red Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu: …prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/stereo4.pdfistom pravcu. Os zone je pravac kroz O paralelan ravninama jedne zone. Dakle, u sfernoj projekciji

Sferna projekcija Stereografska projekcija Gnomonska projekcija

Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu:Matematika stereografske i gnomonske projekcije

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Veljaca 2019.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu: Matematika stereografske i gnomonske projekcije


Sferna projekcija

Makroskopske kristale mozemo geometrijski opisati kao poliedre. Dabismo njihove plohe prikazali u ravnini, prvo ih projiciramo na sferu.

Definicija (Sfera)

Skup svih tocaka prostora jednako udaljenih od cvrste tocke (sredista)zove se sfera.

Definicija (Pol; sferna projekcija)

Neka je K poliedar (kristal) i O njegovo srediste (ili neka druga tockaunutar njega) te S2 sfera sa sredistem O takva da je citav K unutar nje.Ako je F strana (ploha) od K , onda je njezin pol tocka PF na sferi S2

takva da je pravac OPF okomit na F (tj. pol je probodiste normale iz Ona F sa sferom).Sferna projekcija od K je skup svih polova svih njegovih strana (ploha).




O

P1

P2

P3

P4

P5

O

φ = 0

S

N

Svi polovi ploha jednog kristala, koje su paralelne jednom pravcu, nalazese na istoj velikoj kruznici na sferi. Vrijedi i obrnuto: Ako nademo plohekoje odgovaraju tockama jedne velike kruznice na sferi, one ce sve bitiparalelne istom smjeru.

Definicija (Zona poliedra (kristala))

Zona je skup svih strana (ploha) tog poliedra (kristala) koje su paralelneistom pravcu. Os zone je pravac kroz O paralelan ravninama jedne zone.

Dakle, u sfernoj projekciji svakoj zoni odgovara jedna velika kruznica nasferi.




O

P1

P2

P3

P4

P5

O

φ = 0

S

N




Dakle, u sfernoj projekciji svakoj zoni odgovara jedna velika kruznica nasferi.




O

P1

P2

P3

P4

P5

O

φ = 0

S

N




Dakle, u sfernoj projekciji svakoj zoni odgovara jedna velika kruznica nasferi.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb



Stereografska projekcija

Definicija (Stereografska projekcija)

Neka je dana sfera i na nju tangencijalna ravnina Π. Tocku u kojoj Πdodiruje sferu oznacimo sa S (

”juzni pol”), a njoj antipodnu tocku na

sferi s N (”sjeverni pol”).

Stereografska projekcija je preslikavanje koje svakoj tocki P na sferi,osim tocki N, pridruzuje po jednu tocku ravnine Π po sljedecem pravilu:Stereografska projekcija PS tocke P je probodiste pravca NP s Π.

S2

Π

N

S

P

P S




Svojstva steoreografske projekcije

Sjeverni pol nema definiranu projekciju; mozemo zamisliti da je njegovaprojekcija

”beskonacno daleka tocka”.

Osnovna svojstva stereografske projekcije pokazao je jos u 2. st. pr. Kr.grcki matematicar i astronom Hiparh. Najstariji sacuvani tekst u kojem jeopisana je Ptolemejev Planisphaerium (2. st. n. e.). Najvaznije svojstvostereografske projekcije je

Teorem

Stereografska projekcija je konformalno preslikavanje, tj. cuva kutovemedu krivuljama.a

aKut medu dvjema krivuljama koje se sijeku definira se kao kut medu njihovimtangentama u tom sjecistu.

No, stereografska projekcija ne cuva udaljenosti ni povrsine.




Svojstva steoreografske projekcije

Sjeverni pol nema definiranu projekciju; mozemo zamisliti da je njegovaprojekcija

”beskonacno daleka tocka”.

Osnovna svojstva stereografske projekcije pokazao je jos u 2. st. pr. Kr.grcki matematicar i astronom Hiparh. Najstariji sacuvani tekst u kojem jeopisana je Ptolemejev Planisphaerium (2. st. n. e.). Najvaznije svojstvostereografske projekcije je

Teorem

Stereografska projekcija je konformalno preslikavanje, tj. cuva kutovemedu krivuljama.a

aKut medu dvjema krivuljama koje se sijeku definira se kao kut medu njihovimtangentama u tom sjecistu.

No, stereografska projekcija ne cuva udaljenosti ni povrsine.




Teorem (Chaslesov teorem)

Stereografska projekcija kruznice na sferi je ili kruznica ili (ako polaznakruznica prolazi kroz N) pravac.

Oba gornja teorema vrijede i ako kao projekcijsku ravninu uzmemo bilokoju ravnini Π paralelnu ravninu.




