms (Cs 133), mit der sich dessen elektrische Feldstärke ändert, genom-men. In einer Sekunde wechselt dabei die elektrische Feldstärke des Cae-sium-Atoms 9192631770mal die Richtung.Aus praktischen Gründen hält man an der Tageslänge (1 Tag = 1 Erdrotation) als Zeitdefinition fest.

1 Tag = 1 d = 24 h�60 min/h�60 s/min = 86400 s

Für längere Zeitangaben benutzt man den Monat und das Jahr.(Monat = Mondumlauf; Jahr = Erdumlauf um die Sonne)

Beispiel 1Abfahrt 15h 29min 36s; Ankunft 18h 16min 21s; berechnen Sie die Fahrzeit.Lösung Ankunft 18h 16min 21s umwandeln in 17h 75min 81s

Abfahrt – 15h 29min 36s

Fahrzeit 2 h 46 min 45 s

Beispiel 2Rechnen Sie 0,76h in Minuten und Sekunden um.

Lösung 0,76h · 60 �m

hin� = 45,6 min; 0,6 min · 60 �

msin� = 36 s

0,76 h = 45 min 36 s

1 s = �610� min = �

36100� h

1 h = 60 min = 3600 s

1 d = 24 h

12

6

39

10

8

7 5

4

2

111

d = day (Tag)h = hour (Stunde)min = minute (Minute)s = second (Sekunde)

Aufgaben

1 Ein Pkw fährt in Linz um 13h 10min 25s ab und kommt um 16h 40min 50s in Innsbruck an. Berechnen Sie die Fahrzeit.

2 Ein Lkw kommt nach einer Fahrzeit von 3h 12min 45s um 12h 08min 05s in Wien an. Wann ist er in Klagenfurt abgefahren?

3 Rechnen Sie folgende Zeiten in Stunden, Minuten und Sekunden um:

a) 0,6h b) 0,18h c) 0,85h d) 8,55h e) 2,36h f) 13,7h

4 Rechnen Sie folgende Zeiten in Stunden um:

a) 7h 35min 24s b) 9min 54s c) 8h 32min 24sd) 24h 49min 55,2s e) 32h 16min 48s f) 31min 12s

5 Um 15h 25min wird zu einer Autofahrt gestartet. Die Fahrt dauert 1,6h. Wann ist sie beendet?

6 Bei einem Autorennen wurde von A eine durchschnittliche Rundenzeit von 10,15 min, vonB 10,45 min und von C 11,05 min gefahren. a) Welche Fahrzeit in Stunden, Minuten und Sekunden braucht jedes Fahrzeug für 12 Runden?b) Rechnen Sie die Fahrzeit in Stunden um.

7 Bei einem Rundstreckenrennen werden für 14 Runden 1h 29min 8s benötigt. Wie groß ist die durchschnittliche Rundenzeit in Minuten und Sekunden?

8 Die Drehzahl eines Motors beträgt 55201/min. a) Wie viele Umdrehungen macht die Kurbelwelle in der Sekunde? b) Berechnen Sie die Zeit in Sekunden für einen Kolbenhub.

Lösungen

3 h 30 min 25 s / 8h 55min 20s / 36 min; 10 min 48 s; 51 min; 8 h 33 min; 2 h 21 min 36 s; 13 h 42 min / 7,59 h; 0,165 h; 8,54 h; 24,832 h; 32,28 h; 0,52 h / 17h 01min / A: 2 h 1 min 48 s; B: 2 h 5 min 24 s; C: 2 h 12 min 36 s; A: 2,03 h; B: 2,09 h; B: 2,21 h / 6 min 22 s / 92 1/s; 0,0054 s/Hub

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1.11 WinkelberechnungenDie Einheit des Winkels ist der Radiant (rad). 1 rad ist gleich dem Winkel,der aus einem Kreis mit R = 1m einen Kreisbogen von 1m Länge aus-schneidet.Weitere Einheiten der Grad (°), die Minute (’) und die Sekunde (”), dane-ben der Vollwinkel.Ein Vollwinkel hat 360° = 2 · π · rad. Der 4. Teil des Vollwinkels ist einRechter Winkel, er hat 90°.Die Winkeleinheiten Grad, Minute und Sekunde sollen in technischenBerechnungen nicht gleichzeitig verwendet werden, also z.B. nicht å =33°17’27,6”, sondern besser å = 33,291°.

