Reforzo mates 3º eso

46 � MATEMÁTICAS 2.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

El año cero

Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo Vy murió a mediados del siglo VI. De origen armenio, fue abad en un convento de Roma y destacó intelectualmente en su época, por lo que recibió el encargo, por parte del Papa, de unificar en el calendario la fecha de celebración de la Pascua en el mundo cristiano.

Al investigar y fijar las fechas de celebración de las fiestas de Pascua, que es la festividad más importante de la religión cristiana, no tomó como referencia la fecha de la fundación de Roma, sino la del nacimiento de Jesucristo, que él mismo dató en el año 754 a.u.c. (ab urbe condita) de la fundación de Roma. Esta fecha y el nacimiento de la era cristiana recibirían el apoyo definitivo por parte de Carlomagno, más de dos siglos después, al fechar los documentos oficiales contabilizando los años desde entonces.

En cuanto a la polémica surgida en torno al año cero, hay autores que afirman que no existe el año cero porque, en esa época, en Europa no se tenía conocimiento del cero. Ciertamente no se conocía el cero a nivel operativo (como elemento neutro para la suma), pero sí se tenía constancia de su significado, y así se recoge en escritos de la época con la palabra latina Nullae, que significa «nada».

Por tanto, lo que realmente no existía no es el cero, como acabamos de ver, sino los números negativos; de hecho, no se hablará de años antes de Cristo en el sentido de número negativo hasta el siglo XVII. Así, en el siglo V, el año anterior al año 1 d.C. no era el año −1, sino el año 753 a.u.c.

El criterio de la ordinalidad de las fechas es plausible en el sentido de que explica, no solo la inexistencia del año cero en la era cristiana, sino por qué los árabes tampoco tienen año cero, aunque en el siglo VIII

ya operaban con el número cero, procedente de la India, y no sería extraño que lo conocieran a finales del siglo VII, cuando se instauró el calendario hegiriano (la Hégira tuvo lugar en el año 622 d.C.).

ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD...

Números enteros1C

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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

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La paridad, es decir, el hecho de que un número sea par (divisible por 2) o impar, aparece en numerosos contextos de la vida cotidiana.

Uno de ellos es la numeración de las casas en las calles. En unaacera están los números impares, y en la opuesta, los pares.

En la informática tiene también especial relevancia el concepto de paridad. Los ordenadores trabajan con información en el sistema binario, es decir, utilizan solo las cifras 1 y 0. A la hora de guardar la información en la memoria, y paraasegurarse de que lo hacen correctamente, los ordenadoresañaden a cada byte (grupo de 8 bits) el llamado bit de paridad,que permite comprobar si ese byte es correcto o no.

Si el ordenador usa un método de paridad par, añade un 1 al byte cuando este tiene un número impar de cifras 1. En otro caso, añade un 0. En el método de paridad imparfunciona al revés: se añade un 1 al byte, si este tiene un númeropar de cifras 1, y un 0 en caso contrario. Observa los ejemplos:

Método de paridad par: 11100010 Bit añadido: 0 (hay 4 cifras 1)10001111 Bit añadido: 1 (hay 5 cifras 1)

Método de paridad impar: 11100010 Bit añadido: 1 (hay 4 cifras 1)10001111 Bit añadido: 0 (hay 5 cifras 1)

Otro contexto en el que aparece la noción de paridad es en los juegos. Así, por ejemplo, en la ruleta se puede apostar a que la bola caiga en Par o en Impar.

También existe un juego con monedas llamado «Par o impar». El número de jugadores en este juego suele ser de dos, cuatro o seis. Cada jugador coge un número de monedas. Por turno cada uno elige «par» o «impar»,indicando la paridad del número total de monedas que ambos jugadores van a sacar. A una señal, los jugadores muestran las monedas que guardan en su mano y se anota un punto el jugador que haya acertado.

Pares e impares

Tales de Mileto fue uno de los siete sabios de Grecia,además del primer matemático griego que inició el desarrollo de la Geometría.

Tuvo que soportar durante años las burlas de quienespensaban que sus horas de trabajo e investigación eraninútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas,por ejemplo, le sirvieron para saber que la siguientecosecha de aceitunas sería muy abundante. Así, comprótodas las prensas de aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue excelente, y los agricultores tuvieron que pagarle por utilizar las prensas.

Tales de Mileto

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CONTENIDOS PREVIOS

Recuerdes las aplicacionesde los números enteros.

CONVIENE QUE…

Te ayudará a comprender sus propiedades y la forma de realizar las operaciones.

PORQUE…

Sepas representar númerosnaturales en la recta numérica.

CONVIENE QUE…

Te servirá como base pararepresentar los números enterosen la recta numérica y para establecer relaciones de orden entre los númerosfraccionarios.

PORQUE…

Conozcas la jerarquíade las operaciones.

CONVIENE QUE…

Tendrás que aplicarla en las operaciones combinadas con números enteros.

PORQUE…

El MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos números naturales es el menor de susmúltiplos comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

m.c.m. (24, 36) = m.c.m. (23 ⋅ 3, 22 ⋅ 32) = 23 ⋅ 32 = 72

El MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos números naturales es el mayor de susdivisores comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comuneselevados al menor exponente.

m.c.d. (24, 36) = m.c.d. (23 ⋅ 3, 22 ⋅ 32) = 22 ⋅ 3 = 12

Sepas calcular el m.c.m.y el m.c.d. de números naturales.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para calcularloscuando los números son enteros.

PORQUE…

Números enteros1LE

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Hay situaciones en las que es necesario utilizar números enteros:

– Cuando hablamos de temperaturas bajo cero. Así, 4 grados bajo cero se expresa como −4 °C.

– Al considerar deudas económicas.Si debemos 100 €, decimos que nuestro saldo es de −100 €.

– Al referirse a las plantas de un edificio. El garaje está en la planta −3 y la terraza está en la planta 5.

Primero se resuelven lasmultiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

Después, se realizan las sumas y las restas en el mismo orden.

25 − 4 ⋅ 3 : 6 − 2 + 12 : 3 + 6 =

= 25 − 12 : 6 − 2 + 4 + 6 =

= 25 − 2 − 2 + 4 + 6 =

= 23 − 2 + 4 + 6 = 21 + 4 + 6 =

= 25 + 6 = 31

→→ →

1 2 3 4 5

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⏐a⏐ Asigna a cada número el mismonúmero prescindiendo del signo.

Op (a ) Asigna a cada número el mismonúmero cambiándole de signo.

� Indica el conjunto de los númerosenteros.

a Indica un número entero que puede ser positivo o negativo.

+a Indica un número entero positivo.


NOTACIÓN MATEMÁTICA

1

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

Cuando queremos indicar el conjunto de todoslos números enteros lo designamos por �.

El signo de los números enteros se debe colocarpegado al número, sin dejar espacios en blanco.


Indica la raíz cuadrada de un número.

Indica la raíz cuadrada de una suma.a b+

a Bajo el símbolo de la raíz se puede poner cualquier operación entre números.


El valor absoluto de un número es el mismo número prescindiendo del signo.

⏐3⏐ = 3 ⏐−3⏐ = 3

El opuesto de un número es el mismo númerocambiado de signo.

Op (3) = −3 Op (−3) = 3

Regla de los signos. Proporciona el signo quetendrá el resultado de multiplicar o dividirdos números enteros.


Para multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican o dividen prescindiendo del signo.Después, se pone el signo que corresponde segúnla regla de los signos.

(−3) ⋅ (+5) = −15 (+12) : (−3) = −4

(+3) ⋅ (+5) = +15 (−8) : (−2) = +4

a n = a ⋅ a ⋅ …n ⋅ a Indican la expresión

a n = a ⋅ a ⋅ … ⋅ a de una potencia

n vecesen forma de producto.


Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significan que a se multiplica n veces.

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Factores Resultado

+ ++ −− +− −

+−−+

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EN LA VIDA COTIDIANA... Rascacielos

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Conocer algunos de los rascacielos más altos del mundo y trabajar las aproximaciones.• Utilizar la divisibilidad y los números enteros en contextos reales.

Desde los primeros tiempos de la historia, el ser hu-mano ha querido construir edificios tan altos que casillegasen a tocar el cielo. Los rascacielos, como las de-más estructuras arquitectónicas, han tenido un largoperíodo de evolución. Avances tecnológicos como lainvención del primer elevador con freno de emergen-cia por Elisha Otis, hacia 1850, y el uso del acero enlas estructuras de las construcciones, hicieron posibleque los edificios se elevasen cada vez más.

En 1910, el edificio Metropolitan Life llegó a tener50 pisos de altura, algo insólito hasta entonces. Dosdécadas más tarde se levantaba el Empire State consus 102 pisos.

La evolución de las concepciones arquitectónicas y laaplicación de soluciones tecnológicas han ido permi-tiendo levantar edificios cada vez más altos.

La acción terrorista contra las Torres Gemelas, que enel momento del atentado ocupaban (con 411 metrosde altura) el tercer puesto entre los edificios más altosdel mundo, así como otros problemas asociados a es-tos edificios, han suscitado un movimiento de reflexiónsobre su conveniencia.

Algunos de los rascacielos más altos del mundo son:

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Redondea a las centenas las alturas de todos losrascacielos de la tabla. ¿Qué error cometes en ca-da uno de los casos?

b) Redondea las alturas a las decenas. ¿Qué error co-metes ahora con cada aproximación?

c) Trunca a las centenas y, después, a las decenaslas alturas de todos los rascacielos de la tabla.¿Qué error cometes en cada uno de los casos?

d) Halla la suma de las alturas de los diez rascacielos.Después, obtén el error cometido al estimar esasuma redondeando a las centenas y a las decenas.

e) Calcula el error en la estimación de la suma si, envez de redondear, truncas a las centenas y a lasdecenas.

f) Estima cuántos rascacielos haría falta colocar, unoencima del otro, para conseguir 1 km de altura.Redondea el divisor a las centenas.

Los diez rascacielos más altos del mundo1

Números enteros1C

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Nombre País Altura (m)Torres Petronas Malasia 452

Torre Sears EE UU 436

Jim Mao Building China 421

Plaza Rakyat Malasia 382

Empire State Building EE UU 369

Tuntex & Chein Taiwan 347

Amoco EE UU 346

Centro John Hancock EE UU 343

Shung Hing Square China 325

Plaza CITIC China 322

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1

Existen en la actualidad proyectos para construir edifi-cios aún más altos. Entre los que han tenido mayor pu-blicidad y significación en los últimos años está el Pro-yecto Torre Biónica, elaborado por Cervera & Pioz andPartners.

Este proyecto, en el que figuran muchos especialistasespañoles, pretende dar un salto cualitativo en la cons-trucción, impulsando el uso de técnicas totalmentedistintas a las actuales.

Las novedosas técnicas, basadas en la imitación de losprincipios de flexibilidad y adaptabilidad de las estruc-turas biológicas, permitirían ajustar la altura, capaci-dad y uso de la torre a las diferentes condiciones eco-nómicas, medioambientales y sociales de la ciudaddonde se construya.

La altura de la Torre Biónica será de 1.228 m (con300 plantas), tendrá una capacidad máxima para100.000 personas, y en ella habrá 368 ascensores dedesplazamiento vertical y horizontal.

REALIZA LAS ACTIVIDADES.

a) ¿Cuántos metros de altura tendría cada planta dela Torre Biónica? Haz una estimación redondeandoel dividendo.

b) ¿Cuántas copias de las Torres Petronas necesitaría-mos apilar, una sobre otra, para alcanzar la alturade la Torre Biónica? Calcula el resultado exacto y elresultado redondeando a las centenas, y halla el errorcometido.

Las Torres Petronas, que puedes ver en la fotografía in-ferior, tienen 88 pisos sobre el suelo, 5 pisos bajo tierray cuentan con 76 ascensores, incluyendo 29 de ellosde alta velocidad en cada torre. Cada uno de estos as-censores puede transportar a 26 personas. La TorreSears, de Chicago, consta de 108 pisos sobre el suelo y3 pisos bajo tierra, y tiene un total de 104 ascensores.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES.

a) En una mañana, en las Torres Petronas, todos losascensores de alta velocidad han subido llenosdesde la planta baja. Halla cuántas personas losutilizaron en total, si el número de personas fuemayor de 45.000 y menor de 46.000.

b) Si colocásemos, apiladas una encima de otra, co-pias de las Torres Petronas y de la Torre Sears,hasta obtener dos edificios con la misma altura,¿cuántas copias de cada una necesitaríamos?

c) Partiendo del piso más bajo de cada uno de los dosedificios, subimos 20 pisos, bajamos 23, volvemos asubir 70 y bajamos 48. ¿En qué piso estaremos encada uno de los casos?

d) Supongamos que la velocidad de los ascensoressea de 2 pisos por segundo. ¿Cuánto tardaríamosen subir desde el piso 0 al piso más alto de cadaedificio? ¿Y en subir desde el piso más bajo?

e) Hemos tardado 30 segundos en llegar al piso 12.¿De qué planta hemos partido en cada uno de losedificios?

Proyectos para el futuro2

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Planteamiento y resolución

Comenzamos por hacer un listado del número de piedras de cada montón para intentar hallar algún patrón o regla de formación:

Si observas la secuencia, te darás cuenta de que el número de piedras de cada montón es igual a la suma de las piedras de los dos montones anteriores a él:

2 = 1 + 1 3 = 1 + 2 5 = 2 + 3 8 = 3 + 5

Por tanto, el siguiente montón tendrá: 5 + 8 = 13 piedras y el siguiente a este tendrá: 8 + 13 = 21 piedras. Esta serie de números, donde cada uno es igual a la suma de los dos anteriores a él, se llama serie de Fibonacci, en honor a un matemático italiano del Renacimiento.

Un caminante encuentra en el desierto la serie de montonesde piedras que se muestra en la figura. Tras observarlos un rato, se da cuenta de cómo se ha formado la secuencia. ¿Sabrías deducir cuántas piedras tendría el siguiente montón?¿Y el siguiente a este?

Estrategia La estrategia de buscar regularidades consiste en tratar de averiguar, dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es su regla de formación, y así poder hallar los siguientes elementos de la secuencia.

En la figura aparecen los cuatro primerosnúmeros triangulares (aquellos que puedencolocarse formando un triángulo). ¿Sabríasdecir cuál es el quinto número triangular? ¿Y el sexto? ¿Y el décimo número triangular?

Los números del interior de los cuadrados se forman a partir de los que les rodean siguiendo la misma regla (solo se usan las operaciones básicas). Completa el interiordel último cuadrado.

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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Buscar regularidades

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PROPUESTOS

Números enteros1A

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MontónPiedras

1.º1

2.º1

3.º2

4.º3

5.º5

6.º8

1 3 6 10

3

−2 451

9 −91

−3

6 47

2

8 −4

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MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR

EJERCICIOS

Busca información sobre estos conceptosbásicos utilizando el auxiliar de Office, y contesta a las siguientes cuestiones.

a) ¿Qué es un libro de trabajo?

b) ¿Y una etiqueta de hoja?

Busca información al respecto.

a) ¿Qué es una fórmula?

b) ¿Cómo se crea una fórmula?

Busca información al respecto.

a) ¿Qué es una barra de herramientas flotante?

b) ¿Cómo se oculta?

Barra de herramientas | Mostrar u ocultar

3

Fórmulas | Cálculos rápidos en una hoja de cálculo

2

Hoja de cálculo | Libros y hojas de trabajo

1

Pantalla inicial de EXCEL

Ayuda del programa

Parte de una hoja

PRÁCTICA EXCELEntrada al Programa:

Menú → →

Una vez que el programa se ejecuta, en el monitor verás la pantalla delmargen.

Es un libro de trabajo formado por 3 hojas: Hoja1, Hoja2 y Hoja3, aunquepuede haber hasta 256 hojas en un libro.

Libro → Carpeta que puede contener hojas, gráficos, macros, etc.

Hoja → Pizarra «ordenada» en celdas (cada celda está ordenada por su filay columna), que contienen datos numéricos, texto, etc.

Celda → Contiene dos informaciones:

• El formato de la celda: consiste en el tipo de dato que puede conte-ner: numérico, de texto, lógico, fechas, etc.

• El contenido.

Observa en el margen una hoja que tiene escrita la palabra «Matemáticas»en la celda B3 (columna B, fila 3); el contenido de la celda es la palabra«Matemáticas» y el formato es el tipo Texto.

El Programa EXCEL trabaja con estas dos informaciones por separado; porejemplo, puedes borrar el contenido de una celda y mantener el formato,o copiar el formato de una celda a otra, sin copiar el contenido.

Cuando se sale del programa, se indica el nombre del archivo. La extensiónla da el mismo programa y es .xls.

PRÁCTICAAbre un libro nuevo. La información que da EXCEL como ayuda es muycompleta y permite obtener una visión genérica de qué es una hoja decálculo y cómo se puede utilizar. Pulsa en el botón (ayuda), de la barrade menús, o pulsa directamente en la tecla . En la ventana que sale, pul-

sa sobre y escribe, por ejemplo, tipos de formato y observarás quesale otra ventana de ayuda. A través de este tipo de desarrollo, el programate proporcionará formas de uso o sugerencias sobre un tema determinado.

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EJERCICIOS

Introduce en la celda B1 tu nombre y apellidosen letra arial, negrita y de tamaño 12.

Crea una carpeta personal con tu nombre en el disco duro del ordenador o en un disquete.

Guarda el libro, para registrar los datosintroducidos en la hoja, en tu carpeta personalcon el siguiente nombre: Excel_Unidad0.

3

2

1

Comandos de Formato

Comandos de Edición

Barra de estado

Barras de herramientas

PRÁCTICA EXCELAbre el Programa EXCEL y observa, en la parte superior de la pantalla, las barras de herramientas que existen para acceder a los diferentes menús:

• Contiene los comandos más importantes para realizar operacionescon la hoja o con los datos de la hoja.

• Para acceder a las opciones que ofrece, pulsa sobre la opción con elbotón de la izquierda del ratón o pulsa simultáneamente en la tecla

y la tecla subrayada en la opción (A para Archivo, E paraEdición, etc.).

• Cada una de estas opciones da lugar, a su vez, a una serie de coman-dos; por ejemplo, con + E se despliegan los comandos de Edición(para las opciones de eliminar, buscar, etc.), y con + F, los deFormato (que permite cambiar el formato de celdas, filas, etc.).

En el menú → encontramos herramientas, algunade las cuales se puede activar en la barra correspondiente (obsérvalo en elmargen).

Una barra que siempre está activada o visible es la barra Estándar.

Esta barra contiene comandos, entre otros, de la barra Archivo. Cada unode los iconos de la barra Estándar es un comando diferente. Para saber lafunción de cada comando, acércate con el Apuntador, , y observa el ró-tulo que aparece debajo del icono con su descripción. Hazlo con el octavoicono, , y te indicará Vista preliminar, tal como puedes ver en el margen.

La barra Formato contiene formatos de control del tipo de letra, el estilo,el tamaño, la alineación del texto, etc.

La barra de fórmulas permite introducir y ver fórmulas en las celdas.

La barra de estado, situada al final de la hoja, señala, como puedes veren el margen, la acción que se está ejecutando cuando se introduce unafórmula.