Kristalografska stereografska projekcija

U kristalografiji se kao projekcijska ravnina uzima ekvatorijalna ravninaE , tj. ravnina simetrije duzine NS .

S2

Π

N

S

P

QPa

P ′ = Q′O

P ′aP S

a

Nadalje, kako bi se dobilo ograniceno podrucje projekcije, definicijastereografske projekcije se malo mijenja: Ako je tocka P iznad E (tj. nasjevernoj hemisferi), ona se projicira iz juznog pola. Kristalografskustereografsku projekciju od P cemo oznacavati s P ′.




Kristalografska stereografska projekcija

U kristalografiji se kao projekcijska ravnina uzima ekvatorijalna ravninaE , tj. ravnina simetrije duzine NS .

S2

Π

N

S

P

QPa

P ′ = Q′O

P ′aP S

a

Nadalje, kako bi se dobilo ograniceno podrucje projekcije, definicijastereografske projekcije se malo mijenja: Ako je tocka P iznad E (tj. nasjevernoj hemisferi), ona se projicira iz juznog pola. Kristalografskustereografsku projekciju od P cemo oznacavati s P ′.




Nedostatak kristalografske stereografske projekcije je da po dvije tockekoje su tocno jedna iznad druge imaju istu projekciju.

Stoga se uvodidodatno oznacavanje tocaka projekcija: ako je original bio iznad ekvatora,projekcija se oznacava znakom •, a ako je bio ispod, znakom ×.Neka je P tocka na sferi s polarnim kutom ρ i azimutom φ. U ravniniprojekcije E odaberemo polarni koordinatni sustav s ishodistem O i takoda ϕ = φ. Zelimo pomocu ρ i φ opisati polarne koordinate d i ϕ od P ′.




Nedostatak kristalografske stereografske projekcije je da po dvije tockekoje su tocno jedna iznad druge imaju istu projekciju. Stoga se uvodidodatno oznacavanje tocaka projekcija: ako je original bio iznad ekvatora,projekcija se oznacava znakom •, a ako je bio ispod, znakom ×.

Neka je P tocka na sferi s polarnim kutom ρ i azimutom φ. U ravniniprojekcije E odaberemo polarni koordinatni sustav s ishodistem O i takoda ϕ = φ. Zelimo pomocu ρ i φ opisati polarne koordinate d i ϕ od P ′.




Nedostatak kristalografske stereografske projekcije je da po dvije tockekoje su tocno jedna iznad druge imaju istu projekciju. Stoga se uvodidodatno oznacavanje tocaka projekcija: ako je original bio iznad ekvatora,projekcija se oznacava znakom •, a ako je bio ispod, znakom ×.Neka je P tocka na sferi s polarnim kutom ρ i azimutom φ. U ravniniprojekcije E odaberemo polarni koordinatni sustav s ishodistem O i takoda ϕ = φ. Zelimo pomocu ρ i φ opisati polarne koordinate d i ϕ od P ′.




S2

Π

N

S

P

O

P

P ′

P ′

r

r

d

d

ρ

ρ

ρ/2

ρ/2

Ako je pol P na sjevernoj polusferi(plavo, ρ ≤ 90◦), vidimo da je∠NSP = 1

2∠NOP = ρ2 pa iz

definicije tangensa imamo

d = rtgρ

2.

Ako je pak P na juznoj polusferi (crno , ρ > 90◦), onda je∠SNP = 1

2∠SOP = 12 (180◦ − ρ) i d = rtg∠SNP, no kako je

tgα = ctg (90◦ − α), dobivamo

d = rctgρ

2.




S2

Π

N

S

P

O

P

P ′

P ′

r

r

d

d

ρ

ρ

ρ/2

ρ/2

Ako je pol P na sjevernoj polusferi(plavo, ρ ≤ 90◦), vidimo da je∠NSP = 1

2∠NOP = ρ2 pa iz

definicije tangensa imamo

d = rtgρ

2.

Ako je pak P na juznoj polusferi (crno , ρ > 90◦), onda je∠SNP = 1

2∠SOP = 12 (180◦ − ρ) i d = rtg∠SNP, no kako je

tgα = ctg (90◦ − α), dobivamo

d = rctgρ

2.




Svojstva kristalografske stereografske projekcije

e′ = e.

Kruznice paralelne s e (paralele) se projiciraju u kruznice sasredistem O.

Velike kruznice koje prolaze kroz N i S (meridijani) se projiciraju upravce kroz O.