Umrechnungen:

Graddezimale = oder

Gesamtsekunden = Graddezimale�3600Gesamtminuten = Graddezimale�60

Als Formelzeichen werden für Winkel die Buchstaben des griechischenAlphabets benutzt, z.B. å, ∫, ©.

Beispiel 1Rechnen Sie 15’18” in Graddezimale um.

Lösung 15’ · �610’”

� = 900”; 900” + 18” = 918”; 918” · �36

10°0”� = 0,255°

Beispiel 2Geben Sie den Winkel 2,72° in Grad, Minuten und Sekunden an.

Lösung 0,72° · �610°’

� = 43,2’; 0,2’ · �610’”

� = 12”; 2,72° = 2°43’12”

Gesamtminuten��

60Gesamtsekunden��

3600

1 rad = �11

mm

((RB

aodgieuns))

�

1° = 60’ = 3600”

2 · π · rad = 360°

1 rad = �326·0π°

� = 57,2…°

90° = �π2

� rad

1° = �236

·0π

� rad

p2

1 rad

1m

1m

90°=

rad

Aufgaben

1 Addieren bzw. subtrahieren Sie die folgenden Winkel:a) 8° 19’ 15” + 7° 51’ 50” b) 85° 15’ 15” – 54° 44’ 45”

2 Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Winkel:a) (1° 19’ 32”) · 3 b) (12° 41’ 28”) · 12 c) (46° 50’ 40”) : 4

3 Rechnen Sie folgende Winkel in Grad, Minuten und Sekunden um:a) 2,28° b) 0,53° c) 4,72° d) 0,84° e) 15,3°

4 Rechnen Sie folgende Winkel in Graddezimale um:a) 26° 24’ b) 30’ 36” c) 72° 21’ d) 2° 5’ 24” e) 45° 25’ 30”

5 Ein Flachmeißel wird mit einem Freiwinkel å = 10° und einem Span-winkel © = 25° über das Werkstück geführt (Bild1). Wie groß ist der Keilwinkel ∫ des Flachmeißels?

6 Ein Flachschaber (Bild2) hat einen Keilwinkel ∫ = 90°; er wird miteinem Freiwinkel å = 20° über das Werkstück geführt. Wie groß ist der Spanwinkel ©?

Lösungen

16° 11’ 5’’; 30° 30’ 30’’ / 3° 58’ 36’’ ; 152° 17’ 36’’; 11° 42’ 40’’ / 2° 16’ 48’’ ; 0° 31’ 48’’; 4° 43’ 12’’ ; 0° 50’ 24’’;15° 18’ / 26,4°; 0,51°; 72,35°; 2,09°; 45,425° / 55° / – 20°

Bild 1

b

g

a+b+g= 90°

a

Bild 2

b

a

g

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1.12 Rechnen mit Buchstabengrößen Mathematische Regeln, Sätze und physikalische Gesetze lassensich durch Formeln und Gleichungen darstellen. Sie werden in Zah-len und Buchstaben ausgedrückt.

1.12.1 GrundrechenartenAussageformBeispielWelche Zahl muss man zu 12 addieren, um 27 zu erhalten?

12 + ? = 27

Statt des Fragezeichens kann man jeden beliebigen Buchstaben ein-setzen, z.B. a oder x. Man nennt diese Buchstaben auch Platzhalter.

12 + a = 27

Ersetzt man a durch die Zahl 15, so entsteht eine wahre Aussage(Gleichheitsaussage).

12 + 15 = 27

Addition und SubtraktionDen Umfang U eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge aerhält man durch Zusammenzählen aller Seiten a

U = a + a + a

Eine Summe aus gleichen Buchstaben kann als Produkt ge-schrieben werden. Den Rechenausdruck 3a nennt man auch Term.

a + a + a = a · 3 = 3 · a = 3a

Gleichartige Rechenausdrücke (Terme) werden addiert, indem mandie Beizahlen addiert, sie werden subtrahiert, indem man dieBeizahlen subtrahiert und den Platzhalter beibehält.

3a + 4a = (3 + 4) · a = 7a8b – 3b = (8 – 3) · b = 5b

Ungleichartige Rechenausdrücke können nicht zu einem einzigenAusdruck addiert oder subtrahiert werden.

9b + 13c + 8d27x – 13y

VertauschungsregelDie Reihenfolge der Summanden ist beliebig.

2 + 3 = 53 + 2 = 5

Summanden dürfen nach Belieben durch Klammern verbundenwerden.

(5 + 7) + 9 = 5 + (7 + 9)


v = �st

�

P = �M95

·5n0

�

d + d = 2 d– d – d = –2 d

2 d ; – 2 d sind Terme2 ; – 2 sind Beizahlen

x + 10 = 25y – 4 = 8

Gleichheitsaussagen:

2 a + a = 3 a2 ab + 3 ab = 5 ab14 a – 5 c – 8 a = 6 a – 5 c

Gleichartige Terme:

4 a – 2 bab + bc

Ungleichartige Terme:

a + b = cb + a = c

Vertauschungsregel:

(a + b) + c = a + (b + c)

Setzen von Klammern:

x, y sind Platzhalter fürbestimmte Zahlen

aa

a

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Negative ZahlenBeispielEin Thermometer zeigt tagsüber 7 °C Wärme an. In der Nacht sinkt dieTemperatur um 9 °C. Welche Temperatur zeigt das Thermometer an?

Lösung 7 °C – 9 °C = – 2 °C

Zahlen, die auf einen Nullpunkt bezogen sind, nennt man relative Zah-len. Sie reichen von + Unendlich (+ ∞) über Null bis – Unendlich (– ∞).

Auf der Zahlengeraden werden die negativen Zahlen nach links, diepositiven nach rechts aufgetragen.

Zum Rechnen setzt man die negativen Zahlen meist in eine Klammer.Bei positiven Zahlen können Vorzeichen und Klammern wegfallen.

Die Addition einer negativen Zahl ist rechnerisch eine Subtraktion.

Beispiel5 + (– 3) = 5 – 3 = 2

Die Subtraktion einer negativen Zahl ist rechnerisch eine Addition.

Beispiel( – 4) – (– 5) = (– 4) + 5 = 1

Rechnen mit Klammern Um die Reihenfolge von Rechenvorgängen festzulegen, verwendetman Klammern.

Beispiel14 + (8 – 2) = 14 + 6 = 20

Steht ein + vor einer Klammer, so nennt man die Klammer Plus-klammer.

Steht ein – vor einer Klammer, so nennt man die Klammer Minus-klammer.

KlammerregelnEine Plusklammer kann aufgelöst oder beliebig gesetzt werden. DieVorzeichen in der Klammer ändern sich dabei nicht.

Eine Minusklammer wird aufgelöst, indem man die Vorzeichen(+ und –) aller Glieder in der Klammer umkehrt. Die Klammer unddas Minuszeichen vor der Klammer entfallen.Aus Plus wird Minus, aus Minus wird Plus.

Beispielem – (a + b) = m – a – b; m – (a – b) = m – a + b

Klammern werden von Innen nach Außen aufgelöst. Im Beispiel wer-den runde in eckige und diese in geschweifte Klammern aufgelöst.Man löst zuerst die runden, dann die eckigen, dann die geschweiftenKlammern auf. Dabei sind jeweils die Klammerregeln zu beachten.

