Redes de Petri Loures Parte III.ppt

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Modelos para analise de SEDs Redes de Petri - RdP

Prof. Eduardo Rocha Loures

Redes de Petri

como ferramenta de Modelagem, Análise e Controle de Sistemas Flexíveis de Manufatura

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Análise das propriedades das RdP

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Conjunto de marcações acessíveis de uma RdP

A(R, M0): o conjunto de marcações que se pode atingir da marcação através de uma sequência de disparo

Para uma rede R com marcação inicial M0 define-se

Grafo de alcançabilidade (ou acessibilidade) (ou de marcações acessíveis): nós - marcações acessíveis

arcos - transição de estado

A(R, M0) = {Mi, ∃s M à Mi}

GA(R, M) cujos nos são marcações acessíveis de A(R, M)

s

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Conjunto de marcações acessiveis de uma RdP

Exemplo: GA(R,M)

a

b

c

d

p1 p2 p3

3

3

M0 = (0 3 0)

0 3 0

1 2 0

2 1 0

3 0 0 a

a a b b

b

c d

0 0 1

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Exemplos

http://www.informatik.uni-hamburg.de/TGI/PetriNets/introductions/aalst/

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Propriedades dependentes de Mo

Redes livres de bloqueio:

Uma RdP com marcação inicial M0 é livre de bloqueio se para toda marcação M ∈ A(R, M0) existe pelo menos uma transição t ∈ Τ sensibilizada

à permite identificar bloqueios no sistema

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Exemplo: Célula de fabricação com funcionamento c/ bloqueio:

entrada saída


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Exemplo: Rede de Petri da célula de fabricação:

sequência mortal a partir de M0 : p-c-p

robo-livre

máq-livre

transporte transporte

entrada saída p c t s

M0 = (x 0 1 0 1 0 y)

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7 op


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seqüência mortal a partir de M0 : p-c-p

robô-livre

máq-livre



M0 = (x 0 1 0 1 0 y)

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7 op


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seqüência mortal a partir de M0 : p-c-p

robô-livre

máq-livre



M0 = (x 0 1 0 1 0 y)

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7 op


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seqüência mortal a partir de M0 : p-c-p à marcação morta

robô-livre

máq-livre



M0 = (x 0 1 0 1 0 y)

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7 op


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Redes vivas e quase vivas Uma RdP é viva para uma marcação inicial M0 se toda transição t ∈ Τ permanece sempre potencialmente sensibilizável

⇒  se uma rede é não viva, existem transições que deixam de ser sensibilizáveis

•  propriedade permite checar operacionalidade do sistema •  Uma RdP viva garante que nenhum bloqueio ocorre •  Garante a inexistência de lugares mortos

2 2 t t

não sensibilizável sensibilizável


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Exemplos:

p1

p2 p3

p4

Rede viva p/ M0 = (1 0 0 1)

p1

p3 p2

Rede não-viva p/ M0 = (1 0 0)


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Redes vivas e quase vivas

Uma RdP é quase-viva para uma marcação inicial M0 se toda transição t ∈ Τ é potencialmente sensibilizável pelo menos uma vez


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Exemplos: Mo=p3p4 transição d , RdP quase viva

Elemento fortemente conexo


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Redes reinicializáveis Uma RdP é reinicializável para uma marcação inicial M0 se seu grafo de marcação acessível é fortemente conexo (marcação inicial é sempre reatingível)

Exemplo: Rede não-reinicializável p/ M0 = (1 0 0 1)

1001 a

0101

0110

1010 b

a c

p1

p2 p3

p4

a

b

c


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Marcação / Estado de recepção

Uma marcação acessivel M’ de A(R, M) é um estado de recepção se ele é acessivel de qualquer marcação acessivel M’’ de A (R,M). Se o estado de recepção é indicado pela marcação inicial Mo, o sistema (RdP) pode ser dito reinicializável.


