BANCO DE PROBLEMAS

1. MODELOS DE TRANSPORTEProblema 1.- La Compañía BBVA tiene pedidos de tres productos similares: A, B y C con cantidades de 2000, 1500 y 1200 unidades respectivamente.Hay disponibles tres máquinas para las operaciones de manufactura; las tres pueden producir todos los productos a la misma velocidad de producción. Sin embargo, debido a distintos porcentajes de defectuosos en cada producto y cada máquina, el costo unitario de los productos varía, dependiendo de la máquina utilizada. La capacidad de las máquinas 1, 2 y 3 para la semana siguiente son: 1500, 1500 y 1000 unidades respectivamente. Los costos unitarios de producción en dólares/unidad son los siguientes:

Producto

Máquina A B C

1 10 8 12

2 7 5 4

3 6 9 5

Se pide:a. La solución óptima aplicando Vogel y Stepping-Stone.

Nota: Para soluciones degeneradas, el valor Epsilon deberá agregarse en la 1ra celda que no permita encontrar trayectoria cíclica.

b. ¿Qué productos se quedan con demanda insatisfecha y de cuánto?

Problema 2.- Una compañía tiene dos sucursales. Una ubicada en Camaná que puede producir 3000 docenas de cajas y los costos de enviar cada docena de cajas a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 5, 8, 3 y 6 dólares respectivamente, la sucursal de Mollendo puede producir 4000 docenas de cajas y los costos de enviar a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 6, 2, 4 y 5 dólares respectivamente, la fábrica principal ubicada en la ciudad de Arequipa puede producir 5000 docenas de cajas y los costos de enviar a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 4, 5, 7 y 4 dólares respectivamente. Los consumos para las cuatro ciudades son de 2500, 1500, 4500 y 3500 docenas de cajas respectivamente. Determinar el plan y el mínimo costo de transporte desde los centros de abastecimientos a los consumidores. (aplique Voggel y Stepping-Stone)

Problema 3.- Un producto es manufacturado en tres plantas y embarcado a tres almacenes (los costos de transporte por unidad aparecen en la tabla siguiente).

Almacén Capacidadde la plantaPlanta W1 W2 W3

P1 20 16 24 300P2 10 10 8 500P3 12 18 10 100Demanda de cada almacén 200 400 100

a. Muestre una representación en red del problema.

b. Si se obliga agotar la capacidad de la planta P3, desarrolle un modelo de programación lineal para minimización de costos de transpone.Xij: Nro de unidades manufacturados en el almacén i y embarcados al almacén ji=1,2,3j=1,2,3Min 20x11+16x12+24x13+10x21+10x22+8x23+12x31+18x32+10x33 StRestricciones de capacidad de planta:x11+x12+x13≤300x21+x22+x23≤500x31+x32+x33=100 agotar la capacidad de la planta 3Restricciones de demanda de los almacene:x11+x21+x31=200x12+x22+x32=400x13+x23+x33=100xij≥0

Problema 4.- Un producto es manufacturado en tres plantas y embarcado a tres almacenes (los costos de transporte por unidad aparecen en la tabla siguiente).

Almacén CapacidadPlanta W1 W2 W3 de la plantaP1 20 16 24 300P2 15 10 8 500P3 12 18 10 100

Demanda de cada almacén 200 400 300

a) Muestre el modelo matemático respectivo

MODELO MATEMATICO

Xij: Nro. De toneladas embarcadas de la planta i al almacén j

Min 20X11+16X12+24X13+10X21+10X22+8X23+12X31+18X32+10X33

STX11+X12+X13 <= 300X21+X22+X23 <= 500X31+X32+X33 <= 100X11+X21+X31 = 200X12+X22+X32 = 400X13+X23+X33 = 100Xij>=0

b) Determine la solución inicial aplicando el método Vogel.

Solución inicial:X11=200X13=100X22=400X23=100X33=100Z= 200*20+100*24+400*10+100*8+100*10= 12200

c) Determine la solución óptima aplicando el método de Stepping-StoneVM12=16-24+8-10=-10VM21=15-8+24-20=11VM31=12-10+24-20=6VM32=+18-10+8-10=6No es la solución óptima, por lo tanto, reasignamos en la celda 12 la cantidad Min(400,100)=100

W1 W2 W3 OfertaP1 20 16 24    200 100 300

P2 15 10 8      300 200 500

P3 12 18 10        100 100

Demanda 200 400 300 900

VM13=24-8+10-16=10VM21=15-10+16-20=1VM31=12-10+8-10+16-20-4VM32=+18-10+8-10=6

Tampoco es la solución óptima, por lo que reasignamos en la celda 31 la cantidad Min(100,300,200)

W1 W2 W3 Oferta p1 p2 p3P1 20 16 24   4 4 4 5to  200   100 300 100 0      

P2 15 10 8   2 7   2do    400 100 500 100 0      

P3 12 18 10   2 2 2      100 100 0

Demanda 200 400 300 9000 0 200

1000

p1 3 6 2p2 3   2p3 8   14

4to 1ro 3ro

W1 W2 W3 OfertaP1 20 16 24    100 200 300

P2 15 10 8      200 300 500

P3 12 18 10    100   100

Demanda 200 400 300 900

VM13=24-8+10-16=10VM21=15-10+16-20=1VM32=18-16+20-12=10VM33=10-8+10-16+20-12=4Como todos los valores marginales son positivos, es la solución óptima.X11=100X12=200X22=200X23=300X31=100

d) ¿Cuál es el costo total del plan óptimo de transporte?.Z=20*100+16*200+10*200+8*300+12*100=10800

Problema 5.- Considere la representación en red siguiente de un problema de transporte: Los suministros, demandas y costos de transporte por unidad aparecen en la red.

a. Desarrolle un modelo matemático de programación lineal para este problema.