10

5

0

– 5

–10

°C

negative Zahlen positive Zahlen

0 +2 +3+1–1–2–3

+–

6a – {5a – [4a – (5c – b)]} =

= 6a – {5a – [4a – 5c + b]} =

= 6a – {5a – 4a + 5c – b} =

= 6a – 5a + 4a – 5c + b =

= 5a + b – 5c = 5 (a – c) + b

+ (+a ) = + a = a+ (–a ) = – a– (+a) = – a– (–a ) = + a

Vorzeichenregeln:

a + (b + c)

Plusklammer:

a – (b + c)

Minusklammer:

a + (b + c) = (a + b) + c == a + b + c

a – (b + c) = a – b – c

Klammerregeln:

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Aufgaben

1 Ersetzen der Platzhalter durch Zahlen

a) 14 + a = 17 b) 2 · b = 34 c) c + 18 = 76

d) 48 – x = 18 e) 81 : y = 9 f) z – 21 = 99

2 Addieren von Termen

a) x + x + x b) y + y + y + y + y c) ab + ab + ab + ab

d) e + f + e e) b + 2b + 3b f) 2m + 9m + 13

g) 3r + 5r + 17r h) 4c + c + 5c + c i) 20x2 + 60x2 + x2

k) 17uv + 24uv + 2uv l) 4xy + xy + 9xy m) 7a + 2b + a + b

n) y2 + y2 + y + y o) xyz + xyz + xyz p) vw + vw + vw + 4 + 4 + 4

3 Addieren von Brüchen

a) �12

�a + �12

�a + �12

�a b) �12

�x + �14

�x + �18

�x c) �56

�a + �13

�b + �12

�a + �16

�b + c

d) �23

�ef + ef + �16

�ef e) 3ab + �34

� ab + ab f) �34

�y + �38

�y + 2y

4 Subtrahieren von Termen

a) x – x b) 4x – x – 1 c) 17b – 9b

d) 20s – 14s – 5s e) 28ab – 16ab – 4ab f) 90x2 – 37x2 – 28x2

g) 9a – 7a – 2 h) 21b – 11b – b i) 19u – 8u – u – 7u – 3u

k) 36uv – 19uv – uv l) 5,1m – 3,4m – 1,2m m) 3,2z – 0,8z – 0,2z

5 Subtrahieren von Brüchen

a) �23

�a – �13

�a – �16

�a b) m – �12

�m – �14

�m c) 1 �12

�u – u – �14

�u

d) 4 �14

�b – 2 �13

�b – 1 e) �38

�ab – �116�ab – �

14

�ab f) �45

�v – �13

�v – �12

�v

6 Addieren und Subtrahieren von Termen mit verschiedenen Vorzeichen

a) 17a + (– 16a) b) 10m + (– 2m) – (–4m) c) 43b + (+ 7b)

d) – 5c + (– 9c) e) – 8ef – (– 2ef ) + (– ef ) f) – 14d – (– 19d )

g) 10a – 13a h) – 27b + (– 10b) + 13b i) �45

�u – �13

�v + �25

�u – �12

�v – w

k) 3x – (+ x) – (– 2y) l) 8a – (– 3a) + 2b m) 7a + (– 5b) – 2b – (– a)

n) – 16x + 7x – (+ 14b) o) 3,9y + (– 1,8y) – (– y) p) 4,1x – (– x) + (– 0,16x) – (+ 0,7x)

q) (– 1,38b) + (+ 0,55b) + (– 0,36b) + (– 0,65b) + (+ 1,38b) + (+ 0,46b)

r) (+ 38a) + (– 26a) + (–a) + (+ 26a) + (– 28a) + (+ 19a)

7 Rechnen mit Klammern

a) 2a + (a + 7) b) 3a + (7a + 5a) c) 5a + (a – 4a)

d) (16 – b) + (17 + b) e) a + b – (a – b) f) – 10 § – (18 § – 34 §)

g) x – (x – y + z) h) 56u – (46u – 27u) i) 19v – (24y – 19v)

k) 6a – 8b – (4a + 3b – 5c) l) 22c – (18c + 8d) m) 8c + 6 + (3c – 10) – (9c – 5)

n) (6x – 3y + 7z) – (– x – y + z) + (2x + 3y – 6z)

o) 56a + (648b – 291) – (948b – 55a – 291) + 700

p) 5x – [(y – 5x) + (4z + 18y) – (30x + 4z)]

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Multiplikation und DivisionDie Multiplikation ist eine verkürzte Addition.