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Redes k-limitadas Um lugar p ∈ P de uma RdP é k-limitado para uma marcação inicial M0 se ∀ marcação acessível M’, M’∈(p) ≤ k Uma RdP é k-limitada se todos seus lugares são k-limitados Para o caso k = 1, diz-se que o lugar ou a rede é binária (safe)

•  propriedade permite checar p.ex. limitação de buffers

Exemplo: p1

p3 p2

Rede ilimitada p/ M0 = (100)


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Propriedades independentes de Mo – Propriedades estruturais

Invariantes de lugar:

M(p1) + M(p2) + M(p4) + M(p6) + M(p7) = constante M(p2) + M(p3) + M(p6) = constante M(p4) + M(p5) = constante

robo-livre

máq-livre



p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7 op

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Invariantes de lugar: Elementos nas somas são independentes de M0

e definem os invariantes de lugar Valor das constantes depende de M0 Componente conservador (invariante linear de lugar): wT.C = 0,

onde C é a matriz de incidência e zT um vetor de tamanho igual ao numero de lugares wT = [w1, w2,...,wn]

•  propriedade permite •  checar coerência do modelo •  ganhar conhecimento sobre o sistema


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Invariantes de lugar: No exemplo: wT = [w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7] . C = 0

M(p1) + M(p2) + M(p4) + M(p6) + M(p7) = constante indica o número e posição de pallets no sistema

M(p2) + M(p3) + M(p6) = constante

indica o número e condição do(s) robô(s) no sistema

M(p4) + M(p5) = constante

indica o número e condição da(s) máquina(s) no sistema


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Invariantes de transição: Um invariante de transição é uma sequência de disparos de transições que não modifica a marcação da rede.

•  permite identificar comportamentos cíclicos do sistema

Corresponde a uma sequência cíclica de eventos que pode se repetir indefinidamente Componente repetitivo estacionário (invariante de transição):

C. zT = 0 onde C é a matriz de incidência e wT um vetor de tamanho igual ao numero de

transições zT = [z1, z2,...,zn]

(ver exemplo da célula de fabricação)


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Análise de modelos de manufatura

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Célula de fabricação

Modelo

Matriz de incidência

C Invariante de lugar: [w1, w2, w3, w4, w5, w6] . C = 0 Invariante de transição: C. [z1, z2, z3, z4, z5, z6] = 0

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Célula de fabricação Invariante de transição C. zT = 0

Solução não negativa: z1=z2=z3=z4=z5=z6

•  Para reencontrar uma marcação é necessário disparar todas as transições um número igual de vezes •  Mostra que o sistema retorna ao seu estado inicial assim que ele fabrique um numero exato de séries (P1, P2, P3)

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Célula de fabricação

Solução não negativa: w1=w2=w3=0 w4=w5=w6

M(P4)+M(P5)+M(P6) = cte = 1

•  Única combinação linear de marcações que resta constante ao longo da evolução do sistema

•  Significa que o circuito elementar <P6,t2,P4,t4,P5,t6,P6> contém sempre somente 1 ficha

Invariante de lugar wT . C = 0

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Máquina sujeita à falhas Matriz de incidência

Arvore de recobrimento ou cobertura

Grafo de acessibilidade

Circuito: funcionamento normal Circuito: estado de falha

C

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Máquina sujeita à falhas Invariantes de lugar wT.C = 0 :

•  Solução não negativa: W=[1,1,1,1] e todos os seu multiplos inteiros •  Como W.MT = W. MoT para qualquer M, W.MT = 1

•  Significa que existe sempre apenas 1 ficha: ou representando que existe uma peça em espera ou fabricação ou a máquina está livre

- w1 + w2 = 0

- w2 + w3 = 0

w1 - w3 = 0

w2 - w4 = 0

- w2 + w4 = 0

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Técnicas de análise

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•  Prova de que a RdP é k-limitada: árvore de cobertura •  Se a RdP é k-limitada -> construção do GA (R;Mo) (grafo de acessibilidade) •  Mostrar que GA é fortemente conexo •  Mostrar que toda ti ∈ T aparece pelo menos uma vez

à RdP é •  k-limitada •  reinicializável •  viva

•  O problema de explosão combinatória de estados pode ser solucionado por técnicas de redução de RdP

Técnicas de Análise

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p1

p2

p3

p4

t1

t2

t3

[ ]0001

Árvore de Cobertura (State Coverability): Dada uma RdP N com estado inicial M0, o estado M’ diz-se coberto se existirem M ∈ Α(R,X0) tais que M(pi) ≥ M’(pi) para todo o i=1,...,n.


