Recta en El Espacio . Eduado Gago

Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Rosario

RECTA EN EL ESPACIO

Autor: Eduardo Gago

Ao 2015

RECTA en el espacio Eduardo Gago

1

RECTA EN EL ESPACIO

1. Ecuaciones paramtricas de la recta en el espacio

Se quiere determinar la ecuacin de una recta r que pasa por el punto arbitrario

oooo zyxP ,, y es paralela a un vector no nulo u = 321 ,, uuu , con estos datos se van a deducir las ecuaciones paramtricas de la recta r. En la Fig. 1 se observa esta situacin

Un punto P del espacio pertenece a la recta si y slo si el vector PPo es paralelo a u.

Esto equivale a decir que P pertenece a r si y slo si existe t R tal que tPPo u

Observando la Fig. 1 se tiene que

PPOPOP oo (1)

y adems que

tPPo u con Rt (2)

Si se combina la ec. (1) y la ec. (2) se deduce que

tOPOP o u Rt

tzyxzyx ooo ),,(),,( u Rt

),,(),(),,( 321 uuutzyxzyx ooo

),,(),,( 321 tuztuytuxzyx ooo Rt (3)

De la ec. (3) y aplicando la condicin de igualdad entre vectores resulta que

r) Rt

tuzz

tuyy

tuxx

o

o

o

3

2

1

(4)

Las ecs. (4) se denominan ecuaciones paramtricas de la recta r, llamadas as porque

las variables x, y, z estn relacionadas por medio de una cuarta variable t denominada

parmetro.

u

y

z

oP

P

r

Fig. 1 Recta determinada por un punto y vector paralelo

x

O


2

2. Ecuaciones simtricas de la recta en el espacio

Si el vector u de las ecs. (4) cumple con la condicin que 01 u ; 02 u y 03 u , y si

se despejan de las ecuaciones paramtricas de la recta el parmetro t, entonces resulta

3

2

1

3

2

1

3

2

1

Rt

tu

zz

tu

yy

tu

xx

Rt

tuzz

tuyy

tuxx

Rt

tuzz

tuyy

tuxx

o

o

o

o

o

o

o

o

o

321 u

zz

u

yy

u

xx ooo

(5)

Le ecs. (5) se denominan ecuaciones simtricas de la recta en el espacio.

3. Planos proyectantes de una recta en el espacio

Se sabe que una recta puede estar contenida por infinitos planos. Ahora se van a definir

tres planos caractersticos que se pueden asociar a una recta en el espacio. Se trata de

buscar planos que contengan a la recta y que sean paralelos a los ejes coordenados; a

estos tres planos se los denomina planos proyectantes de la recta paralelamente a los

ejes coordenados o simplemente planos proyectantes. En resumen los tres planos que proyectan una recta paralelamente a cada uno de los ejes coordenados se los denomina

Planos proyectantes.

La interseccin de los planos proyectantes con los planos coordenados tienen como

interseccin una recta en el plano que llamamos proyeccin ortogonal de la recta a cada uno de los planos coordenados o proyeccin ortogonal de la recta sobre los planos coordenados.

Ejemplo 1: Dada la recta r)

tz

ty

tx

74

35

21

con t R,

a) Encontrar los planos que proyectan a la recta r paralelamente a los ejes coordenados

b) Hallar las proyecciones de la recta sobre los planos coordenados.

Solucin:

a)

Plano que proyecta a r // eje x:

n = u i = 370001

732,,

0371 dzy 4704357 dd..


3

047371 zy

Plano que proyecta a r // eje y:

v = u j = 207010

732,,

0272 dzx 1504217 dd..

015272 zx

Plano que proyecta a r // eje z:

r = uk = 023100

732,,

0233 dyx 705213 dd..

07233 yx

b) proyeccin r s/plano zy:

0

04737

x

zy

proyeccin r s/plano xz:

0

0152

y

z7x

proyeccin r s/plano xy:

0

0723

z

yx

Observacin: Si se combinan de a pares los miembros de la ec. (5), se obtienen los

planos proyectantes de una recta en el espacio

Plano que proyecta a r s/ eje x: u

zz

u

yy oo

32

Plano que proyecta a r s/ eje y: u

zz

u

xx oo

31

Plano que proyecta a r s/ eje z: 21 u

yy

u

xx oo

Si se aplican estas hiptesis al ejemplo 1, se tiene:


4

7

4

3

5

2

1

7

4

3

5

2

1

74

35

21

74

35

21

zyx

zt

yt

xt

tz

ty

t x

tz

ty

t x

Plano que proyecta a r s/ eje x: 047377

4

3

5

zy

zy

Plano que proyecta a r s/ eje y: 015277

4

2

1

zx

zx

Plano que proyecta a r s/ eje z: 07233

5

2

1

yx

yx

4. Ecuacin de la recta en el espacio dada por la interseccin de dos planos

Adems de las ecuaciones paramtricas y de la forma simtrica de la ecuacin de la

recta en el espacio, la misma se puede enunciar como la interseccin de dos planos

cualesquiera que pasen por ella.

0

0)

2222

1111

dzcybxa

dzcybxar (6)

Las ecs. (6) representan las ecuaciones de la recta r en el espacio definida por la

interseccin de dos planos (muchos libros de texto llaman a esta forma cartesiana de la

recta r en el espacio).

Como se dijo antes existen infinitos planos que contienen a una recta, las ecs. (6) son las

ecuaciones de dos planos cualesquiera cuya interseccin resultan una recta en el

espacio. Si se toman dos planos proyectantes cualesquiera tambin se puede escribir la

ecuacin cartesiana de la recta en el espacio de la siguiente manera:

r)

u

zz

u

xx

u

yy

u

xx

oo

oo

31

21 r)

u

zz

u

xx

u

zz

u

yy

oo

oo

31

32

4.1 Pasaje de la forma cartesiana de la ecuacin de la recta a la forma paramtrica

Dada una recta r en el espacio en forma cartesiana

0

0

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa)r ,


5

Se desea encontrar las ecuaciones paramtricas de la recta r, con este propsito se

procede as:

1) se calcula el producto vectorial entre cada uno de los vectores perpendiculares (n1 y

n2) a los planos 1 y 2 obtenindose un vector paralelo (u) a la recta r.

2) se busca un punto de paso de r, en consecuencia se asigna un valor arbitrario a

cualesquiera de las tres variables y de esa manera se encuentra un punto de paso de r.

1

2

r

v

n1 111 ,, cba n2 222 ,, cba

Fig. 4 Obtencin del vector paralelo a la recta

v= n1 n2

1

2

r

n1 111 ,, cba n2 222 ,, cba

1

2

r

Fig. 2 Recta determinada por la interseccin de dos planos

Fig. 3 Vectores perpendiculares a los planos de dos planos 1 y 2


6

Resumen:

El vector paralelo u de la recta se calcula haciendo un1n2

El punto oP que pertenece a la recta, se calcula fijando un valor arbitrario a una de

las variables y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante ( por ejemplo si se

hace 0x , y se resuelve el sistema de ecuaciones

0

0

222

111

dzcyb

dzcyb)

Ejemplo 2:

Dada la recta r)

023

0152

zyx

zyx, expresarla en forma paramtrica:

Solucin:

Sean n1 5,1,2 y n2 2,3,1 , los vectores perpendiculares a los planos cuya interseccin es la recta r. Entonces el producto vectorial entre n1 y n2 permite calcular el

vector u paralelo a la recta r

u= n1n2 7,9,13231

512

Para obtener el punto de paso de la recta se asigna un valor a una de las variables. Si se

considera 0x , resulta:

13

3

13

20

13

313

2

023

015,, P

z

y

zy

zy

Entonces la recta buscada es: R

z

y

x

r

713

3

913

213

4.2 Pasaje de la forma paramtrica a la cartesiana

Para realizar este pasaje slo basta con expresar la recta en forma simtrica y luego

tomar dos planos proyectantes cualesquiera que contengan a la recta.

Dada la recta r) Rt

tuzz

tuyy

tuxx

o

o

o

3

2

1

, se pasa previamente a forma simtrica

321 u

zz

u

yy

u

xx ooo

Luego, se obtienen los planos proyectantes:


7

21 u

yy

u

xx oo

;

31 u

zz

u

xx oo

;

u

zz

u

yy oo

32

En consecuencia una expresin de la recta es: r)

31

21

u

zz

u

xx

u

yy

u

xx

oo

oo

Ejemplo 3:

Dada la recta r)

t z

t y

t x

66

2118

106

, expresarla en forma cartesiana

Solucin:

Se expresa la ecuacin de la recta en forma simtrica 6

6

21

18

10

6

zyx, y luego se

obtienen dos de los tres planos proyectantes y de la combinacin de ambas se enuncian

las ecuaciones de la recta en forma cartesiana

6

6

21

18

zy0672 zy

6

6

10

6

zx01253 zx

r)

1253

0672

zx

zy

5. Interseccin entre dos rectas en el espacio

Dadas dos rectas en el espacio: Rt

tuzz

tuyy

tuxx

o

o

o

3

2

1

) y

R

vzz

vyy

vxx

31

21

11

) .

La recta contiene al punto oooo z,y,xP , y es paralela al vector v 321 ,, uuu . Mientras que la recta contiene al punto 1111 z,y,xP y es paralela al vector v 321 ,, vvv . Se desea ver cules son las posibles posiciones relativas de ambas rectas y en caso de

ser posible calcular su interseccin, en consecuencia se va a definir que en el espacio

dos rectas pueden ser:

1) Coplanares: Existen tres casos, que las rectas se intersecten en un punto; que sean

paralelas; o que sean coincidentes


8

RECTAS COPLANARES

rectas que se intersectan en

un punto rectas paralelas rectas coincidentes

Tabla 1. Posiciones relativas de dos rectas coplanares en el espacio

2) Alabeadas: las rectas estn incluidas en planos paralelos

Si se calcula el producto mixto entre los vectores 1PPo , u y v se verifica que:

(*)( PPo u) . v

ALABEADAS SONRECTAS LAS

COPLANARES SONRECTAS LAS

0

0

(*) puede ser tambin: (vu) . PPo 1 todas las combinaciones posibles del producto

mixto que pueden darse entre los tres vectores: u, v, y 1PPo

Si se conocen dos rectas (por ejemplo y ) y se desea calcular su interseccin, se

procede as:

I- Se calcula el producto mixto entre 1( PPo u).v sus combinaciones posibles, si es

distinto de cero, se determina que las rectas son alabeadas, y se finaliza el ejercicio.

Caso contrario (que el producto mixto sea nulo) se sigue con el paso siguiente

II- Si el producto mixto es cero y se verifica que

II- a) //1PPo u // v, entonces las rectas son coincidentes. Caso contrario se pasa al paso

siguiente

II- b) u // v, pero ambos vectores no son paralelos a 1PPo , entonces las rectas son

paralelas, caso contrario procedemos a calcular la interseccin de las mismas.

1

2

21 //

Fig. 5 Rectas alabeadas


9

Ejemplo 4: Calcular la interseccin entre las siguientes rectas

a) r) Rt

tz

ty

tx

52

31

23

; s)

Rh

hz

hy

hx

75

411

2

Solucin:

Primero se calcula el producto mixto entre los vectores 532 ,, , 741 ,, y 3105 ,,

03105741532 ,, . ,,,, Las rectas son coplanares

(II a y b)

3

5

10

3

5

27

5

4

3

1

2

Las rectas NO son coincidentes, y NO son paralelas

Se resuelve el sistema

z

y

1x

1h

2t

ht

ht

12

741131

223

Entonces 1271 ,,Qsr

b) R z

y

x

r

2

32

1

; R

z

y

x

s

3

11

2

12

6

13

Solucin:

Se calcula el producto mixto entre 231 ,, ,

3

1

2

1

6

1,, y 102 ,,

0102

3

1

2

1

6


(II a y b)