Das Multiplikationszeichen (·) kann zwischen Faktoren, die ausBuchstaben oder aus Zahlen und Buchstaben bestehen, wegge-lassen werden.

Vertauschungsregel

Die Reihenfolge der Faktoren ist beliebig.

Sie werden am besten alphabetisch geordnet.

Beispiel 3 · 4 = 4 · 3

Terme werden multipliziert, indem man die Beizahlen miteinan-der multipliziert. Die Buchstaben werden ohne Multiplikations-zeichen dahinter geschrieben.

Beispiel 2a · 5b = 10ab

VorzeichenregelnBei der Multiplikation von positiven und negativen Zahlen gel-ten folgende Regeln:

Gleiche Vorzeichen: (+) · (+) = + (–) · (–) = +

Ungleiche Vorzeichen: (+) · (–) = – (–) · (+) = –

Dividieren heißt ausrechnen, wie oft eine Zahl in einer anderenenthalten ist. Beizahlen werden durcheinander geteilt, gleicheBuchstaben werden gekürzt.

Beispiele 45a : 15 = 3a 3ab : 3a = b

VorzeichenregelnBei der Division positiver und negativer Zahlen oder Buch-staben gelten die gleichen Regeln wie bei der Multiplikation.

Beispiele (– 4a) : (2a) = –2 (– 6a) : (– 3b) = 2 �ba

�

Rechnen mit Klammern Ein Klammerausdruck (Summe oder Differenz) wird mit einerZahl oder einem Buchstaben multipliziert, indem man jedesGlied in der Klammer mit der Zahl oder dem Buchstaben multi-pliziert und dabei die Vorzeichenregeln beachtet.

Beispiele (3a + 5b) · 4 = 12a + 20b – b (x – 1) = – bx +b

Zerlegung in FaktorenMan setzt dazu den gemeinsamen Faktor vor die Klammer, divi-diert jedes Glied durch diesen Faktor und schreibt das Ergebnisdieser Division in die Klammer.

Multiplizieren von zwei KlammernJedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zwei-ten Klammer multipliziert (Vorzeichenregeln beachten).

3 + 3 + 3 + 3 = 4 · 3 = 12

a + a + a = 3 · aa · b = ab3 · a = 3a2 · 3 = 23

Vertauschungsregel:

a · b = b · a

4a · b · 3 = 24ab

Vorzeichenregeln:

(+ a) · (+ b) = + ab(– a) · (– b) = + ab(+ a) · (– b) = – ab(– a) · (+ b) = – ab

6a : 2 = 3a 10a : 5a = 2

Vorzeichenregeln:

(+ a) : (+ a) = + 1(– a) : (– a) = + 1(+ a) : (– a) = – 1(– a) : (+ a) = – 1

Klammern:

5 · (a + b) = 5a + 5b(a + b) · c = ac + bc(10a + 5b) : 5 = 2a + b(15a + 30ab) : 3a = 5 + 10b

Zerlegung in Faktoren:

ad + bd – cd = d (a + b – c)10a + 10b = 10 (a + b)x 2 – x = x (x – 1)

(a + b) · (a – b) = a2 – ab + ab – b2 == a2 – b2

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Aufgaben

1 Multiplizierena) 4 · 3a b) 4b · 14 c) 5a · 6cd) 9e · 8f e) 2a · 4b · 6c f) 20u · 10v · 5wg) x · 3 · y · 4 · z · 5 h) 6r · 7 · 8s · 9 i) 11ab · 9cdk) 13ef · 7g · 2m l) 15xy · 30z m) 32ab · 3c · 0n) 3a · 2b · 4c · 0,3d · 0,1e · 0,02f o) u · 3v · 6w · 0,1x · 100y · 0,01z