SOLUCION:

Modelo matemático:

Variables de decisión: Xij: Nro de unidades a transportar del origen i al destino j ¥i: 1, 2 ¥j: 1, 2, 3

Min 16X13+9X12+7X11+8X23+10X22+2X21

S.T.X13+X12+X11=30X23+X22+X21=20X13+X23<=25X12+X22<=25

X11+X21<=25Xij>=0

Problema 6.- La Compañía BBVA tiene pedidos de tres productos similares:

PedidosProducto (unidades)

A 2000B 1500C 1200

Hay disponibles tres máquinas para las operaciones de manufactura; las tres pueden producir todos los productos a la misma velocidad de producción. Sin embargo, debido a distintos porcentajes de defectuosos en cada producto y cada máquina, el costo unitario de los productos varía, dependiendo de la máquina utilizada. La capacidad de máquinas para la semana siguiente, así como los costos unitarios son los siguientes:

CapacidadMáquina (unidades)

1 15002 15003 1000

c. Muestre la formulación de programación lineal que permita determinar el programa de producción a costo mínimo de productos y máquinas.

SOLUCION:Min :

1x11 + 1.20x12+ 0.90x13 + 1.30x21 + 1.40x22 + 1.20x23 + 1.10x31 + 1x32 + 1.20x33 S.T.

x11 + x12 + x13 = 1500x21 + x22 + x23 = 1500x31 + x32 + x33 = 1000x11 + x21 + x31 <= 2000x12 + x22 + x32 <= 1500x13 + x23 + x33 <= 1200

d. Tomando la salida del WinQsb mostrada abajo, muestre el programa de producción óptimo, el costo total mínimo y la demanda insatisfecha.

Salida del WinQsb:

ProductoMáquina A B C

123

$1.00$1.30$1.10

$1.20$1.40$1.00

$0.90$1.20$1.20

Programa de Producción

La maquina 1 debe producir 300 unidades del producto A La maquina 1 debe producir 1200 unidades del producto C La maquina 2 debe producir 1500 unidades del producto A La maquina 3 debe producir 1000 unidades del producto B

Costo Total mínimo 4330 dólares

Demanda insatisfecha

200 unidades del producto A y 500 unidades del producto B.

Problema 7.- Una compañía electrónica norteamericana produce una grabadora de cinta operada por baterías en plantas localizadas en Martinsville, Plymouth y Franklin. El costo de transporte uni-tario de embarques desde las tres plantas a los centros de distribución en Chicago, Dallas y New York es como sigue:

Después de tomar en consideración los costos de transporte, la administración ha decidido que bajo ninguna circunstancia se utilizará la ruta Plymouth-Dallas. Las capacidades de planta y los pedidos de los distribuidores para el siguiente mes son los siguientes:

Debido a que existen diferentes escalas de salario en las tres plantas, el costo unitario de producción varía de una a otra. Suponiendo que el costo es de 29.50 dólares por unidad en Martinsville, 31.20 dólares por unidad en Plymouth y 30.35 dólares por unidad en Franklin.

Formule un modelo matemático de programación lineal que determine un plan de producción y de distribución que minimice los costos de producción y de transporte.

Xij: Nro de unidades producidas por la planta i para el distribuidor ji=1,2,3j=1,2,3

Min : 30.95x11 + 30.90x12+ 30.90x13 + 32.30x21 + 33.45x22 + 31.30x23 + 31.55x31 + 31.55x32 + 32.15x33

S.T.x11 + x12 + x13 <= 400x21 + x22 + x23 <= 600x31 + x32 + x33 <= 300x11 + x21 + x31 = 400x12 + x22 + x32 = 400x13 + x23 + x33 = 400

Xij >= 0

Problema 8.-- El Ace Manufacturing Company tiene pedidos de tres productos similares:

PedidosProducto (unidades)

A 200B 400C 300

Hay disponibles tres máquinas para las operaciones de manufactura; las tres pueden producir todos los productos a la misma velocidad de producción. Sin embargo, debido a distintos porcentajes de defectuosos en cada producto y cada máquina, el costo unitario de los productos varía, dependiendo de la máquina utilizada. La capacidad de máquinas para la semana siguiente, así como los costos unitarios son los siguientes:

CapacidadMáquina (unidades)

1 3002 5003 100

a) Construya el modelo matemático que permita determinar el programa de producción a costo mínimo de productos y máquinas. Defina sus variables de decisión

b) Aplique Vogel y Stepping-Stone para encontrar la solución óptima del problema.

Pregunta 9.- El Ace Manufacturing Company tiene pedidos de tres productos similares (A,B,C) con 200, 400 y 300 unidades respectivamente.Hay disponibles tres máquinas (1,2,3) para las operaciones de manufactura; las tres pueden producir todos los productos a la misma velocidad de producción. Sin embargo, debido a distintos porcentajes de defectuosos en cada producto y cada máquina, el costo unitario de los productos varía, dependiendo de la máquina utilizada. La capacidad de máquinas (A,B,C) para la semana

ProductoMáquina A B C

123

$2.00$1.50$1.20

$1.60$1.00$1.80

$2.40$0.80$1.00

siguiente son de 300, 500 y 100 unidades respectivamente. Los costos unitarios de cada máquina por cada producto en dólares son los siguientes: Máquina A B C

1 2.0 1.6 2.42 1.5 1.0 0.83 1.2 1.8 1.0

Aplique Vogel y Stepping-Stone para encontrar la solución óptima del problema.

