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Recursividade Túlio Toffolo – [email protected]
www.toffolo.com.br
BCC202 – Aula 08
Algoritmos e Estruturas de Dados I
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Outros Exemplos de Recursividade
• Factais são outros exemplos de recursividade
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Quando vale a pena usar recursividade
• Recursividade vale a pena para Algoritmos complexos, cuja a
implementação iterativa é complexa e normalmente requer o uso
explícito de uma pilha
• Dividir para Conquistar (Ex. Quicksort) • Caminhamento em
Árvores (pesquisa, backtracking)
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Outros exemplos de recursividade
void estrela(int x,int y, int r){ if ( r > 0 ) { estrela(x-r,
y+r, r div 2); estrela(x+r, y+r, r div 2); estrela(x-r, y-r, r div
2); estrela(x+r, y-r, r div 2); box(x, y, r); }}
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Outra implementação: estrela
void void estrela( y, int r){ if (r > 1) { estrela(x-r, y+r,
r div 2); estrela(x+r, y+r, r 2); estrela(x-r, y-r, r div 2);
estrela(x+r, y-r, r div 2); } box(x,y,r);}
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Implementações de estrela
• Qual a melhor implementação?
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void e2(int x,int y, int r){ if (r > 1) { estrela(x-r, y+r, r
div 2); estrela(x+r, y+r, r div 2); estrela(x-r, y-r, r div 2);
estrela(x+r, y-r, r div 2); } box(x,y,r);}
void e1(int x,int y, int r){ if ( r > 0 ) { estrela(x-r, y+r,
r div 2); estrela(x+r, y+r, r div 2); estrela(x-r, y-r, r div 2);
estrela(x+r, y-r, r div 2); box(x, y, r); }}
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Análise de Complexidade - Notação O
• Define-se uma função de complexidade f(n) desconhecida
• n mede o tamanho dos argumentos para o procedimento em
questão
• Identifica-se a equação de recorrência T(n): • Especifica-se
T(n) como uma função dos termos
anteriores
• Especifica-se a condição de parada (e.g. T(1))
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Recusão de exemplo
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Exemplo(n) { if (n
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Função de Complexidade
• Exemplo de recorrência:
T(n) = n + T(n-1)
T(1) = 1
T(n) = n + T(n-1)
T(n) = n + (n-1) + T(n-2)
T(n) = n + (n-1) + (n-2) + T(n-3)
...
T(n) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + T(1)
T(n) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1
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• Exemplo de recorrência:
T(n) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1
2 T(n) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1
+ 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
2 T(n) = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
2 T(n) = n (n+1) Logo: T(n) = n (n+1) / 2
Função de Complexidade
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Função de Complexidade
• Exemplo de recorrência:
T(n) = n + T(n-1)
T(1) = 1
T(n) = n (n+1) / 2
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Novo exemplo
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int fatorial(int n) { if (n == 1) return 1; else { return n *
fatorial(n-1); }}
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Análise da Função Fatorial
• Qual a equação de recorrência que descreve a complexidade da
função fatorial vista?
T(n) = 1 + T(n-1)
T(1) = 1
T(n) = 1 + T(n-1)
T(n-1) = 1 + T(n-2)
T(n-2) = 1 + T(n-3)
...
T(2) = 1 + T(1)
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Análise de Funções Recursivas
• Além da análise de custo do tempo, deve-se analisar também o
custo de espaço
• Qual a complexidade de espaço da função fatorial (qual o
tamanho da pilha de execução)?
• Proporcional ao número de chamadas?
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Alguns somatórios úteis
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Alguns somatórios úteis
nX
i=1
i =n(n + 1)
2
kX
i=0
2
k= 2
k+1 � 1
kX
i=0
1
2
i= 2�
1
2
k
kX
i=0
ai =ak+1 � 1
a� 1(a 6= 1)
nX
i=1
i2 =n(n + 1)(2n + 1)
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UFMG/ICEx/DCC Algoritmos e Estruturas de Dados II 110
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Análise da Função Recursiva
• Considere a seguinte função:
Pesquisa(n) { if (n
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Análise da Função Recursiva
• Qual a equação de recorrência?