2 Multiplizieren von Brüchen

a) �23

�a · �34

�b · �45

� b) 0,25u · �43

�v · �74

�w c) 2x · 3 �13

�y · �16

�

d) �ba

� · �dc

� · �34

� e) �45mn� · �

1254op

� f) �uv

� · �wu

� · �wx

� · �vy

�

3 Multiplizieren von positiven und negativen Zahlena) (+ 11a) · (+ 5) b) (– x) · (+ 10) c) (+ 2u) · (– 8w)d) (– 8x) · (– 8y) e) (– 9ab) · (+ 21cd ) f) (– 24a2) · (– 2b2)g) (– 3x) · (– 4y) · (– 5z) h) (+ 30af ) · (– 40gh) · (– 1) i) (+ 6p) · (+ 3q) · (– 5r)

4 Multiplizieren von Klammerna) 3 · (9x + 4) b) a (b + c) c) a (– b – c)

d) (– k) · (§ + m) e) �15

� (10x + 15y) f) �18

� (16m – 24n)

g) (4z + 9) · (1 – u) h) (– 9x) · (– 3y + 4z) i) (a + b) · (– c – d)

k) 10 · (3x + 6y – 4u + 5v) l) 0,7x · (0,3y – 1,1z + a) m) 2u · (9r – 4s + 1)

5 Ausklammern gemeinsamer Faktorena) ax + ay b) 5c + 5d c) mx + my + mzd) 12 · 7 – 12 · 3 e) 4r – 6s f) 24a + 36bg) 6p – 3q h) 6ax + 6bx i) pq – qr + sq

k) �12

� a + �32

� b l) ax – bx – cx m) 8a + 8

n) 60uv – 45uw + 15ux o) 8ax + 24bx – 12cx p) (x + y) · m + (x + y) · n

6 Dividierena) 6a : 2 b) 6a : 2a c) ab : ad) 18ab : 6b e) 12ab : 6ab f) axy : xy

g) 39m : (– 13m) h) (– 81cd) : (– 9c) i) �1x0� : �

x5

�

k) �34

� a : �45

� b l) 6r : �152� s m) (– 0,2u) : 0,05w

7 Gemischte Aufgabena) 7 · (x – 3) + 5 · (x + 5) – 6 (x – 2) b) u (v + w) – r (– s – t) + x (y – z)c) (18x + 21z) : 3 d) (121u – 154v) : 11 e) (5a + 1) : 10f) (8a2 + 6ab) : a g) (2,1ab – 1,8b2) : b h) (u2 + 2u) : u

i) 6 · (5x – 2) – (20x + 180) : 10 + 7x · (– 14) + 36ax : (– 12a) + 9 (9x + 12)

k) 2a (b – c) + b (4a + 7c) – 24abc : 6c + �34

� (16 ab – �43

� ac)

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1.13 Rechnen mit Potenzen Die Fläche eines Quadrates erhält man, indem man die Seitenlänge §mit sich selbst multipliziert.Den Ausdruck §2 (§ hoch 2 oder §-Quadrat nennt man Potenz).

Regeln für das Rechnen mit PotenzenAddition und SubtraktionPotenzen mit gleicher Basis werden addiert oder subtrahiert, indemman die Beizahlen addiert oder voneinander subtrahiert und die Sum-me oder die Differenz mit der Potenz multipliziert.

Multiplikation und DivisionPotenzen mit gleicher Basis werden multipliziert oder dividiert, indemman ihre Exponenten addiert oder subtrahiert.

PotenzierenPotenzen werden potenziert durch Multiplizieren der Exponenten.

Beispiel

(52)2 = 52·2 = 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625

Eine Potenz mit negativem Exponenten hat den gleichen Wert, wie derKehrwert der Potenz mit positivem Exponenten.

Beispiel

103 : 105 = 103 – 5 = 10–2 = = �1102�

Die Zahlenreihe der Exponenten kann über Null nach der negativenSeite erweitert werden.

