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Experimento
Ministério da Ciência e Tecnologia
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Guia do professor
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
Geometria e medidas
Polígonos regulares e ladrilhos
Objetivos da unidadeManipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;1. Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação 2. de polígonos cubra o plano.
Guia do professor
SinopseEste experimento busca apresentar aos alunos o problema do ladri lhamento no plano, fazendo com que tentem montar os seus próprios preenchimentos, utilizando, particularmente, alguns polígonos regulares.
ConteúdosGeometria Plana: Simetrias.
Objetivos da unidadeManipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;1. Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação de polígonos 2. cubra o plano.
DuraçãoUma aula dupla.
Polígonos regulares e ladrilhos
Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 2 / 7
Introdução
A atividade proposta aos alunos é, antes de tudo, uma atividade de exploração, na qual eles desenvolverão uma série de ladrilhamentos do plano por polígonos regulares e com algumas condições estabelecidas em cada etapa. O trabalho deve sensibilizar os alunos com a questão bem mais complexa que é encontrar condições necessárias (e sufi cientes) para a existência de ladrilhamentos do plano, utilizando um ou mais tipos de polígonos. Veremos de modo detalhado o motivo por que é impossível construir ladrilhamento regular com 4 ou mais tipos de polígonos, e, para o caso de 1, 2 ou 3 polígonos, mostraremos todas as possibilidades de ladrilhos envolvidos.
Motivação
Este experimento lida com conceitos elementares de Geometria, polígonos regulares, ângulos e lados, e abre portas para investigações bastante sofi sticadas como as que apresentamos neste GUia. Além disso, é possível explorar o forte apelo visual que o trabalho com ladrilhos possibilita.
O experimento
Comentários iniciais
A sistematização desta discussão deve começar determinando os ângulos internos de um polígono regular.
Determinação dos ângulos internos de um polígono regularDado um polígono regular de n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)
n lados, podemos dividilo em n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)
n triângulos
conforme a fi gura abaixo. Como a soma dos ângulos internos de cada um dos triângulos é n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)
n, ao multiplicar o número de triângulos por n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)
n,
teremos a soma dos ângulos internos de todos eles juntos (n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)n
).
Conforme ilustrado na fi gura acima, se subtrairmos a circunferência que está indicada no centro do polígono, teremos a soma dos seus ângulos internos (n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)
n).
Como o polígono é regular (seus ângulos internos têm a mesma medida), ao dividir a soma dos seus ângulos internos pelo número de ângulos, teremos a medida de cada um deles. Logo, a expressão que nos fornece o ângulo interno de um polígono regular de n lados é: n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)
n.
Portanto, os ângulos internos de cada uma das fi guras em anexo são:Triângulo: 60°; �
Quadrado: 90°; �
Pentágono: 108°; �
Hexágono: 120°; �
Octógono: 135°. �
�
�
�
��
�
�
�
n
fig. 1
Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 3 / 7
Nos casos restantes, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108 ou n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, temos que os ângulos internos dos polígonos são divisores de 360:
6× 60 = 360 4× 90 = 360 3× 120 = 360
6× 60 = 360 4× 90 = 360 3× 120 = 360
6× 60 = 360 4× 90 = 360 3× 120 = 360
de modo que não há qualquer tipo de obstrução à construção de ladrilhamentos com estes polígonos. De fato, é possível ladrilhar o plano com triângulos, quadriláteros ou hexágonos regulares.
Etapa 1 As primeiras questões
Conforme observado nos Comentários iniciais, o ângulo interno de um polígono regular de n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)
n lados mede an = (180·n−360)
n.
Ao construir um ladrilhamento, a soma dos ângulos do polígono ao redor de cada vértice deve ser 360°. Usaremos essa observação crucial para abordar diversas questões.
Tentaremos agora responder às questões apresentadas no eXPeri mento.