Dokaz. Prvo svojstvo je ocigledno. Kako je na fiksnoj paraleli ρkonstantan, prema formuli s prethodnog slide-a dobivamo da je za tockejedne paralele d konstatan, dakle su sve jednako udaljene do O, ergo cinekruznicu. Sve tocke meridijana imaju samo dvije moguce vrijednostiazimuta (φ ili 360◦ − φ) pa se projiciraju u tocke s fiksnim polarnimkutevima φ i 360◦ − φ, a one cine promjer od e. �.





e′ = e.








e′ = e.



Dokaz. Prvo svojstvo je ocigledno.

Kako je na fiksnoj paraleli ρkonstantan, prema formuli s prethodnog slide-a dobivamo da je za tockejedne paralele d konstatan, dakle su sve jednako udaljene do O, ergo cinekruznicu. Sve tocke meridijana imaju samo dvije moguce vrijednostiazimuta (φ ili 360◦ − φ) pa se projiciraju u tocke s fiksnim polarnimkutevima φ i 360◦ − φ, a one cine promjer od e. �.





e′ = e.



Dokaz. Prvo svojstvo je ocigledno. Kako je na fiksnoj paraleli ρkonstantan, prema formuli s prethodnog slide-a dobivamo da je za tockejedne paralele d konstatan, dakle su sve jednako udaljene do O, ergo cinekruznicu.

Sve tocke meridijana imaju samo dvije moguce vrijednostiazimuta (φ ili 360◦ − φ) pa se projiciraju u tocke s fiksnim polarnimkutevima φ i 360◦ − φ, a one cine promjer od e. �.





e′ = e.







Konstrukcija stereografske projekcije tocke

Ako znamo polarni kut ρ i azimut φ pola P, kako cemo pozicionirati P ′?Prvo oznacimo polarnu os koja odgovara azimutu 0. Nadalje, znamoizracunati d = |OP ′|

pa je P ′ na kruznici oko O polumjera d . S drugestrane je ϕ = φ. Primijetimo vrijedi i

s = 2r sinφ

2.

e

φ = 0O

P ′

d

s

σ = φ





Ako znamo polarni kut ρ i azimut φ pola P, kako cemo pozicionirati P ′?Prvo oznacimo polarnu os koja odgovara azimutu 0. Nadalje, znamoizracunati d = |OP ′| pa je P ′ na kruznici oko O polumjera d . S drugestrane je ϕ = φ.

Primijetimo vrijedi i

s = 2r sinφ

2.

e

φ = 0O

P ′

d

s

σ = φ





Ako znamo polarni kut ρ i azimut φ pola P, kako cemo pozicionirati P ′?Prvo oznacimo polarnu os koja odgovara azimutu 0. Nadalje, znamoizracunati d = |OP ′| pa je P ′ na kruznici oko O polumjera d . S drugestrane je ϕ = φ. Primijetimo vrijedi i

s = 2r sinφ

2.

e

φ = 0O

P ′

d

s

σ = φ




Konstrukcija stereografske projekcije zone

Zona u sfernoj projekciji postaje velika kruznica na sferi. U pravoj,matematickoj, stereografskoj projekciji ona se projicira u kruznicu (ili, akoje to bio

”meridijan”, u pravac). U kristalografskoj se

”sjeverni” i

”juzni”

dio zone projiciraju u

dva kruzna luka koji imaju zajednicke krajeve na e.

”Juzni” dio luka je pritom dio prave stereografske projekcije zone.

Koliko tocaka odreduje kruznicu? Za veliku kruznicu na sferi dovoljne sudvije tocke A i B na njoj, ali da bismo nacrtali kruznicu u ravnini trebajunam tri. Koju trecu tocku uzeti ako imamo projekcije od A i B? Trecatocka bit ce prava stereografska projekcija antipodne tocke od A ili od B.







”sjeverni” i

”juzni”

dio zone projiciraju u dva kruzna luka koji imaju zajednicke krajeve

na e.









”sjeverni” i

”juzni”

dio zone projiciraju u dva kruzna luka koji imaju zajednicke krajeve na e.


Koliko tocaka odreduje kruznicu?

Za veliku kruznicu na sferi dovoljne sudvije tocke A i B na njoj, ali da bismo nacrtali kruznicu u ravnini trebajunam tri. Koju trecu tocku uzeti ako imamo projekcije od A i B? Trecatocka bit ce prava stereografska projekcija antipodne tocke od A ili od B.







”sjeverni” i

”juzni”



Koliko tocaka odreduje kruznicu? Za veliku kruznicu na sferi dovoljne sudvije tocke A i B na njoj, ali da bismo nacrtali kruznicu u ravnini trebajunam tri. Koju trecu tocku uzeti ako imamo projekcije od A i B?

Trecatocka bit ce prava stereografska projekcija antipodne tocke od A ili od B.







