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Redes de Computadores
Camada de AplicaçãoTeoria de Redes Complexas
Modelagem – Modelos de Rede
Estudando redes reais• Como estudar uma rede real?
• Internet, Facebook, ...
• Abstração matemática da realidade
• Permite resultados analíticos atravésda simplificação da realidade
• não somente caracterização,mas também análise e predição
Modelo matemático !
Modelos Determinísticos para Redes
• Estrutura topológica é derterminística
• Propriedades e características topológicas são determinísticas
• por exemplo, diâmetro possui valor conhecido ou pré-estabelecido
• Grafo completo, hipercubo, etc.
Exemplos de modelos ?
Modelos Probabilísticos para Redes• Estrutura topológica é aleatória
• Grafo é definido através de um processo aleatório
• dinâmica do processo origina o grafo
• Espaço amostral são todos os possíveis grafos
• Grafos aleatórios
• teoria iniciada em 1959, por Erdös e Réyni
Exemplos de modelos ?
Modelos de Redes
• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)
• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)
• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)
Modelos de Redes
• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)
• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)
• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)
Modelo G(n,p)
• Modelo clássico para grafos aleatórios
• proposto por Erdös e Rényi (1959)
• Grafo possui n nós
• Cada aresta do grafo existe, independentemente, com probabilidade p
Como funciona o modelo ?
Modelo G(n,p)• Modelo possui dois parâmetros
determinísticos n: número de vértices p: prob. de existência de cada aresta
• Para um par de valores de (n,p), diversos grafos podem ser gerados
Modelo G(n,p)
• A estrutura esperada de um grafo aleatório G(n,p) varia com o valor de p
• arestas conectam nós formando componentes, i.e. subconjuntos de nós alcançáveis por caminhos pela rede
Exemplos...
Exemplos...
Exemplos...
Grau do G(n,p)
• Qual é o grau esperado de um nóqualquer do modelo?
• Se D é a variável aleatória do número de vizinhos de um nó qualquer, qual adistribuição de D?
ii...
Grau do G(n,p)• Cada aresta incide sobre o nó i com
probabilidade p
• Grau esperado de G(n,p)?
Distribuiçãobinomial
Grau do G(n,p)• Para valores grandes de n, a
distribuição do grau de um nó é dada pela distribuição de Poisson
• Distribuição comvalor esperado E[D]
Para n grandee k<<n
Grau do G(n,p)
Coeficiente de Clusterização do G(n,p)
• Nó qualquer, escolhido ao acaso
• Qual o valor esperado para a variável aleatória K representando o coeficiente de clusterização do G(n,p)?
• Efeito “meus amigos também são amigos” depende somente da probabilidade de existência de uma aresta entre eles
Diâmetro do G(n,p)• Grafos aleatórios tendem a ter
diâmetro pequeno
• Modelo G(n,p) captura esta propriedade para diversas redes reais: roteadores na Internet, WWW
Na maioria dos casos,o modelo G(n,p) oferece
boa aproximação de redes reais
em termos de diâmetro
Onde o G(n,p) falha?• Na predição do coeficiente de
clusterização!
• baixo coeficiente de clusterização
19
Modelo G(n,p) ignora características que
favorecem a clusterização!
P. ex. mixing patternsem redes sociais, etc
Onde o G(n,p) falha?
modelo bompara o diâmetro
modelo falhopara a clusterização
Onde o G(n,p) falha?• Na distribuição do grau dos nós!
• G(n,p): exponencial com média E[D]
• Redes reais: poucos com grau alto, muitos com grau baixo...
• Grafo que representa ASes na Internet:10697 nós e 31992 arestas
Modelos de Redes
• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)
• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)
• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)
Small-World
Quantas vezes nossurpreendemos ao
descobrir poucos “saltos”para completos estranhos?
Small-World
• A partir dos resultados do experimento pioneiro do psicólogo social Milgram (1967), dois indivíduos aleatoriamente escolhidos se “mostraram” muito próximos numa rede social
• Experimento popularizou o termo “Small-World”
• pares de nós conectados através de um caminho curto
Seis graus de separação !
Modelo Small-World
• Inspirado nos resultados pioneiros de Milgram:baixo diâmetro
• Inspirado na alta clusterização observada empiricamente
• alta probabilidade de dois nós conectados entre si terem vizinho(s) em comum
• Proposto por Watts e Strogatz em 1998(Nature 393)
• Modelo captura as duas propriedades(tanto o baixo diâmetro quanto a alta clusterização)
• mostra que ambas podem coexistir em um mesmo grafo
Modelo Small-World• A partir de látice regular: estrutura com
“ordem”
• n nós organizados em um círculo
• arestas são definidas entre um nó e seus k nós mais próximos
• Para cada aresta, escolher uma nova extremidade com probabilidade p (introduzir aleatoriedade)
• escolha uniforme entre os demais nós
• valor de p reflete o grau de aleatoriedade
Modelo Small-World
• Modelo possui três parâmetros: n, p, k
• Modelo Small-World está entre uma látice regular e um grafo aleatório
Modelo Small-World
• Interpretação em redes sociais
• Pessoas tem muitas conexões “próximas” que se conhecem entre si (vizinhos, colegas de trabalho, amigos, família, ...): alta clusterização
• Pessoas também tem algumas conexões “distantes”(outra cidade, país, comunidade de interesse, ...), representadas pelas arestas re-posicionadas:baixo diâmetro
O que significa re-organizar as arestas?
