UNIVERZITET U ZENICIPEDAGOŠKI FAKULTETOdsjek: Matematika i informatika

SEMINARSKI RAD IZ ANALIZE IITema:

Redovi. Kriterij konvergencije redova. Redovi funkcija. Uniformna konvergencija

STUDENTČehajić Mirnesa Zenica, 2011.

SADRŽAJ

Pojam i konvergencija brojnog reda.......................................................................................3Kriterij konvergencije redova.................................................................................................4Redovi funkcija.......................................................................................................................7Ispitivanje konvergencije........................................................................................................8Uniformna konvergencija funkcionalnih redova..................................................................11Kriterij za uniformnu konvergenciju....................................................................................12LITERATURA.....................................................................................................................13

2

Pojam i konvergencija brojnog reda

Definicija: Neka je dat niz realnih brojeva , tada izraz oblika

, ili kraće , zovemo brojni red. Broj , naziva se opštim

članom reda. Sumu prvih n-članova reda, tj. zovemo n-tom

parcijalnom sumom reda, a predstavlja n-ti ostatak reda.

Definicija: Brojni red = (*)

je konvergentan ako i samo ako njegov niz parcijalnih suma konvergira.

U tome slučaju zovemo sumom reda.

Za red koji ne konvergira (limes parcijalnih suma ne postoji ili je ),

kažemo da divergira.Paralelno sa redom (*), zgodno je posmatrati i red

Koji zovemo m-tim ostatkom reda (*), poslije m-tog člana i sa označavamo njegovu sumu.

Primjer: Brojni red , je konvergentan.

Opšti član datog reda možemo napisati u obliku , pa

niz parcijalnih suma reda ima opšti član

odakle je

3

Kriterij konvergencije redova

Teorem1: Ako red konvergira, onda niz konvergira ka nulu, tj. vrijedi

Dokaz: Ako red konvergira ka broju s, onda vrijedi

Obrnuta tvrdnja ne vrijedi, što se vidi iz primjera harmonijskog reda .

Ovaj red divergira ka .

Teorem2: Red = je konvergentan ako i samo ako je red

(m-ti ostatak reda ) konvergentan.

Teorem3: (Cauchy-Bolzano princip konvergencije za redove)

Red konvergira ako i samo ako za svako postoji , tako da iz

slijedi

Dokaz: Cauchyev kriterij za konvergenciju niza realnih brojeva može se

primjeniti na niz parcijalnih suma reda i dobiti:

red je konvergentan, ako i samo ako je Cauchyev niz u R, tj. ako i samo ako vrijedi da, za svako postoji , tako da iz slijedi

,Čime je teorem dokazan.

Pod pozitivnim redom se podrazumjevared čiji su članovi , .

Teorem4: ( D'Alambert-ov kriterij) Ako za brojni red >0, postoji i

realan broj q, tako da je <1 za svako , tada je dati red konvergentan.

Ako postoji sa svojstvom , za , onda je taj red divergentan.

Još više, ako postoji , tada za red konvergira, a za red

divergira.

4

Dokaz: Iz nejednakosti , , slijedi i budući da red

konvergira, to će konvergirati i red , na osnovu teorema 2. Sa druge

strane, ako je za , onda je red divergentan, jer njegov opšti član ne

teži nuli.

Pretpostavimo sada da je i . Neka je dalje, ,

tada postoji tako da za svako .

Drugim riječima, ako stavimo , imamo <1 za tj., dati red

konvergira na osnovu prvog dijela teorema. Ako je ipak , tada

počev od nekog prirodnog broja , pa opšti član polaznog reda ne teži

nuli, te je on divergentan. Dokaz je završen.

Teorem5: (Cauchyev kriterij)

Ako za pozitivni brojni red postoji i , tako da je za

svako , onda red konvergira. Ako pak postoji tako da je za

svako , onda je dati red divergentan. Osim toga, ako postoji ,

tada za red konvergira, a za red divergira.

Dokaz: Neka postoji tako da iz pretpostavke slijedi , za k=1,

2, 3,...; odavde na osnovu konvergencije geometrijskog reda slijedi i

konvergencija reda . Ako je za , tada je i za svako .

Pošto nije nula-niz, red divergira.

Neka je <1. Možemo odabrati , tako da je .

Jasno je da postoji (za dato ) , tako da je , za svako .

Ako sada primjenimo prvi dio ovog teorema, zaključujemo da red

konvergira. Slučaj , dokazuje se ns isti način kao u prvom dijelu dokaza ove teoreme. Može se dati i opštiji kriterij ove teoreme:

5

Ako je , tada red konvergira, a ako je isti red divergira.

Primjer: Ispitati konvergenciju reda

primjenom poopštenog Cauchyev kriterija!

Prema tome dati red je konvergentan.

6

Redovi funkcija

Neka je na skupu definisana funkcija . Tada možemo formirati

(1)

Ako u (1) stavimo , gdje je prozvoljan, ali fiksiran elemenat skupa ,

onda dobijemo red brojeva .

Definicija: Za red (1) kažemo da je konvergentan u tački ako

konvergira numerički red .

Skup tačaka D u kojima red (1) konvergira naziva se oblast knvergencije funkcionalnog reda.

Definicija: funkcionalni red (1) je konvergentan na D ako za postoji

prirodan broj koji zavisi od x i od , takav da je za svako .

Granica niza parcijalnih suma za naziva se suma funkcionalnog reda i

označava sa . Dakle, suma

,

je funkcija definisana na skupu D.