2. MODELOS DE ASIGNACIÓN

Problema 1.- El gobierno desea instalar 5 proyectos de inversión (1, 2, 3, 4 y 5) en las regiones A, B, C y D. Se instala a lo más un proyecto por región.La siguiente tabla muestra la rentabilidad de la inversión en un horizonte de vida de 5 años (en millones de dólares):

RegiónProyecto A B C D 1 40 40 35 45 2 25 20 25 20 3 10 15 15 10 4 35 30 30 35 5 30 20 15 40

Como Asesor de gobierno en Planificación:a) Aplique el algoritmo Húngaro y determine la asignación óptima de los proyectos a cada

Región, de tal manera que se obtenga el máximo rendimiento de la inversión. b) Construya el modelo matemático respectivo.

SOLUCIÓNALGORITMO HÚNGARO:

MODELO MATEMÁTICO:Xij =1, si el proyecto i es asignado a la Región j; = 0 en caso contrarioi=1,2,3,4,5j=a,b,c,d

Max 40X1a+40X1b+35X1c+…+40X5dStRestricciones de oferta:X1a+X1b+X1c+X1d<=1X2a+X2b+X2c+X2d<=1X3a+X3b+X3c+X3d<=1X4a+X4b+X4c+X4d<=1X5a+X5b+X5c+X5d<=1Restricciones de demanda:X1a+X2a+X3a+X4a+X5a=1X1b+X2b+X3b+X4b+X5b=1X1c+X2c+X3c+X4c+X5c=1X1d+X2d+X3d+X4d+X5d=1Xij 0,1

Problema 2.- HTV utiliza el producto químico RB en sus operaciones de producción en cinco di-visiones. Sólo seis proveedores llenan los estándares de control de calidad de HTV para RB. Los seis proveedores pueden producir RB en cantidades suficientes para dar servicio a las necesidades de cada una de las divisiones. Los volúmenes de RB necesarios para cada división de HTV y el precio por galón que carga cada proveedor son como sigue:

DemandaDivisión Miles de galones

1 402 453 504 355 45

El costo por galón ($) para embarcar de cada uno de los proveedores a cada una de las divisiones aparece en la siguiente tabla.

ProveedorDivisión 1 2 3 4 5 6

1 2.75 2.50 3.15 2.80 2.75 2.752 0.80 0.20 5.40 1.20 3.40 1.003 4.70 2.60 5.30 2.80 4.00 5.604 2.40 1.80 4.40 2.40 5.00 2.805 3.40 0.40 5.00 1.20 2.60 3.60

HTV cree en distribuir sus necesidades entre proveedores, de manera que la empresa resulte menos afectada por sus problemas (por ejemplo, huelgas o disponibilidad de recursos). La política de la empresa requiere que cada una de las divisiones tenga un proveedor distinto.

a. Para cada combinación proveedor-división, calcule el costo total de satisfacer la demanda de dicha división.

b. Determine el MODELO MATEMÁTICO que permita determinar la asignación óptima de proveedores a divisiones y defina la variable de decisión.

SOLUCIÓN:

a) Para cada celda hay que multiplicar la demanda requerida por la suma de ambos costos, por ejemplo para la celda 1,1 el costo lo calculamos de la siguiente manera: 40*(2.75+12.60)=614

PrecioProveedor por galón($)

1 12.602 14.003 10.204 14.205 12.006 13.00

ProveeedorDivisión 1 2 3 4 5 6

1 614 660 534 680 590 6302 603 639 702 693 693 6303 865 830 775 850 800 9304 525 553 511 581 595 5535 720 648 684 693 657 747

b) MODELO MATEMÁTICO:

Xij =1, si el proveedor i atiende a la división j; = 0 en caso contrarioi=1,2,3,4,5,6j=1,2,3,4,5

Min 614X11+660X12+534X13+…+747X56StRestricciones de oferta:X11+X12+X13+X14+X15≤1X21+X22+X23+X24+X25≤1X31+X32+X33+X34+X35≤1X41+X42+X43+X44+X45≤1X51+X52+X53+X54+X55≤1X61+X62+X63+X64+X65≤1Restricciones de demanda:X11+X21+X31+X41+X51+X61=1X12+X22+X32+X42+X52+X62=1X13+X23+X33+X43+X53+X63=1X14+X24+X34+X44+X54+X64=1X15+X25+X35+X45+X55+X65=1Xij 0,1

Problema 3.-- Hay cinco emergencias que solicitan en forma simultánea una ambulancia. Se tiene disponible solamente cuatro ambulancias para atender dichas emergencias. En la Tabla siguiente se da la distancia que hay entre la ubicación de la ambulancia y el lugar de cada emergencia. La meta es asignar las ambulancias a las emergencias de tal manera que se minimice la distancia total recorrida. Formule el Modelo matemático respectivo y defina la variable de decisión.

DISTANCIA (Kms.)Emergencia 1 Emergencia 2 Emergencia 3 Emergencia 4 Emergencia 5

Ambulancia 1 10 15 10 15 16Ambulancia 2 5 8 20 16 6Ambulancia 3 12 9 12 8 12Ambulancia 4 6 12 18 18 13

MODELO MATEMÁTICO:Xij =1, si el trabajador i es asignado al trabajo j; = 0 en caso contrarioi=1,2,3,4j=1,2,3,4,5

Max 10X11+15X12+10X13+…+13X45StRestricciones de oferta:X11+X12+X13+X14+X15=1

X21+X22+X23+X24+X25=1X31+X32+X33+X34+X35=1X41+X42+X43+X44+X45=1Restricciones de demanda:X11+X21+X31+X41 ≤1X12+X22+X32+X42 ≤1X13+X23+X33+X43 ≤1X14+X24+X34+X44 ≤1X15+X25+X35+X45 ≤1Xij 0,1

3. MODELOS DE TRANSBORDOProblema 1.- Existen 2 fábricas (A y B), 3 mercados (E, F y G) y 2 puntos de transbordo (C y D). Las fábricas tienen capacidades de producción de 500 y 900 metros cúbicos por día (m3/d) respectivamente, los mercados tienen demandas de 700, 800 y 400 m3/d respectivamente y el punto de transbordo C tiene capacidad máxima de 600 m3/d.Así mismo se tiene la siguiente matriz de costos de transporte en dólares por m3:

  C D E F GA 5 6 13     B 3 4      C     4 6 2D     7 4G     3

Suponiendo que los costos de producción por unidad en A y B son de 15 y 17 dólares respectivamente, que se obliga satisfacer la demanda del destino G, que de debe cumplir por lo menos con 500 m3 con el mercado E, así como agotar la capacidad del transbordo C, construya la red de transbordo y el modelo matemático respectivos.

Problema 2.- Dada la siguiente red de transbordo, donde se indica la capacidad de producción y la demanda en toneladas de un producto:

La capacidad de transbordo de los nodos 4 y 5 son de 700 y 400 toneladas respectivamente. Así mismo se tiene la siguiente matriz de costos de transporte en dólares por tonelada:

  4 5 6 7 81 3 4      2 2 3      3 1 2      4     5 6 45     4 3 2

Suponiendo que se obliga agotar la demanda del destino 7, Determinar:A) El plan de transbordoB) El costo totalC) La demanda insatisfecha

SOLUCIÓNSea Xij: Nro. de toneladas a transportar por el tramo iji = 1,2,3,4,5j = 3,4,5,6,7,8

La salida del software es:

Respuestas:A) El plan de transbordo es: x14=400, x24=300, x35=400, x47=100, x48=600 y x57=400B) 6800 dólaresC) La demanda insatisfecha en destino 6 es 300 toneladas y en el destino 8 100 toneladas

Problema 3.- Dada la siguiente red de transbordo, donde se indica la capacidad de producción y la demanda en toneladas de un producto:

Así mismo se tiene la siguiente matriz de costos de transporte en dólares por tonelada:

  3 4 5 6 71 5 6      2 7 4      3     4 5 64     6 5 4

Suponiendo que se prohíbe la ruta 3 a 6 y se obliga satisfacer la demanda del destino 6, Determinar:

D) El plan de transbordo

E) El costo totalF) La demanda insatisfecha

SOLUCIÓN

Sea Xij: Nro. de toneladas a transportar por el tramo iji = 1,2,3,4j = 3,4,5,6,7

Min 5x13+6x14+7x23+4x24+4x35+5x36+6x37+6x45+5x46+4x47StX13+x14=500X23+x24=900X13+x23-x35-x36-x37=0X14+x24-x45-x46-x47=0X35+x45<=700X36+x46=800X37+x47<=400X36=0

Respuestas:D) El plan de transbordo es: x13=500, x24=900, x35=500, x46=800 y x47=100E) 12500 dólaresF) Demanda insatisfecha de 200 toneladas en el destino 5 y de 300 toneladas en el destino

7.

Problema 4.- Dada la siguiente red de transbordo, donde se indica la capacidad de producción la demanda en toneladas de un producto:

Así mismo se tiene la siguiente matriz de costos de transporte en dólares por tonelada:

  3 4 5 6 71 3 2      2 3 4      3     4 1 3

4     4 1 3

Suponiendo que se obliga satisfacer la demanda del destino 5, Determinar:G) El plan de transbordoH) El costo totalI) La demanda insatisfecha

SOLUCIÓNSea Xij: Nro. de toneladas a transportar por el tramo iji = 1,2,3,4j = 3,4,5,6,7

Min 3x13+2x14+3x23+4x24+4x35+1x36+3x37+4x45+1x46+3x47StX13+x14=1000X23+x24=1500

X13+x23-x35-x36-x37=0X14+x24-x45-x46-x47=0

X35+x45=500X36+x46<=1200X37+x47<=1000

Respuestas:G) El plan de transbordo es: x14=1000, x23=1500, x36=700, x37=800, x45=500 y x46=500H) 12100 dólaresI) Demanda insatisfecha de 200 toneladas en el destino 7.

Problema 5.- El sistema de distribución para la empresa xyz está formado por 3 plantas, 2 almacenes y 4 clientes. La capacidad de las plantas y los costos de embarque (en $) desde cada una de las plantas a cada uno de los almacenes, son:

La demanda de los clientes y los costos unitarios de embarque (en $) de cada uno de los almacenes a cada uno de los clientes son:

Suponiendo que exista transbordo entre los almacenes 1 y 2 y viceversa, con un costo unitario de $5:

a) Desarrolle una representación en Red para este problemab) Construya un modelo matemático para este problema, que permita su solución óptima.

Rpta.:Red del problema:

Xij= Nro de unidades a transportar por el arco ij de la redPara todo i=1,2,3,4,5 y para todo j=4,5,6,7,8,9Min 4X14+7X15+8X24+5X25+5X34+6X35+5X45+5X54+6X46+4X47+8X48+4X49+3X56+6X57+7X58+7X59STRestricciones De oferta:X14+X15<=500X24+X25<=600X34+X35<=400Restricciones de demanda:X46+X56=300X47+X57=200X48+X58=300X49+X59=400Restricciones de equilibrio en los transbordos:X14+X24+X34+X54=X46+X47+X48+X49+X45X15+X25+X35+X45=X56+X57+X58+X59+X54Xij>=0

Problema 6.- La Cía. XXX produce petróleo en dos pozos. El pozo 1 produce 150 000 barriles por día y el pozo 2 produce 200 000 barriles por día. Es posible transportar petróleo a los puertos 1 y 2 y luego enviarlo a los mercados 1 y 2. Este último mercado requiere 260 000 barriles por día y el 1 requiere 140 000 barriles por día. El costo de enviar 1000 barriles entre dos puntos se muestra en la tabla siguiente:

Suponga que antes de ser enviado a los mercados, todo el petróleo producido en los pozos debe refinarse en los puertos. Refinar 1000 barriles de petróleo cuesta $12 en el puerto 1 y $10 en el puerto 2. Suponiendo que el puerto 2 tiene una capacidad de refinación de 150000 barriles por día y el puerto 1 tiene una de 180000 barriles por día, formule un modelo matemático para minimizar el costo diario de transportar y refinar los requerimientos de petróleo de los mercados. Defina las variables de decisión.

