TOPICOS DE ECONOMETRIA APLICADA

Demanda de Factores de Producción: Estimacion e Inferencia en Sistemas de

Ecuaciones (cont.)Ref: *Berndt Cap. 9

FUNCION CES CON RCESupongamos que estimamos alguna de las ecuaciones ln Y/K = a1 + 1 ln PK/P + u1 ln Y/L = a1 + 2 ln PL/P + u2 con datos agregados de la economía. En este caso puede ser apropiado suponer que los precios (mas que las cantidades) son endogenos y que las cantidades son exógenas. Entonces (ignorando problemas potenciales de simultaneidad) es posible estimar las reciprocas de estas ecuaciones por OLS. ln PK/P = a4 + 1/4 ln Y/K + u4 ln PL/P = a5+ 1/5 ln Y/L + u5

ln PK/PL = a6+ 1/6 ln K/L + u6 Y recuperar el sigma implicito invirtiendo el coeficiente de la pendiente en cada ecuación.

Recordar que en una regresion simple de x contra y el R2 es equivalente al R2 de y contra x. Si las variables están en desvíos: y = x x = y La relación con el R2 es R2 = ´́ (donde los ´ representan los estimadores) Como el R2 es siempre menor a uno, entonces la forma de estimacion afecta el valor de la elasticidad calculada.

R entonces,

Lo mismo ocurre con las otras ecuaciones. La estimación del sigma difiere dependiendo de la ecuacion estimada.

Esto tambien es frecuente en la estimacion de funciones de demanda y demandas inversas.

Enfoque primal y el dual

• Función de producción: estimación a partir de las CPO (prod. Marg) – primal

• Producto endógeno, cantidades de insumos exógenas,.

• Función de costos: enfoque dual• Costos de producción y cantidades de

insumos son endógenas. • El nivel de producto y precios son

exógenos.

Enfoque primal y el dual

• Cuando los datos son desagregados es mas factible suponer que precios mas que el producto son exógenos

• Un enfoque alternativo es estimar vía dualidad.

• Minimizacion de costos dados precios, producto y tecnología

• En algunos casos es posible resolver la forma funcional de costos dual (ej. C-D)

Dualidad en producción

• Diewert (1971)• Formas funcionales flexibles: sin

restricciones sobre la elasticidad de sustitución.

• Leontieff generalizada• Laurits, Christensen, Jorgenson y Lau• Translog

Función de Costos de Leontieff Generalizada

Suponemos n insumos con precios Pi n cantidades de insumos, Xi Costos totales, C Producto, Y Var. Exógenas: P, Y Var. Endógenas: X, C Con retornos constantes a escala (RCE)

2/1

11

)( j

n

jiij

n

i

PPdYC

Donde dij = dji

Función de Costos de Leontieff Generalizada

Utilizando el Lema de Shephard se obtienen las demandas de factores:

2/1

1

)/(/ i

n

jjijii PPdYXPC

Para la estimación se pueden expresar las demandas en términos relativos al producto

2/1

1

)/(/ i

n

jjijii PPdYXa

Cuando i=j entonces (Pj/Pi)1/2 = 1, y entonces el dij es un término constante en la iésima ecuación.

Supongamos cuatro insumos : capital (K), trabajo (L) , energía (E) y materias primas intermedias (M).

Cada una de las cuatro ecuaciones tiene cuatro parámetros pero las restricciones de simetría (6) reducen el número de parámetros a estimar de 16 a 10.

Estimación• Se adiciona un termino de error a las ecuaciones• Se suponen iid ~ N(0,)• Pueden ser errores de optimización o efectos

individuales no observables• OLS : no por las cross restrictions• Además: correlación e/errores contemporáneos• Sistemas: Seemingly Unrelated Regression

Estimator (SURE) – Zellner – Mejor eficiencia-

Estimación• El método usa OLS ecuación por ecuación

para obtener una estimación de la matriz • Luego usa Generalized Least Squares

(GLS)• El proceso es iterativo hasta que los

cambios en parámetros estimados y son arbitrariamente pequeños

• Iterative Zellner Efficient Estimator (IZEF)• Equivalente a ML

Las elasticidades parciales de sustitución Hicks-Allen entre los insumos i y j para una función de costos son ij = (C . Cij ) / (Ci . Cj) Donde los subindices representan derivadas parciales con respecto a precios de insumos En el caso de la Leontieff para i distinto de j

Las elasticidades propias son:

Si se quiere calcular las elasticidades precio usuales ij = Sj. ij Donde Sj es el cost share del insumo j en los costos totales de producción Para la función Leontieff las elasticidades cruzadas y directas son:

Consideraciones• 1.Las elasticidades varian por observación• 2. Las elast. Hicks-Allen son simétricas, las elast. Precio

no lo son• 3.Los dij muestran si los insumos son sustitutos,

independientes o complementos: + , 0 , - , respectivamente

• 4.• • 5. Los valores estimados deben ser positivos para que la

funcion de costos sea cuasi concava en precios y estrictamente creciente. Además la matriz nxn de las Hicks-Allen debe ser negativa semidefinida en cada observación.

Especificación Translogarítmica

s no homotética: las demandas relativas de insumos dependen del nivel de producto.

La homogeneidad de grado uno en precios implica:

• La homoteticidad puede imponerseiY = 0 para todo i• Homogeneidad de grado constante en el

producto si YY = 0 y el grado de homogeneidad es 1/Y

• RCE si Y = 1• Si ij = 0; i,j=1, …..n se convierte en una C-D

• Utilizando el Lema de Shephard

Si se imponen las restricciones de simetria y homogeneidad y se elimina la cuarta ecuación para evitar singularidad en la estimación el sistema resulta:

Y se recuperan los parámetros faltantes a partir de:

Las elasticidades de sustitucion son

Las elasticidades precio son: