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RECONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES BORROSAS MEDIANTE LA INVERSA MOORE-PENROSEGABRIEL KANTÚN MONTIELBENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
LAURA LIZETH LUNA MARTÍNEZUNIVERSIDAD DEL PAPALOAPAN
𝐴𝑥 = 𝑦
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
𝐴𝑥 = 𝑦Si 𝐴 es invertible,
𝑥 = 𝐴−1 𝑦
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
Si 𝐴 no es invertible,
Sea𝐴𝑝×𝑞 =
𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22
De forma que 𝐴11 es una matriz de orden 𝑟 × 𝑟 y rango 𝑟
Tomemos𝐺𝑞×𝑝 =
𝐴11−1 00 0
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
Inversa Moore-Penrose
• 𝐴𝐺𝐴 = 𝐴• 𝐺𝐴𝐺 = 𝐺• 𝐴𝐺 𝑡 = 𝐴𝐺• 𝐺𝐴 𝑡 = 𝐺𝐴
Es única.
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
E.H. Moore (1862 – 1932) R. Penrose (1931 - )
La solución general del sistema de ecuaciones
𝐴𝑥 = 𝑏Está dado por
𝑥 = 𝐺𝑏 + 𝐼 − 𝐺𝐴 𝑧Donde 𝑧 es arbitrario.
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
INVERSAS GENERALIZADAS
• Cadenas de Markov.
• Redes.
• Sistemas de ecuaciones diferenciales singulares.
• Ecuaciones algebraico-diferenciales.
• Procesamiendo de imágenes.
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
Una imagen se almacena como una matriz.DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
Algunos problemas:
• Reconocimiento.
• Mejoras a la imagen.
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
Cámara en movimiento. DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
Modelo teórico
Dada la imagen
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
El difuminado lineal de amplitud ℎestá dado por
𝑎𝑖𝑗 =𝑎𝑖𝑗
ℎ+𝑎𝑖 𝑗+1
ℎ+⋯+
𝑎𝑗+ℎ
ℎ
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
Problema𝐻𝑥𝑖𝑛 = 𝑥𝑜𝑢𝑡
𝑥𝑜𝑢𝑡 𝑖, 𝑗 =1
ℎ
𝑘=0
ℎ−1
𝑥𝑖𝑛(𝑖, 𝑗 + 𝑘)
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
Problema𝐻𝑥𝑖𝑛 = 𝑥𝑜𝑢𝑡
Solución𝑥𝑖𝑛 = 𝐻†𝑥𝑜𝑢𝑡
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
El gato “Chicharito”DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
REFERENCIAS
Predrag Stanimirovic, Igor Stojanovic, DimitriosPappas, Spiros Chountasis, Zoran Zdravev. On Removing Blur in Images Using Least Squares Solutions. Filomat 30:14 (2016), 3855–3866.
Spiros Chountasis, Vasilios N. Katsikis, and DimitriosPappas. Applications of the Moore-Penrose Inverse in Digital Image Restoration. Mathematical Problems in Engineering ( 2009)
Gracias
![INGENIERÍA INVERSA APLICADA: METODOLOGÍA Y … · ultrasonido, reconocimiento de imágenes o digitalizadores de contacto [4]. La reconstrucción de superficies toma la información](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5fe7df523f76782b40134c98/ingeniera-inversa-aplicada-metodologa-y-ultrasonido-reconocimiento-de-imgenes.jpg)