CTRLALT

ALT

→

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EJERCICIOS

De manera análoga a la Práctica 1 haz el ejercicio 62 para averiguar si las operacionesde sumar y restar son o no conmutativas.

Sin crear una nueva hoja, y continuando con las celdas de la hoja Unidad01_2a, haz el ejercicio 84 de la página 36.

Guarda el libro para registrar los datos introducidosen las hojas Unidad01_1a y Unidad01_2a,

mediante → NUMEROS_2en tu carpeta personal.

3

2

1

Contenido

PRÁCTICA EXCELAbre un libro de trabajo EXCEL y, cuando acabes la Práctica, guárdalo en tucarpeta personal con el nombre NUMEROS_2.

PRÁCTICA 1 (ejercicio 71, pág. 35)

Pulsa sobre la pestaña con el botón derecho del ratón y escribe elnombre Unidad01_1a (obsérvalo al margen). Indica los rótulos: a, b, a ⋅ b y b ⋅ a en las celdas A1 a D1.1. Con el botón izquierdo del ratón, selecciona las columnas de la A a la D

y centra los datos con el botón correspondiente. Introduce los númerosque hay en la hoja: −4, −6, +6, −8...

2. Escribe esta fórmula en la celda C2: . Observa que aparece elproducto en la celda.

3. Escribe ahora en D2 la fórmula: .

a) Sitúate en la celda C2 y activa →(o pulsa en el botón o las teclas CTRL + C).

b) Selecciona con el ratón las celdas C3 a C5 y activa →(o pulsa en el botón o las teclas CTRL-V).

Lo que se ha copiado ha sido la referencia de la celda C2, y no su con-tenido: sitúate en la celda C3 y observa que la fórmula que aparece esA3*B3 y en C4 sale A4*B4, etc.

4. Copia la fórmula de D2 en las celdas D3, D4 y D5.

5. Comprobarás que la operación de multiplicar es conmutativa, observandoel contenido de las celdas de las dos últimas columnas. Copia los resul-tados en tu cuaderno.


Abre una nueva hoja con el nombre Unidad01_2a.

1. Escribe en las celdas A1, B1 y C1 las palabras BASE, EXPONENTEy POTENCIA. Después, escribe en las celdas A2 y A3 los números 4 y 5.

2. En la celda C2 escribe la fórmula siguiente: . Observa que aparece en la celda la potencia A2B2.

3. Escribe el resto de bases y exponentes del ejercicio y copia la fórmulade la celda C2 en el resto de celdas.

=POTENCIA(A2;B2)

=B2*A2

=A2*B2

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Hoja Unidad 01_1a

Función Potencia

Hoja Unidad 01_2a

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Alejandro Magno

La vida de Alejandro Magno ha sido evocada por escritores y poetas desde la antigüedad hasta nuestros días. Su historia dio paso a la leyenda, y podemos encontrar multitud de biografías, anécdotas, curiosidades… que tienen como hilo conductor la vida de este personaje histórico.

En esta ocasión nos ocuparemos de sus conquistas militares mediante la falange macedonia. La organización de la falange y su estrategia de combate son logros de Filipo II, el padre de Alejandro.

Filipo, a partir de la falange tebana, organizó la falange macedonia, modificando su estructura: agrupó a los soldados en cuadros independientes de 16 filas y 16 columnas, llamados syntagmas. Estos syntagmas, en número de 64, se disponían en dos alas de 32 syntagmas cada una, que podían llegar a operar de forma independiente.

La falange macedonia presentaba así un frente homogéneo, y apoyada por la caballería, constituyó un cuerpo de ejército casi invencible hasta la aparición de la legión romana.


Fracciones2C

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El papiro Rhind y las fracciones

Galileo Galilei nació en Pisaen 1564, y aunque estudió Medicina en la universidad, decidióinclinarse por lasMatemáticas. A los 25 añosfue nombrado profesor deMatemáticas en laUniversidad de Pisa, donde comenzó a investigarsobre la mecánica y elmovimiento de los cuerpos.

Su contribución más interesante fue establecer el vínculo entre la Física y las Matemáticas.

Murió en 1642, el mismo año del nacimiento de Newton, a quien dejó el camino abierto para la consolidación de la Mecánica.

Galileo

Desde la antiguaprensa movida a mano, inventada por Gutenbergaproximadamente enel año 1440, hastalas veloces rotativasde los periódicos, las máquinas de imprimir han sufridoinnumerables modificaciones y se perfeccionanconstantemente.

Actualmente, los ordenadores nos permitenescribir un texto de una forma fácil y rápida,utilizando el tipo de letra y el tamaño que nos interese en cada momento.

El tamaño de las letras se mide en puntos. Un punto equivale a 3/8 de milímetro.

Evolución de la imprenta

El papiro Rhind es un documento muy antiguo que nos informa de los conocimientos matemáticosde los egipcios. El papiro fue encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas (Egipto) y, posteriormente, lo compró en la ciudad de Luxor el egiptólogo escocés Henry Rhind, cuando viajó a Egipto. A la muerte de Rhind, el papiro fue a parar al Museo Británico, donde se encuentra actualmente.

El papiro Rhind fue escrito por el escriba Ahmes; por ello, se conoce también como papiro Ahmes.

Este papiro mide unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho. Está escrito en hierático yproporciona información sobre cuestiones aritméticasbásicas: fracciones, cálculo de áreas, volúmenes,progresiones, repartos proporcionales, regla de tres,ecuaciones lineales y trigonometría básica.

El papiro Rhind muestra que en el antiguo Egipto, en el año 4000 a.C., se trabajaba únicamente con fracciones unitarias, es decir, aquellas con

el numerador 1, por ejemplo, .

Los egipcios tenían un método para descomponer una fracción unitaria en suma de dos fraccionesunitarias de distinto denominador.

El procedimiento se expresa del modo siguiente.

De esta forma, la fracción unitaria , mediante estemétodo, se descompone así:

1

2

1

3

1

2 3

1

3

1

6= +

⋅= +

1

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1 1

1

1

1n n n n=

++

+( )

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1

4, y

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CONTENIDOS PREVIOS

Recuerdes lo que es una fraccióny cuáles son sus términos.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás como punto de partida para ampliar tusconocimientos.

PORQUE…

Sepas llevar a cabo la representación de fracciones con gráficos.

CONVIENE QUE…

Te ayudará a comprender algunaspropiedades de las fracciones.

PORQUE…

Los términos de una fracción son el NUMERADOR y el DENOMINADOR.

Se lee: tres octavos.

El denominador indica las partes iguales en las que se divide la unidad.

El numerador indica las partes que se toman de la unidad.

3

8

Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas. Las dividimos en tantas partes iguales como indique el denominador,y después, se marcan las partes que señale el numerador.

5

6

Sepas identificar cuándo unafracción es menor, mayor o igualque la unidad.

CONVIENE QUE…

Te servirá para clasificar las fracciones.

PORQUE…

Sepas calcular potenciasde números enteros y operar con ellas.

CONVIENE QUE…

Las potencias de fracciones tienenlas mismas propiedades.

PORQUE…

Si la base es un número entero positivo, la potencia es positiva.

55 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3.125

Si la base es un número entero negativo, la potencia es positiva si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar.

(−2)4 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 16

(−3)5 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −243

Fracciones2LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

< 1 = 1 > 1

Numerador < Denominador Numerador = Denominador Numerador > Denominador

10

8

8

8

3

8

⎯→Numerador

Denominador

F

F

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Indica la potencia de una fracción.a

b

n⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟



2


o a/b expresan que de b partes tomamos a.

de c expresa la fracción de una cantidad;

su valor es el resultado de multiplicar a por cy dividir entre b.

3

5

3 40

524de 40 =

⋅=

a

b

a

b


La fracción es la

raíz cuadrada exacta

de la fracción .

Solo tienen raíz cuadrada exactalas fracciones cuyo numerador y denominador son cuadradosperfectos.

a

b

c

d

c

d

a

b=

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =↔

2

ab

c

d

a

b

c

d= La raíz cuadrada exacta de una fracción

es la fracción formada por la raíz exacta de su numerador y de su denominador.

a

b

a

b= = =→ 25

16

25

16

5

4


3

7

3

7

3

7

3

7

3

7

3

7

4 4

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Indican una fracción de numerador a

a/b y denominador b.

de c Indica la fracción de una cantidad c.

ab

a

b

a

b

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AU

LALE

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DE

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EN LA VIDA COTIDIANA... El agua de la Tierra

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Conocer la superficie y distribución de los océanos y la cantidad de agua disponible, y utilizar estos datos para resolver problemas con fracciones. • Interpretar un texto y extraer de él los datosnecesarios para resolver problemas con fracciones.

La Tierra tiene forma esférica y está achatada por los polos. Considerando la Tierra como una esfera, lalongitud de sus círculos máximos (meridiano cero yecuador) es aproximadamente de 40.000 kilómetros.Asimismo, la superficie total de la Tierra es de unos500 millones de kilómetros cuadrados.

Los océanos y mares ocupan los del total de la su-

perficie del planeta. Por su parte, los mares profundos

ocupan los de esa superficie total.

La fracción de la superficie total ocupada por los océa-nos que corresponde a cada uno de ellos es aproxima-damente la siguiente.

Océano Atlántico.....................................

Océano Pacífico ......................................

Océano Índico.........................................

Océano Ártico .........................................

Por otra parte, el agua de los océanos y mares es sala-da y contiene alrededor de 35 gramos de sal disueltosen cada litro de agua.

LEE LA INFORMACIÓN, CALCULA Y CONTESTA.

a) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu-pan los océanos y mares profundos?

b) ¿Qué fracción de la superficie terrestre constituyenlos continentes?

c) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan losocéanos y mares profundos?

d) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupanlos continentes?

e) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu-pa cada uno de los océanos indicados en el texto?

f) ¿Qué superficie ocupa el océano Atlántico en kiló-metros cuadrados?

g) ¿Y el océano Pacífico?

h) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupa elocéano Índico?

i) ¿Y el océano Ártico?

j) Se estima que, en el agua de los océanos, las

partes de los materiales sólidos disueltos son sal.¿Cuántos gramos de materiales disueltos que no sonsal hay en cada litro de agua?

34

1

20

1

5

1

2

1

4

13

50

7

10

Los océanos y los mares en la Tierra1

Fracciones2C

OM

PE

TEN

CIA

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TEM

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CA

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2

El volumen de agua total en el planeta Tierra es deunos 1.400 millones de kilómetros cúbicos.

Los de toda el agua del planeta Tierra es agua

salada y el resto es agua dulce.

La mayor parte del agua dulce, concretamente los ,

la constituyen el hielo y la nieve de los casquetes pola-res y los glaciares. El resto está formado por el aguasubterránea, el agua de los lagos y ríos y de la atmós-fera. Los glaciares y los casquetes polares, que son losmayores almacenes de agua dulce en la Tierra, estánalejados de los grandes núcleos de población humana.

Por eso, son los ríos, los lagos y las aguas superficialeslos que ha utilizado tradicionalmente el ser humanopara proveerse de agua. Pero solo una parte de cadaveinte del agua dulce está en los ríos y lagos o sonaguas superficiales.

Aunque, en términos absolutos, el agua dulce disponi-ble es suficiente para abastecer a los más de 6.000millones de habitantes de la Tierra, existe el problemade que este agua disponible no está equitativamentedistribuida en el planeta.

Hoy se calcula que la cantidad mínima de agua paracubrir las necesidades básicas de una persona es de50 litros diarios. Y se considera la cantidad de 100 li-tros por persona y día como necesaria para un están-dar de vida aceptable.


a) ¿Qué fracción del total de agua de la Tierra consti-tuye el agua dulce?

b) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce hay enla Tierra aproximadamente?

c) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce repre-sentan la nieve y el hielo de los casquetes y losglaciares?

d) ¿Qué fracción del total de agua del planeta repre-senta el agua en forma de hielo y nieve que hay enlos casquetes y en los glaciares?

e) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce con-tienen los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguassuperficiales?

f) ¿Qué fracción del agua total de la Tierra represen-tan los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguassuperficiales?

g) ¿Cuántos metros cúbicos de agua gastaría la hu-manidad diariamente, si cada persona usara la cantidad mínima recomendada para sus necesida-des básicas?

h) ¿Cuántos metros cúbicos de agua al día gastaría lahumanidad si cada persona usara la cantidad ne-cesaria para un estándar de vida aceptable?

i) ¿Qué fracción del total de agua dulce disponible enríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficia-les supondría cada uno de ambos casos?

5

7

97

100

La distribución del agua dulce en la Tierra2

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CU

RS

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LAC

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Una locomotora arrastra tres vagones. La longitud del primer vagón es de la longitud

del segundo y la longitud del tercer vagón es igual a la longitud del primero y segundo juntos. Si la longitud total de los tres vagones es 56 m, ¿cuánto mide cada vagón?

13

Estrategia Una estrategia para resolver los siguientes problemas es hacer un dibujo y mostraren él los datos del problema. El dibujo nos ayudará a resolver el problema.

Jorge ha ido en coche desde el pueblo Ahasta el pueblo C pasando por B. Ha recorrido un total de 180 km. La distancia entre

los pueblos B y C es de la distancia

que hay entre los pueblos A y B. ¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y B?¿Y entre los pueblos B y C?

Cristina recibe en su tienda un total de 90 camisetas de las tallas pequeña, mediana y grande. El número de camisetas pequeñas

es del número de camisetas medianas,

y el número de camisetas grandes es del número de las medianas.

a) ¿Cuántas camisetas de cada talla recibeCristina?

b) El precio de una camiseta pequeña más una mediana y una grande es 36 €. La pequeña cuesta 1/4 menos que la mediana, y la grande, 1/4 más que la mediana. ¿Cuánto cuesta cada camiseta?

Una persona paga en dos plazos un televisorque cuesta 540 €. En el segundo plazo pagólos 3/7 del dinero que abonó en el primero.¿Cuánto dinero pagó en cada plazo?

3

43

23

2

54

1


Hacer un dibujo

PROBLEMA RESUELTO


Fracciones2A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

Longitud del primer vagón: de 56 = 7 m.

Calcula la longitud de los otros dos vagones y comprueba la solución.

1

8

Longitud delprimer vagón

Longitud delsegundo vagón

Longitud deltercer vagón

Longitud de lostres vagones

56 m

Pueblo A Pueblo B Pueblo C

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2


EJERCICIOS

De forma análoga a la Práctica 1, crea una nuevahoja Unidad02_3a y resuelve los ejercicios 50 y 51 de la página 53.

Haz también el ejercicio 60 de la página 54 de forma análoga a la Práctica 2.

Guarda el libro para registrar los datosintroducidos en las hojas Unidad02_1a,Unidad02_2a y Unidad02_3a, mediante

→ en tu carpeta personal.

3

2

1

Trabajo con fracciones

PRÁCTICA EXCELAbre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hojamediante → con nombre: Unidad02_1a.

Prepara un formato especial para operar con fracciones: selecciona toda lahoja y activa la opción: → y, en la ficha , selec-ciona la opción Fracción | Hasta 3 dígitos. Fíjate en que EXCEL presenta lasfracciones en formato mixto, es decir, que aunque escribamos 32/5 en unacelda, el programa lo transforma en la fracción 6 2/5).


1. Pon los rótulos de la figura en las celdas A1: I1.

2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2.

3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: y ob-serva el resultado: −2 2/15 → −2 + 2/15 = −28/15.

4. Introduce en cada fila los términos de cada ejercicio: en la fila 3 estaránlos términos del apartado b), y en la columna y introducirás la operación.La fórmula del apartado c) será .

5. Copia los resultados en tu cuaderno.


Inserta una nueva hoja Unidad02_2a:

1. Pon los mismos rótulos que en la Práctica 1.

2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2.

3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: y observa el resultado: 4.

4. Introduce en cada fila los términos de los ejercicios: en la fila 3 estaránlos del apartado b), y en la celda I3 introducirás la operación. Prestaatención a cómo colocas los paréntesis.


=A2/(B2−C2)

=A4−(B4−(C4+D4)−E4)−(F4+G4)−H4

=(A2+B2)−(C2+D2)

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A lomos del viento

Simon Stevin nació en Brujas (Bélgica) en 1548. En su juventud recorrió buena parte de Europa, lo que era una práctica habitual entre los eruditos e intelectuales de la época.

Ingeniero y matemático, fue reconocido en su tiempo por los trabajos de ingeniería militar y fortificación que realizó para su mecenas, el príncipe de Orange, Maurice de Nassau, durante las guerras de Flandes.

Ideó sistemas de diques y contradiques que permitían inundar las tierras bajas y detener el avance de los ejércitos enemigos, diseñó molinos y barcos… Uno de los inventos que más llamaron la atención de sus contemporáneos fue un carro que, movido por la fuerza del viento, podía transportar personas y mercancías a gran velocidad.

Stevin escribió sus trabajos en lengua vernácula; algunos historiadores afirman que lo hizo porque quería llegar al mayor número de personas, y otros sostienen que utilizaba el holandés porque esa lengua era más precisa para escribir textos científicos.

Entre sus aportaciones destaca un manual de Matemática comercial realizado por encargo del Príncipe de Orange, pero su aportación matemática más relevante es la definición y las reglas para operar con fracciones decimales, las cuales derivarían en lo que hoy conocemos como números decimales.

Simon Stevin murió en La Haya en 1620.


Números decimales3C

OM

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LE

CTO

RA

CO

MP

ETE

NC

IA L

EC

TOR

A

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3

Números decimales especiales

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CTO

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ETE

NC

IA L

EC

TOR

A

Aparte de los números decimales exactos y periódicos, existen númerosdecimales con la particularidad de que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Es decir, su parte decimal consta de infinitas cifras, pero en ella no hay ningún grupo que se repita indefinidamente.

Observa los ejemplos:

0,01001000100001000001...

1,223334444222333344444222233333444444...

Algunos de estos números, especialmente importantes, son:

• El número de oroSe representa por � y su expresión decimal es:

� = 1,6180339887498948482045868343656...

Desde la antigüedad ha tenido gran importancia por su aplicación al arte en la famosa proporción áurea. El número áureo está presente en construcciones como el Partenón, las catedrales...

También aparece en objetos de la vida cotidiana, como el carné de identidad y las tarjetas de crédito e, incluso, lo podemos encontrar en seres vivos como el nautilus (en la fotografía) y algunas especiesvegetales.

• El número πEs la razón de la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Su expresión decimal es:

� = 3,1415926535897932384626433832795...

Este número está presente en todas las circunferencias y círculos de la realidad. En las culturas china, egipcia, griega…, se trató de obteneraproximaciones cada vez más precisas de �, por su aplicación en numerosos campos. Nosotros manejamos como valor de �su aproximación a las centésimas, 3,14.

Aryabhata vivió en el siglo V, aunque tenemos pocos datos de su vida, salvo que residía en la actualPatna, ciudad cercana al río Ganges y que fue en el año 499 cuando escribió su obra en versodedicada a las Matemáticas y conocida con el nombre Aryabhatiya.