Problema 7.- El problema de trasbordo es una extensión del modelo de transporte, al cual se agregan nodos intermedios denominados nodos de trasbordo.

Características del modelo:

La oferta disponible es limitada.En cada destino, la demanda está especificada.El objetivo generalmente es minimizar costos de traslado de los bienes desde los orígenes hasta los destinos.

Para mostrar el problema de trasbordo, desarrollemos el siguiente ejemplo: Enigma S.A. tiene plantas de producción en Lima y Tacna. Los productos fabricados en cualquiera de estas instalaciones pueden ser enviados a cualquiera de sus almacenes regionales en Ica y Arequipa. De los almacenes regionales, la empresa distribuye a detallistas al menudeo en Ayacucho, Huancayo, Cusco y Huánuco. En las siguientes tablas aparece el costo unitario de transporte de cada ruta de distribución.

Planta Almacén Cantidad ofrecidaIca Arequipa

Lima 2 3 600Tacna 3 1 400

Almacén Distribuidor al detalleAyacucho Huancayo Cusco Huánuco

Ica 2 6 3 6Arequipa 4 4 6 5Cantidad demandada

200 150 350 300

Se debe determinar cuántos productos deben ser trasladados por cada ruta propuesta de tal manera que se cumpla con la cantidad demandada por cada distribuidor al menor costo posible.

Diagrama de red:

Como es un caso de transporte, el diagrama de red en el problema de trasbordo muestra las unidades a transportar. Los lugares de origen trasbordo y los de destinos están representados por círculos conectados con una línea que indica la ruta. Al lado de cada círculo de origen y destino se indica la cantidad de unidades ofrecidas y demandadas sobre las líneas se indican los respectivos costos de la transporte. La numeración de los nodos se hace de manera consecutiva dado que los nodos de trasbordo son tanto origen como destino de rutas.

Variables:

Xij: número de unidades transportadas del suministro i al destino j

Modelo:

Min 2 X13 + 3 X14 + 3 X23 + 1 X24 + 2 X35 + 6 X36 + 3 X37 + 6 X38 + 4 X45 + 4 X46 + 6 X47 + 5 X48

Sujeto a:X13 + X14 600 (suministro de Lima)X23 + X24 400 (suministro de Tacna)- X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0 (trasbordo en Ica)- X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0 (trasbordo en Arequipa)X35 + X45 = 200 (demanda de Ayacucho)X36 + X46 = 150 (demanda de Huancayo)X37 + X47 = 350 (demanda de Cusco)X38 + X48 = 300 (demanda de Huanuco)Xij 0 para todos los i, j

Resolviendo el problema usando el programa LINDO tenemos:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 5200.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X13 550.00 0.00 X14 50.00 0.00 X23 0.00 3.00 X24 400.00 0.00 X35 200.00 0.00 X36 0.00 1.00

X37 350.00 0.00 X38 0.00 0.00 X45 0.00 3.00 X46 150.00 0.00 X47 0.00 4.00 X48 300.00 0.00

Los valores de las variables representan la cantidad de productos que serán transportados siguiendo la respectiva ruta.

X13: 550 unidades transportadas de Lima a Ica X14: 50 unidades transportadas de Lima a Arequipa X24: 400 unidades transportadas de Tacna a Arequipa X35: 200 unidades transportadas de Ica a Ayacucho X37: 350 unidades transportadas de Ica a Cusco X46: 150 unidades transportadas de Arequipa a Huancayo X48: 300 unidades transportadas de Arequipa a Huánuco

El costo total de la operación es de S/. 5 200

Diagrama de red con la solución:

Problema 8.- La Cía. XXX produce petróleo en dos pozos. El pozo 1 produce 150 000 barriles por día y el pozo 2 produce 200 000 barriles por día. Es posible transportar petróleo a los puertos 1 y 2 y luego enviarlo a los mercados 1, 2 y 3. Este último mercado requiere 160 000 barriles por día, el 2 requiere 100 000 barriles y el 1 requiere 140 000 barriles por día. El costo de enviar 1000 barriles entre dos puntos se muestra en la tabla siguiente:

Suponga que antes de ser enviado a los mercados, todo el petróleo producido en los pozos debe refinarse en los puertos. Refinar 1000 barriles de petróleo cuesta $12 en el puerto 1 y $10 en el puerto 2. Suponiendo que el puerto 2 tiene una capacidad de refinación de 200 000 barriles por día, formule un modelo matemático para minimizar el costo diario de transportar y refinar los requerimientos de petróleo de los mercados, suponiendo que se exige agotar la demanda del mercado 1, agotar por lo menos el 70% de la capacidad de refinación del puerto 2. Muestre la red respectiva.

4. MODELOS DE LA RUTA MAS CORTAProblema 1.- Dada la siguiente Red:

Si la Red mostrada arriba representa alternativas de traslado para una visita del alcalde de Seatle a la ciudad El Paso y los datos de los arcos representan distancias de recorrido en kilómetros, construya el modelo matemático respectivo que determine la trayectoria de desplazamiento, suponiendo que se considera como alternativa de traslado el tramo 2 a 6 ó 6 a 2 con 700 kms. de distancia.