Na primjer, red funkcija možemo zapisati i kao

Ako ovako dobijen red konvergira, onda se kaže da red (1) konvergira u tački Ako red (1) konvergira u svakoj tački , onda se kaže da red (1) konvergira na .

Pretpostavimo da red (1) konvergira na . To znači da za svako fiksno red

brojeva konvergira, tj. ima konačnu sumu. Ako promjenimo onda se

promjeni, uopšte uzev, i taj red pa će se promjeniti i njegova suma. Drugim riječima, ta suma zavisi od . Označimo je sa , . Pišemo

.

7

Ako red (1) konvergira za sve onda se često kaže da on na konvergira po tačkama.Šta znači da red konvergira po tačkama?Označimo sa n-tu parcijalnu sumu reda (1):

Da red (1) konvergira po tačkama znači da niz konvergira na po tačkama ka funkciji koja je suma reda (1). Ovo pak znači da za postoji koji zavisi od i od , takav da vrijedi

, čim je .

Ispitivanje konvergencije

Ispitati konvergenciju reda funkcija znači naći područje, odnosno sve vrijednosti , za koje dani red konvergira. Često ispitujemo područje apsolutne

konvergencije koristeći kriterije konvergencije za redove realnih brojeva.

Definicija: Za red (1) kažemo da je apsolutno konvergentan na D ako za svako

red konvergira.

Postupak ćemo objasniti na primjeru.

Zadan je red funkcija

Na osnovu Cauchyjev-og kriterija imamo

Dakle, red konvergira apsolutno za sve tačke \ za koje je ,

odnosno za . U tački Cauchyjev kriterij ne daje odluku pa

ćemo taj slučaj razmotriti posebno:

8

Ako svi članovi reda imaju neku osobinu, onda se pitamo da li i suma tog reda ima tu osobinu, tj. da li se osobina sa članova reda prenosi i na sumu reda. Da bi ispitali pod kojim uslovima se osobine, naprimjer neprekidnost, diferencijabilnost, sa članova reda prenose i na sumu tog reda uvodi se pojam ravnomjerne (uniformne) konvergencije.

Definicija: Neka je na skupu definisan red funkcija

. Za ovaj red kažemo da ravnomjerno konvergira na ka sumi ako

niz parcijalnih suma tog reda konvergira ravnomjerno na , ka funkciji .

Za niz vrijedi: niz ravnomjerno konvergira na ako i samo ako za postoji , , koji zavisi samo od , i takav da i

vrijedi .Ako ovdje smatramo da je m=n+p, p=0, 1, 2, ..., ovaj princip možemo iskazati ovako. Niz konvergira ravnomjerno na ako za postoji ,

takav da za i vrijedi . (*)

Neka je niz parcijalnih suma reda (1). Red (1) po definiciji konvergira ravnomjerno na ako i samo ako niz konvergira ravnomjerno na . To znači da za postoji takav da i p=0, 1, 2, ..., i vrijedi (*).Kako je

i to je , Ovo možemo formulisati u vidu teorema koji je poznat kao opšti Koši-Bolcanov kriterij za ravnomjernu konvergenciju redova funkcija.

Teorem: Neka je na skupu definisan red funkcija (1)

.

Ovaj red konvergira ravnomjerno na ako i samo ako za postoji , takav da za i i vrijedi

ili što je isto

, , ,

9

10

Uniformna konvergencija funkcionalnih redova

Definicija: funkcionalni red uniformno konvergira na D ako za postoji prirodan broj , nezavisan od x, takav da je za i .

Za uniformnu konvergenciju funkcionalnog reda na segmentu može se dati slijedeća geometrijska interpretacija.Pretpostavimo da je red (1) konvergentan na . Tada se uslov

Može izraziti u obliku

Što geometrijski znači da za svako (zavisno samo od ) parcijalne sume , tj. svi grafici krivih y= nalaze se u traci širine 2 koja je opisana oko

krive y= za svako , (slika 1).

11

Kriterij za uniformnu konvergenciju

Vaještrasov kriterij: Neka je dat red , pri čemu su svi članovi reda

funkcije definisane na segmentu . Pretpostavimo da za n=1, 2, ... postoji broj takav da vrijedi , .

Ako brojni red konvergira, tada i red konvergira ravnomjerno na

.

Dokaz: pretpostavimo da je red . Uzmimo po volji . Na osnovu principa

konvergencije za redove sa konstantnim članovima zaključujemo da postoji

, , takav da vrijedi , i

No, tada će vrijediti i

za i ,

Dakle, za možemo naći priprodan broj , koji zavisi samo od , takav da , i vrijedi

. Odavde po principu ravnomjerne konvergencije za

redove funkcija zaključujemo da red ravnomjerno konvergira na ,

š.t.d.

Abelov kriterij za ravnomjernu konvergenciju: Neka je dat red

gdje su funkcije , definisane na . Pretpostavimo da su zadovoljeni slijedeći uslovi:

1. konvergira ravnomjerno na ,

2. za svaki niz je monoton, tj. za svaki fiksiran je ili za sve ili za sve

3. sve funkcije niza ograničene su na jednim istim brojem, tj. postoji konstanta M takva da za i vrijedi .

Pod ovim pretpostavkama red ravnomjerno konvergira na

12

LITERATURA

1. Prof. dr. F. Dedagić, Matematička analiza , Univerzitetska knjiga, Tuzla, 2005.

2.   F. Vajzović i M. Malenica: Diferencijalni račun funkcija više promjenljivih, Univerzitetska knjiga, Sarajevo, 2002.

3. http://web.math.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf

13