2

1

3

0

1

23

1

2

2

1

3

6

1

1

Las rectas NO son coincidentes, Pero SI son paralelas

Entonces: s//r


10

c) Rt tz

ty

tx

r

243

182

121

Rh

hz

hy

hx

s

411

34

25

Solucin:

Se calcula el producto mixto entre 241812 ,, , 432 ,, y 864 ,,


(II a)

8

24

6

18

4

124

24

3

18

2

12

Las rectas r y s son coincidentes

d) Rt tz

ty

tx

r

510

61

49

R z

y

x

s

16

38

21

Solucin:

Primero calculamos el producto mixto entre 5,6,4 , 132 ,, y 26710 ,,

026,7,10.1,3,25,6,4 Las rectas NO son coplanares

Las rectas r y s son ALABEADAS.

6. Interseccin entre recta y plano

Sean la recta Rt

tuzz

tuyy

tuxx

)r

o

o

o

3

2

1

, y el plano 0 dczbyax

Se pueden establecer tres posiciones relativas entre una recta r y un plano

1) La recta est incluida en el plano

r

oP

PrzyxP

cba

ruuu

o

oooo ,,

,,

//,, 321

u

n u u n

n

Fig. 6 Recta incluida en un plano


11

2) La recta es paralela al plano (o sea la recta no est incluida en el plano)

3) La recta y el plano se intersectan en un punto

Para calcular la interseccin entre recta y plano se procede as:

I Se calcula n.u, si es igual a cero, y adems el punto oP , entonces se concluye

que r . Caso contrario se prueba con en el item II

II - Se calcula n.u, si es igual a cero, y adems el punto oP , entonces concluimos

que //r . Caso contrario la recta y el plano se intersectan en un punto.

Ejemplo 5:

Calcular la interseccin de la recta r y el plano

a) Rt tz

ty

tx

r

21

47

31

; 071352 zyx

Solucin: u 2,4,3 // r n 13,5,2

u.n 02620613,5,2.2,4,3 , pero el punto 191 ,,P al plano ya que 03771139512 ... , en consecuencia el punto P , entonces //r

ooo z,y,xP

r

oPr

r

oP

PrzyxP

cba

ruuu

o

oooo ,,

,,

//,, 321

u u

n n n

u

Fig. 7 Recta paralela a un plano

Fig. 8 La recta y el plano se intersectan en un punto


12

b) Rt tz

ty

tx

r

51

104

32

; 020410 zyx

Solucin: u 5,10,3 // r n 4,1,10

u.n 02010304,1,10.5,10,3 , y el punto 1,4,2P pertenece al plano ya que 0201441210 ..).( , en consecuencia, en consecuencia r

c) Rt tz

ty

tx

r

5

22

73

; 01894 zyx

Solucin: u 1,2,7 // r n 9,1,4

u.n 092289,1,4.1,2,7 , en consecuencia la recta y el plano se intersectan en punto.

Para calcular la interseccin se reemplaza el x , y , z de la recta en la ecuacin del plano

0189452228120185922734 tttttt

615

422

1073

11717

z

y

x

tt

Rta. 6410 ,,Pr

7. Distancia de un punto a una recta en el espacio

Dada la recta en el espacio de ecuaciones paramtricas r) Rt

tuzz

tuyy

tuxx

o

o

o

3

2

1

, y el

punto Q exterior a ella, se desea deducir una frmula que proporcione la distancia d

entre el punto Q y la recta r.

En la Fig. 9 se observa la situacin inicial del problema donde d es la distancia entre el

punto Q y la recta r. En la Fig. 10 se forma el tringulo de vrtices son: P, Q y R, y en la

Fig. 11 se puede establecer que PQ

d sen (7).