Dicha obra consta de cuatro partes: armonías celestes, elementos de cálculo, del tiempo y su medición y las esferas. El contenido matemáticoestá constituido por reglas para hallar raíces cuadradas y cúbicas, reglas de medición, fórmulaspara el cálculo de los elementos geométricos, identidades algebraicas sencillas…

Aryabhata

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CONTENIDOS PREVIOS

Repases el sistema de numeracióndecimal y la descomposiciónpolinómica de un número natural.

CONVIENE QUE…

Estudiaremos los órdenes menores que la unidad y te ayudará a comprender la descomposición polinómica de un número decimal.

PORQUE…

Realices con soltura la multiplicación y división de un número natural por la unidad seguida de ceros.

CONVIENE QUE…

Lo utilizarás para transformarnúmeros decimales en fraccionesdecimales.

PORQUE…

El sistema de numeración decimal es posicional. El valor de cada cifradepende del lugar que ocupa. Diez unidades de un orden forman unaunidad del orden inmediato superior.

2 ⋅ 10.000 = 20.000 2 3 4 1 5 5 ⋅ 1 = 5

3 ⋅ 1.000 = 3.000 1 ⋅ 10 = 10

4 ⋅ 100 = 400

23.415 = 2 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 5

Sepas hacer aproximacionesde números naturales.

CONVIENE QUE…

Las aproximaciones de númerosdecimales siguen reglas similares.

PORQUE…

TRUNCAMIENTO. Se sustituyen por cero todas las cifras siguientes a la del orden considerado.

REDONDEO. Truncamos el número teniendo en cuenta, además, que si lacifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5,aumentamos en una unidad esta última.

Truncamiento a las centenas:3.400

Truncamiento a las decenas:3.410

Redondeo a las centenas:3.400

Redondeo a las decenas:3.420

Números decimales3LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

16 ⋅ 100 = 1.600

160 ⋅ 1.000 = 160.000

1.600 : 100 = 16

160.000 : 1.000 = 160

⎯→⎯→

⎯→

⎯→⎯→

3 4 1 5⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯→

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a Indica cualquier tipo de número, incluido un número decimal.

3,452… Indica un número decimalen cuya parte decimal, además de las cifras que aparecen (452), hay más cifrasdecimales.

4,56777… Indica un número decimalperiódico en cuya parte decimal la cifra 7 se repite indefinidamente.



3


Los puntos suspensivos, en cualquier notación numérica,indican que hay más elementos además de los escritos.En el caso de los números decimales, significa que hayun número ilimitado de cifras decimales.

Los puntos suspensivos se colocan inmediatamentedetrás de la última cifra, sin dejar espacio en blanco.


1,5)= Indica que la fracción

generatriz del número

decimal 1,5)

es .14

9

14

9

3,4)

Indica un número decimalperiódico puro en el que 4 se repite indefinidamente.

2,4567)

Indica un número decimal periódico mixto en el que 67 se repite indefinidamente.

El signo =, entre un número decimal periódico y su fracción generatriz, indica que ambos son dosexpresiones de un mismo número, una decimal y la otra fraccionaria.


Los números decimales se suelen separar por ; para distinguir dónde termina uno y dónde empieza el siguiente. Los puntos suspensivos deben ir separados del último punto y coma por un espacio en blanco.

0,3; 0,5; 0,7; … Indica una sucesiónde números decimales.


Para indicar que una o varias cifras de la parte decimal se repiten indefinidamente, se pone un arco sobre ellas.

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EN LA VIDA COTIDIANA... Marcas olímpicas

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Conocer algunas marcas olímpicas de atletismo obtenidas por atletas masculinos y femeninas. • Resolver problemas con números decimales y realizar estimaciones usando el redondeo y el truncamiento.

Aunque los Juegos Olímpicos se iniciaron en la anti-gua Grecia, en los tiempos modernos resurgen en elaño 1896, en el estadio ateniense de Panathinaikos,con la participación de 13 países, 300 atletas y tan solo12 periodistas.

Más de cien años después, en los Juegos de Sidney 2000,participaron 199 países, 11.116 atletas y 19.596 perio-distas para informar de los eventos deportivos.

A continuación, trabajaremos con los tiempos consegui-dos en ciertas pruebas, dando algunas de las mejoresmarcas en los Juegos Olímpicos y los nombres de losatletas que las consiguieron.


a) ¿Qué crecimiento porcentual experimentó el núme-ro de atletas que participaron en los Juegos Olímpi-cos desde la Olimpiada de 1896 hasta la de Sidney2000? ¿Qué crecimiento porcentual experimentó elnúmero de países? ¿Y el número de periodistas?

b) ¿Cuánto tiempo más tardó Carl Lewis que DonovanBailey en recorrer los 100 metros?

c) ¿Qué atleta fue más rápido en la prueba de los200 metros? Suponiendo que Michael Johnson man-tuviera la misma velocidad en una hora, ¿cuál seríasu velocidad en kilómetros por hora?

d) Haciendo un redondeo a las décimas de los tiem-pos de los tres corredores de los 100 metros, hazuna estimación de la diferencia de tiempos entreDonovan Bailey y Jim Hines.

e) Calcula el error cometido en la estimación del apar-tado anterior.

f) ¿Cuál es la diferencia exacta entre las longitudes alcanzadas por Bob Beamon y Ralph Boston?

g) ¿Cuál es la diferencia de las longitudes del aparta-do anterior si se redondea a las décimas?

h) Expresa, en minutos y segundos, la diferencia delos tiempos que tardaron Carlos Lopes y WaldemarCierpinski en recorrer la maratón. ¿Cuál es la dife-rencia en segundos?

Números decimales3C

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TEM

ÁTI

CA

PRUEBA DE LOS 100 METROSAtleta Año Tiempo

Donovan Bailey 1996 9,84 sCarl Lewis 1988 9,92 sJim Hines 1968 9,95 s


Michael Johnson 1996 19,32 sMichael Marsh 1992 19,73 sJoe Deloach 1988 19,75 s

Marcas obtenidas por atletas masculinos1

SALTO DE LONGITUDAtleta Año Longitud

Bob Beamon 1968 8 m 90 cmRalph Boston 1968 8 m 27 cmRalph Boston 1960 8 m 12 cm

MARATÓNAtleta Año Tiempo

Carlos Lopes 1984 2 h 9 min 21 sWaldemar Cierpinski 1976 2 h 9 min 55 sAbebe Bikila 1964 2 h 12 min 11 s

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Aunque la mujer fue discriminada en los Juegos Olím-picos de la antigua Grecia, en la actualidad su partici-pación es cada vez mayor. En Sidney 2000, la participa-ción femenina supuso un 40 % del número total departicipantes y superó en 800 atletas a las mujeresque participaron en Atlanta 1996.

A continuación señalaremos algunas de las mejoresmarcas femeninas de las Olimpiadas en distintas dis-ciplinas atléticas, las atletas que las consiguieron y elaño en que tuvieron lugar.

RESUELVE LAS ACTIVIDADES.

a) ¿Cuántas atletas femeninas participaron en los Juegosde Sidney 2000? ¿Y en Atlanta?

b) ¿En qué porcentaje aumentó la participación feme-nina de Atlanta a la de Sidney?

c) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos enla prueba de los 100 metros entre Evelyn Ashford y Florence Griffith, si redondeamos a las décimas.

d) Halla el error cometido en la estimación realizadaen la actividad anterior.

e) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos enla prueba de los 100 metros, entre las dos marcasobtenidas por Florence Griffith, si redondeamos alas unidades.

f) Halla el error cometido en la estimación realizadaen la actividad anterior.

g) Expresa en forma decimal, tomando como unidadel metro, las longitudes de los saltos de longitud delas tres atletas. ¿Cuántos metros más saltó la atletaJ. Joyner-Kersee, en su mejor marca, que TatianaKolpakova?

h) Haz una estimación de las diferencias de los saltosde J. Joyner-Kersee, y calcula el error cometido sise redondea a las décimas.

i) Haz una estimación de la diferencia de las longitu-des de los saltos de J. Joyner-Kersee y Tatiana Kol-pakova, redondeando a las décimas, y calcula elerror cometido.

j) Expresa en forma decimal los tiempos que tarda-ron las dos atletas en recorrer la maratón. Redon-dea a las décimas y halla la diferencia de ambostiempos. ¿Qué error cometes?


3

Marcas obtenidas por atletas femeninas2

RE

CU

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OS

PA

RA

EL

AU

LAC

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

SALTO DE LONGITUDAtleta Año Longitud

J. Joyner-Kersee 1988 7 m 40 cmJ. Joyner-Kersee 1988 7 m 27 cmTatiana Kolpakova 1980 7 m 6 cm

MARATÓNAtleta Año Tiempo

Naoko Takahashi 2000 2 h 23 min 14 sJoan Benoit 1984 2 h 24 min 52 s


Florence Griffith 1988 10,62 sFlorence Griffith 1988 10,88 sEvelyn Ashford 1984 10,97 s


Florence Griffith 1988 21,34 sFlorence Griffith 1988 21,56 sFlorence Griffith 1988 21,76 s

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Dibujamos un triángulo semejante al triángulo real del terreno.

Tomando como escala, por ejemplo 1 : 1.500, las dimensiones del triángulo del dibujo serían:

105 m : 1.500 = 0,07 m = 7 cm

120 m : 1.500 = 0,08 m = 8 cm

150 m : 1.500 = 0,1 m0 = 10 cm

Para calcular el área del terreno medimos con una regla graduada una de las alturas en el triángulo del dibujo, por ejemplo,la altura AH, y calculamos la medida real de esta altura.

La altura AH, en el triángulo del dibujo, es 8 cm.

Altura real: 8 ⋅ 1.500 = 12.000 cm = 120 m.

Área del terreno: .

Precio del terreno: 6.300 ⋅ 90,15 = 567.945 €.

Comprueba con un transportador que el valor aproximado de los ángulos es:$A = 44° $B = 83° $C = 53°

105 120

26 300 2⋅

= . m

Un terreno tiene forma triangular. Midiendo sobre el terreno, los lados son 105 m, 120 m y 150 m.¿Cuánto se puede obtener por su venta si el precio del metro cuadrado es 90,15 €?

Estrategia Hacer dibujos a escala es la manera de representar la realidad proporcionalmente.Pero, además, un dibujo a escala nos permite resolver en forma aproximadaproblemas cuya solución exacta exige conocimientos matemáticos de un nivelsuperior. La resolución de los siguientes problemas exigiría usar conocimientos que el alumno no posee. Utilizando la estrategia mencionada se pueden resolvercon una aproximación aceptable.

Para hacer un polideportivo se ha comprado una parcela triangular cuyos lados miden 300 m,375 m y 362 m. Si el precio de un metro cuadradoes 66,11 €, ¿cuál ha sido el precio de la parcela?

Para resolver el problema sigue estos pasos.

1.º Dibuja la parcela a escala 1 : 2.500.

2.º Mide una altura en el triángulo del dibujo, y averigua su medida real.

3.º Calcula el área real de la parcela y su precio.

Utiliza un transportador y averigua lo que mide cadaángulo.


Hacer un dibujo a escala

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMA PROPUESTO

Números decimales3A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

A

8 cm

10 cm

HC

7 cmB

8 cm

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3


EJERCICIOS

Completa la tabla del ejercicio 52 de la página 72.

Resuelve el resto de apartados del ejercicio 80de la página 74.

Guarda el libro con los datos introducidos

mediante → .

3

2

1

PRÁCTICA EXCELAbre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hojamediante → con el nombre: Unidad03_1a.

PRÁCTICA 1 (ejercicio 54 a), pág. 72)

1. El Programa EXCEL puede funcionar como una calculadora múltiple,y es lo que vamos a comprobar en este ejercicio. Pon los rótulos de la figura en las celdas A1: A11 y A1 a I1.

2. Colócate en la celda B2 e introduce la fórmula: . Observa quese obtiene el resultado de multiplicar la celda B1 por la celda A2.

3. Copia la fórmula en las celdas B3 a B11 (el signo $ de la fórmula signi-fica que al copiar siempre se mantendrá la celda B1, o sea que en B3será: B1 × A3, en B4 será B1 × A4…

4. Introduce en la celda C2 la fórmula: y cópiala en las celdasC3 a C11.

5. De forma análoga, haz lo mismo en las demás celdas comenzandosiempre en la fila 2.

6. Copia el resultado en tu cuaderno.


1. Abre una hoja Unidad03_2a y pon los rótulos, tal como se ve en la figu-ra del margen.

2. Indica la cifra que se quiere aproximar en la celda A1: 1,25667.

3. Introduce las fórmulas: celda B2: y celda B3: . Copia las fórmulas en las celdas C2 a D3, cam-

biando el número de decimales a 2 y 3, en función de la aproximación a las centésimas o milésimas.

4. Copia la tabla en tu cuaderno.

=REDONDEAR(A1;1)

=TRUNCAR(A1;1)

=C$1*A2

=B$1*A2

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El amo de la Luna

Johan Müller Regiomontanus nació en Königsberg en 1436 y murió en Roma en el año 1476.

Fue un niño prodigio y con tan solo 16 años acabó sus estudios en la universidad, si bien no obtuvo su título hasta haber cumplido los 21 años por motivos legales.

En la universidad tuvo como maestro a Peuerbach, por cuyo consejo adoptó el uso de los números arábigos, que utilizó en sus tablas trigonométricas. Tras viajar por Italia y estudiar a los autores clásicos, regresó a Alemania e instaló una imprenta de su propiedad con la que quería difundir las teorías de Arquímedes, Apolonio, Herón, Ptolomeo…, pero esta obra se vio truncada por su repentina muerte, a los 40 años de edad.

Regiomontanus fue el matemático más influyente del siglo XV, y una de sus aportaciones fue separar la Trigonometría de la Astronomía, y estudiarla como ciencia independiente en su obra De triangulis omnimodis.

Se cree que otra de sus obras, Ephemerides, que describía los movimientos planetarios, fue utilizada por Cristóbal Colón en la conquista de América, ya que con ella pudo predecir un eclipse de luna el 29 de febrero de 1504, cuando se encontraba varado en la isla de Jamaica, esperando ayuda de La Española, y que gracias a esa predicción pudo evitar un motín y hacer que los indígenas siguieran aprovisionándoles de comida y agua a él y a su tripulación.


Sistema sexagesimal4C

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En 1928 se estableció comoreferencia para los tiempos el GMT(hora en el meridiano deGreenwich), también llamada UTC(hora universal coordinada) y, en el contexto de la aviación,hora zulú.

Ahora bien, esa hora no es la misma en todos los países del mundo. La Tierra se dividió en una serie de 24 partes o husoshorarios, en los cuales la hora legales diferente a la GMT. Hacia el oeste, la hora legal disminuye, y hacia el este aumenta, como se ve en los relojes del mapa.

En aviación, para llevar un seguimiento más coordinado de los vuelos se trabaja con la hora zulú; es decir, los pilotos y las torres de control de todo el mundo utilizan la hora universal, GMT o UTC, para operar con una medida de tiempo común y no depender de la hora de cada país.

Si en España son las 17 horas, ¿cuál será la hora zulú?

Para calcularla basta con mirar el mapa. Vemos que España está situada en la franja marcada como −1. Para hallar la hora zulú sumamos a la hora local el número de la franja a la que pertenece el país; es decir, la hora zulú será: 17 + (−1) = 16 horas.

La hora zulú

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Augusta Ada King nació en Londres en 1815, y fue la hija del sexto lord Byron, el famoso poeta, y de Annabella Milbauke Byron. Sus padres se separaron cuando ellatenía dos meses de edad, y lordByron abandonó definitivamente GranBretaña, por lo que su hija nunca llegóa conocerlo. Educada de formaprivada, fue sobre todo autodidacta.

Esta matemática británica creó un prototipo de ordenador digital que había diseñado Charles Babbage.Debido a esta circunstancia, Ada ha sido considerada la primeraprogramadora de computadoras.

Augusta Ada King

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11-12-11+12

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CONTENIDOS PREVIOS

Recuerdes las característicasdel sistema sexagesimal.

CONVIENE QUE…

Te serán útiles para comprender los contenidos de la unidad.

PORQUE…

Utilices con soltura lasequivalencias entre las unidadesdel sistema sexagesimal.

CONVIENE QUE…

Las utilizarás para operar con cantidades expresadas en el sistema sexagesimal.

PORQUE…

Conozcas la jerarquíaen las operaciones.

CONVIENE QUE…

Tendrás que aplicarla en las operaciones combinadas de ángulos y tiempos.

PORQUE…

El SISTEMA SEXAGESIMAL es el conjunto de unidades y normas que aplicamos a la hora de medir ángulos y tiempos. Sus unidades son:

Recuerdes las expresiones en forma compleja e incompleja.

CONVIENE QUE…

Te servirá para resolver distintosproblemas.

PORQUE…

Una cantidad está en FORMA COMPLEJA cuando en su expresión aparecendistintas unidades de medida. Si solo aparece una unidad de medida, se dice que está en FORMA INCOMPLEJA.

Forma compleja ⎯→ 3 h 15 min 20 s

Forma incompleja → 20 h

Sistema sexagesimal4LE

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Tiempos

Hora (h)

Minuto (min)

Segundo (s)

Ángulos

Grado (°)

Minuto (')

Segundo (")

Primero se resuelven las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

Después, se realizan las sumas y las restas en el mismo orden.

= 8 + 7 ⋅ 4 : 2 − 7 + 15 : 5 − 4 =

= 8 + 28 : 2 − 7 + 3 − 4 =

= 8 + 14 − 7 + 3 − 4 =

= 22 − 7 + 3 − 4 = 15 + 3 − 4 =

= 18 − 4 = 14

hora minuto segundo

F F

Fgrado minuto segundo

G G

G

⎯→ ⎯⎯→⎯→

⋅ 3.600

⋅ 60⋅ 60

: 60 : 60

: 3.600

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° Indica la amplitud de un ángulo expresadaen grados.

' Indica una amplitud en minutos.

" Indica una amplitud en segundos.

h Indica una cantidad de tiempoexpresada en horas.

min Indica una cantidad en minutos.

s Indica una cantidad en segundos.




Al medir tiempos podemos expresar las cantidades en forma compleja, utilizando varias unidades,o en forma incompleja, si usamos una sola unidad.


Las medidas de ángulos podemos expresarlas en forma compleja, utilizando varias unidades, o incompleja, si usamos una sola unidad.

Indica una suma.

Indica una resta.

Indica una multiplicación.

Indica una división.15° 45' 40

15° 45'× 7'

45° 45' 45"− 20° 50' 47"

15° 45' 39"+ 20° 50' 47"


Las cantidades expresadas en forma sexagesimalpodemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas. Los signos que expresan esasoperaciones son los usuales de las operacionesaritméticas.

Podemos sumar y restar cantidades sexagesimales,pero la multiplicación y la división se hacen por un número, no por otra cantidad sexagesimal.

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EN LA VIDA COTIDIANA... Relojes y ángulos

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Calcular la hora cuando las agujas forman un determinado ángulo. • Dada una hora, hallar el ángulo que forman las agujas. • Determinar la hora en la que las agujas están superpuestas o en prolongación.

Aquí tienes la posición de las agujas de un reloj mar-cando horas exactas. ¿Qué ángulo forman las agujasen cada caso?

Tomando un transportador puedes ver que, en el pri-mer caso, forman un ángulo de 60°; en el segundo,de 90°... Pero esto también se puede obtener de otramanera.

La aguja minutero da una vuelta completa cada hora(60 minutos), recorriendo 360°; por tanto, cada minu-to recorre un ángulo de amplitud 360° : 60 = 6°.

La aguja horaria recorre un ángulo de 30° (360°/12)cada hora, luego cada minuto recorre: 30° : 60 = 0,5°.

En el primer reloj, a las 2 h la aguja minutero está enlas 12 y la horaria está en las 2; luego, el ángulo es:2 ⋅ 30° = 60°.

A las 3 h, en el segundo reloj, la aguja minutero estáen las 12 y la horaria está en las 3, siendo el ángulo:3 ⋅ 30° = 90°.

¿Qué ángulo forman las agujas en este reloj?

Las agujas marcan las 12 h 20 min. Desde las 12 h, laaguja minutero ha recorrido: 6° ⋅ 20 = 120°, y la agujahoraria ha recorrido: 0,5° ⋅ 20 = 10°.

La diferencia, 120° − 10° = 110°, es el ángulo queforman las dos agujas.

¿Qué ángulo forman las agujas a las 2 h 28 min?

Hacemos los cálculos desde la posición de las 12 h.La aguja minutero recorre un ángulo de: 6° ⋅ 28 = 168°,mientras que la horaria, desde las 12 h hasta las 2 h,recorre: 2 ⋅ 30° = 60°, y de las 2 a las 2 h 28 min, recorre otro ángulo de: 0,5° ⋅ 28 = 14°.

El ángulo que forman es: 168° − (60° + 14°) = 94°.

¿Qué ángulo forman las agujas a las 7 h 22 min?

La aguja horaria recorre, desde la posición de las 12 h,un ángulo de 7 ⋅ 30° = 210°, al que sumamos el reco-rrido de las 7 h a las 7 h 22 min: 0,5° ⋅ 22 = 11°. En total, son 221°.

La aguja minutero, desde las 7 h hasta las 7 h 28 min,recorre: 6° ⋅ 22 = 132°.

La diferencia, 221° − 132° = 89°, es el ángulo queforman las agujas del reloj.


a) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 21 h? ¿Y a las 23 h? Toma como ángulo el mayor de losdos ángulos que se forman.

b) ¿Qué ángulo forman a las 5 h 17 min? ¿Y a las 5 h30 min? ¿Y a las 5 h 50 min?

c) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 20 h10 min? ¿Y a las 20 h 40 min?

Ángulos a partir de la hora1

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¿A qué hora exacta, entre las 2 h y las 3 h, las agujasdel reloj están superpuestas?

La hora pedida será las 2 h x min. Por tanto, se trata dehallar los minutos. De la posición de las 12 h a la posi-ción x de la aguja minutero, el ángulo será 6x. Desde laposición de las 12 h a las 2 h hay 60°, y de las 2 h a las2 h x min hay 0,5x; la aguja horaria recorre en total:60 + 0,5x.

El ángulo recorrido por ambas agujas es el mismo:

6x = 60 + 0,5x; x = 10,91 min

Si lo expresamos en horas, minutos y segundos:

0,91 ⋅ 60 = 54,6 s

2 h 10,91 min = 2 h 10 min 54,6 s

¿Qué hora es, entre las 2 h y las 3 h, cuando las agujasdel reloj están en prolongación?

La hora será las 2 h x min. Razonamos igual que en elejemplo anterior. La aguja minutero habrá recorrido unángulo de 6x, y la aguja horaria, 60 + 0,5x.

En este caso, el ángulo de la aguja minutero es 180°mayor que el de la horaria, es decir:

6x − (60 + 0,5x) = 180; x = 43,64 min

Las agujas están en prolongación a las 2 h 43,64 min;es decir, a las 2 h 43 min 38 s.

¿A qué hora próxima a las 2 h las agujas del reloj, entrelas 2 h y las 3 h, forman un ángulo de 90°?

En la aguja minutero, el ángulo recorrido es 6x.

Y en la aguja horaria: 60 + 0,5x.

Se diferencian en 90°:

6x − (60 + 0,5x) = 90; x = 27,27 min

La hora es: 2 h 27,27 min = 2 h 27 min 16 s.

La clase de Matemáticas empieza entre las 13 h y las14 h, cuando las agujas están superpuestas, y terminaantes de las 14 h, cuando forman un ángulo de 270°.¿Cuánto tiempo dura la clase de Matemáticas?

La clase empieza a las 13 h x min. Las agujas estánsuperpuestas al empezar, luego:

30 + 0,5x = 6x; x = 5,45 min

La clase empieza a las 13 h 5 min 27 s.

Al terminar la clase forman un ángulo de 270°:

6x − (30 + 0,5x) = 270°; x = 54,55 min

La clase termina a las 13 h 54 min 33 s.

Por tanto, la clase dura:

13 h 54 min 33 s − 13 h 5 min 27 s = 49 min 6 s

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Una reunión de vecinos empieza entre las 17 h ylas 18 h, cuando las agujas están superpuestas,y acaba pasadas las 19 h, cuando forman un án-gulo de 111°. ¿Y a qué hora comienza la reunión?¿Y a qué hora termina? ¿Cuánto tiempo dura?

b) Rafael ficha al entrar en la oficina entre las 8 h ylas 9 h, cuando las agujas están en prolongación,y ficha la salida entre las 15 h y las 16 h, cuando lasagujas están superpuestas. ¿Cuánto tiempo estáen la oficina?

Horas a partir de los ángulos2

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60 + 0,5x

60 + 0,5x

60 + 0,5x

6x

6x

6x

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Dibuja un ángulo AOB de 100°.

1.º Señala un punto C en el lado OA y un punto D en OB. Traza la recta r perpendicular al lado OA por el punto C, y la recta s perpendicular al lado OB por el punto D.

2.º Las rectas r y s se cortan en el punto P.Averigua el valor del ángulo CPD.

Dibuja un ángulo AOB de 45°.

1.º Traza mediante plegado la bisectriz OD del ángulo AOB. Señala un punto C en la bisectriz y traza por este punto la recta rperpendicular a la bisectriz. La recta r cortaal lado OB en un punto S y al lado OA en el punto R.

2.º Traza por el punto R la recta perpendicularal lado OB. Esta recta corta al lado OB en el punto P.

Haz el dibujo y averigua cuál es el valor

del ángulo PRS.

21



Hacemos el dibujo siguiendo las indicaciones del enunciado.

El ángulo BOC mide: 180° − 45° = 135°, y el ángulo MON que forman las bisectrices

mide:

Prueba que las bisectrices de dos ángulos adyacentes cualesquiera, � y 180° − �, son siempreperpendiculares.

Para probar que las bisectrices de los ángulos � y 180° − � son perpendiculares, haz un dibujo análogo al anterior y procede como se ha hecho con los ángulos de 45° y 135°.

45

2

135

2

18090

° ° °

2°.+ = =

Dibuja un ángulo AOB de 45°. Después, traza el ángulo BOC adyacente al ángulo AOB . Traza medianteplegado las bisectrices de los ángulos anteriores. ¿Qué ángulo forman las bisectrices?

Estrategia La estrategia consistente en hacer un dibujo para reflejar las condiciones del enunciado ayuda a resolver algunos problemas. Esta estrategia es especialmenteútil en los problemas geométricos, ya que las relaciones y el razonamientogeométrico se entienden mejor cuando se trabaja sobre figuras construidas de acuerdo con el enunciado del problema.


Dibujar ángulos

PROBLEMA RESUELTO


Sistema sexagesimal4A

PLI

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CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

135° 45°

B

C O A

B

C O A

N

M

P

A

B

C

DO

100°s

r

135°

2

45°

2F

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4

EJERCICIOS

De forma análoga a la Práctica 1, crea una nuevahoja Unidad04_3a y haz el ejercicio 42, teniendoen cuenta las transformaciones necesarias para obtener la diferencia de ángulos.

Abre una nueva hoja Unidad04_4a y realiza elejercicio 51 de la página 89.

Guarda el libro con → .3

21



1. Escribe los rótulos de las celdas A1 a I2:

2. Introduce los valores de los ángulos en las celdas A3 a F3.

3. Colócate en la celda I3 y escribe la fórmula: . Esta fórmula suma los segundos y escribe el resto de dividir entre 60.

4. Introduce en la celda H3 la fórmula:

. Suma los minutos delprimer y segundo sumandos, y si la suma de los segundos, sobrepasa 60,suma también los minutos correspondientes. Después, calcula el restoy escríbelo.

5. Pon en la celda G3:

. De forma aná-loga sumará los grados de los dos sumandos más los grados resultantesde la suma de los minutos. Resultado: 45° 50' 55".

6. En filas sucesivas, introduce los valores del resto de apartados.


1. En otra hoja, Unidad04_2a, introduce los rótulos de las celdas A1 a G2.

2. Introduce los valores del ángulo y del factor en las celdas A3 a D3.

3. Colócate en la celda G3 y escribe la fórmula: .Esta fórmula multiplica los segundos por el factor y escribe el resto dedividir entre 60.

4. En la celda F3 escribe: .Esta fórmula multiplica los minutos por el factor, suma los minutos re-sultantes de la operación de los segundos anteriores y escribe el restode dividir entre 60.

5. Y en E3: . Estafórmula multiplica los grados por el factor y suma los grados anteriores.

6. En filas sucesivas, introduce los valores del resto de apartados.

=A3*D3+COCIENTE(B3*D3+COCIENTE(C3*D3;60);60)

=RESIDUO(B3*D3+COCIENTE(C3*D3;60);60)

=RESIDUO(C3*D3;60)

=A3+D3+COCIENTE(B3+E3+COCIENTE(C3+F3;60);60)

=RESIDUO(B3+E3+COCIENTE(C3+F3;60);60)

=RESIDUO(C3+F3;60)

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El templo de Apis

La acción nos traslada al antiguo Egipto, que es la cuna, junto con Mesopotamia, del nacimiento de la cultura occidental.

Los legados matemáticos de las dos civilizaciones que han llegado a nuestros días han sido más bien escasos, en especial en el caso de los egipcios que escribían sobre papiro, ya que este se degrada con el paso del tiempo más que lastablillas de arcilla que utilizaban en Mesopotamia para escribir.

El papiro egipcio más importante del que tenemos noticia dedicado a las Matemáticas es, sin duda, el papiro de Rhind, llamado así porque fue comprado por el escocés Henry Rhind en el año 1858 y actualmente se encuentra en el Museo Británico. También se le conoce como el papiro de Ahmés por ser este el escriba que lo copió.

El papiro fue escrito hacia el año 1650 a.C. y su propio autor reconoce que lo copió, de un escrito unos 200 años anterior, es decir, el escrito original habría sido redactado hace 4.000 años. Contiene 87 problemas matemáticos concretos, sin generalizaciones de ningún tipo, sobre cuestiones aritméticas, fracciones, áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.

El juego de símbolos que proponemos se basa en el sistema de numeración egipcio, es un sistema aditivo (no posicional) en el que cada símbolo recibe un valor, por ejemplo:


Expresiones algebraicas5C

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1 unidad

10 unidadesF

F

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François Viète (1540-1603) era un abogado y jurista francés, miembro del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia, cuya verdadera vocación era las Matemáticas.

Su notable aportación a esta ciencia es debida a que llevó el Álgebra a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza. Viète introdujo la primeraanotación algebraica sistemática en su libro Introducción al arte analítico,publicado en 1571.

En él demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso de palabras en el Álgebra y utilizó, en sus cálculos, las letras minúsculaslatinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas, y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue también el primero en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido del término. La palabra «coeficiente» deriva de su vocabulario y apareceen uno de sus problemas geométricos.

Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolverecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvíatal como se hace en la actualidad, sino que las asociaba a problemasgeométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad.

Así, la ecuación x2 + x = 6, según ese principio, no se podía resolver tal cual porque los sumandos x2 y x no eran homogéneos, es decir, tenían distinta dimensión, ya que él asociaba el término x2 con áreas y x con líneas. Viète intentaba siempre resolver ecuaciones en las que las dimensiones de cada sumando o término (es decir, su grado) fueran iguales.

El primer simbolista

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EL BURRO EN LA ESCUELA

Una y una, dos.Dos y una, seis.El pobre burritocontaba al revés.

¡No se lo sabe!–¡Sí me lo sé!–¡Usted nunca estudia!Dígame, ¿por qué?

–Cuando voy a casa no puedo estudiar, mi amo es muy pobre, hay que trabajar.

Trabajo en la noria todo el santo día. ¡No me llame burro,profesora mía!

GLORIA FUERTES

Poesía matemática

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SIMPLIFICAR una fracción consiste en hallar otra fracción equivalente que no tenga factores comunes en el numerador y el denominador.

a b ca cd

a a a b b ca a c d

a bd

3 2

2

2

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

=⋅

120180

2 3 52 3 5

2 2 2 3 52 2 3 3 5

23

3

2 2=

⋅ ⋅⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=


CONTENIDOS PREVIOS

Recuerdes la propiedaddistributiva del producto.

CONVIENE QUE…

Tendrás que aplicarla en la resolución de ecuaciones.

PORQUE…

Repases las característicasdel lenguaje algebraico.

CONVIENE QUE…

Lo utilizarás para trabajar con ecuaciones.

PORQUE…

Sepas llevar a cabo la simplificación de fracciones.

CONVIENE QUE…

La usarás para realizar divisionesde monomios y para simplificar la solución de una ecuación.

PORQUE…

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c

7 ⋅ (5 + 2) = 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2 = 35 + 14 = 49

8 ⋅ (4 − 3) = 8 ⋅ 4 − 8 ⋅ 3 = 32 − 24 = 8

El LENGUAJE ALGEBRAICO utiliza números y letras unidos medianteoperaciones aritméticas. Las expresiones de ese tipo se denominanEXPRESIONES ALGEBRAICAS.

2x + 3y − 5z

4x + 9z2

Sepas obtener el valor numéricode una expresión algebraica.

CONVIENE QUE…

Te será útil para verificar las soluciones de una ecuación.

PORQUE…

El VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica, para unos valores dados de las letras, se obtiene sustituyendo estos en la expresión y operando.

Valor numérico de 7x − 11y, para x = 1 e y = −1:

7 ⋅ 1 − 11 ⋅ (−1) = 7 + 11 = 18

Expresiones algebraicas5LE

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−5 ⋅ a ⋅ b3

Indican el mismo monomio.−5ab3

7 ⋅ (3x − 2)Indican la misma operación.

7(3x − 2)

x + y − z Indica una expresión algebraicacon tres incógnitas.




Las incógnitas de una expresión algebraica se representan con letras minúsculas. Las más usuales son x, y, z, t, u, v…


El signo de multiplicación entre un número y unaincógnita, o entre dos incógnitas, se puede omitir.

El signo de multiplicación anterior a un paréntesistambién se puede omitir.

ax n Es la expresión general de un monomio.


En la expresión general de un monomio se distinguendiferentes partes.


Un polinomio cualquiera con una variable se denotapor P(x), Q(x), R(x)…

P(x) = x4 + 3x3 − 2x − 7

P(3) = 34 + 3 ⋅ 33 − 2 ⋅ 3 − 7 = 149

P(x , y ) = 2x2y + 3xy2 − x2 − 4

P(2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 12 − 22 − 4 = 6

5

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LALE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

ax n

Coeficiente

Parte literal

P(x )Q(x )R(x )

Indican polinomios que solo tienenuna variable, x.

P (x, y ) Indica un polinomio con dosvariables, x e y.

P (3) Indica el valor del polinomio P(x )para x = 3.

P(2, 1) Indica el valor del polinomio P(x, y )para x = 2, y = 1.

F

F

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EN LA VIDA COTIDIANA... Álgebra y calculadora

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Usar de forma eficiente la calculadora científica para validar y realizar cálculos algebraicos. • Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora.

Para realizar cálculos numéricos largos, normalmen-te se van escribiendo los resultados parciales en elcuaderno, hasta llegar al resultado final. Por ejemplo,para averiguar el valor numérico de la expresión alge-braica 3x3 − 2x2 + 5x − 1, para x = −2, hacemos:

3 ⋅ (−2)3 − 2 ⋅ (−2)2 + 5 ⋅ (−2) − 1 == 3 ⋅ (−8) − 2 ⋅ (4) − 10 − 1 == −24 − 8 − 10 − 1 = −43

Las calculadoras científicas permiten realizar los cálcu-los de una forma más eficaz sin necesidad de efectuarcálculos parciales, ni de ir anotándolos.

Las teclas usadas en este caso serían:

Observa que solamente se han utilizado las funciones(o teclas) siguientes.

tecla de multiplicar

teclas de paréntesis

tecla de elevar a una potencia

tecla de cambio de signo

DETERMINA CON LA CALCULADORA EL VALORNUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES,PARA LOS VALORES INDICADOS.

a) 3x2 − 5x + 8 para x = −1

b) 6(x + 8)3 − 5x2 + 4x − 3 para x = 4

c) (x − 5)3 − + 4x para x = 4

d) 4x3 + 3x2 − 2x + 5 para x =12

4 33

2( )x −

±

x y

---)][(---

×

=1−±2×5

+---)]2x y±2[(---×2

−---)]3x y±2[(---×3

Valor numérico de una expresión algebraica1

La calculadora científica no efectúa cálculos simbólicos,pero permite comprobarlos. Así, para ver si está bien he-cho el cálculo algebraico:

(3x − 5) ⋅ (4x2 + 5x − 2) = 12x3 − 5x2 − 30x + 10

damos a x un valor cualquiera y hallamos con la calcu-ladora cuánto vale cada miembro.

Tomamos el valor x = 10, y en el miembro izquierdoobtenemos:

(3 ⋅ 10 − 5) ⋅ (4 ⋅ 102 + 5 ⋅ 10 − 2) = 25 ⋅ 448 = 11.200

Y en el derecho:

12 ⋅ 103 − 5 ⋅ 102 − 30 ⋅ 10 + 10 = 11.210

La multiplicación algebraica no está bien realizada.

Ten en cuenta que obtener el mismo resultado no sig-nifica que la operación esté bien realizada. El métodonos sirve únicamente para saber si está mal hecha.

HAZ ESTAS OPERACIONES CON LA CALCULADORA.

a) Comprueba si el siguiente producto está mal reali-zado, dando a x el valor 1:

(2x2 + 3x − 5) ⋅ (3x2 − 5) == 6x4 + 9x3 − 25x2 − 15x + 25

b) Realiza el siguiente producto y comprueba el resul-tado con la calculadora, dando a x el valor 2:

(2x2 + 3x − 1) ⋅ (3x + 7)

Validación de resultados en cálculos algebraicos2

Expresiones algebraicas5C

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

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La calculadora permite también resolver ecuaciones.Vamos a verlo con un ejemplo.

Dos amigos, Pedro y Ana, juegan con sus calculado-ras. Pedro tiene en la pantalla de su calculadora el nú-mero 8 y Ana el número 118.

Pedro suma a su número 3 unidades y Ana le resta alsuyo 5 unidades de forma simultánea. Obtienen comoresultados 11 y 113, respectivamente.

Se plantean el siguiente problema: si realizan este pro-ceso repetidas veces, ¿llegarán a tener el mismo resul-tado en la pantalla? ¿Cuántas veces serán necesarias?Y si no es así, ¿cuándo estarán más cerca de lograrlo?

Una suma repetida con la calculadora, con sumandoconstante 3, se puede hacer así:

y obtenemos en la pantalla:

A partir de entonces, bastará con pulsar repeti-damente y obtendremos: 14, 17, 20…

Lo mismo podrá hacer Ana. En este caso, es una restarepetida con sustraendo constante 5. Pulsando:

se obtiene 113. Luego, pulsando repetidamente la te-cla , se obtendrá: 108, 103, 98…

La traducción algebraica del problema de Pedro y Anaes la ecuación:

8 + 3x = 118 − 5x

Ambos pueden anotar los resultados sucesivos en unatabla, en la que x es el número de veces que cada unotendrá que apretar la tecla .

Como ves, con la calculadora podemos resolver ecua-ciones usando métodos de resolución numéricos envez de algebraicos.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) ¿Crees que llegarán a ser iguales los números de Pedro y Ana?

b) ¿Para qué valor de x opinas que los números seránmás parecidos?

c) Resuelve el problema con la calculadora y com-prueba tus anteriores hipótesis.

d) Resuelve algebraicamente la ecuación y contestade nuevo a las preguntas de los apartados a) y b).

e) Si partimos de los números 10 y 200, y aumenta-mos el primero de 6 en 6 y disminuimos el segun-do de 3 en 3, ¿se obtendrá el mismo número?¿Después de cuántas veces? Plantea la ecuación yresuélvela algebraicamente.

f) Ahora partimos de los números −5 y 255. El pri-mero aumenta de 8 en 8 y el segundo disminuyede 5 en 5. ¿Se obtendrá el mismo número? ¿Des-pués de cuántas veces? ¿Qué secuencias de teclasusarías? Plantea la ecuación y resuélvela algebrai-camente.

g) De la misma manera que con la suma y la resta,se actúa con el producto. Así, si tecleamos la se-cuencia:

resulta 12 y, cada vez que volvamos a pulsar ,obtendremos el producto por 3: 36, 108…

¿Cuántas veces hemos de pulsar para obtener elnúmero 2.916? ¿Sabrías plantear la ecuación?

=

=4××3

=

=

811−−5

=

11.

=8=+3

Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora

3

5

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CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LAC

OM

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TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

x 0 1 2 3 4 …

Pedro 8 11 14 17 20 …

Ana 118 113 108 103 98 …

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Distinguiremos dos posibles casos:

• Que vayan en sentido opuesto

Los dos móviles se encuentran en un punto C, situado entre A y B. Si x es la distancia entre A y C, 50 − x será la distancia entre B y C. El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo, t. Así, resultan las siguientes ecuaciones.

Móvil 1: x = v1t = 120tMóvil 2: d − x = v2t = 180t

Sumando ambas ecuaciones: d = (v1 + v2)t = 200t → .

Conocido el valor de t, se obtiene: x = v1t = .

Se encuentran al cabo de 15 minutos, a 30 km del punto A.

• Que vayan en el mismo sentido

Los dos móviles se encontrarán en el punto C, habiendo recorrido el primero una distancia 50 + x, y el segundo, x.

Móvil 1: d + x = v1t → 50 + x = 120tMóvil 2: x = v2t → x = 180t

Restando: d = (v1 − v2)t → .

Conocido el valor de t , se obtiene: x = v2 ⋅ = 80 ⋅ = 100 km.

Se encuentran al cabo de 1 hora y cuarto, a 100 km del punto B.

5

4

d

v v1 2−

td

v v=

−=

−=

1 2

50

120 80

5

4hora

1201

430⋅ = km

td

= = =200

50

200

1

4hora



Dos móviles están a una distancia d = 50 km en un instante dado. Si ambos circulan por el mismo camino y sus velocidades son v1 = 120 km/h y v2=80 km/h, ¿al cabo de cuánto tiempo y en qué punto se encontrarán?

Estrategia En problemas de tipo algebraico, un esquema nos puede ayudar a traducir e interpretar el enunciado de un problema. A continuación, vamos a comprobarlo en problemas de móviles, en los que: espacio = velocidad ⋅ tiempo.


Hacer un esquema

PROBLEMA RESUELTO

Expresiones algebraicas5A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h

A BC6 56 5x 50 − x

CB

v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h

6 56 5xd = 50 kmA

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5

EJERCICIOS

De forma análoga a la Práctica 1, crea una nuevahoja Unidad05_2a, y cambia las fórmulas delapartado a) para realizar el resto de operacionesdel ejercicio. Por ejemplo, para calcular el apartado c) tendrás que poner en la celda B7.

De forma análoga a la Práctica 2, realiza el restode apartados del ejercicio 62.


2

=B3−B4

1



1. Escribe los rótulos de las celdas con el fondo en amarillo:

2. Introduce los valores de los coeficientes de los diferentes polinomios:A(x), B(x) y C(x) en las celdas de las columnas B, D y H. Por ejemplo,en la celda B3 coloca un 2, en la celda D3 coloca un −3, y así sucesiva-mente. Observa cómo queda el polinomio A(x):

3. Introduce en la celda B7: y, después, copia la fórmula

en las celdas D7, y verás que aparece , y lo mismo en F7 y H7.

4. Observa cómo queda el resultado:

Es decir, que A(x) + B(x) + C(x) = 3x3 + 2x2 − 2x − 12.



1. Abre una nueva hoja Unidad05_2a y realiza las operaciones señaladasen el ejercicio; pon los rótulos de la tabla, tal como se ve en la figura delmargen.

2. Introduce la fórmula siguiente en B5: y cópiala en D5 yen F5.

3. Observa el resultado: P(x) = 6x + 8.


=B3*$B$4

=D3+D4+D5

=B3+B4+B5

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UE

VAS

TE

CN

OLO

GÍA

S

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François Viète nació en Fontenay-le-Comte en 1540 y murió en París en 1603. Estudió Derecho en Poitiers y ejerció como abogado en el Parlamento de París, siendo posteriormente consejero en el Parlamento de Rennes, y años más tarde pasó al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de París. Dedicado a la política, las Matemáticas constituyeron un pasatiempo para él.

Como consejero privado del rey Enrique III y, después, de su primo Enrique IV, se encargó de descifrar los códigos secretos enemigos. De hecho, se cuenta que Felipe II, rey de España, pidió que fuera acusado de brujería, pues creía que solo de esa manera podría haber descifrado sus claves secretas. Esta teoría fue refutada por sus propios inquisidores, concluyendo que de lo único que podía acusarse a Viète era de poseer una capacidad de trabajo y una inteligencia fuera de lo común. Al final de su vida, en 1603, redactó un trabajo sobre criptografía que dejó anticuados los sistemas de cifrado que existían en la época.

Viète pasó a la posteridad por sus contribuciones matemáticas,siendo el matemático más importante de su tiempo, y entre sus aportaciones destaca, en el plano numérico, la utilización y defensa de las fracciones decimales, es decir, de los números decimales, en lugar de las fracciones sexagesimales. Además, es considerado el padre del Álgebra, y fue el primero en escribir una ecuación en forma general, utilizando las vocales para las incógnitas y las consonantes para los parámetros conocidos. Así, la ecuación general de segundo grado la escribió como B in A quadratus + C in A + D ae 0 (ae como abreviatura de aequalis), que la escribiríamos como ba2 + ca + d = 0.


París bien vale una misa

Ecuaciones de 1.er y 2.o grado6C

OM

PE

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CTO

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6

Los árabes destacaron en el estudio del Álgebra, pero su forma de planteary resolver problemas era, sin embargo, muy distinta de la nuestra. El siguiente ejemplo proviene del Álgebra de Abenbéder (siglo XIII).Observa su manera peculiar de razonar y la dificultad que supone no usar símbolos, como la letra x, a la hora de resolver estos problemas.

Problema

Dos hombres se encuentran, teniendo cada uno de ellos en su manocierto dinero. Le dice uno de los dos al compañero: «Si me das de lo quetú tienes tres unidades, las añado a lo que tengo y tendré lo mismo quelo que te queda». El segundo le responde: «Si tú me das de lo que tienesseis unidades, las añado a lo que tengo y tendré dos veces lo que tequeda». ¿Cuánto tiene cada uno?

Solución

1.º Hay que suponer que lo que tiene el primero es una incógnita menos tres unidades, y que lo que tiene el segundo es una incógnita más tres unidades. Cuando toma el primero tres unidades delsegundo, teniendo el primero en su mano una incógnita menos tres,el primero tendrá en su mano una incógnita y quedará en la manodel segundo una incógnita.

2.º Le dijo el segundo al primero: «Si me das de lo que tienes seisunidades, tendré dos veces lo que te quede»; por lo que el segundotendrá una incógnita más nueve y queda en la mano del primero una incógnita menos nueve. Además, la cantidad del segundo: una incógnita más nueve, es el doble de la del primero: unaincógnita menos nueve, o sea, dos incógnitas menos dieciocho.

3.º Aplicamos el al-jabr (transposición) y el mucábala (reducción) y tenemos que una incógnita más veintisiete es igual a dosincógnitas. Por tanto, una incógnita es 27.

4.º Como el primero tenía una incógnita menos tres, y el segundo, una incógnita más tres, el primero tendrá 24 monedas y el segundotendrá 30 monedas.

Álgebra no simbólica

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Los datos biográficos de este matemático son escasos, pero sus contribuciones científicas, que están contenidas en media docena de libros, resultan notables.

La palabra «álgebra», con la que hoy conocemos a una de las ramas de las Matemáticas, aparece en el título de suobra más importante.

En dicha obra Al-Khwarizmi resuelve seis tipos de ecuacionesde segundo grado con una incógnita. A lo largo de los seiscapítulos aparecen catorce ecuaciones, junto con las estrategias que se deben aplicar en cada caso pararesolverlas y obtener sus respectivas soluciones.

Mohamed ibn Musa Al-Khwarizmi

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CONTENIDOS PREVIOS

Recuerdes la propiedaddistributiva del producto.

CONVIENE QUE…

Tendrás que aplicarla en el producto de polinomios.

PORQUE…

Conozcas cómo realizar el producto y cociente de potencias de la misma base.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para operar con polinomios.

PORQUE…

Para MULTIPLICAR POTENCIAS DE LA MISMA BASE se mantiene la base y se suman los exponentes.

Para DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE se mantiene la base y se restanlos exponentes. El exponente del dividendo tiene que ser mayor que el del divisor.

an ⋅ am = an+m

an : am = an−m

73 ⋅ 75 = 73+5 = 78

46 : 42 = 46−2 = 44

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c

(−3) ⋅ (8 − 4) = (−3) ⋅ 8 − (−3) ⋅ 4 = −24 − (−12) = −12

5 ⋅ (x + 3) = 5 ⋅ x + 5 ⋅ 3 = 5x + 15

El GRADO de un monomio es la suma de los exponentes de su parte literal;por ejemplo, el grado de 9x 2y3z es: 2 + 3 + 1 = 6.

El GRADO de un polinomio coincide con el de su monomio de mayor grado.

Grado (x 3 + 2x2 − x + 1) = Grado (x 3) = 3

Grado (xy2 + 3x3y − 1) = Grado (3x3y) = 4

Repases lo que es el gradode un polinomio.

CONVIENE QUE…

Te servirá para distinguir las ecuaciones de primer y segundo grado.

PORQUE…

P(x) = x2 − 3x + 2 para P(2) = 22 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0 x = 2

Q(x, y) = 2xy2 + 3x2y para Q(2, 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 12 + 3 ⋅ 22 ⋅ 1 = 16x = 2, y = 1

Sepas calcular el valor numéricode un polinomio.

CONVIENE QUE…

Lo utilizarás para verificar las soluciones de una ecuación.

PORQUE…

Ecuaciones de 1.er y 2.o grado6LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

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ax + b = 0 Indica la expresión general de una ecuación de primergrado con una incógnita.




Cuando se escribe una ecuación de primer grado con una incógnita, se suele tomar la letra x paradesignarla, aunque también se pueden usar otrasletras, como y, z, t…

Después de resolver una ecuación, hay que comprobar que la solución obtenida es correcta y que tiene sentido en el contexto del problema.


Indica las dos posiblessoluciones de unaecuación de segundogrado.

x 1, x 2 Indican las dos raícesde una ecuación desegundo grado.

− ± −b b ac

a

2 4

2

En una ecuación de segundo grado, a es el coeficiente de x2, b es el coeficiente de xy c es el término independiente.

Cuando en la fórmula de la solución aparece el símbolo ±, significa que la ecuación tiene dos soluciones, una sumando y otra restando.

La fórmula x = equivale a dos

soluciones, que son:

xb b ac

ax

b b ac

a1

2

2

24

2

4

2=− + −

=− − −

− ± −b b ac

a

2 4

2


El símbolo � expresa que el primer miembro de la igualdad no es igual al segundo.

ax 2 + bx + c = 0 Indica la expresióngeneral de una ecuaciónde segundo grado con una incógnita.


Al escribir una ecuación de segundo grado con unaincógnita, se suele utilizar la letra x para designarla,aunque también se pueden usar otras letras.

Para resolverla es conveniente expresarla primero en forma general, pasando todos los términos al miembro de la izquierda y reduciendo los términossemejantes.

x 2 + 2x = 3x2 − x − 4

x2 − 3x2 + 2x + x + 4 = 0

−2x2 + 3x + 4 = 0

6

3 + 4 ≠ 9 Indica que los dos miembros de la igualdad son distintos.

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EN LA VIDA COTIDIANA... Resolución de ecuaciones de forma geométrica

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Practicar la resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado. • Comparar los métodosalgebraico y geométrico de Al-Khwarizmi. • Obtener de manera geométrica una fórmula general de resolución.

Al-Khwarizmi, un famoso matemático árabe, distin-guió seis tipos de ecuaciones en función de los ele-mentos que aparecían en cada una. A la incógnita lallamaba raíz; a las constantes, números, y a los cua-drados, mal.Los seis tipos son los siguientes (a, b y c son númerosenteros positivos).

1.º Raíces igual a números: bx = c.2.º Mal igual a raíces: ax 2 = bx.3.º Mal igual a números: ax 2 = c.4.º Mal y raíces igual a números: ax 2 + bx = c.5.º Mal y números igual a raíces: ax 2 + c = bx.6.º Mal igual a raíces y números: ax 2 = bx + c.

Al-Khwarizmi dio reglas para resolver cada uno deestos tipos de ecuaciones. Vamos a ver cómo resolvíalos cuatro primeros casos.

Completa los resultados donde aparezcan los puntossuspensivos (…).

PROBLEMAS

a) Resolver 4 raíces igual a 12.En la notación actual, esto equivaldría a resolver4x = 12, es decir, el área de un rectángulo debase 4 es 12; por tanto, la altura es el númeroque multiplicado por 4 da 12: AD = x =…

b) Resolver mal igual a 8 raíces.En la notación actual equivaldría resolver x 2 = 8x,es decir, el área de un rectángulo de base x y altu-ra 8 es igual al área de un cuadrado de lado x, porlo que x =… (la solución x = 0 no se consideraba).

c) Resolver mal igual a 25.

En la notación actual, sería resolver x 2 = 25, es de-cir, el área del cuadrado ABCD es 25, por lo que ellado será la raíz cuadrada de ese valor: AD = x =…

d) Resolver mal y 6 raíces igual a 16.

En la notación actual sería x 2 + 6x = 16. La reso-lución geométrica es:

1.º ABEH es un cuadrado de lado x.

2.º AB y AH se amplían hasta C y G, de maneraque BC y HG miden 3 cada uno.

3.º Completamos la figura anterior con el cuadra-do DEFK, de área 3 ⋅ 3 = 9, y el cuadradoACKG queda completo.

4.º En el dibujo se ve que su área es x 2 + 6x + 9,o, lo que es lo mismo, (x + 3)2.

5.º Sabemos que x 2 + 6x = 16, y sumando 9: (x + 3)2 = 16 + 9 = 25.

Sacando la raíz cuadrada de ambos términos ha-llamos el lado del cuadrado ACKG y, a partir deél, el lado del cuadrado ABEH. El valor de x es…

La técnica de resolución de Al-Khwarizmi es sencillay utiliza la Geometría en su razonamiento.

Resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado1

6C

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

D C

A B

x

x

x x

4

8 =

D C

A x

x

x

B

G K

H D

A

F

E

BC

3x 9

3xx2

3

Ecuaciones de 1.er y 2.o grado

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El método utilizado por Al-Khwarizmi para resolver deforma algebraica la ecuación x2 + 6x = 16 constaba de estos pasos.

1.º Dividimos entre 2 el número de raíces: 6 : 2 = 3.

2.º Multiplicamos este resultado por sí mismo: 32 = 9.

3.º Sumamos el resultado anterior a 16: 16 + 9 = 25.

4.º Extraemos la raíz cuadrada positiva de este último

4.º resultado: = 5.

5.º Restamos el resultado del paso 1.º: 5 − 3 = 2.

Resuelve la ecuación de segundo grado x2 + 4x = 21de manera algebraica y geométrica, como lo hacíaAl-Khwarizmi.

MÉTODO ALGEBRAICO

1.º Divide entre 2 el coeficiente de la x.

2.º Elévalo al cuadrado.

3.º Suma el resultado anterior a 21.

4.º Extrae la raíz cuadrada positiva del resultado delpaso anterior.

5.º Resta el resultado del paso 1.º.

¿Qué resultado has obtenido? ¿Coincide con el que ob-tendrías al resolver con la fórmula general?

MÉTODO GEOMÉTRICO

1.º Dibuja un cuadrado de lado x. ¿Cuál es su área?

2.º Dibuja un rectángulo de lado 2 sobre dos ladoscontiguos del cuadrado. ¿Cuánto vale la suma delas áreas de los dos rectángulos?

3.º Completa la figura, de forma que se obtenga uncuadrado. ¿Qué figura has añadido? ¿Cuánto valesu lado? ¿Y su área?

4.º Expresa el valor del área de la figura total, en fun-ción de x. ¿Cuál es el valor numérico del área?

5.º Compara las expresiones anteriores y calcula elvalor del lado x.

25

Comparación de los métodos algebraico y geométrico de Al-Khwarizmi2

Resuelve la ecuación x2 + bx = c.

Vamos a obtener de manera geométrica una fórmulageneral para este tipo de ecuación.

Observa la figura:

1.º Geométricamente, el área del cuadrado ABCD másla del rectángulo CGHD es igual a c.

2.º Si cambiamos EFGH por ADJI y sumamos el cuadra-

do DFKJ, cuyo lado mide , obtenemos un nuevo

cuadrado cuya área es .

3.º Operamos: x 2 + bx + y, sustitu-

yendo en la ecuación inicial, nos queda:

4.º Sacamos la raíz positiva y despejamos la x :

;


a) Comprueba que este resultado es cierto con laecuación x2 + 4x = 21.

b) Resuelve la ecuación x2 + 5x = 6 mediante estafórmula.

c) Comprueba que, al aplicar la fórmula general que he-mos visto en la unidad, a la ecuación x2 + bx = c,el resultado que se obtiene es el mismo que con este método.

xb

cb

2

2

2 4= − − +x

bc

b1

2

2 4= − + +

xb

cb

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟2 2

2 2

bx

b

2 2

2 2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

xb

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟2

2

b

2

Obtención de una fórmula general de resolución de manera geométrica3

6

RE

CU

RS

OS

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RA

EL

AU

LAC

OM

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TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

G K

H D

A

F

E

BC

x 2

BE

I

G

A

C

HD F

J K

bx

26

6

x 2

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Planteamiento y resoluciónLa siguiente tabla es la expresión algebraica del número de mujeres, del número de hombres y del total de personas después de los sucesivos cambios.

En el metro viajan hombres y mujeres. En las cuatro paradas que hay antes de la estación final del trayecto suben y bajan las personas que se indican a continuación:

1.ª parada: suben 5 mujeres y bajan 4 hombres.2.ª parada: se duplica el número de mujeres y bajan 6 hombres.3.ª parada: bajan 6 mujeres y se duplica el número de hombres.4.ª parada: se bajan la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres.

Expresa cada una de las situaciones y expresa algebraicamente el número de personas que llegan a la estación final del trayecto.

Estrategia Para resolver problemas de Álgebra hay que relacionar los datos y las condiciones delenunciado por medio de expresiones algebraicas. Después de nombrar con una letracada uno de los números desconocidos, se expresan las condiciones del enunciadomediante operaciones que conducen a la expresión algebraica buscada.

Un alumno tiene cromos de animales y de plantas. En cuatro días consecutivos, sucede que:Día 1: compra 6 cromos de animales y regala 2 cromos de plantas.Día 2: regala 4 cromos de animales y duplica los cromos de plantas.Día 3: duplica los cromos de animales y regala 4 cromos de plantas.Día 4: triplica los cromos de animales y los de plantas.

Completa la siguiente tabla y expresa algebraicamente los cambios.


Expresar relaciones en forma algebraica

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMA PROPUESTO

6A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

Inicio x y x + y1.ª parada x + 5 y − 4

y − 4 − 6 = y − 10(x + 5) + (y − 4) = x + y + 1

2.ª parada 2(x + 5) = 2x + 102x + 10 − 6 = 2x + 4

2x + 10 + y − 10 = 2x + y3.ª parada 2(y − 10) = 2y − 20 2x + 4 + 2y − 20 = 2x + 2y − 16

2 4

22

xx

+= +4.ª parada

2 20

210

yy

−= − x + 2 + y − 10 = x + y − 8

N.o de mujeres N.o de hombres N.º total de personas

Inicio x y x + yDía 1Día 2Día 3Día 4

Cromos de animales Cromos de plantas Total de cromos

Ecuaciones de 1.er y 2.o grado

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6

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA


EJERCICIOS

De forma análoga a como que se ha hecho en la Práctica 1, abre una nueva hojaUnidad06b_2a y realiza el ejercicio 64 de la página 126.

Abre una nueva hoja Unidad06b_3a y resuelvelas ecuaciones completas del ejercicio 66 de la página 127.


21

PRÁCTICA EXCELAbre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hojamediante → con el nombre: Unidad06b_1a.

Como ya hemos visto en la unidad anterior, EXCEL no permite hacer cálculoscon expresiones algebraicas; por tanto, volveremos a simular esta forma de calcular para resolver ecuaciones de segundo grado, es decir, del tipo ax2 + bx + c = 0 o donde introduciremos los coeficientes a, b y c.


1. Escribe los rótulos de las celdas A1 a H2, tal como se ve en la figura delmargen.

2. Escribe los valores del coeficiente del apartado a) del ejercicio en lasceldas A3, B3 y C3.

3. Introduce en D3 la fórmula: .Esta fórmula permite escribir en la celda la ecuación tal como normal-mente la escribimos. Por si acaso los valores de b y c son negativos, sepone un paréntesis, tanto si b es positivo como si es negativo. Observacómo sale la ecuación del apartado a):

4. Coloca los rótulos y Alineados a la derecha en las celdas E3y G3 tal como se ve en la figura.

5. En la celda F3 hacemos el cálculo del valor de la incógnita (despejamosla incógnita). Como la fórmula general de la ecuación de segundo gradotiene doble signo, pondremos la fórmula con el signo positivo a la celdaF3 y con el signo negativo en la celda H3:

Celda F3:

Celda H3:

De esta manera podremos obtener los dos resultados. Si introduces loscoeficientes 1, 0 y 9, obtendrás en las celdas F3 y H3: , lo quesignifica que no se puede calcular la raíz y, por tanto, que no hay solu-ción.

6. Haz el resto de apartados del ejercicio 65 y copia los resultados en tucuaderno.

#¡NUM!

=(−B3−RAIZ(B3^2−4*A3*C3))/(2*A3)

=(−B3+RAIZ(B3^2−4*A3*C3))/(2*A3)

x2=x1=

1x^2+(−1)x+(0)=0

=CONCATENAR(A3;"x^2+(";B3;")x+(";C3;")=0")

NU

EVA

S T

EC

NO

LOG

ÍAS

Ecuación x 2 − x = 0

Ecuación x 2 + 9 = 0

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Gabriel Cramer nació en Ginebra (Suiza) en 1704 y murió en Bagnols-sur-Cèze(Francia) en 1752.

Se crió en el seno de una familia burguesa, su padre era médico y les procuró estudios universitarios a él y a sus hermanos. Gabriel fue un estudiante brillante y con tan solo 18 años obtuvo el doctorado, presentando una tesis sobre la teoría del sonido.

Dos años después de su doctorado se presentó para lograr la cátedra de Filosofía, compitiendo con otros dos aspirantes: Amédée de la Rive, que sería el ganador, y Giovanni Ludovico Calandrini, de procedencia italiana y también conocido como Jean Louis Calandrini. Los trabajos presentados por Cramer y Calandrini tenían tal categoría que se les propuso compartir una cátedra de Matemáticas que crearon específicamente para ellos, donde compartían el sueldo y las obligaciones, comprometiéndose a que cuando uno de ellos asumiera toda la docencia, le correspondería también la totalidad del sueldo, mientras que el otro estaría obligado a visitar universidades adquiriendo nuevos conocimientos.

Una de las novedades de Cramer fue que impartió sus clases en francés en lugar de hacerlo en latín, asegurando con ello que los conocimientos llegarían a más gente. En 1734, Calandrini pasó a ocupar la cátedra de Filosofía y Cramer asumió de forma única la de Matemáticas.

Aparte de sus aportaciones matemáticas, Cramer destacó por editar las obras de Johann y Jacob Bernoulli, y también la correspondencia que el primero había mantenido con Leibniz.

Su principal obra matemática es Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraiques, en la que desarrolla la teoría de curvas algebraicas según los principios de Newton; sin embargo, es conocido por la regla de Cramer, que es un método para resolver sistemas de ecuaciones y que, paradójicamente, no lo descubrió él, sino el matemático escocés Colin MacLaurin.


Gabriel & Giovanni

Sistemas de ecuaciones7C

OM

PE

TEN

CIA

LE

CTO

RA

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7

Último teorema de Fermat

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LAC

OM

PE

TEN

CIA

LE

CTO

RA

Evariste Galois nació el 25 de octubrede 1811. Realizó importantesaportaciones en Álgebra, Teoría de números y Teoría de grupos.

A partir de sus trabajos, se descubrióposteriormente la imposibilidad de resolver la ecuación general de quinto grado utilizando métodosalgebraicos.

Galois murió en un duelo el 31 de mayo de 1832.

Evariste Galois

Pierre de Fermat nació en el siglo XVII. Aunque trabajaba como abogado, era muy aficionado a las Matemáticas y demostró importantes teoremas propuestos en la antigüedad, demostracionesque acostumbraba a escribir en el margen del libro que estabaleyendo en cada momento.

El más famoso de todos sus resultados es el que se conoce como último teorema de Fermat, relacionado con el teorema de Pitágoras,de la siguiente forma.

• El teorema de Pitágoras afirma que si los números x , y , z son las tres medidas de un triángulo rectángulo, se cumple que: x 2 + y2 = z2.

Por ejemplo, si 32 + 42 = 52, observamos que los númerosenteros 3, 4 y 5 cumplen el teorema de Pitágoras.

• Lo que Fermat se cuestionó es si, igualmente, habría tresnúmeros enteros (distintos de cero) que cumpliesen que:

x3 + y3 = z3

• De hecho, se preguntó si para cualquier exponente natural, n, distinto de 2, existirían tres números enteros que cumpliesenque:

xn + yn = zn

Fermat postuló que esto no ocurría así, pero, según él mismoindicó, la demostración que encontró no le cabía en el margen de su libro, así que no la escribió.

Cientos de brillantes matemáticos intentaron hallar sin éxito esta demostración durante los siglos posteriores y no se logró hasta que,en 1995, el matemático británico Andrew Wiles demostró que Fermat tenía razón con métodos totalmente desconocidos en el siglo XVII.

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CONTENIDOS PREVIOS

Repases las tablas de valores.

CONVIENE QUE…

Te ayudarán a hallar las solucionesde una ecuación o un sistema.

PORQUE…

Sepas reducir fracciones a común denominador.

CONVIENE QUE…

Lo utilizarás para resolverecuaciones con denominadores.

PORQUE…

Si tenemos la ecuación y = 3x − 1, podemos construir su tabla de valores.

Para x = −3, y = 3 ⋅ (−3) − 1 = −10. Después, hacemos lo mismo con el resto de valores que aparezcan en la tabla.

Reducimos y a común denominador.

m.c.m. (6, 10) = 30

30 : 6 = 5 ⎯→

30 : 10 = 3 →7

10

7 3

10 3

21

30=

⋅⋅=

5

6

5 5

6 5

25

30=

⋅⋅=

7

10

5

6

Sepas resolver ecuaciones de primer grado.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para resolversistemas.

PORQUE…

Dada la ecuación 2x − 3 = 5x + 3, hallamos su solución.

2x − 5x = 3 + 3 → −3x = 6 → x = = −2

Comprobamos la solución:

2 ⋅ (−2) − 3 = 5 ⋅ (−2) + 3 → −4 − 3 = −10 + 3 → −7 = −7

6

3−

Conozcas la regla de los signos.

CONVIENE QUE…

Te será útil para hacertransformaciones en las ecuaciones.

PORQUE…

(+10) ⋅ (+5) = +50(−10) ⋅ (−5) = +50(+10) ⋅ (−5) = −50

(+10) : (+5) = +2(−10) : (−5) = +2(+10) : (−5) = −2

Sistemas de ecuaciones7LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

PRIMERO. Calculamos el m.c.m.de los denominadores.

SEGUNDO. Dividimos el m.c.m.entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por elnumerador.

x

y

−3

−10

−2

−7

−1

−4

0

−1

1

2

2

5

3

8

Multiplicación División

(+) ⋅ (+) = +

(−) ⋅ (−) = +

(+) ⋅ (−) = −

(−) ⋅ (+) = −

(+) : (+) = +

(−) : (−) = +

(+) : (−) = −

(−) : (+) = −

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�Representa un sistemade dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

ax + 'by = c'a'x + b'y = c'




Cuando se escribe una ecuación con una solaincógnita, se suele tomar la letra x para designar a la incógnita, aunque también se pueden usarotras letras, como y, z, t…

Las incógnitas en las ecuaciones se suelen denotarcon las últimas letras del abecedario, generalmente x, y, z, y representan cantidades desconocidas.

Las primeras letras del abecedario se utilizan para los coeficientes de las incógnitas y el términoindependiente, y representan cantidadesconocidas.

a, b → Coeficientes de las incógnitas, siendovalores conocidos.

c ⎯→ Término independiente, siendo un valorconocido.

x, y → Incógnitas de la ecuación lineal, siendovalores desconocidos.


Indica que estamossumando lasecuaciones, miembro a miembro.

2x − 3y = −5+ −2x + 4y = −3

y = −2

Cuando queremos reducir un sistema de ecuaciones,colocamos una ecuación debajo de la otra,manteniendo las incógnitas semejantes alineadas.Después, se traza una línea debajo de ellas y se efectúa la operación (suma o resta) que estéindicada en la parte izquierda.


Para escribir un sistema de ecuaciones se ponen las ecuaciones, una debajo de otra, y se agrupancon una llave de cierre, }.

Esto indica que la solución tiene que verificar todaslas ecuaciones que están dentro de la llave.

ax + b = 0 Indica la expresión general deuna ecuación de primer grado.

ax + by = c Indica una ecuación de primergrado con dos incógnitas.

7

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LALE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

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EN LA VIDA COTIDIANA... Los Juegos Olímpicos

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Conocer la actuación española en los Juegos Olímpicos. • Relacionar las medallas con el número de habitantes de cada país. • Analizar los resultados de algunos países de la Unión Europea en tres Olimpiadas consecutivas. • Plantear ecuaciones y sistemas, conocidas sus soluciones.

Los Juegos Olímpicos de la era moderna nacieron enAtenas en 1896, y desde entonces se han celebradocada cuatro años, exceptuando 1916, 1940 y 1944,en que se suspendieron. En las 11 Olimpiadas en queEspaña compitió hasta 1972 obtuvo tan solo 9 medallas:París 1900 (1 de plata), Amberes 1920 (2 de plata),Amsterdam 1928 (1 de oro), Los Ángeles 1932 (1 debronce), Londres 1948 (1 de plata), Helsinki 1952(1 de plata), Roma 1960 (1 de bronce) y Munich 1972(1 de bronce).

En la tabla y el gráfico siguientes resumimos el meda-llero español obtenido en las Olimpiadas.

Actuación española en los Juegos Olímpicos1

En esta tabla aparecen algunos países participantes consu baremo (en millones de habitantes por medalla) enla Olimpiada de Sidney 2000.

CON LOS DATOS DE LA TABLA, RESUELVE LAS ACTIVIDADES.

a) De haber repetido España los resultados de Atlan-ta 1996, ¿en qué lugar de la tabla estaría? ¿Y si hubiera repetido los resultados de Barcelona 1992?

b) Un país con 28 medallas y 45,7 millones de habi-tantes, ¿qué baremo obtuvo en Sidney 2000?

c) Un país con 7 medallas y un baremo de 2,4, ¿cuántosmillones de habitantes tenía en el año 2000?

d) Un país con 8,8 millones de habitantes y un baremode 0,8, ¿cuántas medallas obtuvo en Sidney 2000?

Relación de las medallas con el número de habitantes2

Sistemas de ecuaciones7C

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

Edición Oro Plata Bronce TotalMontreal 1976 10 2 0 12

Moscú 1980 11 3 2 16

Los Ángeles 1984 11 2 2 15

Seúl 1988 11 1 2 14

Barcelona 1992 13 7 2 22

Atlanta 1996 15 6 6 17

Sidney 2000 13 3 5 11

País Medallas Habitantes (mill.) Baremo

Francia

Rusia

R. Unido

Canadá

Ucrania

Polonia

EE UU

España

38

88

28

14

23

14

97

11

158,5

147,7

158,2

129,9

151,4

138,6

271,6

139,7

1,5

1,7

2,1

2,1

2,2

2,8

2,8

3,6

02

Montreal

02

3N.º d

e m

edal

las

14

12

10

8

6

4

2

Moscú

122

Los Ángeles

121

Seúl

12

7

Barcelona

13

66

Atlanta

5 5

Oro

Plata

Bronce

3

Sidney

3

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Los resultados (O-P-B) de algunos países de la Unión Europea en tres Olimpiadas consecutivas fueron:

Para realizar un análisis de los resultados y comprender mejor su evolución, son de utilidad las siguientes actividades, que debes realizarusando los datos de la tabla.

a) ¿Cuántas medallas obtuvo en total cada país de laUnión Europea en cada Olimpiada?

b) Establece el orden de los países según las meda-llas conseguidas en cada Olimpiada.

c) Obtén el número total de medallas de cada país enestos tres Juegos Olímpicos.

d) Establece los porcentajes de variación del total demedallas de cada país en Atlanta y Sidney respectode la Olimpiada anterior.

e) Teniendo en cuenta la respuesta a la pregunta an-terior, ¿qué país ha tenido una mejor evolución ensus resultados?

f) ¿Qué país de la tabla no ha obtenido ninguna me-dalla?

Análisis de los resultados de algunos países de la Unión Europea3

Vamos a partir de las tablas anteriores para establecercondiciones que nos permitan formar sistemas deecuaciones y llegar a su solución.

Considerando las medallas conseguidas por Españaen Sidney 2000 (3 oros, 3 platas y 5 bronces), formulaun enunciado que permita obtener estos valores resol-viendo un sistema de ecuaciones.

España obtuvo en total 11 medallas. Consiguió losmismos oros que platas y obtuvo dos medallas más debronce que de plata. ¿Cuántas medallas obtuvo de cadatipo?

Hay tres incógnitas:o = oro, p = plata, b = bronce

1.ª ecuación: o + p + b = 112.ª ecuación: o = p3.ª ecuación: b = p + 2

El sistema de ecuaciones es:

�Se resuelve por sustitución, sustituyendo o y b en laprimera ecuación:

p + p + (p + 2) = 11, de donde p = 3

Por tanto obtuvo: oro = 3, plata = 3 y bronce = 5.


a) Los países de la tabla obtuvieron entre Sidney yAtlanta 468 medallas, siendo diez más las de Atlan-ta que las de Sidney. ¿Cuántas obtuvieron en cadaOlimpiada?

b) Italia obtuvo en Sidney 34 medallas, siendo el mis-mo número de medallas de oro que de bronce ycinco medallas más de oro que de plata. ¿Cuántasmedallas obtuvo de cada tipo?

o + p + b = 11o = p

b = p + 2

Planteamiento de ecuaciones y sistemas, conocidas sus soluciones4

7

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LAC

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

País Barcelona 92 Atlanta 96 Sidney 2000

Alemania 33-21-28 20-8-27 14-17-26

Austria 0-2-0 0-1-2 2-1-0

Bélgica 0-1-2 2-2-2 0-2-3

Dinamarca 1-1-4 4-1-1 2-3-1

España 13-7-2 5-6-6 3-3-5

Finlandia 1-2-2 1-2-1 2-1-1

Francia 8-5-16 15-7-15 13-14-11

Grecia 2-0-0 4-4-0 4-6-3

Holanda 2-6-7 4-5-10 12-9-4

Irlanda 1-1-0 3-0-1 0-1-0

Italia 6-5-8 13-10-12 13-8-13

Luxemburgo 0-0-0 0-0-0 0-0-0

Portugal 0-0-0 1-0-1 0-0-2

R. Unido 5-3-12 1-8-6 11-10-7

Suecia 1-7-4 2-4-2 4-5-3

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Estrategia Un problema se puede resolver planteando diferentes ecuaciones cuya solución nos puede dar un resultado distinto. Sin embargo, su interpretación final conduce a la misma solución del problema.

El dinero que tiene Pedro es el triple del que tiene Antonio. Si Pedro tuviese 0,18 € menos y Antonio0,48 € más, los dos tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada uno?

Halla dos números cuya suma es 100 y la diferencia de los cocientes que se obtienen al dividir el mayor entre 4 y el menor entre 6 es 10.

2

1


Distintos planteamientos mediante ecuaciones

PROBLEMAS RESUELTOS

Sistemas de ecuaciones7A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son estos números?



Llamamos x al número central, (x − 1) al anterior y (x + 1) al posterior.

→ �x − 1 = 15x = 16x + 1 = 17

(x − 1) + x + (x + 1) = 48 →→ x + x + x = 48 → x = 16

En una granja hay conejos y gallinas. Si contamos las cabezas son 30 y si contamos las patas son 80. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?


Llamamos x = n.o de conejos; y = n.o de gallinas.

Planteamos las ecuaciones: �Resolvemos el sistema:

� � �2x = 20

De donde: x = 10.

Si x = 10, entonces: 10 + y = 30 → y = 20

Hay 10 conejos y 20 gallinas.

2x + 2y = 604x + 2y = 80

Restamos 2.a − 1.a

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→2x + 2y = 604x + 2y = 80

2 ⋅ 1.a⎯⎯→4x + 4y = 304x + 2y = 80

x + 2y = 304x + 2y = 80

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7

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA


EJERCICIOS

De la misma manera, abre una nueva hojaUnidad07_2a y resuelve los sistemas delejercicio 42 de la página 43.

Guarda el libro para registrar los datosintroducidos mediante: →en tu carpeta personal.

21



1. Escribe los rótulos de las celdas de las filas 1, 2 y 3.

2. Escribe los valores de los coeficientes del apartado a) del ejercicio enlas celdas A4, B4 y C4.

3. Introduce en la celda D4 la fórmula:

Esta fórmula permite escribir en la celda la ecuación tal como normal-mente la escribimos. Observa cómo aparece la primera de las ecua-ciones del sistema: .

4. Haz lo mismo en las celdas E4, F4 y G4, e introduce en la celda H4 la

fórmula: y obtendrás la se-gunda ecuación.

5. Pon los rótulos e alineados a la derecha en las celdas I4 y K4.

6. En la celda J4 calcularemos el valor de la incógnita x. El método utili-zado es el de reducción. Escribe la fórmula:

7. De la misma manera, en la celda L4 escribe la fórmula para calcular la

incógnita y: .

8. Observa el resultado: x = 1; y = 1.

9. Introduce los coeficientes de las ecuaciones de los apartados b) a h)del ejercicio en filas sucesivas.

10. Copia las fórmulas de las celdas D4, H4, J4 y L4 en sus filas.

11. Resuelve las ecuaciones y copia los resultados en tu cuaderno.

=(A4*G4−C4*E4)/(A4*F4−B4*E4)

=(C4*F4−B4*G4)/(A4*F4−E4*B4)

y=x=

=CONCATENAR(E4;"x+(";F4;")y=";G4;)

1x+(3)y=4

=CONCATENAR(A4;"x+(";B4;")y=";C4;)

x yx y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 42 3 1

Sistema NU

EVA

S T

EC

NO

LOG

ÍAS

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John Dalton nació en Eaglesfield (Reino Unido) en 1766 y murió en Manchester en 1844.

Aunque provenía de una familia humilde, tanto él como sus hermanos pudieron estudiar en una escuela cuáquera, destacando de tal modo que un miembro de la comunidad, Elihu Robinson, se convirtió en su mecenas y le dio la oportunidad de continuar sus estudios.

John Dalton y su hermano padecían una enfermedad llamada «ceguera de los colores», enfermedad que fue estudiada y descrita por el propio Dalton y, a partir de entonces, se conoce como daltonismo. Varias son las anécdotas referidas a esta enfermedad: una de ellas relata el enfado de su madre cuando le regaló una prenda que él creía que era de color azul cuando en realidad era roja, color inapropiado para una mujer cuáquera; otra de estas anécdotas ocurrió en 1832, cuando fue a conocer al rey Guillermo IV con un traje académico de color escarlata, aunque él pensaba que era de color grisáceo.

Entre sus aportaciones científicas cabe destacar sus trabajos metereológicos de 1793, donde entre otras aportaciones apuntó que la lluvia es producida por un descenso de la temperatura y no de la presión. En 1794 publicó su ensayo sobre el daltonismo, enfermedad que él mismo denominó así. Entre 1800 y 1810 publicó sus investigaciones sobre la ley de las presiones parciales, la ley de las proporciones múltiples y la teoría atómica, donde sentó las bases de la Física moderna.


Cuando el verde es rojo

Proporcionalidad numérica8C

OM

PE

TEN

CIA

LE

CTO

RA

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8

Hay que tener cuidado al analizar si dos magnitudes son directamenteproporcionales. No basta con comprobar que si crece la primera magnitud, tambiénlo hace la segunda, o que si decrece la primera, decrece la segunda, sino que estecrecimiento o decrecimiento ha de ser proporcional: a doble cantidad de una le corresponde el doble de la otra; a la mitad de la primera le corresponde la mitad de la segunda…

A continuación, vamos a ver un ejemplo de ello.

Sabemos que, en una circunferencia, a los arcos iguales (menores de 180º) les corresponden cuerdas iguales. Podemos observar en la primera figura que AB

)= CD

)y A�B� = C�D� y que, por tanto, cuanto mayor sea la amplitud de arco,

mayor será la cuerda.

¿Podemos entonces afirmar que, en una circunferencia, las cuerdas son proporcionales a los arcos?

No es suficiente, y vamos a dar un contraejemplo. Observa la segunda figura. Es un hexágono regular inscrito en una circunferencia. Se cumple que:

AB)= BC

), por lo que: AC

)= 2AB

)

¿Qué relación hay entre las cuerdas A�C� y A�B�?

Las cuerdas A�B�, A�C� y B�C� forman un triángulo y, como en todo triángulo cada ladoes menor que la suma de los otros dos, resulta que el lado A�C� es menor que A�B� + B�C� = 2A�B�. Es decir, el lado A�C� no es el doble que A�B�, mientras que el arco AC

)sí que es el doble del arco AB

).

Por tanto, las magnitudes amplitud de arco y longitud de la cuerda no son directamente proporcionales.

¿Son proporcionales?

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LAC

OM

PE

TEN

CIA

LE

CTO

RA

Nicolas Tartaglia nació en la ciudad de Brescia (Italia) en 1499. Durante el saqueo de los franceses en 1512resultó herido en el rostro, lo que le causó una tartamudez de por vida, y por eso se le conoce como Tartaglia o Tartamudo.

Su obra más importante es General trattato di numeri et misure(1556-1560). En ella se desarrollancontenidos de Álgebra, Geometríapráctica y Aritmética.

Enseñó en las Universidades de Verona, Brescia y Venecia, donde murió en 1557.

Nicolas Tartaglia

AB

CD

O

C

A

B

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CONTENIDOS PREVIOS

Sepas lo que es una magnitud.

CONVIENE QUE…

Las relaciones que vas a estudiarse refieren a ellas.

PORQUE…

Conozcas la relación entre las fracciones equivalentes.

CONVIENE QUE…

Te ayudará a identificar qué es una proporción.

PORQUE…

Domines el paso de númerosdecimales exactos a fracciones.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para trabajar con porcentajes.

PORQUE…

Una MAGNITUD es cualquier característica que se puede medir y expresarmediante una cantidad o número.

Son magnitudes: la altura, la longitud, el peso, la superficie, el volumen, el precio…

No son magnitudes: los meses del año, el nombre de las personas…, en general, cualquier característica no cuantificable mediante números.

Dos fracciones son EQUIVALENTES, y se escribe ,

si a ⋅ d = b ⋅ c.

→ 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4 = 122

3

4

6=

a

b

c

d=

a

b

c

dy

Para transformar números decimales exactos en fracciones se pone en el numerador el número decimal sin la coma, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras haya a la derecha de la coma. Simplificamos después todo lo que podamos.

1,6 = 0,75 =75

100

3

4=

16

10

8

5=

Sepas amplificar y simplificarfracciones.

CONVIENE QUE…

Te servirá para estudiar las seriesde razones iguales.

PORQUE…

AMPLIFICACIÓN. Multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

SIMPLIFICACIÓN. Dividimos el numerador y el denominador entre un mismonúmero distinto de cero.

84

39

84 3

39 3

28

13= =

:

:

16

12

16 4

12 4

4

3= =

:

:

5

7

5 12

7 12

60

84=

⋅⋅

=2

3

2 5

3 5

10

15=

⋅⋅=

Proporcionalidad numérica8LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

⎯→

⎯→

Simplificamos Simplificamos

829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 106

Indica una proporción y suconstante de proporcionalidad.

Indica una proporcióncon un término desconocido.

a

b

c

x=

a

b

c

dk= =




La constante de proporcionalidad se representa por k.

Los términos desconocidos de una proporciónse suelen expresar mediante x, y, z…


Para expresar una proporcionalidad directa o inversase suelen utilizar las primeras letras del abecedario: a, b, c… para los valores de la primera magnitud, y a', b', c'… para los de la segunda.

En cualquiera de los dos casos, la constante de proporcionalidad se denota con la letra k.

Indica unaproporcionalidaddirecta.

a ⋅ a' = b ⋅ b' = c ⋅ c' = k Indica unaproporcionalidadinversa.

a

a

b

b

c

ck

' ' '= = =


Cuando escribimos una regla de tres, ya sea directao inversa, a las cantidades conocidas se les sueledenotar con las letras a, b, c, y el términodesconocido, con la letra x.

Las flechas, que nos indican las razones, a veces se sustituyen simplemente por rayas. Después, se agrupa todo con una llave de cierre, }.

Ambas expresiones indican una proporción en forma de reglade tres. La primera expresión lo haceen forma genérica, y la segunda,con un ejemplo concreto.


Para calcular el tanto por ciento de una cantidad,multiplicamos el tanto por la cantidad y dividimos entre 100.

16 % de 230 = 36,8

Para expresar una fracción en tanto por ciento,tomamos su expresión decimal y la multiplicamos por 100.

→ = 0,4 → ⋅ 100 % = 40 %2

5

2

5

2

5

16 230

100

⋅

% Indica que estamos expresandouna cantidad en tanto por ciento.

k % de C Indica que, de cada 100 partes de C, tomamos k.

8

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LALE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

a → bc → x �2 → 56 → x �

⎯→

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El reciclado es un proceso que tiene por objeto la recu-peración, de forma directa o indirecta, de los componen-tes y sustancias que se encuentran en los residuos industriales y domésticos.

Los países industrializados son grandes productoresde desechos con un alto coste de eliminación, lo queobliga a tomar medidas que tiendan a minimizar esosresiduos y, también, a reducir la dependencia de lasmaterias primas.

El reciclado doméstico se basa en la selección de ma-teriales que pueden ser recuperables: papel, cartón,vidrio, plásticos, etc. Con ello se consiguen los siguien-tes objetivos.

• Conservación o ahorro de energía.

• Conservación o ahorro de recursos naturales.

• Disminución del volumen de residuos que hay queeliminar.

• Protección del medio ambiente.

Respecto a los residuos, el vidrio es un material fácil-mente recuperable. Su reciclado produce una serie debeneficios como, por ejemplo:

• No extracción de materias primas. Por cada tonela-da de envases de vidrio usado que se recicla, seahorran 1,2 toneladas de materias primas.

• Menor consumo de energía. Se calcula un ahorrode 130 kg de fuel-oil por cada tonelada de vidrio re-cogido.

• Disminución del volumen de residuos. El coste derecogida y eliminación de una tonelada de basurapuede estimarse en una media de unos 30 €.

Los datos de la recogida de vidrio realizada en el año 1993 fueron:

Vidrio industrial ⎯→ 190.290.536 kg

Vidrio doméstico → 137.841.639 kg

La producción total de vidrio en España en ese año fue de unos 1.200 millones de toneladas.


a) ¿Qué porcentaje del total de vidrio producido enEspaña se recogió para reciclar en el año 1993?

b) ¿Qué porcentaje sobre el total de vidrio recogido supuso el vidrio doméstico?

c) ¿Y sobre el total de vidrio producido?

d) Calcula el ahorro en extracción de materias primasque supuso en 1993 la recogida de vidrio industrial.

e) Calcula el ahorro en dinero y energía que supuso larecogida de vidrio doméstico.

Trece años después, en 2006, la recogida total de vi-drio fue de 840.131 toneladas, lo que supuso un 54 %de la tasa general de reciclado.


a) ¿Cuántas toneladas de residuos se recogieron en elaño 2006?

b) ¿Qué incremento porcentual de recogida hubo enesos trece años?

c) ¿Cuál fue el porcentaje de incremento anual?

d) Suponiendo que ese incremento es constante deaño en año, haz una estimación de cuántas tonela-das de vidrio se recogieron en los años 2004 y 2005.

El reciclado del vidrio1


EN LA VIDA COTIDIANA... Medio ambiente y reciclado

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Aplicar la proporcionalidad en contextos reales para resolver problemas. • Desarrollar actitudesresponsables relacionadas con los recursos y la energía en la mejora del medio ambiente.

Proporcionalidad numérica8C

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

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Según los últimos estudios, una persona genera unosresiduos de papel de 150 kg al año.

La recogida selectiva de papel, además de ahorro eco-nómico, aporta una serie de beneficios:

• Conservación de recursos forestales. Alrededor de21 millones de toneladas de papel y cartón usadosse han recuperado en los últimos 19 años, y se haevitado cortar unos 300 millones de árboles, queocuparían medio millón de hectáreas de monte.

• Ahorro energético. El proceso de fabricación de pa-pel y cartón, a partir de fibras celulósicas recupera-bles, supone un ahorro de energía del 70 % al año.

Por tanto, si hacemos una selección previa de papel,esta materia prima será aprovechada por la industriapapelera al tiempo que los ayuntamientos, al tenerque recoger y eliminar menor cantidad de basura, re-ducirían los costes de este servicio, que son de unos30 € por tonelada.

Para la producción de una tonelada de papel son nece-sarios 3,8 m3 de madera, 100.000 litros de agua y5.000 kWh de energía. Ahora bien, si reciclamos el pa-pel usado, las cantidades se reducen a 2.000 litros deagua, 2.500 kWh y nada de madera.

HAZ LAS ACTIVIDADES.

a) En una ciudad se han recogido 1.200 toneladas depapel para reciclar. Calcula cuántos metros cúbi-cos de madera se ahorran por realizar esa recogidaselectiva.

b) Calcula el ahorro energético y en agua que seproduce.

El reciclado del papel2

Hay otras materias que son susceptibles de ser reci-cladas y reutilizadas. Entre ellas, y debido a su toxici-dad, están las pilas de diferentes tipos, el tóner y loscartuchos de las impresoras, las baterías de aparatos ycoches, etc.

En junio de 1990, el Consejo de Ministros de Medio Am-biente de la UE aprobó una directiva en la que se regu-ló que aquellas pilas y acumuladores que contuvieranmás del 0,025 % de su peso en mercurio o cadmio, de-bían someterse a tres acciones principales: la recogidaselectiva, su reciclado y la reducción del contenido demetales pesados.

El compostaje es otra técnica muy importante de reci-clado, que consiste en un proceso de descomposiciónbiológica de la materia orgánica contenida en los resi-duos sólidos urbanos en condiciones controladas. Conello se recupera la fracción orgánica para su empleoen la agricultura, lo que implica una vuelta a la natura-leza de las sustancias extraídas de ella.

Busca datos sobre qué tipo de residuos se reciclan entu localidad, cuántos puntos de recogida hay en la po-blación, cuáles son los datos de recogida del últimoaño, cómo se procesan los residuos recogidos y quéahorro se ha producido.

El reciclado de otras materias3

8

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PA

RA

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CIA

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En el siguiente esquema se resume el enunciado del problema; las flechas inferiores indican los pasos que hay que seguir para obtener el precio de fábrica del sofá, empezando por el dato del final.

Según el esquema, el número 580 se obtiene multiplicando 1,16 por el precio P":

1,16 ⋅ P" = 580 → P" = 580 : 1,16 = 500 €

Conociendo el precio P" (500 €), el precio P' se obtiene diviendo 500 entre 1,25:

P' = 500 : 1,25 = 400 €

Conociendo el precio P' (400 €), el precio inicial P se obtiene restando 40:

P = 400 − 40 = 360 €El precio de fábrica del sofá es 360 €.

Comprobación

Empezando a resolver por el principio:

360 + 40 = 400 → 400 + 25 % de 400 = 500

500 + 16 % de 500 = 580 €

El encargado de una tienda de muebles añade 40 € de transporte al precio de fábrica de un sofá; a esta suma le añade un incremento del 25 % que se queda la tienda y, por último, el 16 % de IVA. Si el sofá se vendió por un total de 580 €, ¿cuál fue su precio de fábrica?

Estrategia Normalmente, cuando resolvemos un problema, vamos utilizando los datos en elorden en que aparecen en el enunciado. Pero hay otros tipos de problemas que seresuelven con más facilidad si empezamos por el dato del final, y vamos aplicando a este dato las operaciones correspondientes, hasta utilizar los datos iniciales.

Rosana compró un ordenador, una impresora y una tarjeta de sonido. La impresora le costó354 € y la tarjeta de sonido 180 €.Al importe total le aplicaron un descuento del 15 %. ¿Cuál fue el precio del ordenador si Rosana pagó 1.091,40 €?

En una ciudad, el número de habitantes se triplicó entre 1970 y 1980. De 1980 a 1985, el número de habitantes se duplicó, y entre 1985 y 1990, aumentó en un 5 %. ¿Cuál era la población de esta ciudad en 1970,si en 1990 tenía 1.575.000 habitantes?

21


Empezar por el final

PROBLEMA RESUELTO


Proporcionalidad numérica8A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

Tercerprecio(P" )

Segundoprecio(P' )

Preciode fábrica

(P )580 €

− 40 : 1,25 : 1,16

+ 40 ⋅ 1,25 ⋅ 1,16

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NU

EVA

S T

EC

NO

LOG

ÍAS


EJERCICIOS

Resuelve el resto de apartados del ejercicio 56de la misma manera que se ha hecho en la Práctica 1, añadiendo las tablas en la misma hoja Unidad08_1a.

Resuelve el resto de apartados del ejercicio 58de la misma manera que se ha hecho en la Práctica 2, añadiendo las tablas en la misma hoja Unidad08_2a.


21

Contenido

Resultados

Contenido

Resultados



1. Escribe las etiquetas de la hoja tal como se ve en el margen.

2. Introduce la siguiente fórmula en la celda C2: .

3. Copia la fórmula en las celdas D2 y E2, y observa que al poner el signo$ en las celdas B1 y B2, lo que se copia es:

En la celda D2: =D1*$B2/$B1

En la celda E2: =E1*$B2/$B1

4. Para calcular la constante de proporcionalidad introducimos una nuevacolumna con un 1 en la segunda fila y obtenemos la constante teniendo

en cuenta que se ha de cumplir la siguiente proporción: . Para

ello, introduce esta fórmula en F1: .