10 · 10 · 10��10 · 10 · 10 · 10 · 10

7a2 + 8a2 = (7 + 8) · a2 = 15a2

10a3 – 5a3 = 5a3

22 · 23 = 22+3 = 25

(a · b)3 = a3 · b3

102 : 102 = 102–2 = 100 = 1

x5 : x3 = x5–3 = x2

��ba

��m

= �bam

m�

(a3)2 = a3 · 2 = a6

Regeln

Addieren, Subtrahieren:

Multiplizieren, Dividieren:

Potenzieren:

Negative Exponenten:

A = § · § = §2

§2 = Potenz§ = Basis2 = Exponent ö

ö

a3 : a4 = a3– 4 = a–1 = �1a

�

Aufgaben

1 Addieren und Subtrahieren von Potenzena) 52 + 32 – 42 b) 102 – 32 – 22 c) 53 + 23 – 33

d) 2 · 32 + 4 · 32 – 5 · 32 e) 12a2 – 11a2 + 6a2 f) 9xy2 + 13xy2 + 15xy2

g) 2,5 x2y – 0,75 x2y h) 4§5 – 20§5 + 64§5 i) 5m2 – 2m2 + 7m3 – 6m3

2 Multiplizieren von Potenzena) 52 · 53 · 5 b) 102 · 103 · 104 c) 23 · 26 · 20

d) a2 · a4 e) c5 · c f) a3 · a3

g) p · p2 · p3 h) xy · x i) ab · bk) a2b · ab l) ax · ay · az m)a2b · ab2 · a2b2

3 Dividieren von Potenzena) 108 : 105 b) 54 : 52 c) a4 : a2

d) a3 : a3 e) 20b4 : 2,5b2 f) 2,4x2 : 0,3xg) 5,4uv 2 : 18uv h) 39 x 4y 3 : 13x 2y 3 i) a12 : a4

4 Potenzieren von Potenzen und Klammerausdrückena) (42)2 b) (x2)2 c) (5a2)2

d) (a + b)2 e) (a – b)2 f) 8 (a + b)3

5 Umformen in Bruch oder Dezimalzahla) a3 : a4 b) 43 : 45 c) 153 : 152

d) 103 : 106 e) x 4y 3 : x 6y 5 f) 121a12b3c2 : 11a15b4c3

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1.14 Rechnen mit WurzelnWurzelziehen oder Radizieren ist ein Vorgang, bei dem die Zahlgesucht wird, die so oft als Faktor in einer gegebenen Zahl vorhan-den ist, wie es die Aufgabenstellung verlangt.

Beim Wurzelziehen oder Radizieren wird der Wurzelwert gesucht.Er ist im Radikanden so oft als Faktor enthalten wie es der Wurzel-exponent bzw. die Wurzelhochzahl angibt.

Die 2. Wurzel wird auch Quadratwurzel, die 3. Wurzel Kubikwurzelgenannt. Der Wurzelexponent für die 2. Wurzel wird meist nichtgeschrieben.

Regeln für das Rechnen mit WurzelnRadizieren von Produkten und QuotientenEin Produkt wird radiziert, indem man jeden Faktor radiziert. EinQuotient wird radiziert, indem man sowohl den Zähler als auch denNenner radiziert.

Radizieren von Potenzen und WurzelnPotenzen werden radiziert, indem man den Potenzexponentendurch den Wurzelexponenten dividiert.Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten mul-tipliziert.

;a� = a�12

�

3;a� = a�13

�

3;a2� = a�23

�

2;a2� = a�22

�

= a1 = a3

Ö� = 3·2;64� =

6;64� = 22;64�

;a · b� = ;a� · ;b�

Ö�mn

�� =

;m;��;n�

Wurzel- Radikand Wurzel-exponent wert

3;125� = 5

;25� = 5

Aufgaben

1 Radizieren von Zahlen

2 Radizieren von Produkten und Quotienten

3 Radizieren von Potenzen und Wurzeln

a) ;32 + 4�2� b) ;132 –�52� c) ;102 –�62� d) ;25 – 1�6� e) ;a2�

f)3;b3� g)

3;(–1)� h)3;– 8� i)

n

Ö�ban

n�� k)