SoluciónPara formular el modelo matemático, en vista de que todos los arcos tienen la misma distancia del nodo i al nodo j que del nodo j al nodo i, podemos utilizar una sola variable por cada arco de la red a efectos de simplificación:

Xij=1, si el arco ij es considerado en la trayectoria; =0, en caso contrario.i=1,2,3,…,18j=2,3,4,…,19

Min 599x12+180x13+497x14+700x26+420x27+691x28+432x34+200x35+345x47+138x56+291x510+526x67+440x78+432x711+621x712+102x89+452x912+280x1011+114x1013+155x1114+108x1115+140x1116+469x1215+180x1219+120x1314+386x1316+118x1317+207x1415+403x1619+425x1718+314x1819Stx12+x13+x14=2x12+ x26+x27+x28 =2x13+x34+x35=2x14+x34+x47=2x35+x56+x510=2x26+X56+x67=2x27+x47+x67+x78=2x28+x78+x89=2x89+x912=2x510+x1011+x1013=2x711+x1011+x1114+x1115+x1116=2x712+x912+x1215+x1219=2x1013+x1314+x1316+x1317=2x1114+x1314+x1415=2x1115+x1215+x1415=2x1116+x1316+x1619=2

x1317+x1718=2x1718+x1819=2x1219+x1619+x1819=2Xij0,1

Problema 2.- Suponga que un automóvil nuevo cuesta 10000 dólares y que el costo anual de operación y valor de reventa son los que se muestran en la tabla siguiente:

EDAD DEL AUTOMÓVIL

VALOR DE REVENTA

COSTO DEOPERACIÓN

(Años) (Dólares) (Dólares)1 7000 3002 6000 5003 4000 8004 3000 12005 1000 2000

Si acabo de comprar un auto nuevo, construya un modelo matemático que permita determinar una política de reemplazo que minimice el costo neto de poseer y operar un automóvil durante los siguientes 6 años.

SOLUCIÓN

Modelo Matemático:

Sea Xij=1 si el arco ij está en la ruta más corta, =0 en caso contrario

i=1,2,3,…,21j=2,3,4,…,22

Min 10300x0102+500x0203+3300x0204+800x0305+4300x0307+500x0406+3300x0407+1200x0508+6300x0511+800x0609+4300x0611+500x0710+3300x0711+2000x0812+7300X0816+1200x0913+6300x0916+800x1014+4300x1016+500x1115+3300x1116+9300x1221+2000x1317+7300x1321+1200X1418+6300x1421+800x1519+4300x1521+500x1620+3300x1621-1000x1722-3000x1822-4000x1922-6000x2022-7000x2122Stx0102=1x0203+x0204-x0102=0x0305+x0307-x0203=0x0406+x0407-x0204=0x0508+x0511-x0308=0x0609+x0611-x0406=0x0710+x0711-x0307-x0407=0x0812+x0816-x0508=0x0913+x0916-x0609=0x1014+x1016-x0710=0x1115+x1116-x0511-x0611-x0711=0x1221-x0812=0x1317+x1321-x0913=0x1418+x1421-x1014=0x1519+x1521-x1115=0x1620+x1621-x0816-x0916-x1016-x1116=0x1722-x1317=0x1822-x1418=0x1922-x1519=0x2022-x1620=0x2122-x1221-x1321-x1421-x1521-x1621=0x1722+x1822+x1922+x2022+x2122=1Xij0,1

Salida del Lindo:

Política óptima:Año 1: ConservarAño 2: ConservarAño 3: ReemplazarAño 4: ConservarAño 5: ReemplazarAño 6: Conservar y al final del año Vender

Problema 3.- La principal máquina de un proceso químico de producción es inspeccionada anualmente, siendo conservada o reemplazada. El costo de mantenimiento y el valor de rescate de esta maquina se presenta en la tabla siguiente:

Edad (años): 1 2 3 4 Costo de mantenimiento (miles de $) 700 300 900 1200 Valor de rescate (miles de $) 950 500 200 0

El costo de una máquina nueva es de $ 2 500 000. La vida útil de las instalaciones que realizan este proceso de producción es de 4 años al final de lo cual toda la instalación será rescatada. La máquina actual tiene 3 años. Construya EL MODELO MATEMÁTICO que permita determinar el plan de mantenimiento y reemplazo de esta máquina.

Xij = 1, si el arco ij es considerado en la ruta; =0, en caso contrario.i=01,02,03,…,12j=02,03,04,…,13Min 1200x0102+3000x0103+3200x0205+3000x0304+2250x0305+900x0406+2700x0408+300x0507+2250x0508+1200x0609+3000x0612+900x0710+2700x0712+300x0811+2250x0812-200x1013-500x1113-950x1213STNodo 1: x0102+x0103=1Nodo 2: x0205-x0102=0Nodo 3: x0304+x0305-x0103=0Nodo 4: x0406+x0408-x0304=0Nodo 5: x0507+x0508-x0205-x0305=0Nodo 6: x0609+x0612-x0406=0Nodo 7: x0710+x0712-x0507=0Nodo 8: x0811+x0812-x0408-x0508=0Nodo 9: x0913-x0609=0Nodo 10: x1013-x0710=0Nodo 11: x1113-x0811=0Nodo 12: x1213-x0612-x0712-x0812=0Nodo 13: x0913+x1013+x1113+x1213=1

Xij0,1

Problema 4.- La principal máquina de un proceso químico de producción es inspeccionada anualmente, siendo conservada o reemplazada. El costo de mantenimiento y el valor de rescate de esta maquina se presenta en la tabla siguiente:

Edad (años): 1 2 3 4 Costo de mantenimiento (miles de $) 700 300 900 1200 Valor de rescate (miles de $) 950 500 200 0

El costo de una máquina nueva es de $ 2 500 000. La vida útil de las instalaciones que realizan este proceso de producción es de 4 años al final de lo cual toda la instalación será rescatada. La máquina actual tiene 2 años. Construya gráfico de la red respectiva y EL MODELO MATEMÁTICO que permita determinar el plan de mantenimiento y reemplazo de esta máquina.

