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Quimiometría
RECONOCIMIENTO DE PAUTAS
ANÁLISIS DISCRIMINANTE
(Discriminant analysis)
Quimiometría
Reconocimiento de pautas supervisado
si se cuenta con objetos cuya pertenencia a un grupo es conocida
métodos:
análisis de discriminantes
máquina de aprendizaje lineal (linear learning machine)
vecino más próximo (k-nearest neighbor)
SIMCA (soft independent modeling of class analogies)
redes neuronales artificiales
Quimiometría
Máquina de aprendizaje lineal (LLM)
la primera aplicación en química analítica del reconocimiento de pautas supervisado en 1969
se empleó para clasificar un espectro de masas con respecto a las clases de ciertas masas moleculares
la base de la clasificación con la LLM es una función discriminante que divide el espacio n-dimensional en regiones que pueden emplearse para predecir la pertenencia de una muestra de prueba
Quimiometría
Máquina de aprendizaje lineal (LLM)
si se mide una variable, los datos se pueden representar en un espacio 1-dimensional
decisión: ¿cuál es el valor de corte entre los dos grupos?el límite se encuentra por iteración
Quimiometría
Reconocimiento de pautas supervisado
modelado de clase disjunta (hard modeling): se intenta encontrar un límite entre dos o más clases
un objeto pertenece a una clase discretase construye un modelo separado para cada clase
modelado suave (soft modeling): dos clases pueden supersonerse
un objeto puede pertenecer a dos clases
Quimiometría
Análisis discriminante
es un técnica de reconocimiento de pautas supervisado
se debe contar con objetos de entrenamiento o aprendizaje
objetivo:encontrar una regla de decisión que asigne un objeto nuevo, cuya pertenencia a un grupo se desconoce, a uno de los grupos prefijados (con un cierto grado de riesgo)
Quimiometría
Análisis discriminante
restricciones:
son necesarios al menos dos grupos y para cada grupo dos o más casos
el número de variables discriminantes debe ser menor que el número de objetos menos 2:
x1, ... ,xp
p < (n − 2) n es el número de objetos
Quimiometría
Análisis discriminante
restricciones:
el número máximo de funciones discriminantes es igual al mínimo entre el número de variables y el número de grupos menos 1
g grupos(g − 1) funciones discriminantes
ninguna variable discriminante puede ser combinación lineal de otras variables discriminantes
Quimiometría
Función discriminante lineal
suposiciones:
las variables continuas deben seguir una distribución normal multivariante
existen diferentes clases de centroides
las varianzas y covarianzas son similares dentro de un grupo
Quimiometría
Análisis discriminante
el límite entre grupos se toma a partir de una función discriminante lineal
el límite (hiperplano) se calcula de tal manera que:
la varianza entre clases es máxima
la varianza dentro de las clases individuales es mínima
Quimiometría
Análisis discriminante
a partir de:
g grupos
una serie de objetos y de p variables medidas sobre ellos
(x1, … , xp)
se trata de obtener para cada objeto una serie de puntuaciones
que indican el grupo al que pertenecen (y1, ... , yp) de modo
que sean funciones lineales de x1, …, xp
Quimiometría
Análisis discriminante
Situación más sencilla: 2 clases y 2 variables:
FDL Y = 0,91X1+ 0,42X2
no hay solapamiento en las distribuciones para los dos gruposY es mejor para discriminar entre los grupos
solapamiento en las distribuciones para los dos grupos
Quimiometría
Análisis discriminante
para generalizar:
se tiene una matriz X con:
n objetos
p variables
g grupos
x11 x12⋯x1p
x21 x22⋯x2p
x31 x32⋯x3p
x41 x42⋯x4p
⋮x j1 x j2⋯x jp
xn1 xn2⋯xnp
g1
g2
gnj
Quimiometría
Análisis discriminante
se obtienen los autovectores (a) de la matriz (G-1 H) asociados a los autovalores elegidos en orden decreciente:
G-1 H a = λ a
λ = autovalor
G = (n - g) C
C: matriz de covarianza
H: matriz de la dispersión de las medias del grupo (xj) con respecto al promedio (x)
Quimiometría
Función discriminante lineal
a partir del autovector a1 se obtiene la primera FDL (s1)
s1 = a11x1 + a12 x2 + … + a1p xp
con el residual del dato x se calcula la segunda FDL
s2 = a21x1 + a22 x2 + … + a2p xp
se continúa hasta encontrar todas las FDL necesarias
