TRIGONOMETRIA

Llibre de text

Gerard Romo Garrido

Toomates Cool·lección Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de

texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras.

Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho.

Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales

pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos,

pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a

aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer

todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro. Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más

injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo

en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf".

El conocimiento no es una mercancía.

El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos

materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas

aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.

Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso,

reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar

su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a

toomates@gmail.com

Actualmente, Toomates Cool·lección consta de los siguientes libros:

Geometría axiomática:

GA Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23 portada

PG Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7

Problem-solving:

AR Teoría de números pdf 1 2

PT Trigonometría pdf doc

DE Desigualdades pdf doc

PC Números complejos pdf doc

PA Álgebra (en preparación)

pdf doc

PC Combinatoria (en preparación)

pdf doc

PR Probabilidad (en preparación)

pdf doc

Libros de texto (En catalán)

AG Àlgebra pdf 1 2

GN Geometria analítica pdf doc

TR Trigonometria

pdf doc

CO Nombres complexos pdf doc

AL Àlgebra Lineal 2n batxillerat

pdf doc

GL Geometria Lineal 2n batxillerat

pdf doc

CI Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat

pdf 1 2

PL Programació Lineal 2n batxillerat

pdf doc

Recopilaciones de problemas

ST Compendium PAU TEC 1998-2019

pdf

SC Compendium PAU CCSS 1998-2019

pdf

PM Problemas de Matemáticas pdf doc

Versión de este documento: 26/02/2020

www.toomates.net

Índex

1 Trigonometria amb triangles rectangles. →

1.1 Teorema de Pitàgores.

1.2 Mesura d'angles: Graus i radians.

1.3 Raons trigonomètriques amb angles aguts.

1.4 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan.

1.5 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º.

1.6 Descomposició de figures en triangles rectangles.

1.7 Determinació de distàncies inaccessibles.

1.8 Notes d'històrica dels termes trigonomètrics.

2 Trigonometria amb triangles en general. →

2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º.

2.2 El Teorema del sinus.

2.3 El Teorema del cosinus.

2.4 Àrea mitjançant trigonometria. Fórmula de Heron.

3 Les funcions trigonomètriques. →

3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius.

3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º.

3.3 Coordenades polars.

4 Equacions trigonomètriques. →

4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals.

4.2 Equacions trigonomètriques senzilles.

4.3 Equacions trigonomètriques per canvi de variable.

4.4 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus.

4.5 Repàs d'equacions trigonomètriques.

5 Les identitats trigonomètriques. →

5.1 Les identitats trigonomètriques.

5.2 Demostració de les fórmules trigonomètriques de la suma d'angles.

5.3 Equacions trigonomètriques aplicant les identitats.

5.4 Combinacions lineals de sinus i cosinus.

Solucions. →

Aquest llibre té la seva continuïtat natural en "Problemas de Trigonometría":

http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf

1 Trigonometria amb triangles rectangles.

1.1 Teorema de Pitàgores.

Un triangle rectangle és un triangle en el què un dels seus angles és recte, és a dir,

mesura 90º. El costat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa, i la denotem amb c .

Els altre dos costats s'anomenen catets, i els denotem amb a i b.

222 bac

Determina la longitud del costat x :

Apliquem Pitàgores. El costat de longitud 9 és la hipotenusa, per tant,

327979 222222 xx

La incògnita x és positiva perquè les distàncies són sempre positives. Per tant:

66.52432 x

1.1.1 Determina els costats indicats:

a)

b)

c)

d)

1.1.2 Determina el costat assenyalat:

a)

b)

c)

d)

e)

1.1.3 Calcula el perímetre dels següents trapezis rectangles:

a)

b)

1.1.4 Calcula l'altura AC de la

següent cometa:

1.1.5 Determina la longitud del cable BA+AC:

1.1.6 Determina l'àrea i el perímetre del següent trapezi:

Resol l'equació en x:

Apliquem Pitàgores: El costat que fa 13 és la hipotenusa, per tant:

122/24

52/10

12

177

12

)60(14776070

1201420

169491420

49142169

71413

)7(13

22

2

2

2

2222

222

xxx

xx

xx

xx

xxx

xx

Estem treballant amb distàncies, les solucions no poden ser negatives.

L'única solució acceptable és 5x .

1.1.7 Resol les següents equacions:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.2 Mesura d'angles: Graus i radians.

Anomenem grau a la 360/1 part de la circumferència: 1º360 circumferència

Anomenem radian a l'amplitud de l'angle central d'una circumferència d'arc igual al

radi: 12 rad circumferència

La proporcionalitat entre graus i radians és: º3602 rad

Converteix 18º a radians.

És una simple regla de tres:

radxradx

rad

10360

182

º18

º3602

Converteix rad9

a graus.

Plantegem la regla de tres:

º202

9/360

º9/

º3602

x

xrad

rad

1.2.1 Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de

.

a) 180º b) 60º c) 45º d) 90º

1.2.2 Converteix els següents angles a radians. Arrodoneix els resultats a les centèsimes.

a) 24º b) 78º

1.2.3 Converteix a graus. Arrodoneix els resultats a les dècimes.

a) 6

rad b) 0.73 rad

1.2.4 Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de

.

a) 45º b) 75º c) 20º d) 140º e) 25º

1.2.5 Converteix a graus:

a) 7

3 b)

18

c)

3

2 d) 4.0

1.3 Raons trigonomètriques amb angles aguts.

Un triangle rectangle és un triangle en el què l'angle d'un vèrtex és recte, és a dir,

mesura 90º.

Fixem un altre angle, al que anomenem .

El costat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa, i l'anomenarem hip. Els altre dos

costats s'anomenen catets.

El catet que no toca l'angle s'anomena costat oposat, i l'anomenarem opo.

El catet que toca l'angle s'anomena costat adjacent, i l'anomenarem adj.

hip

opo)sin(

hip

adj)cos(

adj

opo)tan(

Les identitats fonamentals de la trigonometria.

1)(cos)(sin 22 )cos(

)sin()tan(

En efecte:

1)(cos)(sin2

2

2

22

2

2

2

222

22

AP

AP

AP

AQPQ

AP

AQ

AP

PQ

AP

AQ

AP

PQ

)cos(

)sin(

/

/)tan(

hipadj

hipopo

adj

opo

on estem suposant que en tot triangle rectangle 0hip .

Raons trigonomètriques recíproques.

Definim la secant, la cosecant i la cotangent d'un angle de la següent forma:

secant: cosecant: cotangent:

adj

hip

)cos(

1)sec(

opo

hip

)sin(

1)csc(

opo

adj

)tan(

1)cot(

1.3.1 Determina les raons trigonomètriques associades al següent angle :

)sin(

)cos(

)tan(

Determina la longitud dels costats:

Etiquetem vèrtexs, angles i costats:

i apliquem les raons trigonomètriques:

5.2)º30sin(55

)º30sin( aa

33.4)º30cos(55

)º30cos( bb

Determina el costat assenyalat:

Etiquetem vèrtexs, angles i costats:

El costat que mesura 3 no toca l'angle de 60º, per tant és el costat oposat a .

El costat que volem determinar toca l'angle de 60º, per tant és el costat adjacent b .

La raó trigonomètrica adequada per aquest problema és, doncs, la que lliga costats

adjacent i oposat, és a dir, la tangent:

73.1)º60tan(

33)º60tan( b

bb

a

1.3.2 Calcula les longituds dels costats indicats:

1.3.3 Determina la longitud del costat assenyalat:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

1.3.4 Una escala de 2m de llarg està recolzada en una paret formant un angle de 60º.

Determina l'altura del punt de contacte entre aquesta escala i la paret.

1.3.5 Calcula la distància d :

1.3.6 Calcula l'altura de l'arbre:

1.3.7 Calcula la distància AB entre el vaixell i el far.

1.3.8 Quina serà l’altura d’un arbre que forma un angle de 37º des de una distància de

15 m?

1.3.9 Quina serà l’altura d’un edifici si veiem el seu extrem superior amb un angle de

17º des d’una distància de 54 m?

1.3.10 Calcula la profunditat del pou de la figura:

1.3.11 Quina és la longitud d’una escala quan l’extrem que recolza en la paret arriba a

una altura de 4,6 m i forma un angle de 71º?

1.3.12 Un cotxe puja per una rampa amb un pendent de 32º. Quants metres pujarà

verticalment si ha recorregut 510 m. de la rampa?

Calcula l'altura AB de l'edifici de l'esquerra. Presenta el resultat exacte com a fracció

simplificada.

Un cop hem tret els elements decoratius, tenim el següent esquema:

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle de la dreta:

mBCBC 3

50

)º60tan(

5050)º60tan(

Aplicant ara raons trigonomètriques al triangle rectangle de l'esquerra:

mABABAB

BC

AB

3

50

33

50

50

3

3/503

1)º30tan(

Calcula l'altura de la torre de la dreta:

Representem esquemàticament la situació:

mBCBC

03.25)º40tan(

2121)º40tan(

mBCAD 07.20

mDEDE

AD

DE53.17

)º55tan(

03.25

03.25)º55tan(

mDECDCE 53.3853.1721

1.3.13 Determina la distància AB entre les dues persones:

Triangles encadenats.

1.3.14 Calcula els costats x i y assenyalats:

1.3.15 Calcula el costat DG:

1.3.16 Calcula la longitud y :

1.4 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan.

La funció 1,0º90,0:)sin( x té associada una funció inversa anomenada )arcsin(x :

º302

1arcsin

perquè

2

1)º30sin(

º7.270.465arcsin perquè 465.0)º7.27sin( ....

De la mateixa manera, disposem de funcions inverses per al cosinus: )arccos(x

i per a la tangent: )arctan(x

Les funcions trigonomètriques inverses ens permeten determinar angles coneguts els

costats.

Determina l'angle assenyalat:

Etiquetem vèrtexs, angles i costats:

i veiem que la relació trigonomètrica que hem d'aplicar és el sinus:

º57.235

2arcsin

5

2)sin(

c

a

Sempre xx )(sin(arcsin , però no sempre xxarc )sin(sin

L'equació kx sin té dos solucions en º3600 x , i la funció arcsin dóna

sempre la solució més propera a 0º.

Per exemple: º302

1arcsinº30sinarcsin

Però º602

3arcsinº120sinarcsin

Perquè dels dos angles que tenen sinus igual a 2

3, que són 60º i 120º, la funció

arcsin dóna el més proper a 0º, que és 60º.

El mateix passa amb el cosinus i la tangent.

Trigonometria amb calculadora científica (CASIO fx82 i similars)

Fins a l’aparició de les calculadores científiques, hi havia taules trigonomètriques que

permetien trobar les raons trigonomètriques de qualsevol angle; de la mateixa manera,

també hi havia taules que permetien trobar un angle a partir d’una de les seves raons

trigonomètriques. En l’actualitat, aquestes taules no s’utilitzen, perquè qualsevol

calculadora fa aquestes funcions de manera més eficient i senzilla.

)arcsin(x La tenim a la calculadora científica com

Per exemple, per a calcular

2

1arcsin :

)arccos(x La tenim a la calculadora científica com

Per exemple, per a calcular

2

1arccos :

)arctan(x La tenim a la calculadora científica com

Comprova que la unitat angular de la teva calculadora és la correcta!

Si treballes amb graus sexagesimals (com en aquest llibre), comprova que la teva

calculadora apareix una D a la part superior de la pantalla:

El mode més friki de la calculadora: El mode G fa referència als "gradians", que es

defineixen com la 400/1 part de la circumferència. Així doncs, grad100º90 . Fora

d'àmbits molt especialitzats (artilleria militar per exemple) aquest mode no es fa servir

mai.

1.4.1 Determina amb la calculadora científica. Escriu el resultat amb 4 decimals

exactes:

a) º72sin b) º33tan c) º9.3cos d) º9.13sin e) º7.24tan

f) º45cos

1.4.2 Determina els següents angles amb la calculadora científica. Escriu el resultat amb

1 decimal exacte:

a) 7.0sin b) 4.0cos c) 14tan d) 6.0cos e) 9.0sin

f) 1.0tan

1.4.3 Determina l'angle assenyalat:

a)

b)

c)

d)

1.4.4 Calcula l'angle :

1.5 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º.

Del triangle “cartabó” podem deduir les raons trigonomètriques de l’angle 45º

11

1)º45tan(

2

2

2

1)º45cos(

2

2

2

1)º45sin(

Construïm un triangle equilàter de costat 1, determinem la seva altura per Pitàgores:

2

3

4

3

4

11

2

11

2

22

aa

i obtenim un triangle “escaire”, d’angles 30º, 90º i 60º i de costats 2

1

, 1 i 2

3

d’on podem deduir fàcilment que

3

1

2/3

2/1)º30tan(

2

3

1

2/3)º30cos(

2

1

1

2/1)º30sin(

32/1

2/3)º60tan(

2

1

1

2/1)º60cos(

2

3

1

2/3)º60sin(

1.6 Descomposició de figures en triangles rectangles.

Determina la longitud del costat assenyalat:

Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè no és

rectangle. Però si que podem traçar l'altura h per descomposar-lo en dos triangles

rectangles:

Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de l'esquerra:

55.22)º70sin(2424

)º70sin( hh

Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de la dreta:

06.33)º43sin(

55.2255.22)º43sin( x

xx

h

Determina l'angle assenyalat:

Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè no és

rectangle. El que sí podem fer és traçar l'altura per dividir-lo en dos triangles rectangles:

Aplicant raons trigonomètriques al triangle de l'esquerra:

28.25)º50sin(3333

)º50sin( hh

Aplicant raons trigonomètriques al triangle de la dreta:

º44.6927

28.25arcsin

27

28.25

27)sin(

h

Determina la longitud del costat assenyalat:

Per poder aplicar les raons trigonomètriques tracem l'altura i dividim el triangle en dos

triangles rectangles:

Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de l'esquerra:

)º70cos(2828

)º70cos( xx

Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de la dreta:

)º50cos(3535

)º50cos( yy

La distància buscada es la suma 07.32)º50cos(35)º70cos(28 yx

Nota: Aquest problema es pot resoldre també amb el "Teorema del Sinus", que estudiarem

més endavant.

1.6.1 Una bola negra queda penjada del sostre per dues cordes tenses:

Calcula l'angle entre les dues cordes.

1.6.2 Determina la longitud de la base del següent triangle isòsceles:

1.6.3 Calcula els angles i de la següent cometa:

1.7 Determinació de distàncies inaccessibles.

Determina el costat assenyalat:

Etiquetem vèrtexs, angles i longituds:

Observem que, encara que no ens la demanen, etiquetem la longitud xBD perquè la

necessitarem per completar triangles rectangles.

Apliquem trigonometria al triangle rectangle DBC : x

h)º42tan(

Apliquem trigonometria al triangle rectangle ABC : x

h

11)º30tan(

(No podem aplicar raons trigonomètriques al triangle ADC perquè no és rectangle)

Obtenim un sistema de dues equacions i dues incògnites que resoldrem pel mètode

d'igualació en h :

)11)(º30tan()º42tan(

)11)(º30tan(11

)º30tan(

)º42tan()º42tan(

xx

xhx

h

xhx

h

55.20)º30tan()º42tan(

)º30tan(11

)º30tan(11)º30tan()º42tan(

)º30tan(11)º30tan()º42tan(

)º30tan()º30tan(11)º42tan(

)11)(º30tan()º42tan(

x

x

xx

xx

xx

50.18)º42tan(55.20)º42tan( xh

1.7.1 Calcula l'altura de l'arbre:

1.7.2 Determina l'altura h de la torre:

1.7.3 Determina la longitud del segment BC:

1.7.4 Determina la distància x:

1.7.5 Determina la longitud x:

1.7.6 Determina l'altura de l'arbre:

1.7.7 Calcula l'amplada d'aquest congost amb les dades següents:

1.8 Notes d'històrica dels els termes trigonomètrics.

La trigonometria és una part de la matemàtica que, genèricament, estudia la relació entre la

mesura dels angles i els costats d’un triangle. De fet, la mateixa paraula trigonometria té

l’origen en aquest fet: tri– significa "tres", gono–, significa "angle" i –metria significa

"mesura”, és a dir, trigonometria significa una "mesura de (figures) amb tres angles".

El terme trigonometria el trobem per primera vegada en l’obra del matemàtic alemany

Bartholomaeus Pitiscus, Blatnometria sive de dimensione triangulorum, publicada el 1595,

encara que molts resultats de la trigonometria ja eren coneguts a l’antiguitat (teorema de

Pitàgores, teorema de Tales...). Els primers usos de la trigonometria (encara que no tingués

aquest nom) van ser la cartografia, l’astronomia i la navegació, i només recentment el seu ús

s’ha estès a molts altres camps. L’astronomia és, potser, el camp que des d’antic va estar més

unit a la trigonometria i, de fet, la major part d’estudis trigonomètrics es presentaven en treballs

astronòmics. Fins al segle XIII no es va produir la primera presentació de la trigonometria com

a ciència independent de l’astronomia: va ser el matemàtic persa Sharaf al–Din al–Tusi.

De l’obra Problematum variorum geodaeticum de B. Pitiscus.

Els termes sinus, cosinus i tangent tenen una història curiosa. Una antiga obra hindú sobre

astronomia, Surya Siddhanta, dóna una taula de mitjanes–cordes (en un altre tema s’estudiarà

el significat de la corda), que coincideixen amb la idea del sinus d’un angle, molt útils per a

calcular els moviments de les estrelles. Posteriorment, l’obra Aryabhatiya d’Aryabhata, que

també era hindú (cap al 500 dC) fa un estudi més profund de les mitjanes–cordes, que

denomina jiva (en sànscrit, llengua en què està escrita aquesta obra). Els àrabs la van traduir i el

terme jiva va ser transformat en l’aràbic jiba, però escrit jb (atès que l’àrab clàssic no té

vocals). Més endavant, els traductors al llatí d’aquesta obra, van traduir jb per sinus, ja que van

pensar que es referia a jaib (i no a jiba), i jaib significa pit o sina (tot i que en català utilitzem la

paraula sinus). Així, del significat original, mitjana–corda, es va passar, per una traducció

errònia, a sinus.

A banda de l’anècdota, aquest relat il·lustra el recorregut dels estudis trigonomètrics al llarg de

la història: primer, a l’Índia, posteriorment, en àrab, des de Bagdad fins a l’Al–Andalus; des

d’aquí es va introduir a Europa amb les traduccions llatines, fins a les llengües modernes.

Les altres dues raons trigonomètriques tenen una història més recent. El cosinus va sorgir de la

necessitat de calcular el sinus de l’angle complementari. Així, originàriament, Edmund Gunter

el 1620 va escriure co.sinus precisament per a indicar "sinus de l’angle complementari" (que

com sabem, és igual al cosinus de l’angle); una mica més tard, John Newton (no Isaac Newton)

va estandarditzar el terme cosinus, del qual prové el nostre cosinus.

Finalment, la paraula tangent deriva de la paraula llatina tangere, que significa tocar (molt

relacionat amb la idea geomètrica de la tangent), i va ser introduïda per Dane Thomas Fincke el

1583.

Font: Document "Iniciació a les Matemàtiques per a l’enginyeria".

2 Trigonometria amb triangles en general.

2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º.

Donades dues semirectes AB i AC , determinant un angle obtús, per a qualsevol punt

ACP , sigui Q la seva projecció perpendicular en la recta AB .

Com que és obtús, el punt Q pertany a la semirecta oposada de AB .

Definim:

AP

PQ)sin(

AP

AQ)cos(

AQ

PQ)tan(

)º180sin()sin( , )º180cos()cos(

I per tant: )tan()cos(

)sin(

)180cos(

)180sin()180tan(

Coneixent 2/1)º30sin( i 2/3)º30cos( , calcula les raons trigonomètriques

associades a l'angle º150

3

3

3

1

2/3

2/1

)º150cos(

)º150sin()º150tan(

2

3)º30cos()º30º180cos()º150cos(

2

1)º30sin()º30º180sin()º150sin(

2.2 El Teorema del sinus.

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles rectangles:

ADC y BDC :

En el triangle rectangle ADC : Abhb

hA sinsin

En el triangle rectangle BDC : Baha

hB sinsin

Per tant: A

a

B

bBaAb

sinsinsinsin , tal i com volíem demostrar.

Repetint aquest mateix procés amb les altres dues altures, obtenim les altres igualtats.

Determina la longitud dels costats:

Etiquetem vèrtexs, angles i costats:

i veiem que el costat de la dreta s'adapta perfectament al Teorema del sinus:

928.3)º50sin(

)º37sin(5

)º37sin()º50sin(

5

sinsin a

a

A

a

B

b

Per poder calcular el costat inferior necessitem determinar l'angle C del vèrtex superior:

º93º50º37º180º180º180 BACCBA

I apliquem, de nou, el Teorema del Sinus:

518.6)º50sin(

)º93sin(5

)º93sin()º50sin(

5

sinsin c

c

C

c

B

b

2.2.1 Determina la longitud assenyalada:

2.2.2 Determina la longitud i l'angle assenyalats:

2.2.3 Determina la longitud del costat assenyalat:

Determina l'angle assenyalat:

Etiquetem vèrtexs, angles i costats:

Apliquem el Teorema del Sinus:

º49.4232

º70sin23arcsin675.0

32

º70sin23sin

sin32º70sin23º70sin

32

sin

23

sinsin

BB

BBC

c

B

b

2.2.4 El "Triangle de les Bermudes" se situa entre Miami, Bermuda i la illa de San Juan.

Observa l'esquema i determina la distància entre Miami i San Juan:

2.3 El Teorema del cosinus.

Abccba cos2222

Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles rectangles:

ADC y BDC . Sigui m la distància AD , per tant, mcDB :

Apliquem Pitàgores a tots dos triangles:

En el triangle rectangle ADC : 222222 mbhmhb

En el triangle rectangle BDC : 222222 )()( mcahmcha

Per tant: 2222222222 2)2()( mmccammccamcamb

Eliminem 2m a dreta i esquerra: mccab 2222

Aïllem 2a : mccba 2222

Apliquem trigonometria al triangle ADC : Abmb

mA coscos

Finalment, substituïm m a l'expressió anterior: Abccba cos2222

Problema Proposat: PG/6.23a

Determina la longitud del costat assenyalat:

Etiquetem vèrtexs, angles i costats:

i veiem que aquest problema s'adapta perfectament al Teorema del Cosinus:

0049.29)º50cos(704925)º50cos(75275cos2 22222 Abccba

386.50049.29 a

2.3.1 Determina la longitud del costat assenyalat:

2.3.2 Determina el costat assenyalat:

Determina la longitud dels costats del següent paral·lelogram:

La part de la dreta de la figura és un triangle al qual podem aplicar el Teorema del

Cosinus per a obtenir la distància AD:

ADaaa 567.4852.20852.20)º48cos(65265 2222

La part superior de la figura també és un triangle amb un angle COD que és el

suplementari de AOD , per tant º132º48º180 COD

057.10148.101148.101)º132cos(65265 2222 aaa

Nota: En aquest problema estem tenint en compte que les diagonals d'un triangle tallen

pel punt mig.

Determina la distància CD del quadrilàter següent:

En primer lloc, amb el triangle ABC obtenim la longitud a:

51.19)50sin()101sin(

25

)50sin()101sin(

25

º1015029180

º502723

aa

C

B

Amb el triangle ABD obtenim la longitud b:

27.10)23sin()108sin(

25

)23sin()108sin(

25

º1082349180

º492029

bb

D

A

i, finalment, amb el triangle BCD i el teorema del cosinus determinem el costat CD:

465.10)20cos(51.1927.10251.1927.10)20cos(2 2222 ababCD

El Teorema del Cosinus ens permet determinar els angles en funció dels costats:

bc

acbA

2cos

222 ,

ac

bcaB

2cos

222 ,

ab

cbaC

2cos

222

Determina els angles del següent triangle:

Etiquetem vèrtexs, angles i longituds:

Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle A :

º96.351472

1192arccos

1472

1192)cos(

)cos(14721192

)cos(14721024529361

)cos(14721024529361

)cos(32232322319)cos(2 222222

AA

A

A

A

AAbccba

Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle B :

º26.451216

856arccos

1216

856)cos(

)cos(1216856

)cos(12161024361529

)cos(12161024361529

)cos(32192321923)cos(2 222222

BB

B

B

B

BBaccab

L'angle C el podem deduir directament:

º78.98º26.45º96.35º180º180º180 BACCBA

2.4 Àrea mitjançant trigonometria. La fórmula de Heron.

Àrea coneixent dos costats i l'angle que determinen.

AcbÀrea sin2

1

Demostració. Tracem l'altura h i apliquem les raons trigonomètriques al triangle rectangle de

l'esquerra:

Abhb

hA sinsin

AcbAcbchalturabaseÀrea sin2

1sin

2

1

2

1

2

1

Calcula l'àrea del triangle:

53.9º33sin752

1)sin(

2

1 AcbÀrea

2.4.1 Determina l'àrea del següent triangle:

2.4.2 Si l'àrea del triangle és 21m2, determina la x.

Determina l'àrea de la següent figura:

L'àrea del triangle ABD es pot calcular directament amb la fórmula anterior:

2m7244.44 )75(1201252

1)75(

2

1 SinSinADABABD

Per calcular l'àrea del triangle BCD , hem de determinar la longitud DB amb el

Teorema del Cosinus sobre el triangle ABD :

mBDCos

ACosADABADABBD

2.1494.222604.22260)75(1201252120125

)(2

22

222

I ara podem aplicar la fórmula de l’àrea:

2m3357 )35(902.1492

1)30(

2

1 SinSinCDBDBCD

Finalment, l'àrea de la figura serà la suma de les dues àrees parcials:

2m10601.4 3357 44.7244 BCDABDABCD

2.4.3 Find:

a) the length of BD

b) the total area of quadrilateral ABCD.

2.4.4 Triangle ABC has acute angle θ at vertex A. Find θ correct to 1 decimal place if the area

of triangle ABC is 33.4 cm2.

2.4.5 The area of triangle ABD is 33.6 m2. Find the length of CD.

Problema.

L'hexàgon ABCDEF es divideix en cinc rombes: P, Q, R, S i T, tal i com s'indica en la figura:

Els rombes P, Q, R i S són congruents, i tenen àrea 2600 . Sigui K l'àrea del rombe T.

Suposant que K és un enter positiu, trobeu el nombre de valors possibles de K.

2006 AIME I #8

Solució: PG/6.24

Àrea d'un triangle coneixent els tres angles i un costat.

B

CAbABC

sin2

sinsin2

Demostració. Partim de la fórmula anterior: AcbÀrea sin2

1

i apliquem el Teorema del Sinus: B

Cbc

B

b

C

c

sin

sin

sinsin

B

ACbA

B

CbbAcbABC

sin2

sinsinsin

sin

sin

2

1sin

2

1 2

Àrea d'un triangle coneixent els tres costats ("La fórmula d'Heron").

))()(( csbsassABC

on 2

cbas

s'anomena

semiperímetre del triangle.

Demostració. Partim de la fórmula

AAAAcb

Àrea

AcbÀreaAcbÀreaAcbÀrea

cos1cos1cos1sin4

sin4

1sin

4

1sin

2

1

22

22

2

22222222

Ara apliquem el Teorema del Cosinus:

bc

acb

bc

cbaAAbccba

22coscos2

222222222

I per tant

bc

cba

bc

acbbc

bc

acbbc

bc

acbA

2

)(

2

2

2

2

21cos1

22222222222

bc

acb

bc

acbbc

bc

acbbc

bc

acbA

2

)(

2

2

2

2

21cos1

22222222222

Arribem a:

(**))()(

)()(16

4

)()(

2

)(

2

)(4

22222

22

22222222

22

2

acbacbcbacba

acbcbaÀrea

cb

acbcba

bc

acb

bc

cba

cb

Àrea

Tenint en compte que:

asacbaacb

sacb

bsbcbabcacba

csccbacbacba

222

2

222)(

222)(

Llavors:

)())((16)(22)(2)(22222222(**) assbscsassbscsassbscs

I, Finalment:

)())((

)())(()())((1616 22

assbscsÀrea

assbscsÀreaassbscsÀrea

Calcula l'àrea del triangle:

82

16

2

754

2

cbas

8.964961438)78)(48)(58(8 ABC

3 Les funcions trigonomètriques.

3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius.

Fixada una semirecta AB de referència, direm que un angle és positiu quan gira en el sentit

contrari de les agulles del rellotge, i és negatiu quan gira en el sentit de les agulles del rellotge.

Per a angles negatius el sinus i la tangent canvien de signe i passen a negatiu. El cosinus queda

igual:

)sin()sin(

)cos()cos(

)tan()tan(

Per tant, estenem les funcions sinus i tangent com a funcions senars i la funció cosinus

com a funció parell:

1,1º180,º180:sin

1,1º180,º180:cos

,º180,º180:tan

Propietats immediates de les raons trigonomètriques.

1) En tot triangle rectangle, la hipotenusa és sempre major que els catets, per tant,

sempre es compleix

1)sin(1 , 1)cos(1

2) Les tres funcions trigonomètriques estan relacionades entre sí:

)cos(

)sin()tan(

En efecte, per a qualsevol punt ),( yxP amb argument ,

)cos(

)sin(

/

/)tan(

mx

my

x

y

3) Es compleix la Identitat Fonamental de les raons trigonomètriques:

1)(cos)(sin 22

En efecte, en tot moment s'aplica el Teorema de Pitàgores: 222 yxm , per tant

)(cos)(sin1 22

22

2

2

2

2

2

22

2

2222

m

x

m

y

m

x

m

y

m

xy

m

mxym

3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º.

Estenem les funcions trigonomètriques mòdul 360º:

1,1,:sin

1,1,:cos

,180º90,:tan k

Veiem que la funció tangent no està definida per als valors

kx 180º90...º450,º270,º90,...,º450,º270,º90

3.3 Coordenades polars.

Tot punt ),( ba de IR

2 es pot expressar en forma polar, és a dir, de la forma

mòdul+argument:

);(sin,cos),( mmba

Per evitar confusions, en polars separarem les dues coordenades amb un punt i coma. Per exemple, el

punt )1,1( en cartesianes és º45;2 en polars.

De cartesianes a polars:

b

a

bam

tan

22

(tenint en compte el quadrant del punt)

De polars a cartesianes:

sin

cos

mb

ma

Determina les coordenades polars del punt )3,6(

º57.206º57.26180

º57.26

6

3)tan(

El punt )3,6( està clarament al primer quadrant, per tant º57.26

71.663 22 m º57.26;71.6)3,6(

Determina les coordenades cartesianes del punt º30;2

1,3º30;2

12

12º30sin2

32

32º30cos2

y

x

Determina les coordenades polars del punt )4,3(

º13.233º13.53º180

º13.53

3

4)tan( .

El punt )4,3( està al tercer quadrant, per tant º13.233

5)4()3( 22 m

)º13.233;5()4,3(

4 Equacions trigonomètriques.

Les equacions trigonomètriques són equacions en les quals apareixen raons

trigonomètriques i la incògnita és un angle.

4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals.

Equacions trigonomètriques fonamentals amb el sinus: sin(x)=a

Domini de definició de l'equació: 11 a

Una equació de la forma ax )sin( té com a solucions:

ka

kaxax

º360)arcsin(º180

º360)arcsin()sin(

Resol l'equació 8.0)sin( x

º86.126º360)8.0arcsin(º180

º13.53º360)8.0arcsin(8.0)sin(

k

kxx

Resol l'equació 4.1)sin( x

Com que 14.1 , aquest valor està fora del domini de definició de l'equació, i per tant

aquesta equació no té cap solució.

Resol l'equació 1)sin( x

º90º360)1arcsin(º180

º90º360)1arcsin(1)sin(

k

kxx

Per tant, aquesta equació només té una solució: º90x

Equacions trigonomètriques fonamentals amb el cosinus: cos(x)=a

Domini de definició de l'equació: 11 a

Una equació de la forma ax )cos( té com a solucions:

ka

kaxax

º360)arccos(º360

º360)arccos()cos(

Resol l'equació 7.0)cos( x

314.43ºº360)7.0arccos(º360

º57.45º360)7.0arccos(7.0)cos(

k

kxx

Resol l'equació 1)(cos2 x

11)cos(1)(cos2 xx

Si

0ºkº603)1arccos(º360

º0º360)1arccos(1)cos(

kxx

Si

180º-180ºº360)1arccos(º360

º180º360)1arccos(1)cos(

k

kxx

Per tant, les solucions són º0 i º180 .

Resol l'equació 2

3)º303cos(

x

k

kk

kk

xx

º360º210

º360º150º360º3602

3arccosº360

º360º150º3602

3arccos

3032

3)º303cos(

º300,º180,º60º120º60

3

º360

3

º180

º360º1803

º360º30º1503

º360º150º303

xkx

kx

kx

kx

kx

º320,º200,º80º120º80

3

º360

3

º240

º360º2403

º360º30º2103

º360º210º303

xkx

kx

kx

kx

kx

Les solucions són º320,º300,º200,º180,º80,º60x

Equacions trigonomètriques fonamentals amb la tangent: tan(x)=a

Domini de definició de l'equació: , (no hi ha cap restricció)

Una equació de la forma ax )tan( té com a solucions:

ka

kaxax

º360)arctan(º180

º360)arctan()tan(

Resol l'equació 2.1)tan( x

kk

kkxx

º360º19.230º360)2.1arctan(º180

º360º19.50º360)2.1arctan(2.1)tan(

Resol l'equació 34tan x

...,º330,º285,º240,º195,º105,º60,º15

...,º330,º240,º60º90º604

º360º240º360º2404

...,º285,º195,º105,º15º90º154

º360º60º360º604

º360º240º3603arctanº180

º360º60º3603arctan434tan

kk

xkx

kk

xkx

kk

kkxx

4.1.1 Resol les següents equacions:

a) 2

1cos

x b)

2

2sin x c)

2

1

2

1sin

x

d) 2

32sin x e)

2

13cos x f) 1

3

1sin x

g) 03

1cos x h) 1

3

2cos x i) 1

3

1tan x

4.1.2 Resol les següents equacions:

a) 32tan3 x b) 012sin2 x c) 1)3º180tan( x

4.1.3 Resol les següents equacions:

a) 1sin2 2 x b) 3cos4 2 x c) 3tan2 x

4.1.4 Resol les següents equacions:

a) 03)º20sin(2 x b) 1)º202tan(3 x

c) 01)º452cos(2 x

4.1.5 Resol les següents equacions trigonomètriques:

a) 3

1)sin( x b) 1)sin(2 x c) 75.01)cos( x

d) 4.12

3)cos(

x e) 5)tan( x f) 31)sin(2 x

g) 15

2)tan(3

x

4.2 Equacions trigonomètriques senzilles.

Equacions trigonomètriques per factorització.

Resol l'equació: xxx cos4cossin2

0cos4cossin

cos4cossin

2

2

xxx

xxx

0)4(sincos 2 xx Aquí apliquem la identitat "suma per diferència":

02sin

02sin

0cos

0)2)(sin2(sincos

x

x

x

xxx

k

kxx

º360º270

º360º900cos

2sin02sin xx Aquesta equació no té solució.

2sin02sin xx Aquesta equació no té solució.

Per tant, les solucions són kº360º90 , kº360º270 .

4.2.1 Resol l'equació

0cossin2sin3 xxx , amb º3600 x

4.2.2 Resol l'equació

02sinsin2 xx , amb º3600 x

4.2.3 Resol les següents equacions:

a) 0cos2cossin xxx b) 0cossincos2 xxx

c) 1sinsin2 2 xx d) 0cossincos2 xxx

Resol l'equació xx sin3cos1

22 )sin3()cos1( xx Elevem al quadrat

xxx 22 sin3coscos21 Apliquem Teorema Pitàgores

)cos1(3coscos21 22 xxx

xxx 22 cos33coscos21

0cos33coscos21 22 xxx

0cos4cos22 2 xx

0)cos2cos1(2 2 xx Factoritzem: )1)(12(12 2 aaaa

01cos

01cos20)1)(cos1cos2(2

x

xxx

kk

kk

xxx

º360º240º3602

1arccosº360

º360º120º3602

1arccos

2

1cos01cos2

º01cos01cos xxx

Es molt important comprovar les possibles solucions. No sempre són vàlides!

º0x sí és solució de l'equació:

003º0sin3

011º0cos1

º120x sí és solució de l'equació:

2/303º120sin3

2/311º120cos1

Però el valor º240x no és solució de l'equació:

2/3º240sin3

2/3º240cos1

Les úniques solucions vàlides són kº360º120 i kº360º0

4.3 Equacions trigonomètriques per canvi de variable.

Convertim una equació trigonomètrica en una equació polinòmica de segon grau.

Resol l'equació 5.2)sin(3)(sin5 2 xx

Fent el canvi de variable )sin(xz obtenim una equació polinòmica de segon grau:

5.235)sin(

5.2)sin(3)(sin5 2

2

zz

xz

xx

Resolem l'equació de segon grau que hem obtingut:

068.1

468.0

52

681.73

52

593

52

)5.2(543305.235

5.235

2

2

2

zzz

zz

Desfem el canvi de variable:

º10.152)468.0arcsin(180

º90.27)468.0arcsin()sin(468.0 xxz

)sin(068.1 xz

Aquí veiem que -1.068 està fora del domini de definició de l'equació, per tant

aquesta segona equació no té solució.

Les solucions són: º10.152,º90.27 (i tots els seus múltiples de 360º)

4.3.1 Resol la següent equació:

01cos4cos2 xx

Resol l'equació 5cos9cos2 2 xx

05cos9cos2

5cos9cos2

2

2

xx

xx

Volem factoritzar 592 2 xz .

Sempre es millor factoritzar que "tirar de fórmula". I sempre es millor

factoritzar de cap, intentant completar quadrats o completar productes. Les

fórmules són per als losers.

Especulem amb què serà de la forma ))(2( BzAz

ABzABzABAzBzzBzAz )2(222))(2( 22

Per tant volem dos nombres, A i B, de forma que 92 AB i 5AB .

Pensant pensant arribem a 5B i 1A .

Efectivament, 5925102)5)(12( 22 zzzzzzz

Ara tornem a l'equació trigonomètrica:

impossiblexx

x

xxx

xx

xx

xx

5cos05cos

º240º120º360

º120

2

1cos01cos2

0)5)(cos1cos2(

05cos9cos2

5cos9cos2

2

2

Resol l'equació 01sin2sin2 2 xx

Acabem de dir que hem d'intentar factoritzar, que les fórmules són per als losers. Però,

per molt que ho intentem, no hi ha manera de factoritzar aquesta expressió. Així doncs,

fem servir la fórmula:

366.1

366.0

2

31

4

322

4

122

22

)1(2422sin

01sin2sin2

2

2

x

xx

El valor 366.1 està fora del rang de l'equació, per tant, l'únic valor acceptable és

º529.158º471.21º180

º471.21366.0arcsin366.0sin xx

4.4 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus.

Aplicarem la Propietat fonamental de la trigonometria: 1)(cos)(sin 22 xx i després

apliquem un canvi de variable.

Resol l'equació 2.21)sin()(cos2 xx

Prenem la Propietat fonamental de la trigonometria...

)(sin1)(cos1)(sin)(cos 2222 xxxx

...i l'apliquem a la nostra equació:

02.0)sin()(sin

02.0)sin()(sin

02.211)sin()(sin

2.21)sin()(sin1

2.21)sin()(sin1

2.21)sin()(cos

2

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Fem un canvi de variable )sin(xz i resolem l'equació de segon grau resultant:

724.0

277.0

2

447.01

12

2.01

12

2.01411

12

2.014)1(1

02.002.0)sin()(sin

22

22

z

zzxx

Desfem el canvi de variable:

º92.163)277.0arcsin(º180

º081.16)277.0arcsin(277.0)sin(277.0 xxz

º614.133)724.0arcsin(º180

º386.46)724.0arcsin(724.0)sin(724.0 xxz

Les solucions són:

º614.133,º386.46,º92.163,º081.16 (i tots els seus múltiples de 360º)

4.5 Repàs d'equacions trigonomètriques.

4.5.1 Resol les següents equacions.

a) 2

1)3sin( x b) 01)sin(2 x c) 01)(tan3 2 x

d) )º60cos()2sin( x e) )sin(2)sin( xx f) )cos()(cos 2 xx

g) 01)sin()(sin2 2 xx h) 03)cos(3)(sin2 2 xx

i) 2

1)(cos)(sin 22 xx j) 0)(sin3)(cos 22 xx

k) 3)(cos)sin(3 2 xx

5 Les identitats trigonomètriques.

5.1 Les identitats trigonomètriques.

Suposem l'existència de dues funcions reals, a les que anomenarem sinus i cosinus, que

satisfan les següents tres propietats:

(a) Domini de definició: Les funcions sinus i cosinus estan definides a tota la recta real.

(b) Valors especials: 1)90sin()0cos( , 1)180cos(

(c) Cosinus de la diferència: yxyxyx sinsincoscoscos

Llavors aquestes funcions compliran les següents propietats:

(d) La identitat pitagòrica: 1)(cos)(sin 22 xx

(e) Nous valors especials: 0)180sin()90cos()0sin(

(f) El cosinus és una funció parell: )cos()cos( xx .

(g) )sin()90cos( xx

(h) El sinus és una funció senar: )sin()sin( xx

(i) )cos()90sin( xx , )sin()90cos( xx

(j) Periodicitat: )sin()360sin( xx , )cos()360cos( xx

(k) Fórmules de la suma i diferència d'angles:

yxyxyx

yxyxyx

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

yxyxyx

yxyxyx

sinsincoscoscos

sincoscossin)sin(

yx

yxyx

tantan1

tantan)tan(

yx

yxyx

tantan1

tantan)tan(

(l) Identitats "Suma-A-Producte" i "Resta-A-Producte":

2cos

2cos2coscos

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

2sin

2sin2coscos

2sin

2cos2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

(m) Fórmules per a l'angle doble:

x

xx

xxxxx

xxx

2

2222

tan1

tan22tan

sin211cos2sincos2cos

cossin22sin

(n) Fórmules per a l'angle meitat:

2

)cos(12/sin

2

1)cos(2/cos

2

2

xx

xx

)cos(1

)sin(

)sin(

)cos(12/tan

)cos(1

)cos(12/tan2

x

x

x

xx

x

xx

(o) Identitats "Producte-A-Suma":

)sin()sin(cossin2

)cos()cos(sinsin2

)cos()cos(coscos2

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

(p) Fórmules per a l'angle triple:

xxx

xxx

3

3

cos4cos33cos

sin4sin33sin

(q) Fórmules per a l'angle quàdruple:

1cos8cos84cos

sincos4sincos84sin

24

3

xxx

xxxxx

(r) Tangent de la semisuma i de la semidiferència:

yx

yxyx

yx

yxyx

coscos

sinsin

2tan

coscos

sinsin

2tan

(s) Les "fórmules T":

Si

2tan

t , llavors:

21

2sin

t

t

,

2

2

1

1cos

t

t

,

21

2tan

t

t

Demostració.

d) Prenem xy en (c):

xxxxxxxx 22 sincossinsincoscoscos)0cos(1

e) Prenem 0x en l'apartat anterior:

0)0sin(0)0(sin1)0(sin)0(cos)0(sin1 22222

Prenem 90x en l'apartat anterior:

0)90cos(0)90(cos)90(cos1)90(cos)90(sin1 22222

Prenem 180x en l'apartat anterior:

0)180sin(0)180(sin)1()180(sin)180(cos)180(sin1 22222

f) Prenem 0x en (c):

yyyyyyy cossin0cos1sin)0sin(cos)0cos(0cos)cos(

g) Apliquem (c):

)sin()sin(1)cos(0)sin()90sin()cos()90cos()90cos( xxxxxx

h) Apliquem la propietat anterior:

)sin()90cos()90sin(0)90cos()1(

)90sin()180sin()90cos()180cos(

))90(180cos()90cos())(90cos()sin(

xxxx

xx

xxxx

i) )cos()cos())90(90cos()90sin( xxxx

)sin()sin())(90cos()90cos( xxxx

j) )90180cos()270cos()90)270sin(()360sin( xxxx

)sin())sin(()90cos()9090sin()180sin( xxxxx

i l'altra identitat es demostra de forma similar.

k) Apliquem (c) i tenim en compte la paritat de les funcions:

yxyxyxyx

yxyxyxyx

sinsincoscos)sin(sincoscos

)sin(sin)cos(cos)(coscos

yxyxyxyx

yxyxyxyx

cossinsincossincoscossin

sin)90sin(cos)90cos()90cos()sin(

l) Tenim:

yxyxyx sincoscossin)sin(

yxyxyxyxyxyx sincoscossin)sin(cos)cos(sin)(sin()sin(

Per tant, restant les identitats anteriors:

yxyxyx sincos2)sin()sin(

Prenent 2

bax

i

2

bay

, la igualtat anterior és equivalent a:

2sin

2cos2sinsin

2sin

2cos2

2

2sin

2

2sin

2sin

2cos2

22sin

22sin

bababa

bababa

babababababa

Fent el mateix amb la funció cosinus arribem al segon resultat.

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

yxyx

tantan1

tantan

coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

sinsincoscos

sincoscossin

)cos(

)sin()tan(

m) Es dedueixen directament de (k):

xxxxxxxxx cossin2sincoscossin)sin()2sin(

xxx

xxx

xxxxxxxxx

222

222

22

cos21)cos1(cos

sin21sin)sin1(

sincossinsincoscos)cos()2cos(

x

x

xx

xxxxx

2tan1

tan2

tantan1

tantan)tan()2tan(

p)

3sin

= 2sin

= sin2coscos2sin

= sinsin21coscossin2 2

= 32 sin2sincossin2

= 32 sin2sinsin1sin2

= 33 sin2sinsin2sin2

= 3sin4sin3

3cos = 2cos

= sin2sincos2cos

= sincossin2cos1cos2 2

= cossin2coscos2 23

= coscos12coscos2 23

= 32 cos2cos2coscos2

= cos3cos4 3

3tan = 2tan

=

tan2tan1

tan2tan

=

2

2

tan1

tantan2

tan1

tan2

1

tan

=

2

22

2

3

tan1

tan2tan1

tan1

tantantan2

=

2

3

tan31

tantan3

(r) Aplicant les identitats "Producte-A-Suma"

xyyxyxyxyxyxyx

sinsin22

sin22

sin2

cos2

sin2

yxyxyxyxyxyxyx

coscos22

cos22

cos2

cos2

cos2

per tant:

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

yxyx

coscos

sinsin

2/)(cos2/)(cos2

2/)(cos2/)(sin2

2/)(cos

2/)(sin

2tan

yx

xyyxyxyxyxyxyx

sinsin

sinsin22

sin22

sin2

sin2

cos2

Per tant:

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

yxyx

coscos

sinsin

2/)(cos2/)(cos2

2/)(cos2/)(sin2

2/)(cos

2/)(sin

2tan

(s)

sin = 22

cossin2 = 2

2

2

2

22

sincos

cossin2

=

2

2

2

2

2

2

2

2

22

cos

sincos

cos

cossin2

=

2

2

2

tan1

tan2

= 21

2

t

t

cos = 2

2

2

2 sincos =2

2

2

2

2

2

2

2

sincos

sincos

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

sincos

cos

sincos

=2

2

2

2

tan1

tan1

=

2

2

1

1

t

t

tan =

cos

sin =

2

2

2

1

1

1

2

t

t

t

t

= 21

2

t

t

Al 1822, el matemàtic francès Joseph Fourier va descobrir que

qualsevol funció d'ona, com per exemple el so, es pot modelar

com a combinació lineal de funcions sinusoïdals. La disciplina

que determina la combinació lineal de funcions sinusoïdals

associada a qualsevol funció d'ona s'anomena Anàlisi de

Fourier.

5.2 Demostració visual de les fórmules trigonomètriques de la suma

d'angles.

a) cossincossinsin

b) sinsincoscoscos

c)

tantan1

tantantan

Demostració. Siguin y dos angles tals que 90,, aa . Construïm un

rectangle ABCD amb un punt E en AB i un punt F en BC tals que

ADE , EDF , º90DEF y 1DF .

Aquest rectangle el podem construir de la següent forma: Donat el triangle rectangle

DEF amb EDF i 1DF , tracem una recta r exterior amb angle , i una

recta perpendicular a r per D. Tracem ara la perpendicular a r per E, que tallarà amb r al

punt A, i la perpendicular a s per F, que tallarà amb s en C. El punt B serà la intersecció

entre aquestes dues perpendiculars.

DEDF

DE

EFDF

EF

cos

sin

En el triangle EBF :

BEFBEF

BEFDEFAED

DEF

AEDAED

1809090

180

90

9018090

cossincos

sinsinsin

BEEF

BE

BFEF

BF

En el triangle DAE :

ADADDEDE

AD

AEAEDEDE

AE

coscoscoscos

sincossinsin

En el triangle CFD :

Com que CDAB // tenim que DFC .

sinsincoscoscos

cossinsincossin

BFADBFBCCFDF

CF

BEAECDDF

CD

I amb això arribem a les fórmules de la suma d'angles:

sinsincoscoscos

cossinsincossin

De les que podem deduir la fórmula de la tangent de la suma:

tantan1

tantan

coscos

sinsin1

cos

sin

cos

sin

coscos/sinsincoscos

coscos/cossinsincos

sinsincoscos

cossinsincos

cos

sintan

Donats angles A i B tals que 5

4sin A ,

5

3cos A ,

13

12sin B i

13

5cos B ,

determina els valors exactes de )sin( BA , )cos( BA i )tan( BA

65

56

13

12

5

3

13

5

5

4sincoscossin)sin( BABABA

65

33

13

12

5

4

13

5

5

3sinsincoscos)cos( BABABA

33

56

65/33

65/56

)cos(

)sin()tan(

BA

BABA

Determina el valor exacte de º5.7cosº5.52sin

4

23º45sinº60sin

2

1

)º5,7º5.52sin()º5.7º5.52sin(2

1º5.7cosº5.52sin

5.3 Equacions trigonomètriques aplicant les identitats.

Resol l'equació xx sin412cos

Apliquem la identitat xx 2sin212cos

xxxx sin41sin21sin412cos 2

impossiblexx

xxxx

xx

xx

xx

xx

2sin02sin

º180,º00sin02sinsin

0sin2sin

sin2sin

sin4sin2

sin41sin21

2

2

2

2

Les solucions són 0º, 180º (i tots els seus múltiples de 360º)

Resol 0sin)2sin( tt

0sin)2sin( tt Apliquem la identitat xxx cossin2)2sin(

0sincossin2 ttt Factoritzem traient factor comú tsin

01cos2

0sin01cos2sin

t

ttt

k

ktt

º360º180

º360º00sin

kk

kttt

º360º240º360º120º360

º360º1202

1arccos

2

1cos01cos2

Per tant, les solucions són kº360º0 , kº360º180 , kº360º120 , kº360º240

Resol l'equació 2

sincosx

x

Apliquem la identitat de l'angle meitat:

01coscos2

cos1cos2

2

cos1cos

2

cos1

2sincos

2

2

2

xx

xx

xx

xxx

Factoritzem aquesta equació: )1)(12(12 2 aaaa

01cos

01cos201cos1cos2

01coscos2 2

x

xxx

xx

kk

kkxxx

º360º300º360)2/1arccos(º360

º360º60º360)2/1arccos(

2

1cos01cos2

kxxx º360º1801cos01cos

Les solucions són kº360º60 , kº360º300 , kº360º180

Resol 2

32coscos2sinsin xxxx

Apliquem la identitat de la diferència d'angles:

)cos()2cos(2coscos2sinsin2

3xxxxxxx

Amb el què la hem convertit en fonamental:

kkk

kk

xx

º360º330º360º30º360º3602

3arccosº360

º360º30º3602

3arccos

)cos(2

3

Les solucions són: kº360º30 , kº360º330 .

5.3.1 Resol les següents equacions:

a) 2

1sin2coscos2sin xxxx b)

2

3sin2sincos2cos xxxx

Resol l'equació 2sincos3 xx

º75º45º180º60

º345º15º45º60)º45sin()º60sin(

2

2sinº60coscosº60sin

2

2sin

2

1cos

2

3

2

2

2

sincos3

2sincos3

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

5.4 Combinacions lineals de sinus i cosinus.

Tota combinació lineal de cosinus i sinus:

xBxA sincos

es pot expressar com un sinus pur:

)sin( bxa

prenent 222 BAa , BAb /tan

Demostració. Apliquem la identitat trigonomètrica Suma-A-Producte:

xbabxaxbbxabxa cossincossinsincoscossin)sin(

Per tant:

baB

baAxbabxaxBxA

cos

sincossincossinsincos

B

A

aB

aA

b

bb

/

/

cos

sintan

222222222222 cossincossincossin abbababababaBA

Resol l'equació 1sincos xx

Apliquem les fórmules anteriors per expressar xx sincos en forma d'un sinus pur:

En el nostre cas 1A , 1B i per tant

)4/3sin(2sincos4/31

1

1tan

2)1(1 22222

xxxb

B

Ab

aBAa

Amb el què hem convertit una equació difícil en una equació més senzilla:

kxkk

kkxk

x

x

x

xx

2024

32

4

22

24

3

42

4

4

3

2

1)4/3sin(

1)4/3sin(2

1sincos

Les solucions són: kx

22

i kx 20

Solucions

1.1.1 a) 16.1 cm b) 20.2 cm c) 19.4 cm d) 13.2 cm

1.1.2 a) 10 b) 26 c) 209 d) 57 e) 149

1.1.3 a) 83.253420 b) 12.411737

1.1.6 29.46 cmA , cmp 5.34

1.1.7 a) 5 b) 23 c) 4 d) 3 e) 1 f) 4

1.2.1 a) b) 3

c)

4

d)

2

1.2.2 a) 0.42 b) 1.36

1.2.3 a) 30º b) 41.8º

1.2.4 a) 4

b)

12

5 c)

20

d)

9

7 e)

36

5

1.2.5 a) 77.14º b) 10º c) 120º d) 72º

1.3.1 a) 5

3)sin( b)

5

4)cos( c)

4

3)tan(

1.3.2 a) cmx 8.38 , cmy 7.20 b) cma 6.6 , cmb 4.12

c) cmh 0.13 d) cma 5.35

1.3.3 a) 37.31 b) 8.91 c) 10.90 d) 21.65 e) 41.04 f) 12.52

g) 29.46 h) 10

1.3.4 m73.13

1.3.5 86.92 m.

1.3.6 ≈11,30 m.

1.3.7 203.6 m

1.3.8 11.31 m

1.3.9 ≈16,51 m.

1.3.10 ≈7.18 m.

1.3.11 ≈4,87 m.

1.3.12 ≈270,26 m.

1.3.13

1.3.14 4.67 m

1.3.15 12.41 cm

1.3.16 4.4

1.4.1 a) 0.9511 b) 0.6494 c) 0.9980 d) 0.2402 e) 0.4599 f) 0.7071

1.4.2 a) 44.4º b) 66.4º c) 85.9º d) 53.1º e) 64.2º f) 5.7º

1.1.5 139.03m

1.6.2 6.76 cm

1.6.3 º7.116 , º2.49

1.7.1 28.95 m

1.7.3 110

1.7.5 42x

1.7.6 45 m. aprox.

2.2.1 88.1m

2.2.2 r=26.5 , º77.43

2.3.1 3.337

2.3.2 x=28.38

2.4.1 a) 88.3 km2.

4.1.1 a) 120º, 240º b) 225º, 315º c) 60º , 300º

d) 30º,60º,210º,240º e) 20º,100º,140º,220º,260º,340º f) 270º g) 270º

h) 270º i) 135º

4.1.2 a) 15º, 105º, 195º, 285º b) 105º,165º,285º,345º

c) 15º, 75º,135º,195º, 255º, 315º

4.1.3 a) 45º, 135º, 225º, 315º b) 30º, 150º, 210º, 330º

c) 60º, 120º, 240º, 300º

4.1.4 a) 220º, 280º b) 25º, 115º, 205º, 295º

c) 90º, 135º, 270º, 315º

4.1.5

a)

k

kx

360º53.160

360º47.19 b)

k

kx

360º150

360º30 c)

k

kx

360º52.75

360º52.75

d)

k

kx

360º54.101

360º54.101 e)

k

kx

360º69.258

360º69.78 f) kx 360º90

g)

k

kx

360º5.246

360º5.66

4.2.1 0º, 30º,180º, 330º

4.2.2 90º

4.3.1 74.45º

4.5.1 a) 30º, 150º b) 10º, 50º c) 30º, 210º, 330º d) 15º, 75º

e) 315º, 225º f) 0º, 90º, 270º g) 90º, 150º, 330º h) 300º, 60º, 0º

i) 60º, 140º, 120º, 300º j) 150º, 210º, 30º, 330º

k) 270º

5.3.1 a) 30º, 90º b) 60º, 180º