Upload
deivis-camargo
View
14
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
redes estocasticas de jackson
Citation preview
06/11/2014
1
Redes Estocsticas de Jackson Prof. Jairo R. Coronado-Hernandez
Terminal con numero de fuentes limitadas
Definicin
06/11/2014
2
Definiciones bsicas
Tasa de produccin (Throughput (TH o ) ): Nmero promedio de unidades producidas (sin defecto) por unidad de tiempo.
Tiempo en el Sistema (CT o W)*: Tiempo promedio que le toma a una parte ser producida. Comprende el perodo de tiempo desde el comienzo del proceso en la primera estacin hasta la terminacin de la parte en la ltima estacin.
Inventario en Proceso (WIP o L): Nmero promedio de partes que se encuentran en el sistema por unidad de tiempo.
Clasificacin de las redes estocsticas
Abiertas (sistema Push):
Cerradas (sistema Conwip):
10 min 20 min 20 min 10 min
AUTORIZA
Call Centers
Sistemas de enrutamiento
Redes de retroalimentacin
Uso de la CPU con perifricos
Polticas en sistemas distribuidos
Fuentes de transito.
Ejemplo de red de puesta en fila con cuatro cadenas abiertas
06/11/2014
3
Ejemplo de una red abierta con retroceso
Ejemplo Red Abierta
Ejemplo de Red Cerrada
06/11/2014
4
Sistemas de puesta en fila por un servidor central y canales de entrada/salida
REDES ABIERTAS
Cmo esta definida una Red de Jackson?
Conjunto de M nodos o estaciones.
Enrutamiento de i a j con probabilidad Pij.
Pueden ser que Pij > 0
i es alimentada a una tasa de ri.
Cada nodo es un sistema M/M/S.
06/11/2014
5
Teorema de Jackson
1iiS
Si los tiempos de llegadas a un sistema en serie son exponenciales con rapidez , los tiempos de servicio para cada tem es la etapa i son exponenciales y tiene sala de espera infinita, entonces los tiempos entre llegadas para alcanzar cada etapa del sistema de cola son exponenciales con rapidez . (Jackson, 1957)
Red Abierta
Anlisis de Redes Abiertas
Sea i la tasa de entrada a la estacin i
Si la estacin i esta en equilibrio, entonces la tasa de salida es la misma.
i j i
rj
j
Pij
ri
06/11/2014
6
Continuando
Por lo tanto:
Mj
ijijj Pr
Red estocstica de Jackson
De manera matricial
= r + P
06/11/2014
7
Para determinar los valores
El resultado nos da las tasas en estado estable
= r (I- P)-1
En Jackson 1963
La intensidad de llegada proveniente del exterior es:
Modelo de Gordon y Newell(1967)
Sistemas M/M/1 en serie
06/11/2014
8
Ejercicio en clase 1
Matriz semi-estocstica
Tasas de arribo externas
06/11/2014
9
Calculo de los Lambda
Desarrollo
Indicadores Finales
WIP: 2.62 unidades
W del sistema o TC: 0.524
Lambda: 5
06/11/2014
10
Ejercicio 1
Sea la siguiente red:
1 2 Tasa: 20 und/H
r1: 8 Und/_H P(1,2)=0.5
P(2,1)=0.25
Tasa: 30 und/H
Ejercicio 2
Ejercicio 3
06/11/2014
11
Ejercicio 4
Lo que se conoce
Las llegadas siguen una distribucin de POISSON
Llenar el carro de la compra sigue una distribucin exponencial de media 45 minutos.
En la zona de cajas se atiende exponencialmente a razn de 4 minuto de media por cliente.
Preguntas
Cul es el numero mnimo de cajas para atender sin que se desborden las colas en las horas pico?
Si se decide colocar una caja ms que el numero mnimo, Cul es la espera media en la sala de espera?
Cunto es el tiempo promedio que una persona demora en el supermercado?
Cual es la tasa a la cual el supermercado atiende a los clientes?
06/11/2014
12
REDES CERRADAS Prof. Jairo R. Coronado H.
Ejemplos de Redes Cerradas
Redes Estocsticas cerradas
Un sistema de produccin CONWIP se comporta como una red estocstica cerrada.
Las redes estocsticas cerradas son aquellas que solo permiten el ingreso de una unidad al sistema con previa autorizacin de la salida del mismo.
Son equivalentes a un sistema con N clientes viajando a travs de una Red.
La resolucin de esta red no es posible con el mismo anlisis que para redes abiertas porque habra infinitas soluciones.
Esta basado entre la relacin entre el tiempo medio de espera y el tamao medio de la cola.
06/11/2014
13
Solucin exacta de una red cerrada
Como P es una matriz estocstica las ecuaciones de transito se veran de la siguiente manera:
La resolucin de este sistema no es posible porque habra infinitas soluciones.
Se busca encontrar el nivel mnimo de WIP que maximiza el througput y minimiza el tiempo de ciclo.
Algoritmo del valor medio
El algoritmo de valor medio (MVA, mean value algorithm) es un mecanismo para calcular medidas de calidad de funcionamiento de redes de puesta en fila de espera.
Combina de excelente manera dos resultados principales de la teora de puesta en fila de espera: el teorema de llegada y la ley de Little.
El algoritmo fue publicado por primera vez por Lavenberg y Reiser (1980 )
Algoritmo MVA
Como no se pueden determinar las tasas i entonces se pueden hallar las probabilidades invariantes asociadas a la matriz P, resolviendo el siguiente sistema:
Si P es reducible entonces hay una distribucin nica.
Despus de hallado los valores de se procede a utilizar el MVA
06/11/2014
14
Pasos Algoritmo MVA
1. Encontrar las probabilidades Invariantes i, as:
Pasos Algoritmo MVA
2. Inicializar Li(0)=0, Wi(0)=0 y i(0)=0
3. Para n=1 hasta N calcular
3.1 Para i = 1 hasta S
End For
3.2 Calcular:
Pasos Algoritmo MVA
3.3 Para i = 1 hasta S
End For
3.4 Para i = 1 hasta S
06/11/2014
15
Ejemplo
1
1
Se busca encontrar una tasa de produccin mayor que un sistema PUSH
Solucin MVA
Solucin ejemplo MVA
06/11/2014
16
Ejemplo 2: Red Abierta
25 ord/min 20 ord/min 21 ord/min
10 ord/min1 2 3
1 2 3
1 0,02 0,95 0
P = 2 0 0 1
3 0 0 0
Solucin Ejemplo 2
Lambda 10,20408163 9,693877551 9,693877551
Miu 25 20 21
Bi 0,408163265 0,484693878 0,461613217
Ls 0,689655172 0,940594059 0,857400722
Ws 0,068 0,097 0,088
Lq 0,028 0,047 0,041
WIP 2,487649954
TC 0,248764995
Lambda 10
Como red Cerrada
25 ord/min 20 ord/min 21 ord/min
1 2 3
1 2 3
1 0,02 0,95 0
P = 2 0 0 1
3 1 0 0
06/11/2014
17
Solucin red cerrada
i 0,34 0,33 0,33
Miu 25,00 20,00 21,00
Solucin red cerrada
Solucin red cerrada
06/11/2014
18
Bibliografa
Riao Germn. Modelos Probabilsticos. Universidad de los Andes. 2007.
Politecnico de Milano. Java Modeling Tools. 2008.