3;a6�

l) ;25a2b�2� m) ;x2y4z6� n) ;54� o) ;324a2� p) Ö�258299ua8

2�bv

4

4

��

q) Ö� r) Ö� s) Ö� t) Ö� u) Ö�;x8�;a4�;625�;81�;16�

a) ;169� b)3;125� c) ;6,25� d)

3;0,125�

e)4;16� f)

3;15625� g)3;12500�0� h)

3;21600�0�

i) ;850� k) ;1331� l)3;1331� m)

4;0,025�6�

n)5;0,031�25� o) ;36100�00� p) ;0,36� q) ;0,000�144�

a) ;81 · 3�24� b) ;49 · 1�96 · 2�500� c) ;625 ·�9� d) ;289 ·�529�

e) ;16 · 1�04� f) ;1,96 ·� 108� g) Ö�1208

190�

� h) Ö�361

25·6

�144��

i) Ö�1607

46

··1

�00,0214

�� k) ;9a� l)

3;x3 y3� m) ;81xy�

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1.15 GleichungenGleichungen haben eine linke und eine rechte Seite. Beide Seiten sindgleich groß und werden durch ein Gleichheitszeichen verbunden. Sielassen sich mit einer Balkenwaage vergleichen. Siehe Bild rechts: 2 kg + 3 kg = 5 kg

Eine Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man in beide Waag-schalen gleich große Massen dazulegt oder aus beiden Waag-schalen gleich große Massen wegnimmt. Sie bleibt auch im Gleich-gewicht, wenn man den Inhalt beider Waagschalen vertauscht.

Lösungsverfahren bei GleichungenUm eine Gleichung mit einer Unbekannten, z.B. x, zu lösen, wird sieso umgeformt, dass die Unbekannte x auf einer Seite allein steht.

Vertauschen der SeitenEine Gleichung bleibt erhalten, wenn man die beiden Seiten ver-tauscht.

Umformen durch Addieren und SubtrahierenEine Gleichung bleibt erhalten, wenn man auf beiden Seiten gleicheZahlen oder Größen addiert oder subtrahiert.

Wird eine Zahl oder Größe von einer Seite der Gleichung auf dieandere gebracht (Seitentausch), so ändert sich dabei das Vorzeichen:

Umformen durch Multiplizieren und DividierenEine Gleichung bleibt erhalten, wenn man beide Seiten mit der glei-chen Zahl oder Größe multipliziert oder durch die gleiche Zahl oderGröße dividiert.

Eine Zahl oder Größe die auf der einen Seite als Faktor im Zählersteht, kommt beim Seitentausch auf die andere Seite als Faktor inden Nenner.

Eine Zahl oder Größe die als Faktor im Nenner steht, kommt beimSeitentausch auf die andere Seite als Faktor in den Zähler.

Summen oder Differenzen über oder unter dem Bruchstrich müssenbeim Umformen wie Klammerausdrücke behandelt werden.

Mehrfach auftretende UnbekannteTritt die Unbekannte auf beiden Seiten der Gleichung auf, so werdendie Glieder mit der Unbekannten auf die linke Seite, die anderen Glie-der auf die rechte Seite gebracht. Alle gleichartigen Glieder werdendabei vor dem Seitenwechsel zusammengefasst.

Aus : wird ·Aus · wird :

Aus – wird +Aus + wird –

x + 8 = 15

x + 8 �– 8 = 15 �– 8

x = 7

x�+ 8 = 15

x = 15 �– 8

x = 7

2 kg 3 kg5 kg

15 = x + 8x + 8 = 15

x + 5 = 15x = 15 – 5x = 10

Vc = �™V–h

1� Vh = Vc · (™ – 1)

3x – 6 = x + 10 – 23x – 6 = x + 83x – x = 8 + 6

2x = 14x = 7

3x = 36

��33x� =

��336�

x = 12

�6 · x = 24

x = ��264�

x = 4

��1x2� = 5

x = 5 · �12x = 60

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Rechenbuch Kraftfahrzeugtechnik - Österreich · 2014. 11. 19. · Kraftfahrzeugtechnisches Rechnen.Die Themen Vergleichsleistung, Rollenprüfstand, Einspritzmenge und Lenkung sind