O procedimento (algoritmo) para quando:

•  volta à marcação inicial •  marcação resultando superior à marcação do ramo

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Árvore de Cobertura: Algoritmo mais detalhado


1.  Indique a marcação inicial Mo como sendo a raiz e com o tag “new” 2.  Enquanto a marcação “new” existe faça:

•  Selecione uma marcação “new” M •  Se M é idêntico à outra marcação na arvore, então identifique M com o tag

“old” e va para outra marcação “new” •  Se a partir de M nenhuma transição é habilitada identifique M com o tag

“deadend” ou “terminal” •  Para cada transição t a partir da marcação M faça:

•  Obtenha a marcação M’ que resulta do disparo de t •  Se no caminho de Mo até M existe uma marcação M’’tal que M’(p) ≥

M’’ (p) para cada lugar p, e M’ ≠ M’’ então substitua M’(p) por w para cada p sempre que M’(p) > M’’(p)

•  Coloque M’ como um no’ , trace um arco de M até M’ indicando no mesmo t e identifique M’ com o tag “new”

•  Remova o tag “new” de M

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[ ]0001

p1

p2

p3

p4

t1

t2

t3

t1

[ ]0110

Árvore de Cobertura: Ex. 1

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[ ]0001t1

[ ]0110p1

p2

p3

p4

t1

t2

t3

p1

p2

p3

p4

t1

t2

t3

[ ]001 ω

t2 t3

[ ]1100

Árvore de Cobertura : Ex. 1

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[ ]0001t1

[ ]0110p1

p2

p3

p4

t1

t2

t3

p1

p2

p3

p4

t1

t2

t3

[ ]001 ω

t2 t3

[ ]1100t1

[ ]010 ω

[ ]001 ω

t2 t3

[ ]100 ωterminal

duplicado terminal


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Árvore de Cobertura : Conclusões

1.  A RdP é k-limitada se e somente se w não aparece em nenhum no’ •  Pode-se encontrar o máximo número de fichas em um lugar através da

inspeção dos nós. Digamos que seja 3, logo a RdP é 3-limitada •  A RdP k-ilimitada se é encontrada uma marcação na árvore de cobertura tal

que M(p) = w 2.  A rede é safe (binária) se e somente se cada no’ da árvore contém somente zeros e

uns 3.  Se nenhum “deadend” contém w, o número de diferentes “deadends” na árvore é o

número de marcações mortas na RdP. •  Se uma marcação “deadend” contém w então a RdP contém infinito número

de marcações mortas 4.  Uma transição t é morta (não viva) se ela não aparece como tag nos arcos da árvore 5.  Se dado dois nós na árvore de recobrimento, existe um caminho direto e todas as

trasições estão presentes, logo a RdP é viva 6.  Se existe um caminho direto de qualquer no’ para marcação inicial na árvore de

cobertura sem o símbolo w, a RdP é reversivel (reinicializavel)

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Árvore de Cobertura Exemplo Linha de Fabr. 2 Máq.

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Árvore de Cobertura Exemplo Célula e produção robotizada

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Árvore de Cobertura Exemplo Célula e produção robotizada

K = 1

pallet disponivel

K = 2

pallets disponiveis

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Ferramentas de Simulação e Analise

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Ferramentas

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Ferramentas

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RdP Temporizadas - Temporais

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RdP Temporizadas

Definição formal: Rt = < R,Θf >

R é uma RdP < P, T, Pre, Post, X0>

Θf : T →Q+ é a função duração de disparo, que associa a cada Transição um número racional que descreve a duração do disparo.

Esta definição pode ser extendida para RdP P-temporizadas e Arco-temporizadas.

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RdP Temporizadas Interpretação do tempo

•  Timed Arc (de um lugar para transição): a ficha no lugar necessita esperar um tempo τ para habilitar a transição

•  Timed Arc (de transição para um lugar): a ficha gerada pelo disparo da transição necessita esperar um tempo τ para poder ir para o lugar

•  Modelagem de processo de transporte ou fluxo de material que leva um tempo.

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RdP Temporizadas Interpretações análogas: Timed Place, Timed Arc

à Timed Transition

Timed Place Timed Arc

Timed Arc

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RdP Temporais Definição formal:

RTL = <R, I>

R é uma RdP <P, T, Pre, Post, X0> I é um intervalo de tempo θ(t) = [θmin(t), θmax(t)] associado a cada transição o qual descreve uma duração de sensibilização

fim2[θ, θ] fim1[0, 0] Watchdog

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Comparação entre RdP temporizadas e temporais

[ 2 ] [ 0 ] fim2[θ, θ] fim1[0, 0]

temporizada temporal

A RdP ordinário é obtida se o intervalo de tempo for [0, ∝)

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70

Redução de RdP

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Redução de RdP

Para sistemas mais complexos o grafo de marcações acessiveis pode-se tornar muito grande à problema de explosão combinatoria e esforço computacional Solução: aplicação de regras de redução de tal forma à que a RdP reduzida seja equivalente à RdP original do ponto de vista de propriedades