Questão 1Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando apenas um tipo de ladrilho?Se considerarmos apenas um tipo de polígono, a ObserVaÇÃo 1 implica que algum múltiplo inteiro do ângulo interno deste polígono deve ser 360°. Observe que, para n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an), a medida n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an) do ângulo interno do polígono satisfaz as desigualdades n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an). A primeira dessas desigualdades (n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an)) implica
360 = 3× 120 < 3an an < 180 2an < 2× 180 = 360,
de modo que não é possível ter três cópias do polígono em questão partilhando um vértice. Entretanto, a segunda desigualdade (360 = 3× 120 < 3an an < 180 2an < 2× 180 = 360 ) implica que
360 = 3× 120 < 3an an < 180 2an < 2× 180 = 360,
de modo que duas cópias são insufi cientes para recobrir o plano. Restam, então, os casos em que n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108 ou n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108. Para n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, temos
n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108; mas 108 não é divisor de 360, de modo que tampouco com pentágonos regulares é possível ladrilhar o plano.
Observação 1
Ladrilhamento com triângulos equiláteros
Ladrilhamento com hexágonos regulares
Ladrilhamento com quadradosfig. 2
Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 4 / 7
Vamos agora considerar em separado os casos em que m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108 ou n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108.
Se m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5, temos um hexágono regular com ângulo interno igual a 120°. Se tivermos duas cópias deste polígono, a soma dos seus ângulos será 240° e os 120° restantes são insuficientes para acomodar um polígono com m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 lados. Logo, não podemos ter m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 (lembramos que estamos assumindo m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5). Raciocínio similar mostra que tampouco podemos ter
m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 ou m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5. Assumimos agora que m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5. Neste caso, temos um triângulo com ângulo interno de 60°. Sendo assim, devemos ter m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 e sobram 4 casos para analisar. Lembrando que a soma dos ângulos dos polígonos que partilham um vértice deve ser 360° e considerando que um polígono com mais de 6 lados tem ângulo interno maior que 120°, podemos concluir que
p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2 � e p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2 � e p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2
p = 2 ⇒ n = 6 e q = 2 p = 1 � e p = 2 ⇒ n = 6 e q = 2 p = 1p = 2 ⇒ n = 6 e q = 2 p = 1 � não pode ocorrer
Podemos resumir o resultado no quadro abaixo:
Um ladrilhamento celular regular com 2 polígonos regulares distintos é necessariamente de um dos seguintes tipos:4 triângulos e 1 hexágono;1. 3 triângulos e 2 quadrados;2. 2 triângulos e 2 hexágonos.3.
Questão 3Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente três tipos de ladrilho?Sejam l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn o número de lados dos polígonos envolvidos, de que assumimos que l m n l < m < n al am an pl pm pn, e sejam l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn as medidas dos ângulos internos de um polígono com l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn lados respectivamente. Se tivermos
Questão 2Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente dois tipos de ladrilho?Vamos considerar ladrilhos formados por polígonos regulares com n m 180
(n−2)
n
180
(m−2)
m
p e n m 180
(n−2)
n
180
(m−2)
m
p
lados. Conforme observamos anteriormente, esses ladrilhos têm ângulos internos iguais a
n m 180
(n−2)n
180
(m−2)
m
p e n m 180
(n−2)
n
180
(m−2)
m
p
respectivamente. Se considerarmos em um vértice n m 180
(n−2)n
180
(m−2)
m
p cópias do primeiro e
(n−2)n
p+
(m−2)
m
q >
(m−2)
m
p+
(m−2)
m
q =
(m−2)
m
(p+ q) cópias do segundo, a soma dos ângulos internos destes triângulos deve
satisfazer a equação
180
(n−2)n
p+ 180
(m−2)
m
q = 360 ,
que é equivalente à equação
(n−2)n
p+
(m−2)
m
q = 2 3 ≤ m < n.
Podemos assumir que
(n−2)n
p+
(m−2)
m
q = 2 3 ≤ m < n, donde decorre que
(n−2)
n
p+
(m−2)
m
q >
(m−2)
m
p+
(m−2)
m
q =
(m−2)
m
(p+ q)
(n−2)
n
p+
(m−2)
m
q >
(m−2)
m
p+
(m−2)
m
q =
(m−2)
m
(p+ q).
Concluimos com isso que
(m−2)m
(p+ q) < 2 m > 6
(m−2)
m
≥
(6−2)
6
=
�23
.