T(n) = n + T(n/3)
T(1) = 1
• Resolva a equação de recorrência: • Pode fazer a
simplificação de que n será sempre
divisível por 3
• Somatório de uma PG finita: a1(1– qn)/(1-q)
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Resolvendo a Equação
• Substitui-se os termos T(k), k < n, até que todos os
termos T(k), k > 1, tenham sido substituídos por fórmulas
contendo apenas T(1).
1 → n/3K = 1 → n = 3K 1
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Resolvendo a Equação
Considerando que T(n/3K) = T(1) temos:
T(n) = Σ (n/3i) + T(1) = n Σ (1/3i) + 1 Aplicando a fórmula do
somatório de uma PG finita
(a1 – qn)/(1-q), temos:
n (1 – (1/3)K)/(1 -1/3) + 1 n (1 – (1/3K))/(1 -1/3) + 1 n (1 –
(1/n))/(1 -1/3) + 1 (n – 1)/(2/3) + 1 3n/2 – ½
i=0
K-1
i=0
K-1
O(n)
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Algumas recorrências básicas
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Algumas recorrências básicas: Caso 1
T (n) = T (n2
) + 1 (n � 2)T (1) = 0 (n = 1)
Vamos supor que:
n = 2k ) k = logn
Resolvendo por expansão temos:
T (2k) = T (2k�1) + 1= (T (2k�2) + 1) + 1= (T (2k�3) + 1) + 1 +
1
... ...= (T (2) + 1) + 1 + · · · + 1= (T (1) + 1) + 1 + · · · +
1= 0 + 1 + · · · + 1| {z }
k
= k
T (n) = lognT (n) = O(logn)
UFMG/ICEx/DCC Algoritmos e Estruturas de Dados II 111
Algumas recorrências básicas: Caso 1
T (n) = T (n2
) + 1 (n � 2)T (1) = 0 (n = 1)
Vamos supor que:
n = 2k ) k = logn
Resolvendo por expansão temos:
T (2k) = T (2k�1) + 1= (T (2k�2) + 1) + 1= (T (2k�3) + 1) + 1 +
1
... ...= (T (2) + 1) + 1 + · · · + 1= (T (1) + 1) + 1 + · · · +
1= 0 + 1 + · · · + 1| {z }
k
= k
T (n) = lognT (n) = O(logn)
UFMG/ICEx/DCC Algoritmos e Estruturas de Dados II 111
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Outro exemplo de Pesquisa
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int Pesquisa(int vetor[], int x, int ini, int fim) { if (ini
> fim) return -1; int meio = (ini+fim)/2; if (vetor[meio] == x)
return meio; else if (vetor[meio] < x) return Pesquisa(vetor, x,
meio+1, fim); else if (vetor[meio] > x) return Pesquisa(vetor,
x, ini, meio-1);}
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Exercício
• Crie uma função recursiva que calcula a potência de um
número: • Qual a condição de parada?
• Qual a complexidade de tempo desta função? • Apresente a
equação de recorrência e resolva-a.
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Função de Potência Recursiva
Análise de complexidade:
T(b, 0) = 1; T(b, n) = 1 + T(b, n-1);
O(n)
int pot(int base, int exp){ if (exp == 0) return 1; /* else */
return (base*pot(base, exp-1));}
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Exercícios
• Implemente uma função recursiva para computar o valor de
2n
• Indique e resolva a equação de recorrência da função abaixo.
Qual sua complexidade assintótica?
void f(int a, int b) { // considere b >= 0 if (b == 0) return
a; else return f(a+a, b-1);}
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Respostas
•
• Algoritmo de Euclides. Calcula o MDC (máximo divisor comum)
de dois números a e b
Pot(int n) { if (n==0) return 1; else return 2 * Pot(n-1);}
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Perguntas?