Como los vectores son libres se puede trasladar el vector u sobre la recta r con su punto

de aplicacin en P. El ngulo entre los vectores PQ y u es (Fig, 12), siendo el mdulo

del producto vectorial entre ambos vectores PQ PQ sen (8) u u


13

De las ecs. (7) y (8) se puede deducir

sen PQ PQ

PQ

d sen

PQ

d PQ PQ

Resultando la distancia entre el punto Q y la recta r:

PQ d

Ejemplo 6: Calcular la distancia entre el punto 632 ,,P y la recta de ecuacin

547

1

z

yx

P

Q

u

d

R

P

Q

u

d

R

P

Q

u

d

R

P

Q

u

d

Fig. 9 Distancia d entre el punto Q y la recta r. Fig. 10 Tringulo de vrtices P, Q y R,

Fig. 11 ngulo entre los vectores PQ y u Fig. 12 Vector u sobre la recta r

u u

u u

u

u


14

Solucin:

632 ,,P d

u 147 ,, 501 ,,R

PR d

1131 ,,PR u 147 ,,

u

u

PR u 8582177847177847147

1131222

PR,,

66147 222

33

4291

66

8582d

u

u


15

Interseccin entre tres planos

Una aplicacin de los sistemas de ecuaciones lineales de 33 es encontrar la

interseccin entre tres planos en el espacio, las situaciones que pueden presentarse son

las siguientes:

Sean los planos, cuyas ecuaciones son:

011111 dzcybxa ; 022222 dzcybxa ; 033333 dzcybxa ,

se desea hallar la interseccin entre ellos, si existe, con este propsito se debe resolver

el siguiente sistema de ecuaciones: (S)

0

0

0

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Dado un sistema de ecuaciones, se sabe que la solucin del sistema (S) puede ser:

a) Compatible a solucin nica, entonces la interseccin de los tres planos ser un

nico punto de coordenadas oooo z,y,xP

b) Compatible a infinitas soluciones. Se pueden identificar tres casos:

b.1) los planos son coincidentes.

b.2) dos planos son coincidentes y el tercero los atraviesa, y su interseccin tambin

es una recta.

b.3) los planos son oblicuos, y su interseccin es una recta.

Cuando se identifica que el sistema (S) es compatible a infinitas soluciones, como

primera medida se calculan las siguientes relaciones:

I- 2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a ;

3

1

3

1

3

1

3

1

d

d

c

c

b

b

a

a si estas relaciones son ciertas entonces los

planos son coincidentes (y se est en lo enunciado en b.1), caso contrario, se procede a

realizar lo planteado en el item siguiente ( II )

II- Se observa si se cumplen ahora estas nuevas relaciones

2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a ;

3

1

3

1

3

1

3

1

d

d

c

c

b

b

a

a ; si ambas son ciertas estaremos en el caso b.2 ,

y la interseccin tambin ser una recta. Si ninguna de las expresiones anteriores se

cumplen se est en el caso b.3

c) Incompatible. Se pueden distinguir cuatro casos:

c.1) los planos son paralelos

c.2) dos planos son coincidentes, y el otro es paralelo a ambos

c.3) dos planos paralelos y el tercero los atraviesa

c.4) los planos se intersectan de a pares

En el caso de resultar el sistema (S) incompatible, se procede as:

I - primero se verifica que simultneamente: 2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a ;

3

1

3

1

3

1

3

1

d

d

c

c

b

b

a

a

se cumplan estas condiciones, si es cierto se concluye que estamos en el caso c.1), si es

falso, se realiza lo referido en el item ( II )


16

II Ahora se verifica 2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a ;

3

1

3

1

3

1

3

1

d

d

c

c

b

b

a

a , si esto es verdadero se

est en el caso c.2); caso contrario, se cumple lo expresado en el item III

III Se procede a calcular la relacin 2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a ;

3

1

3

1

3

1

3

1

d

d

c

c

b

b

a

a ; si esto

es verdadero se est en el caso c.3); caso contrario se est en el caso c.4)

Ejemplos resueltos

Hallar la interseccin entre los siguientes planos:

1) 225321 zyx ; 1472 zyx4 ; 10463 zyx8

Solucin: Se debe resolver el sistema de ecuaciones

1046

147

22532

zyx8

zyx4

zyx

2) 221 zyx ; 2322 zyx ; 683 zyx5


68

232

22

zyx5

zyx

zyx

1

2

3

P

3nrS Sistema compatible a solucin nica

2133311 x y zz

312321 ,,P

x y z t.i.