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Redução de RdP

Lugar substituível

),(),(Pre, es tqPosttqPq ≤∈∀

o par tets é substituído pela transição tes tal que:

),(),(Pre ),(),(),(Pre ),(Pre ,

ssees

ees

tqPosttqtqPosttqPosttqtqPq

+−=

=∈∀

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a b

c d

Redução de RdP

Lugar substituível

ac ad bc bd

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Redução de RdP

Lugar implícito É um lugar cuja marcação é a combinação linear de outros lugares e que não introduz nenhuma condição suplementar as transições de entrada e saída.

a

b

c

p4

p2

p3

p5

p1

a

b

c

p4

p2

p3

p5

a

b

c

p4

p2

p3

p5

p1 d

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Redução de RdP

Transições idênticas Duas transições são consideradas idênticas sse as colunas correspondentes das matrizes Pre e Post são idênticas.

t1 t1 t2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

00001111

Pre

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11110000

Post

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Redução de RdP

Regras de redução: a)  Fusão / aumento de lugares em série b)  Fusão / aumento de transições em série c)  Fusão / aumento de lugares em paralelo d)  Fusão / aumento de transições em paralelo e)  Eliminação / adição de lugares em meio-loop f)  Eliminação / adição de transições em meio-loop Estas regras preservam as propriedades:

k-limitada, vivacidade e reiniciabilidade

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Redução de RdP

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78

Redução de RdP: exemplo 1

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Redução de RdP: exemplo 2

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Redes Interpretadas

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Redes Interpretadas

Redes de Petri Ordinária: •  Representa apenas as estruturas. •  Os conflitos não são resolvidos. •  A transição é disparada desde que ela seja sensibilizada.

Redes de Petri Interpretadas: •  São associadas condições às transições. •  Pode-se representar restrições ligadas ao ambiente. •  O tempo é um elemento que pode ser representado.

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Redes Interpretadas

Sistema modelado

Rede de Controle

Rede de Dados

Ambiente externo

Controle: descreve os encadeamentos potenciais de eventos e de atividades.

Dados: descreve as estruturas de dados e os cálculos que são feitos sobre eles, sem explicitar em quais instantes eles são realizados.

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B1 e B2 são acionadas alternadamente LSH=1 tanque no nível alto e bomba deve ser acionada LSL=1 tanque no nível baixo e bomba deve ser desligada Espera 2 segundo antes de acionar a bomba de reserva PSH=1 pressão está alta e bombas devem ser desligadas. Esse sinal será ignorado se restar até 30 segundo para o fim

Redes Interpretadas: Exemplo

LSH

LSL

PSH

B1

B2

ti Nome Ci,Ai t1 B2-Resp_Desligada (;B2_ligada=0&lsl=0)

t2 B2_Rec_Sinal_Liga (liga_B2=1;liga_B2=0)

t3 B2-Resp_Ligada (;B2_ligada=1&lsh=0)

t4 B2_Rec_Sinal_Desliga

(desl_B2=1;desl_B2=0)

t5 B1-Resp_Ligada (;B1_ligada=1&lsh=0)

t6 B1_Rec_Sinal_Liga (liga_B1=1;liga_B1=0)

t7 B1-Resp_Desligada (;B1_ligada=0&lsl=0)

t8 B1_Rec_Sinal_Desliga

(desl_B1=1;desl_B1=0)

Env Sinal Liga B2:

Lsh=1&b=2 Liga_B2=1&b=1

Bonbas Desl: B1_ligada=0 B2_ligada=0

Liga Outra_B [2]

Env Sinal Liga B2:

Lsh=1&b=2 Liga_B2=1&b=1

Rec Sinal B2: B2_Ligada=1

Lsl Desl B2: Lsl=1&b=1 Desl_B2=1

Lsl Desl B1: Lsh=1&b=2 Desl_B1=1

Psh Desl B2: psh=1&b=1 Desl_B2=1

Psh Desl B1: psh=1&b=2 Desl_B1=1

Rec Sinal B1: B1_Ligada=1

Psh atua psh=1

Verifica psh [30]

Psh não confirma Psh=0

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Redes Interpretadas: Exemplo

B2-Desligando

B2-Ligado

B2-Desligado

B2-Ligando

TQ_Vazio

TQ_Enchendo

TQ_esvaziando TQ_cheio

B1-Ligado B1-Ligando

B1-Desligando B1-Desligada

lsh=1

lsl=1

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