Problema 5.- Cuesta $40 comprar un equipo. Suponga que puedo mantener el equipo a lo sumo 5 años y que el costo de mantenimiento estimado cada año de operación es como sigue: año 1, $20; año 2, $30; año 3, $40; año 4, $60; año 5, $70. Acabo de comprar un nuevo equipo. Suponiendo que el equipo no tiene valor de salvamento (rescate), grafique la rede de arcos que represente este problema y construya el modelo matemático que determine el costo total mínimo de comprar y operar un equipo durante los siguientes 6 años.

5. MODELOS DEL FLUJO MÁXIMO

Problema 1.- Dada las capacidades de Flujo de una Red de transporte de fluidos (en miles de barriles por hora):

  1 2 3 4 5 6 71 10 18 312 11 15 93 11 9 8 164 9 205 8 25 106 16 25 107

Suponiendo que se exige agotar la capacidad del tramo 2 a 3, construya el modelo matemático que permita determinar el flujo máximo de la red.

SOLUCIÓNXij= Nro de miles de barriles por hora que fluye por el arco iji=1,2,3,…,6j=2,3,4,…,7

Max F Stx12+x13+x14-F=0x23+x25-x12=0x32+x34+x35+x36-x13-x23-x43-x53-x63=0x43+x46-x14-x34=0x53+x56+x57-x25-x35-x65=0x63+x65+x67-x36-x46-x56=0x57+x67-F=0x12≤10x13≤18x14≤31x23=11x25≤15x26≤9x32≤11x34≤9x35≤8x36≤16x43≤9x46≤20x53≤8x56≤25x57≤10x63≤16x65≤25x67≤10Xij≥0

Problema 2.- Dada las capacidades de Flujo de una Red de transporte de fluidos en miles de barriles por día:

Considerando que se obliga un flujo mínimo por el arco 46 de 4000 barriles por día y se prohíbe el flujo de 5 a 3, construya el modelo matemático que permita determinar el flujo máximo de la Red.

Xij: Nro de miles de barriles por día que fluyen por el arco iji=1,2,3,4,5,6j=2,3,4,5,6,7

Max FStRestricciones de equilibrio de flujo en cada nodo:x12+x13+x14-F=0 nodo 1x24+x26-x12-x42-x62=0 nodo 2x34+x35-x13-x43-x53=0 nodo 3x42+x43+x46-x14-x24-x34-x54=0 nodo 4x53+x54+x56+x57-x35-x65=0 nodo 5x62+x65+x67-x26-x46-x56=0 nodo 6x57+x67-F=0 nodo 7Restricciones de capacidad de arco:x12≤5x13≤4x14≤2x24≤1x26≤4x34≤1x35≤3x42≤1x43≤3x46≤6x46≥4x53≤3x53=0x54≤3x56≤5x57≤7x62≤5x65≤6x67≤3xij≥0

b) Dibuje la red sin la información de capacidades y grafique en ella la cantidad que fluye por cada arco e indique así mismo la dirección del flujo (grafique la dirección de la flecha en cada arco)

Problema 3.- Dada la siguiente red de un gaseoducto donde se indica la capacidad de flujo en miles de barriles por hora de cada tramo de la red:

Si se obliga utilizar la capacidad total del tramo 3 a 5 y se prohíbe utilizar el tramo de 5 a 6 y de 6 a 5, construir el modelo matemático para hallar el flujo máximo de la red.SoluciónXij: Número de miles de barriles por hora que fluye por el tramo ij de la red. i=1,2,3,4,5,6,7,8

Suponiendo que la solución óptima utilizando el software Lindo es la que se muestra al costado izquierdo, responda lo siguiente:

a) ¿Cuál es el flujo máximo que puede fluir por la red?10000 barriles por día

j=2,3,4,5,6,7,8,9Max FStX12+X13+X14=FX23+X25+X27-X12-X32=0X32+X34+X35+X36-X13-X23-X43=0X43+X46+X48-X14-X34=0X56+X57+X59-X25-X35-X65=0X65+X67+X68+X69-X36-X46-X56=0X79-X27-X57-X67=0X89-X48-X68=0X59+X69+X79+X89=FX12≤10X13≤20X14≤30X23≤10X25≤5X27≤20X32≤10X34≤5X35=5X36≤5X43≤5X46≤10X48≤20X56=0X57≤10X59≤5X65=0X67≤10X68≤10X69≤5X79≤5X89≤10Xij≥0

Problema 4.- Dada la siguiente red de un gaseoducto donde se indica la capacidad de flujo en miles de barriles por hora de cada tramo de la red:

Si se prohíbe utilizar el tramo 2 a 5 y se exige un flujo mínimo de 5 mil barriles por hora por el tramo 3 a 5, se pide:

A) F

B) El flujo por cada arco de la red

SOLUCIÓNSea Xij: Nro de miles de barriles por hora que fluirá por el arco ij de la red.i = 1,2,3,4,5,6,7j = 2,3,4,5,6,7,8Max fStX12+x13+x14+x15-f=0X23+x25+x27-x12-x32=0X32+X34+x35+x38-x13-x23-x43=0X43+x46-x14-x34=0X56+x57+x58-x15-x25-x35-x65=0X65+x68-x46-x56=0X78-x27-x57=0f-x38-x58-x68-x78=0x12<=50x13<=10x14<=20x15<=30x23<=5x25=0x27<=10x32<=5x34<=10x35<=10x35>=5x38<=20x43<=10x46<=20x56<=10x57<=10x58<=10x65<=10x68<=10x78<=30

A) Flujo Máximo 60 mil barriles por horaB) X12=15, x13=10, x14=10, x15=25, x23=5, x27=10, x35=5, x38=20, x43=10, x56=10,

x57=10, x58=10, x68=10 y x78=20

Problema 5.- Construya el modelo matemático que permita determine el flujo máximo entre el nodo 1 y el nodo 6 en la figura siguiente:

Problema 6.- Dada la siguiente red de un gaseoducto donde se indica la capacidad de flujo en miles de barriles por hora de cada tramo de la red:

Si se obliga utilizar la capacidad total del tramo 3 a 5 y se prohíbe utilizar el tramo de 5 a 6 y de 6 a 5, construir el modelo matemático para hallar el flujo máximo de la red.