”sjeverni” i

”juzni”







Konstrukcija stereografske projekcije antipodne tocke

S2

Π

N

S

P

QPa

P ′ = Q′O

P ′aP S

a




O

A′

B′

×

×

A′a

B′a

N

ASa




Gnomonska projekcijaje vrsta centralneprojekcije: Tocke seprojiciraju iz sredistasfere. Kao ravninaprojekcije se obicnouzima tangencijalnaravnina na sferu u N.

Π

N

S

O

P

PG

e

dG

Definicija

Neka je dana sfera sa sredistem O i Π ravnina tangencijalna na sferu.Tocku u kojoj Π dodiruje sferu oznacimo sa N (

”sjeverni pol”).

Gnomonska projekcija je preslikavanje g : S2 → Π koje svakoj tocki T nasferi pridruzuje probodiste T g pravca OT s ravninom Π. Tocka T g zovese gnomonskom projekcijom tocke T .




Svojstva gnomonske projekcije

Parovi antipodnih tocaka projiciraju se u istu tocku – nije injektivna.

Takoder, nije ni konformalna. Kamo se u gnomonskoj projekciji projicirae? U beskonacnost – u beskonacno dalek pravac.

Teorem

Gnomonska projekcija svake velike kruznice na sferi (odnosno, gnomonskaprojekcija svake zone) je pravac.

Dokaz. Ako je k 6= e velika kruznica na sferi, ona lezi u ravnini kojasadrzi O. Stoga se sve tocke s k projiciraju na pravac koji je presjek teravnine i ravnine Π. �.Fiksiramo li jedan promjer sfere u ravnini ekvatora, sve velike kruznicekojima je to promjer projiciraju se u medusobno paralelne pravce. Akoodaberemo dva takva medusobno okomita promjera, dobit cemo mrezusastavljenu od dva smjera medusobno okomitih pravaca.Opcenito se kruznice na sferi u gnomonskoj projekciji projiciraju u konike.





Parovi antipodnih tocaka projiciraju se u istu tocku – nije injektivna.Takoder, nije ni konformalna.

Kamo se u gnomonskoj projekciji projicirae? U beskonacnost – u beskonacno dalek pravac.

Teorem







Parovi antipodnih tocaka projiciraju se u istu tocku – nije injektivna.Takoder, nije ni konformalna. Kamo se u gnomonskoj projekciji projicirae?

U beskonacnost – u beskonacno dalek pravac.

Teorem







Parovi antipodnih tocaka projiciraju se u istu tocku – nije injektivna.Takoder, nije ni konformalna. Kamo se u gnomonskoj projekciji projicirae? U beskonacnost – u beskonacno dalek pravac.

Teorem


Dokaz. Ako je k 6= e velika kruznica na sferi, ona lezi u ravnini kojasadrzi O. Stoga se sve tocke s k projiciraju na pravac koji je presjek teravnine i ravnine Π. �.

Fiksiramo li jedan promjer sfere u ravnini ekvatora, sve velike kruznicekojima je to promjer projiciraju se u medusobno paralelne pravce. Akoodaberemo dva takva medusobno okomita promjera, dobit cemo mrezusastavljenu od dva smjera medusobno okomitih pravaca.Opcenito se kruznice na sferi u gnomonskoj projekciji projiciraju u konike.






Teorem


Dokaz. Ako je k 6= e velika kruznica na sferi, ona lezi u ravnini kojasadrzi O. Stoga se sve tocke s k projiciraju na pravac koji je presjek teravnine i ravnine Π. �.Fiksiramo li jedan promjer sfere u ravnini ekvatora, sve velike kruznicekojima je to promjer projiciraju se u medusobno paralelne pravce.

Akoodaberemo dva takva medusobno okomita promjera, dobit cemo mrezusastavljenu od dva smjera medusobno okomitih pravaca.Opcenito se kruznice na sferi u gnomonskoj projekciji projiciraju u konike.






Teorem






Kamo ce se projicirati tocka sfere koja ima azimut φ i polarnu udaljenostρ?

S2

ΠN

S

O

r

PG = PGa

P

Pa

ρ

dG

dG = ±rtg ρ (1)

Ako bismo u Π odabrali Kartezijev koordinatni sustav s ishodistem N,tako da x-os ima azimut 0, a negativna y -os azimut 90◦:




xG = dG cosφ,

yG = −dG sinφ.

φ = 0

φ = 90◦

(001)(010)

(100)

(210)

(110)

(230)

(310)(410)

(012) (011) (021)

(103)

(102)

(203)

(101)

(201)

(112)

(111)

(214)

(212)

(121)

(211)



Documents

red Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu: …prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/stereo4.pdfistom pravcu. Os zone je pravac kroz O paralelan ravninama jedne zone. Dakle, u sfernoj projekciji