Modelo Small-Worldláticeregular
ModeloG(n,p)
Small-World
Collective dynamics of ‘Small-World’ networks,D. Watts & S. Strogatz, Nature 393,1998
Grau do ModeloSmall-World
• Para p=0 (látice regular)
• todos os nós possuem o mesmo grau: parâmetro k
• Para !p 1 (aproximando de rede aleatória)
• distribuição do grau é semelhante ao modelo G(n,p)
Diâmetro doModelo Small-World
• Diâmetro/distância decresce rapidamente com o aumento de p
• Poucas arestas aleatórias são suficientes para diminuir significativamente o diâmetro
Arestas criamatalhos!
Coeficiente de Clusterização do Modelo Small-World
• Para diversas probabilidades de redistribuição de arestas, coeficiente de clusterização se mantém alto
Apesar dos atalhos,clusterização continuaalta mesmo em nós queparticipam dos atalhos
Exemplos de Redes com Características de Small-
World
Lactual ! Lrandom Cactual ≫ Crandom
Onde o Modelo Small-World falha?
• De forma similar ao modelo G(n,p)
• distribuição do grau dos nós não considera diferenciação entre os nós
• não considera evolução da rede no tempo: total de nós e arestas são constantes
Como capturar a dinâmica de um sistema e/ou a preferência entre nós?
Modelos de Redes
• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)
• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)
• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)
Motivação
• Muitas redes reais são dominadas por um número pequeno de nós que estão conectados com muitos outros nós
Nós em vermelhopossuem uma grandequantidade de vizinhos
Motivação
• Muitos nós com poucos vizinhos epoucos nós com muitos vizinhos
• distribuição do grau segue umalei de potência (power-law)
• também conhecidas como redes scale-free
Lei de Potência
Fonte: Linked: The New Science of Networks, A. Barabási, 2002
Redes Scale-Free
Redes Scale-Free
Redes Scale-Free
Distribuição de probabilidades em função do grau
γGrande parte das redes reais apresenta 2< <3
Como obterRedes Scale-Free?
• Modelo deve considerar duas características principais
• Crescimento: nós e arestas são adicionados incrementalmente
• Preferential Attachment: novos nós tendem a se tornarem vizinhos de nós que possuem uma vizinhança maior
Modelo BA
• Proposto por Barabási & Albert em 1999[Emergence of Scaling in Random Networks, Science vol 286 no 5439, 1999]
• Dividido em duas partes
• Crescimento
• Preferential attachment
• Modelo generativo
• topologia da rede é função do processo gerador
Qual a dinâmicado modelo ?
Modelo BA
• Crescimento
• comece com um número pequeno de nós
• adicione um novo nó e o conecte a m diferentes nós que já estejam presentes no sistema
Probabilidade de novaconexão do nó s
depende de seu grau
Programa de Verão LNCC 2011 - Minicurso Redes Complexas
A. P. C. da Silva (UFJF), N. Alves Jr. (CBPF) & A. Ziviani (LNCC)
Preferential Attachment
• Efeito “Rico fica mais rico”
• Diversas funções de preferência podem ser usadas(mixing pattern)
Grau do Modelo BA
• Evolução do modelo
• nós mais populares atraem mais vizinhos
• ex., twitter: celebridades possuem milhares de seguidores e tendem a atrair mais entre novos participantes
• Distribuição de grau dos nós segue umalei de potência com um coeficiente ! específico
• γno modelo BA, = 3
47Programa de Verão LNCC 2011 - Minicurso Redes
Complexas A. P. C. da Silva (UFJF), N. Alves Jr. (CBPF) & A.
Ziviani (LNCC)
Grau do Modelo BA
• Simulação do modelo
• diversos valores para o total de nós que estão inicialmente na rede e quantas arestas são acrescidas a cada passo para um novo nó
• γinclinação próxima a
• Hubs (nós com grande →número de vizinhos)
fazem com que os nós fiquem mais próximos
• ex. disseminação de informação é mais eficiente
Diâmetro do Modelo BADiâmetro menor do que o do Modelo G(n,p)
Coeficiente de Clusterização do Modelo BA
• Clusterização maior do que do modelo G(n,p)
• Diminuição do valor com o aumento da CBA ! 5 vezes maior do que CG(n,p)
Discussão• Redes Scale-Free possuem propriedades
típicas de redes Small-World
• baixo diâmetro (comparada com tamanho da rede)
• alto coeficiente de clusterização (comparada com grafo aleatório)
• Visão mais genérica de redes small-world
• “igualitárias” (grau similar entre os nós): modelo de Watts-Strogatz
• “aristocráticas” (grau segue lei de potência - scale-free): modelo de Barabási-Albert
Ref.: Nexus: Small Worlds and the Groundbreaking Science of Networks, M. Buchanan, 2002