2 -3 5 22

4 1 -7 -14

-8 6 4 -10

14 -34 -116

-12 48 156

7 -17 -58

-1 4 13

11 33

x y z t.i.

1 1 2 2

2 -1 3 2

5 -1 8 6

-3 -1 -2

-6 -2 -4

0 0

nrnr SS 3 ;2 Sistema

compatible a infinitas soluciones


17

Como 2

2

3

2

1

1

2

1

;

6

2

8

2

1

1

5

1Los planos no son coincidentes, en

consecuencia se intersectan en una recta. Resolviendo el sistema de ecuaciones su

solucin ser:

S

Rtt

tt ,,

33

2,

3

5

3

4 ,

en consecuencia la interseccin de los tres planos es una recta de ecuaciones

paramtricas

Rt

tz

ty

tx

r

3

1

3

23

5

3

4

3) 221 zyx ; 12522 zyx ; 147143 zyx7


14714

1252

22

zyx7

zyx

zyx

1

2

3

x y z t.i.

1 2 -1 2

2 5 2 1

-7 -14 7 -14

1 4 -2

0 0 0

0 0

nrnr SS 3;2 Sistema



18

Vemos que 12

1

5

2

2

1

no es paralelo ni coincidente con 2 , y adems

1 14

2

7

1

14

2

7

1

coincidente con 3 , en consecuencia se intersectan en

una recta.

Resolviendo el sistema de ecuaciones su solucin ser:

S Rtttt ,,43,98 en consecuencia la interseccin de los planos es una recta de ecuaciones paramtricas

Rt tz

ty

tx

r

43

98

4) 140283584 1 zy ; 2045122 zyx ; 3574

35213 zyx


3574

3521

204512

140283584

zyx

zyx

zy

1

2

3

x y z t.i.

84 35 28 140

12 5 4 20

21 4

35 7 35

0 0 0

0 0 0

0 0

nrnr SS 3 ;1 Sistema



19

Como 20

140

4

28

5

35

12

84 ;

35

140

7

28

4

35

35

21

84 , entonces los planos son

coincidentes

5) 9321 zyx ; 112842 zyx ; 2211473 zyx


221147

11284

932

zyx

zyx

zyx

Como 1

9

12

3

8

2

4

1

;

2

9

21

3

14

2

7

1

, entonces los tres planos son paralelos

6) 1431 zyx ; 1642 zyx ; 1103 zx


110

164

143

zx

zyx

zyx

1

2

3

1 2

3

x y z t.i.

1 2 -3 9

4 8 -12 1

7 14 -21 2

0 0 -35

0 0 -61

Sistema Incompatible


20

Como 6

4

1

1

4

3 ;

4

10

1

0

3

1

, entonces los planos se intersectan de a pares

7) 9321 zyx ; 122 zyx ; 2211473 zyx


221147

12

932

zyx

zyx

zyx

Como 1

9

1

3

2

2

1

1

;

2

9

21

3

14

2

7

1

, entonces los dos planos son paralelos y el

otro los atraviesa

1

2 3

1

2

3

x y z t.i.

1 2 -3 9

1 -2 1 1

7 14 -21 2

-4 4 -8

0 0 -61


x y z t.i.

3 1 -4 -1

4 1 6 1

1 0 10 1

-1 34 7

-1 34 4

0 3



21

8) 9321 zyx ; 3612842 zyx ; 2211473 zyx


221147

361284

932

zyx

zyx

zyx

Como 36

9

12

3

8

2

4

1

;

2

9

21

3

14

2

7

1

, entonces dos planos son coincidentes y

el tercero es paralelo a los otros dos

1

3 2

x y z t.i.

1 2 -3 9

4 8 -12 36

7 14 -21 2

0 0 0

0 0 -61


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Recta en El Espacio . Eduado Gago