Observe que, se
(m−2)m
(p+ q) < 2 m > 6
(m−2)
m
≥
(6−2)
6
=
�23
, então
(m−2)
m
(p+ q) < 2 m > 6
(m−2)
m
≥
(6−2)
6
=
�23
,
de modo que devemos ter �23
(p+ q) < 2 p+ q m > 6 m = 3, 4, 5 ou 6.
Como o número �23
(p+ q) < 2 p+ q m > 6 m = 3, 4, 5 ou 6 de polígonos que se encontram em cada vértice
é ao menos 3, temos um absurdo, de modo que concluímos que não podemos ter
�23
(p+ q) < 2 p+ q m > 6 m = 3, 4, 5 ou 6.
Conclusão
Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 5 / 7
Etapa 2 As últimas questões
Questão 4Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando quatro ou mais tipos de ladrilho?Neste caso devemos ter 4 polígonos regulares com número distinto de lados, digamos k < l < m < n ak al am an k l m n. Denotando por k < l < m < n ak al am an k l m n, k < l < m < n ak al am an k l m n, k < l < m < n ak al am an k l m n e k < l < m < n ak al am an k l m n as medidas dos ângulos internos de um polígono com k < l < m < n ak al am an k l m n, l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn lados respectiva mente, temos que a soma dos ângulos desses polígonos é dada por
ak+al+am+an ≥ a3+a4+a5+a6 = 60+90+108+120 > 360ak+al+am+an ≥ a3+a4+a5+a6 = 60+90+108+120 > 360
Com isso, podemos concluir o seguinte:
Não existe ladrilhamento celular regular com 4 ou mais tipos de polígonos.
Fechamento
Além do fechamento proposto no próprio experimento, se desejar, aprofunde as conclusões obtidas pelos alunos expondo as demonstrações realizadas anteriormente.
l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn cópias destes polígonos partilhando um vértice, a soma dos ângulos internos destes polígonos neste vértice será plal+pmam+pnan 4 ≤ 1 plal+pmam+pnan ≥ pla4+pma5+pna6. Se assumirmos plal+pmam+pnan 4 ≤ 1 plal+pmam+pnan ≥ pla4+pma5+pna6l m n l < m < n al am an pl pm pn, te remos que
plal+pmam+pnan 4 ≤ 1 plal+pmam+pnan ≥ pla4+pma5+pna6
≥ pl90 + pm108 + pn120 ≥ 90 + 108 + 120 = 306
≥ pl90 + pm108 + pn120 ≥ 90 + 108 + 120 = 306
≥ pl90 + pm108 + pn120 ≥ 90 + 108 + 120 = 306
Logo, não podemos ter apenas um polígono de cada tipo, mas tampouco podemos ter mais de um. Neste caso teríamos
plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + an
≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6
≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6
Segue então que devemos ter ≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6, ou seja, ao menos um dos polígonos utilizados deve ser um triângulo equilátero. Assim, a soma dos vértices dos outros polígonos deve ser 300°. Analisando caso a caso e considerando que devemos ter ≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6 é fácil concluir que a única solução possível é ≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6,
m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 e l = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1, com plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + anl = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1, plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + anl = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1 e plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + anl = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1.
Todo ladrilhamento celular regular com 3 tipos de polígonos tem, em cada vértice 1 triângulo, 2 quadrados e 1 hexágono.
Conclusão
Conclusão
Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 6 / 7
Bibliografia
Barbosa, Rui Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Editora Atual, 1993.
Imenes, Luiz Márcio; Lellis, Marcelo. Geometria dos Mosaicos. São Paulo: Editora Scipione, 2002.
http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/matemateca/exposicao/ladrilhos/ladrilhos (acessado em 15 de agosto de 2009).
Variações
A questão do ladrilhamento do plano possui muitos desdobramentos matemáticos interessantes e alguns deles podem ser explorados de maneira lúdica ou formal. Uma possibilidade que surge naturalmente a partir da proposta deste experimento é explorar ladrilhamentos com polígonos não regulares. Um exemplo bastante rico e interessante são os ladrilhos de Penrose (vide referência 3), que possuem características bastante peculiares que podem ser exploradas em diversos níveis de profundidade.
Ficha técnica
Ministério da Ciência e Tecnologia
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
AutorMarcelo Firer
RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo
Projeto gráfico Preface Design IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira
FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto