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Corso di Recupero e conservazione degli edifici – A.A. 2010-2011 Ing. Emanuele Zamperini
L’arco in muratura
Ing. Emanuele Zamperini
CORSO DI RECUPERO E CONSERVAZIONE DEGLI EDIFICI
A.A. 2010-2011
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L’ARCO
Terminologia di base
piano diimposta
(concio di)chiave
estradosso
intradosso
corda o luce
f r e c c i a
o m o n t a
spalla
opiedritto
spalla
opiedritto
sezionealle reni
3 0 °
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CENNI STORICI SU
DIMENSIONAMENTO E VERIFICA
DEGLI ARCHI IN MURATURA
L’evoluzione del dimensionamento e della verifica degliarchi in muratura (e più in generale di tutte le strutture)può essere schematizzata in tre fasi principali:
• Metodi empirico-grafici;• Metodi basati sulla meccanica del corpo rigido;
• Metodi basati sulla meccanica del corpo
deformabile.
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METODI EMPIRICO-GRAFICI (1)
«Le proporzioni tra le singole parti della struttura , riscontrate
idonee nella pratica costruttiva, costituivano un codice formale che veniva applicato indipendentemente dalle dimensioni»
(ANTONINO GIUFFRÈ, 1986)
Sono metodi che si basano su regole proporzionali dedottedall’osservazione di strutture esistenti. Il progresso dellatecnica costruttiva passa necessariamente dal superamento di
tali regole ottenuto con la sperimentazione su modelli o sustrutture reali, oppure dall’osservazione dei dissesti creatisi instrutture dimensionate con tali regole.
Regoleproporzionali
indipendenti dalledimensionidell’oggetto
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METODI EMPIRICO-GRAFICI (2)
Leonardo da Vinci propose una regola per il dimensionamentodello spessore di un arco: «L’arco non si romperà se la corda dell’archi di fori non toccherà l’arco di dentro».
La cosiddetta regola di Deran consentiva di dimensionare ipiedritti di un arco: si tracciano all’intradosso dell’arco tresegmenti uguali; si proseguono i due laterali verso l’esternoraddoppiandone la lunghezza; l’asse verticale passante per
l’estremo esterno del segmento individua lo spessore delpiedritto. La regola aveva senso solo perché inserita in un piùampio sistema di rapporti proporzionali fra le parti dellacostruzione (ad es. luce dell’arco/altezza del piedritto).
Entrambe le regole, anche se prive di un significato meccanicodavano dei risultati a favore di sicurezza e consentivano p.e. diavere spessori dell’arco e del piedritto inferiori per gli archi asesto acuto.
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METODI EMPIRICO-GRAFICI (3)
Viollet-le-Duc afferma che l’arco a sesto acuto sia natodall’osservazione delle lesioni che si presentavano piùcomunemente negli archi a tutto sesto. I costruttori vedendo
aprirsi delle fessure all’intradosso dell’arco in chiave hannocompreso che quella parte dell’arco non era soggetta acompressione e quindi era inutile. Hanno quindi spostato più inalto la chiave dell’arco.
Viollet-le-Duc ela nascita
dell’arco a sestoacuto
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METODI BASATI SULLA
MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (1)L’arco, struttura iperstatica, viene reso isostatico ipotizzando lapresenza e la posizione di lesioni (cerniere plastiche).
I metodi basati sulla meccanica del corpo rigido, infatti,individuano i possibili meccanismi di collasso e studiano l’arconelle condizioni di equilibrio limite (studio a collassoincipiente).
I principali meccanismi di collasso per l’arco sono:
• Rottura per scivolamento della parte centrale dell’arco(studiato da De La Hire e De Belidor);
• Rottura flessionale della porzione centrale dell’arco (Coulombe Mascheroni).
Entrambi i meccanismi possono generarsi solo in presenza dirotazione dei piedritti.
4 5 ° 4 5 °
Rottura perscivolamento
Rottura flessionale
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METODI BASATI SULLA
MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (2)Meccanismo di rottura per scivolamento
La rottura dell’arco avviene per scivolamento della porzione
centrale individuata da due angoli di 45°. Questo meccanismo
può verificarsi solo in presenza di rotazioni dei piedritti.
4 5 ° 4 5 °
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METODI BASATI SULLA
MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (3)Meccanismo di rottura flessionale
La rottura dell’arco avviene per flessione, con l’apertura di
fessure posizionate all’intradosso in chiave ed all’estradossoalle reni. La sezione più sollecitata è presa per convenzione a 30° sul
piano orizzontale ma dovrebbe essere individuata di volta in volta aseconda della distribuzione dei carichi agenti sull’arco.
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METODI BASATI SULLA
MECCANICA DEL CORPODEFORMABILE (1)
I metodi basati sulla meccanica del corpo deformabile studianol’equilibrio della struttura iperstatica assieme alla suadeformabilità, possono quindi valutare anche gli spostamentidei vari punti della struttura.
Per studiare ladeformabilità delle
strutture sononecessari i dati
riguardanti ilcomportamento dei
materiali costitutivi.
L’elevata incertezzaconnessa alla difficoltà
di individuarecorrettamente questi
valori e la lorovariabilità all’internodella struttura rendespesso l’esito delle
elaborazioni di difficile
interpretazione.
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METODI BASATI SULLA
MECCANICA DEL CORPODEFORMABILE (2)
Principali problemi connessi all’uso di questi metodi
• Difficoltà ad individuare il comportamento meccanico dellemurature storiche: incertezza nei valori di E, nnnnnnnn,, etc.etc. e nella
valutazione della anisotropia della disomogeneità e della nonlinearità del comportamento dei materiali;
• Difficoltà a tener conto delle discontinuità presenti nellastruttura muraria, siano esse di natura costruttiva (giunti,intercapedini, canne fumarie) o legate a dissesti (lesioni
spesso invisibili ad occhio nudo o con geometria difficilmenterilevabile);
• Difficoltà a governare modelli di calcolo molto complessi equindi necessità di verifiche anche sommarie e semplificate
della validità dei risultati ottenuti.
Problemi per lamodellazione di:
Comportamentomeccanico
(individuazione deivalori, anisotropia,
disomogeneità)
Discontinuità(costruttive, legate
a dissesti)
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IL METODO DI MERY (1)
Il metodo di Mery è un metodo di verifica di tipo grafico nel qualel’arco iperstatico è reso isostatico collocando tre cerniereplastiche nelle sezioni di massima sollecitazione flessionale. Lasituazione considerata è quella in cui si ha l’annullamento deglisforzi di compressione all’estradosso dell’arco nelle sezioni alle
reni ed all’intradosso nella sezione di chiave.
L’annullamento degli sforzi ad un lembo si ha con unadistribuzione triangolare degli sforzi; ad una distribuzionetriangolare degli sforzi corrisponde una risultante che passa ad
un terzo dell’altezza della sezione dalla parte delle fibrecompresse: è in questa posizione che vengono collocate lecerniere plastiche.
aperturadella lesione
aperturadella lesione
Il giunto in chiavesi apre
all’intradosso
La risultante è allimite superioredel terzo medio
Il giunto alle renisi apre
all’estradosso
La risultante è al
limite inferiore delterzo medio
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IL METODO DI MERY (2)
Ipotesi per l’applicabilità del metodo di Mery:
1. L’arco deve essere a tutto sesto e simmetrico;
2. I carichi devono essere distribuiti simmetricamente;
3. Lo spessore dell’arco deve essere uniforme;
4. L’arco deve essere costituito da materiale sufficiente-mente rigido e resistente a compressione, così che i tratti
compresi fra le lesioni siano assimilabili a corpi rigidi.
Se la linea delle pressioni della parte di arcocompresa tra le due fessure è in ogni punto internaal terzo medio, allora l’arco può essere consideratosicuro.
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IL METODO DI MERY (3)
Fasi di applicazione del metodo di Mery:
1. Si definisce la geometria reale dell’arco;
2. Si omogeneizzano tutti i materiali ed i carichi esterni almateriale costituente l’arco;
3. Si suddivide l’arco in conci (in genere 6-10 conci);
4. Si calcolano le risultanti dei carichi gravanti su ciascunconcio;
5. Si costruisce la risultante di tutti i carichi e le reazioni inchiave ed alle reni;
6. Si costruisce la curva delle pressioni;
7. Si verifica che la curva sia interna al terzo medio;
8. Si verificano le sollecitazioni nei vari conci.
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IL METODO DI MERY (4)
VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.
Individuazione delle azioni:
1°- Si individua l’azione interna in una data sezione (attraverso ilpoligono delle successive risultanti);
2°- La si scompone in azione assiale ed azione di taglio;
3°- Si individua l’eccentricità della sollecitazione.
RT
N t e
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IL METODO DI MERY (5)
VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti a PRESSOFLESSIONE:
(ipotesi di materiale non resistente a trazione)
ssssn-max = N/A + M/W = N/A + (N • e)/We ≤ t/6Sezioneinteramentereagente.
t
t / 3
t / 3
t / 6
t / 6
M / WN / A
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IL METODO DI MERY (6)
VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti a PRESSOFLESSIONE:
(ipotesi di materiale non resistente a trazione)
N = ½ • [ 3 • ( t / 2 – e ) ] • S • ssssn-max
ssssn-max = 2 • N / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ]
e ≥ t/6Sezioneparzializzata.
t
e
t / 6
t / 2 - e
t / 3
N
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IL METODO DI MERY (6)
VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti al TAGLIO: valori massimi
(ipotesi di materiale non resistente a trazione)
ttttmax = 3 / 2 • T / ( t • S ) con e ≤ t/6
ttttmax = 3 / 2 • T / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ] con e ≥ t/6
Zone compresse T = 2 / 3 • ttttmax • ( t • S )
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IL METODO DI MERY (7)
VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti al TAGLIO: valori medi
(ipotesi di materiale non resistente a trazione)
ttttmedia = T / ( t • S ) con e ≤ t/6
ttttmedia = T / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ] con e ≥ t/6
La resistenza dipende dalla coesione e dall’attrito(modello di Coulomb)
ttttres. =
aaaa• N / ( t • S ) con e
≤t/6
ttttres. =aaaa • N / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ] con e ≥ t/6
Dove aaaa è il coefficiente d’attrito muratura su muratura
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IL CRITERIO DI HEYMAN (*)
«Se esiste una linea delle pressioni per l’arco completo che sia in equilibrio con i carichi applicati, incluso il peso proprio, e che risulti ovunque interna allo spessore dell’arco in ogni punto e in corrispondenza di ogni sezione, allora l’arco può considerarsi
in condizioni di sicurezza».
Il criterio è basato sulle seguenti ipotesi:
1- Non può avvenire rottura per scorrimento tra due conci o in unagenerica sezione (resistenza allo scorrimento infinita);
2- La muratura ha resistenza a trazione nulla;
3- La muratura ha resistenza a compressione infinita.
Il criterio è applicabile ad archi con geometria (archi policentrici,
ribassati, a sesto acuto,…) e distribuzione dei carichi qualsiasi (ancheasimmetrica).
(*): Criterio enunciato in JACQUES HEYMAN, The Masonry Arch, EllisHorwood, Chichester, 1982.
Se l’analistariesce a trovareuna curva dellepressioni
completamenteinterna allospessoredell’arco, questosarà almeno
altrettanto bravo atrovarsene una dasé e quindirimanere inequilibrio
(A. Giuffré).