Quimiometría
Análisis discriminante
matriz de confusión:
contiene el número de objetos correctamente clasificados
en cada clase en la diagonal principal
no detecta si un objeto pertenece a más de una clase
asigna pertenencia a un grupo a los objetos atípicos que no
pertenecen a ninguno de los grupos (outliers)
Quimiometría
Análisis discriminante
matriz de correlaciones por grupo (pooled within-groups
correlation matrix):
se calcula como una matriz media de correlaciones
calculadas por separado en cada grupo
a menudo no se parece a la matriz de correlaciones total
Quimiometría
Análisis discriminante
toma de decisiones cuando hay más de dos grupos de objetos:
se supone una distribución normal multivariante
se encuentra una nueva FDL para cada grupo que incluye
un término constante
a partir de estas FDL se calula una puntuación (score) para
cada objeto nuevo (x)
x se asigna al grupo cuya puntuación sea más alta
Quimiometría
Otros métodos de clasificación
análisis discriminante cuadrático: supone que los dos grupos tienen distribuciones normales pero varianzas diferentes
clasificación bayesiana: la pertenencia a un grupo tiene una probabilidad predefinida y se debe calcular la función de densidad de probabilidad
validación cruzada: método de dejar uno fuera (leave-one-out method) empleada en el Minitab para validar el análisis discriminante
Quimiometría
Análisis discriminante
Un ejemplo
al investigar un crimen se recogió cabello humano
para intentar resolver el crimen se tomaron muestras de cabello de tres sospechosos
además de análisis morfológicos, se realizó un análisis elemental
Quimiometría
Cabello Cu (ppm) Mn (ppm) Cl (ppm) Br (ppm) I (ppm)
1 9,2 0,30 1730 12,0 3,6
2 12,4 0,39 930 50,0 2,3
3 7,2 0,32 2750 65,3 3,4
4 10,2 0,36 1500 3,4 5,3
5 10,1 0,50 1040 39,2 1,9
6 6,5 0,20 2490 90,0 4,6
7 5,6 0,29 2940 88,0 5,6
8 11,8 0,42 867 43,1 1,5
9 8,5 0,25 1620 5,2 6,2
Análisis discriminante
Quimiometría
Análisis discrimixante
Se encontraron tres grupos por PCA
Grupo A: 2, 8 y 5
Grupo B: 1, 4 y 9
Grupo C: 3, 6 y 7
Quimiometría
Cabello Grupo Cu (ppm) Mn (ppm) Cl (ppm) Br (ppm) I (ppm)
1 B 9,2 0,30 1730 12,0 3,6
2 A 12,4 0,39 930 50,0 2,3
3 C 7,2 0,32 2750 65,3 3,4
4 B 10,2 0,36 1500 3,4 5,3
5 A 10,1 0,50 1040 39,2 1,9
6 C 6,5 0,20 2490 90,0 4,6
7 C 5,6 0,29 2940 88,0 5,6
8 A 11,8 0,42 867 43,1 1,5
9 B 8,5 0,25 1620 5,2 6,2
Análisis discriminante
Quimiometría
Análisis discriminante
se realiza un análisis discriminante de los datos con Minitab
Summary of classification (matriz de confusión)
True GroupPut into Group A B C
A 3 0 0B 0 3 0C 0 0 3
Total N 3 3 3N correct 3 3 3
Proportion 1,000 1,000 1,000
N = 9 N Correct = 9 Proportion Correct = 1,000
Quimiometría
Análisis discriminante
se realiza un análisis discriminante de los datos con Minitab
Squared Distance Between Groups
A B C
A 0,000 141,541 212,893
B 141,541 0,000 149,928
C 212,893 149,928 0,000
Quimiometría
Análisis discriminante
se realiza un análisis discriminante de los datos con Minitab
Linear Discriminant Function for Groups
A B CConstant -307,68 -293,68 -475,75Cu (ppm) 26,52 28,00 29,93Mn (ppm) 298,67 60,81 115,35Cl (ppm) 0,08 0,15 0,20Br (ppm) 1,95 0,43 1,80I (ppm) 9,09 13,26 10,06
Quimiometría
Análisis discriminante
se realiza un análisis discriminante de los datos con Minitab
Puntuaciones discriminantes lineales para cada grupo
PDLA= -307,68+26,56xCu+298,67xMn+0,08xCl+1,95xBr+9,09xI
PDLB= -293,68+28,00xCu+60,81xMn+0,15xCl+0,43xBr+13,26xI
PDLC= -475,75+29,93xCu+115,35xMn+0,20xCl+1,80xBr+10,06xI
Quimiometría
Análisis discriminante
la muestra de cabello encontrada en la escena del crimen tiene los siguientes valores (en ppm)
Cu=9,2 Mn=0,27 Cl=2200 Br=9,8 I=4,7
A=-307,68+26,56x9,2+298,67x0,27+0,08x2200+1,95x9,8+9,09x4,7
B=-293,68+28,00x9,2+60,81x0,27+0,15x2200+0,43x9,8+13,26x4,7
C=-475,75+29,93x9,2+115,35x0,27+0,20x2200+1,80x9,8+10,06x4,7
PDLA= 255,15 PDLB= 376,87 PDLC= 335,67
Quimiometría
Análisis discriminante
se realiza un análisis discriminante incluyendo el nuevo dato con Minitab
Prediction for Test Observations
SquaredObservation Pred Group From Group Distance Probability 1 B A 249,045 0,000 B 28,162 1,000 C 114,734 0,000
El cabello pertenece al sospechoso B