REDES DE PRIMEIRA ORDEM

1) Resposta natural de um circuito RL

Figura 1: Circuito RL para resposta natural

Aplicando-se a lei de Kirchoff das tensoes obtem-se

VL + VR = 0

Ldi

dt+ Ri = 0⇒ L

di

dt= −Ri⇒ di

dt= −R

Li

di

i= −R

Ldt⇒

∫di

i= −R

L

∫dt + k

ln i = −R

Lt + k ⇒ i(t) = e−

RLt+k ⇒ i(t) = Ce−

RLt

Utilizando-se a condicao inicial i(0) = Is

i(0) = Is = Ce−RLt·0 ⇒ C = Is

Logo,

iL(t) = Ise−R

Lt

A tensao no indutor e dada por

vL = Ldi

dt⇒ vL = L

d

dt(Ise

−RLt)⇒ vL = −LIs

R

Le−

RLt

vL(t) = −IsRe−RLt

2) Resposta natural de um circuito RC

Figura 2: Circuito RC para resposta natural

1

Aplicando-se a lei de Kirchoff das correntes obtem-se

iC = iR ⇒ Cdv

dt= − v

R⇒ dv

dt= − v

RC

dv

v= − 1

RCdt⇒

∫dv

v= − 1

RC

∫dt + k ⇒ ln v = − t

RC+ k

v(t) = e−t

RC+k ⇒ v(t) = Ce−

tRC

Utilizando-se a condicao inicial v(0) = V0

v(0) = V0 = Ce−0

RC ⇒ C = V0

vC(t) = V0e− t

RC

A corrente no capacitor e dada por

iC = Cdv

dt⇒ iC(t) = C

d

dt(V0e

− tRC )⇒ iC(t) = −CV0

1

RCe−

tRC

iC(t) = −V0

Re−

tRC

3) Resposta ao degrau de um circuito RL

Figura 3: Circuito RL para resposta ao degrau

Aplicando-se a lei de Kirchoff das tensoes obtem-se

es = VR + VL

es = Ri + Ldi

dt⇒ es −Ri

L=

di

dt⇒ di

es −Ri=

dt

L∫di

es −Ri=

∫dt

L+ k

Define-se u := es −Ri entao di = −duR

− 1

R

∫du

u=

∫dt

L+ k ⇒ − 1

Rlnu =

t

L+ k ⇒ u = e−

RLt+k

es −Ri = Ce−RLt ⇒ i(t) =

esR− C

Re−

RLt

Utilizando-se a condicao inicial i(0) = I0

i(0) = I0 =esR− C

Re−

RL·0 ⇒ I0 =

esR− C

R⇒ C = es − I0R

2

i(t) =esR− es − I0R

Re−

RLt

iL(t) = esR

+(I0 − es

R

)e−

RLt

A tensao no indutor e dada por

vL = Ldi

dt⇒ vL = L

d

dt

[esR

+(I0 −

esR

)e−

RLt]

= −L(I0 −

esR

) R

Le−

RLt

vL(t) = (es − I0R) e−RLt

4) Resposta ao degrau de um circuito RC

Figura 4: Circuito RC para resposta ao degrau

Aplicando-se a lei de Kirchoff das correntes obtem-se

is = iR + iC

Is = Cdv

dt+

v

R⇒ RIs − v

RC=

dv

dt⇒ dv

RIs − v=

dt

RC

Define-se u := RIs − v entao dv = −du

−∫

du

u=

1

RC

∫dt + k ⇒ − lnu =

t

RC+ k ⇒ u = e−

tRC

+k ⇒ u = Ce−t

RC

RIs − v = Ce−t

RC ⇒ v(t) = RIs − Ce−t

RC

Utilizando-se a condicao inicial v(0) = V0

v(t) = V0 = RIs − Ce−0

RC ⇒ V0 = RIs − C ⇒ C = RIs − V0

v(t) = RIs − (RIs − V0)e− t

RC

vC(t) = (V0 −RIs)e− t

RC + RIs

A corrente no capacitor e dada por

ic = Cdv

dt⇒ ic = C

d

dt

[(V0 −RIs)e

− tRC + RIs

]= −C(V0 −RIs)

1

RCe−

tRC

iC(t) =(Is − V0

R

)e−

tRC

3