Problema 7.- Dada la siguiente red de un gaseoducto donde se indica la capacidad de flujo en miles de barriles por hora de cada tramo de la red. La dirección de la flecha representa el sentido del flujo.

Si se exige un flujo mínimo de 10 mil barriles por hora por el tramo 3 a 6, se pide construir el modelo matemático que permita determinar el flujo máximo de la red. Defina la variable de decisión.

Problema 8.- Dada las capacidades de Flujo de una Red de transporte de fluidos en miles de barriles por día:

Considerando que se obliga un flujo mínimo por el arco 46 de 4000 barriles por día y se prohíbe el flujo de 5 a 3, construya el modelo matemático que permita determinar el flujo máximo de la Red.

6. MODELOS DEL AGENTE VIAJERO:

Problema 1.- Dada la siguiente red de vías alternativas de desplazamiento de los recolectores de basura en una urbanización de Arequipa, construya el MODELO MATEMÁTICO respectivo que permita determinar la trayectoria que inicie en el nodo 1, visite el resto de nodos una sola vez y regrese nuevamente al nodo 1, de tal manera que la distancia total recorrida sea la mínima posible. Considere que la ruta que conecta los nodos 18, 13 y 8 es una calle de un solo sentido. Defina la variable respectiva.

Xij=1, si el arco ij es considerado en la trayectoria; = 0, en caso contrario.i=1,2,3,...,19j=2,3,4,...,20

MIN

100x0102+80x0106+100x0201+500x0203+260x0207+500x0302+500x0304+300x0308+500x0403+400x0405+700x0409+400x0504+750x0510+80x0601+200x0607+300x0611+200x0706+260x0702+310x0708+250x0712+300x0803+310x0807+200x0809+190x0813+200x0908+700x0904+200x0910+180x0914+200x1009+750x1005+130x1015+300x1106+350x1112+100x1116+350x1211+250x1207+150x1213+200x1217+150x1312+190x1308+250x1314+250x1318+250x1413+180x1409+350x1415+350x1419+350x1514+350x1514+130x1510+300x1520+100x1611+400x1617+400x1716+200x1712+100x1718+100x1817+250x1813+180x1819+180x1918+350x1914+400x1920+400x2019+300x2015

ST

X0102+x0106=1

X0201+x0601=1

X0201+x0207+x0203=1

X0102+x0702+x0302=1

X0302+x0308+x0304=1

X0203+x0803+x0403=1

X0403+x0409+x0405=1

X0304+x0904+x0504=1

X0504+x0510=1

X0405+x1005=1

X0601+x0607+x0611=1

X0106+x76+x1106=1

X0702+x0706+x0708+x0712=1

X0207+x0607+x0807+x1207=1

X0803+x0807+x0809+x0813=1

X0308+x0708+x0908+x1308=1

X0904+x0908+x0910+x0914=1

X0409+x0809+x1009+x1409=1

X1005+x1009+x1015 =1

X0510+x0910+x1510 =1

X1106+x1112+x1116=1

X0611+x1211+x1611=1

X1207+x1211+x1213+x1217=1

X0712+x1112+x1312+x1712=1

X1308+x1312+x1314+x1318=1

X0813+x1213+x1413+x1813=1

X1409+x1413+x1415+x1419=1

X0914+x1314+x1514+x1914=1

X1510+x1514+x1520 =1

X1015+x1415+x2015 =1

X1611+x1617 =1

X1116+x1716 =1

X1712+x1716+x1718=1

X1217+x1617+x1817 =1

X1813+x1817+x1819 =1

X1318+x1718+x1918=1

X1914+x1918+x1920 =1

X1419+x1819+x2019 =1

X2015+x2019 =1

X1520+x1920 =1

X0813=0

X1318=0

Xij Є {0,1};

Problema 2.- Dada la red siguiente donde las cifras sobre los arcos representan las distancias en Kilómetros entre dos ciudades:

La empresa XYZ tiene su almacén central en la ciudad de Seatle y sus centros de consumo se encuentran en cada uno de los nodos restantes de la red. Se le pide a Ud. apoye a la empresa XYZ a determinar la trayectoria de reparto de su producto, sabiendo que dispone de un camión de transporte con la suficiente capacidad para abastecer a todos los centros de consumo.

Muestre el modelo matemático respectivo. (En cuanto a las restricciones, muestre solamente aquellas que corresponde a los nodos impares).

7. MODELOS DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMAProblema 1.- Dada la red siguiente donde las cifras sobre los arcos representan las distancias en Kilómetros entre dos ciudades para un cableado de energía eléctrica:

La empresa XYZ tiene su almacén central de suministro de energía eléctrica en San Diego y desea conectar a todos los demás nodos con dicho suministro. Determine el árbol de expansión máxima, asumiendo que se desea saber cuál sería el peor escenario en cuanto a requerimiento de materiales. Muestre solamente la red del árbol de expansión máxima e indique la longitud total de cable requerido.