5. Observa el resultado final de la tabla.

6. Copia los resultados obtenidos en tu cuaderno.


1. Crea la hoja Unidad08_2a y escribe las etiquetas de la hoja, tal comose ve en el margen.

2. Introduce la siguiente fórmula en la celda B2: .

3. Copia la fórmula en las celdas C2, D2 y E2 y observa lo que se ha copia-do al poner el signo $ en la fórmula.

4. Para calcular la constante de proporcionalidad, y de la misma formaque en la Práctica 1, hemos introducido una nueva columna con un 1en la segunda fila, teniendo en cuenta que para obtener la constante seha de cumplir la proporción: 4 × 75 = k × 1. Para ello, introduce la si-guiente fórmula en F1: = E1 × E2.

5. Observa el resultado final de la tabla.

6. Copia los resultados obtenidos en tu cuaderno.

2

7 1=

k

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RS

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RA

EL

AU

LA

8

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Matteo Ricci nació en Macerata, en los entonces Estados Pontificios, en 1552 y murió en Pekín en 1610. En 1571 ingresó en la Compañía de Jesús, en el Colegio Romano, donde tuvo como maestro al jesuita Christopher Clavius, eminente matemático de su época.

En 1578, su vocación misionera le hizo embarcarse rumbo a Goa, en el este de la India, y en 1582 viajó a China, asentándose en Macao. Para poder ejercer su labor misionera en China aprendió el idioma utilizado por la clase culta: el chino mandarín. Desde ese momento, se le consideró un hombre sabio, atendiendo al dominio del idioma y también a sus conocimientos geográficos y matemáticos; además, la visión del mapamundi que llevaba consigo causó sensación entre los notables chinos, que contaban con escasos conocimientos de Europa, África y América.

El apoyo definitivo a su labor se produjo en 1601 cuando fue autorizado a entrar en la Ciudad Prohibida, mandado llamar por el emperador, y desde ese momento y hasta su muerte se estableció en Pekín.

Ricci introdujo en China los conocimientos matemáticos y geográficos de Europa, participando en la traducción al chino mandarín de la obra de Euclides, Los elementos.


La llave de la Ciudad Prohibida

Proporcionalidad geométrica9C

OM

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9

Un contexto real en el que tiene especialimportancia la proporcionalidad geométrica es la fabricación de televisores y sus dimensiones.

El tamaño de los televisores se expresa en pulgadas(1 pulgada equivale a 25,4 mm, aproximadamente).Así, cuando afirmamos que un televisor tiene un tamaño de 28 pulgadas, lo que queremos decires que su diagonal tiene esa longitud, es decir, que la diagonal de la pantalla mide 71 cm.

Ahora bien, la relación entre la altura y el ancho dela pantalla de los televisores sigue una regla fija. Estoes, de todas las pantallas posibles con 28 pulgadasde diagonal, se produce industrialmente aquella enla que se verifica la siguiente relación.

Se dice entonces que la pantalla tiene un formato 4 : 3.

En los últimos años se ha popularizado un nuevo tipo de televisores; es lo que se ha venido a llamar «cine en casa». Estos nuevos aparatos, ideados para simular la sensación visual de las proyecciones en salas de cine, tienen un formato diferente al anterior.

Este formato 16 : 9 es más alargado y tiene la ventaja de ser similar al de las pantallas cinematográficas. Por tanto, resulta adecuado si la mayor parte del uso del televisor se dedica a la visualización de películas. En estos televisores, los programas de televisión que no son películas sufren ligeras modificaciones al visualizarlos.

Altura de la pantalla

Ancho de la pantalla=

3

44

Proporción geométrica y televisores

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Pedro Puig Adam nació en el año 1900y fue uno de los grandes matemáticos

españoles que más trabajaron en la didáctica de las Matemáticas.

Su preocupación por los problemas de la enseñanza le llevó a ser un destacado miembro de la Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas.

También fue catedrático del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología

de las Matemáticas en la universidad de dicha ciudad. Murió en 1960.

Pedro Puig Adam

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CONTENIDOS PREVIOS

Conozcas las posiciones relativasde dos rectas en el plano.

CONVIENE QUE…

Te será útil para comparar los ángulos que se forman al cortarse varias rectas.

PORQUE…

Proporcionalidad geométrica9LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

Si dos rectas secantes, al cortarse,determinan cuatro ángulos iguales,se llaman rectas perpendiculares.

Rosquillas (kg)

Precio (€)

1

4

2

8

3

12

4

16

⋅ 2

⋅ 2

⋅ 3

⋅ 3

I I

II

90°

Sepas calcular el términodesconocido en una proporción.

CONVIENE QUE…

Te servirá para hallar medidasaplicando el teorema de Tales.

PORQUE…

Calculamos el valor de x en esta proporción.

8 ⋅ x = 5 ⋅ 4 → x =5 4

8

20

8

5

2

⋅= =

8

5

4=

x

Estés familiarizado con los problemasde proporcionalidad.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para distinguircuándo dos figuras sonsemejantes.

PORQUE…

El peso y el precio son magnitudes directamente proporcionales.

=… = 0,25 ← Constante de proporcionalidad1

4

2

8

3

12= =

Rectasperpendiculares

Rectassecantes

Rectasparalelas

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Se escribe mediante una letra mayúscula. Se suelenutilizar las letras A, B, C…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario.


Los vértices del triángulo se designancon letras mayúsculas, los lados con letrasminúsculas y los ángulos con las mismasletras que los vértices y el símbolo ^.

Para representar un triángulo primero se nombran los vértices, comenzando por cualquiera de ellos.Las letras que se suelen utilizar son A, B, C…,aunque es válida cualquiera del abecedario.

Posteriormente se nombran los lados, que sedesignan con la letra minúscula de la que representael vértice opuesto: a, b, c…

Por último, se designan los ángulos añadiendo el símbolo ^ a la letra que representa su vértice: A$, B$, C$…

Un triángulo se designa por las letras de sus

vértices, ABC, con el símbolo , ABC.


Se escribe mediante letras minúsculas. Se suelenutilizar las letras r, s, t…, aunque se puede tomarcualquier letra del abecedario.


Para identificar una semirrecta se da el punto origen,que se escribe con las letras A, B, C…; y se denota con r, s, t…, aunque se puede tomar cualquier letradel abecedario.


Utilizando los nombres de sus extremos, el segmentose nombra AB y se escribe A�B� cuando se expresa sulongitud.

9

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Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

Representa un punto.Aunque un punto no tiene dimensiones,se suele representar gráficamente mediante un punto lo suficientemente grueso como para que sea visible.

Representa una recta.

Representan una semirrecta r,con origen el punto A.

Representan un segmentocuyos extremos son los puntos A y B.

A

r

r

r

A

A

A B

A B

B$

C$CA

B

c a

b

A$

•

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EN LA VIDA COTIDIANA... Construcciones cúbicas

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Recordar el concepto de número de oro. • Construir rectángulos áureos. • Determinar los cuatro puntossignificativos en una fotografía.

Euclides definió razón como la «relación cualitativa en-tre dos magnitudes homogéneas» y proporción comola «igualdad de dos razones». Las proporciones hantenido a lo largo de la historia una enorme importan-cia desde el punto de vista estético.

En las proporciones ostenta especial relevancia, por supresencia en numerosos contextos, tanto geométricoscomo artísticos, naturales y reales, la llamada propor-ción áurea.

Dos longitudes están en proporción áurea cuando elcociente entre la suma de ambas y la mayor tiene el mismo valor que el cociente entre la mayor y la me-nor. Si las denominamos a y b, se cumple que:

Esto es equivalente a afirmar que el cociente a /b esigual a un determinado número, llamado número deoro y que se representa por �. El número de oro tieneinfinitas cifras decimales.

= 1,618033…

La proporción áurea ha sido muy utilizada en el arte.Vamos a ver a continuación cómo dividir un segmentoA�B� en dos partes que estén en dicha proporción.

En el extremo B del segmento A�B�, levantamos un seg-mento perpendicular al lado y de longitud su mitad, y formamos el triángulo rectángulo ABT. Con centro en Ty radio T�B�, trazamos el arco que corta a A�T� en V. Lue-go, con centro en A y radio A�V�, obtenemos el punto G.Los segmentos A�G� y G�B� están en proporción áurea.

Un rectángulo es un rectángulo áureo si su ancho yaltura están en proporción áurea. Para construir unrectángulo áureo dibujamos un cuadrado ABCD. Des-de el punto medio, M, de B�C�, y con radio M�D�, traza-mos un arco que corta en E a la prolongación de B�C�.Luego, levantamos la perpendicular en E y obtenemosel punto F, al cortar a la prolongación de A�D�. El rec-tángulo ABEF es un rectángulo áureo.

Los rectángulos áureos tienen la curiosa propiedad deque, si les quitamos el cuadrado cuyo lado es el ladomenor del rectángulo, el rectángulo resultante es tam-bién un rectángulo áureo.


a) Con la calculadora, halla el valor de � − 1 y 1/�.¿Qué observas?

b) Dibuja un segmento de longitud 8 cm y divídelo endos partes que estén en proporción áurea. ¿Qué lon-gitud tiene cada una de ellas aproximadamente?

c) Sin dibujar, ¿qué longitud tendrán las dos partes siel segmento mide 16 cm? ¿Y si mide 24 cm?

d) Dibuja un rectángulo áureo, partiendo de un cua-drado de lado 10 cm. ¿Qué longitud tiene el rectán-gulo que obtienes?

e) Dibuja un rectángulo áureo y construye otro rec-tángulo semejante a él. El rectángulo obtenido, ¿estambién un rectángulo áureo? Razona tu respuesta.

a

b= =

+Φ

1 5

2

a b

a

a

b

+=

La proporción áurea1

Proporcionalidad geométrica9C

OM

PE

TEN

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MA

TEM

ÁTI

CA

F

ECM

B

b

a

b

b

a − b

a − b

DA

T

BGA

V

F

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Uno de los contextos artísticos donde aparece el nú-mero áureo es la fotografía. Al mirar una fotografíaexisten cuatro puntos que atraen nuestra atención.Una fotografía ha de tener en esos cuatro puntos loselementos de mayor interés o que se quieran destacarde modo especial.

Antes de determinar cuáles son dichos puntos, vamosa ver cómo se puede obtener un rectángulo áureo delongitud un segmento A�B�.

Por el extremo B trazamos una perpendicular a A�B� y,con centro en B y radio A�B�, marcamos el punto N.Después, con centro en M (punto medio de A�B�) y ra-dio M�N�, trazamos un arco que corta a la prolongaciónde A�B� en el punto R. Por último, con centro en R y ra-dio B�R�, cortamos a la perpendicular NB�� en el punto C,tercer vértice del rectángulo.

Construye un rectángulo áureo de 5 cm de longitud.

Los cuatro puntos significativos de una fotografía seobtienen así: trazamos con la técnica que acabamosde ver las líneas verticales, de forma que los rectángu-los a rayas sean áureos. Los puntos de corte de lasdiagonales del rectángulo con esas rectas son los cua-tro puntos significativos en la fotografía.

Al fotografiar es muy complejo determinar esos cuatropuntos usando este método. Por ello, los fotógrafos uti-lizan la llamada ley de los tercios. Trazan mentalmentelas rectas que dividen el largo y el ancho de la fotogra-fía en tres partes iguales. Los puntos de corte de esasrectas son los significativos. El resultado es similar alobtenido de la otra forma.

HAZ LAS ACTIVIDADES.

a) Dibuja un rectángulo de 15 � 10 cm y halla suspuntos significativos, usando los dos métodos ex-plicados.

b) Determina los puntos significativos de este cuadrocon la ley de los tercios.

La proporción áurea en el arte2

9

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CU

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AU

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OM

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MA

TEM

ÁTI

CA

N

C

RBMA

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Imaginemos el problema resuelto en la primera figura. Si P' fuera el simétrico de P, la recta r sería la mediatriz del segmento PP��'. Por tanto, el modo de proceder para hallar el punto P' es el que se indica en la figura de la derecha.

1.° Se traza un arco de centro P que corte a la recta r en dos puntos, M y N.

2.° Con el mismo radio se trazan un arco de centro M y otro de centro N, que se cortarán en el punto P'.Hemos trazado la mediatriz del segmento MN��; por tanto, la recta r es perpendicular al segmento PP'��y, como MP�� = MP'�� y NP�� = NP'��, por la construcción realizada, la recta r es la mediatriz del segmentoPP'��, luego el punto P' es simétrico de P respecto de r.

Con una recta r y un punto P exterior a ella, construye mediante la regla y el compás el punto P' simétrico de P respecto de la recta r.

Estrategia En muchos problemas de Geometría, sobre todo en los problemas deconstrucciones geométricas, es útil imaginar el problema resuelto. Para ellotrazamos una figura aproximada a la que queremos hallar. De las relaciones de esta figura se obtendrá el procedimiento para realizar su construcción.

Dado el segmento AB��, construye un cuadrado en el que una de susdiagonales sea dicho segmento.

1 Con las rectas r y r' y un segmento A�B� como el de la figura,construye un paralelogramo ABNM, de modo que el puntoM esté en la recta r y el punto N esté en la recta r'.(En la figura de la derecha se supone el problema resuelto.)

2


Imaginar el problema resuelto

PROBLEMA RESUELTO


Proporcionalidad geométrica9A

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r'

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9

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EJERCICIOS

Con el botón de la izquierda del ratón, pulsa en cada una de las herramientas de la barra y observa cómo se despliega un menú vertical con las diferentes herramientas o aplicaciones de cada grupo y su nombre. Haz un esquema decada grupo y sus diferentes aplicaciones.

Pulsa en la tecla y verás la descripción y funcionamiento de cada herramienta. Haz los cambios necesarios para obtener la barra:

Escribe en tu cuaderno la función de lasherramientas que se muestran.

F121

Presentación

Ventana de CABRI

Cabecera del programa

PRÁCTICA CABRIEl Programa CABRI-GÉOMÈTRE II es un programa para aprender Geome-tría. En el margen puedes identificar su página de presentación y la ventanade trabajo que aparece después de unos segundos al ejecutar el programa.Observa que hay unas barras con iconos en su parte superior e inferior.

LAS BARRAS DE CABRI La primera barra, de fondo azul, contiene el nombre del programa y elnombre de la figura o archivo que está abierto en ese momento [Figura 1].

En esta barra siempre estará indicado el nombre de la figura con la que seestá trabajando.

LA BARRA DE MENÚS

Permite hacer operaciones con archivos (abrir, cerrar, etc.), ejecutar activida-des de edición (copiar, seleccionar, etc.), diferentes opciones del programa(preferencias iniciales, idioma, etc.), posiciones de las ventanas abiertas, y consultar la ayuda.

LA BARRA DE HERRAMIENTAS

Permite la realización de construcciones geométricas a partir de los diferen-tes elementos y de su manipulación. Son 11 grupos que contienen una se-rie de herramientas que hacen que los iconos de la barra varíen en funciónde la opción seleccionada.

La herramienta seleccionada se presenta con fondo blanco, mientras que elresto tiene un fondo gris.

Los 11 grupos de herramientas son, de izquierda a derecha:

17.º MACROS

18.º CONSULTAS DE PROPIEDADES

19.º CÁLCULOS GEOMÉTRICOS

10.º PRESENTACIÓN DE OBJETOS

11.º OCULTAR / MOSTRAR

1.º APUNTADOR

2.º PUNTOS

3.º RECTAS

4.º CURVAS

5.º CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

6.º TRANSFORMACIONES

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Creación de una recta

Construcción de una circunferencia


EJERCICIOS

Activa la herramienta Apuntador, : el cursor se convierte en una cruz que permite, acercándote a un objeto, seleccionarlo (se convierte en ) y modificarlo o moverlo (sale una mano ) por la ventana.

Después, selecciona la circunferencia construida y amplíala. Escribe las modificaciones que haceel cursor.

En el grupo RECTAS activa las diferentesherramientas y haz construcciones de los elementos que puedas en la ventana que tienes abierta.

Crea una carpeta con tu nombre en el disco duro del ordenador o en un disquete, y guarda la figura creada mediante las órdenes:

→ con el nombreUnidad00_Ejercicio_01.

3

21

PRÁCTICA CABRIPRÁCTICA: CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS SIMPLES

1.º Construcción de puntos:

a) Activa la herramienta Punto, , del grupo PUNTOS. Observa queel cursor toma la forma de un lápiz: .

b) Pulsa en algún punto de la ventana y aparecerá un punto de colorrojo. Si antes de realizar otra acción pulsas en una tecla (porejemplo, A), saldrá una etiqueta con esta letra al lado del punto (lasetiquetas sirven para nombrar objetos).

2.º Construcción de rectas (para hacer una recta son necesarios dos pun-tos o un punto y una dirección).

a) Activa la herramienta Rectas, , del grupo RECTAS.

b) Acércate con el ratón a este punto y observa que el cursor se trans-forma en una mano y aparece el rótulo: Por este punto. Pulsa en el botón de la izquierda del ratón y verás que se dibuja una recta quepasa por A y que va cambiando de dirección en función del movi-miento que hagas con el ratón.

c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana y obtendrás la recta talcomo se ve en la figura; puedes etiquetarla como r.

3.º Construcción de una circunferencia (se necesitan un punto, que haráde centro, y un radio).

a) Activa la herramienta , del grupo CURVAS.

b) Con el lápiz, acércate al punto A y, cuando aparezcan la mano y el rótulo: Este punto como centro, pulsa en el botón del ratón y obser-va que la mano va dibujando una circunferencia en la ventana.

c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana: obtendrás la circunfe-rencia, tal como se ve en la figura; puedes etiquetarla como C.

Creación de un punto A

Proporcionalidad geométrica9N

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S

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EJERCICIOS

Abre nuevas figuras con →y haz los ejercicios 48 y 49 de la página 181.

De forma análoga a la Práctica 2, haz el ejercicio 50 de la página 181.

Guarda cada una de las figuras anteriores con→ asignándoles los

nombres correspondientes.

3

2

1

PRÁCTICA CABRIPRÁCTICA 1 (ejercicio 14 a), pág. 171)

1. Ejecuta el Programa CABRI, abre una nueva figura y construye un seg-

mento horizontal AB de 7 cm. Mediante la herramienta

y con comprueba que tiene esta distancia

(si no es así, lo puedes mover con el puntero hasta que tenga exacta-mente la distancia propuesta).

2. Construye una semirrecta r con origen en el punto A, de forma que elángulo con el segmento AB sea agudo (observa la figura del margen).

3. Construye un segmento CD de cualquier medida y, mediante la he-

rramienta , construye la circunferencia de centro Ay radio CD, que cortará a la semirrecta en el punto E.

4. Repite este proceso: coloca el compás con centro en E y radio CD y ob-tendrás el punto F; hazlo tres veces para obtener los puntos G, H e I.Estos cinco segmentos son iguales: AE = EF = FG = GH = HI.

Une el punto I con el punto B formando el segmento IB, y con la herra-

mienta , traza las rectas paralelas a IB que

pasen por los puntos H, G, F y E.

5. Estas rectas cortan al segmento AB en los puntos E', F', G' y H'. Com-prueba, mediante la herramienta , que la longi-tud de cualquiera de los segmentos es la quinta parte de la longitud delsegmento AB.

6. Guarda la figura creada mediante → en tu carpe-ta o directorio con el nombre: Unidad09_01.


1. Abre una nueva figura y construye el triángulo ABC de forma que lasmedidas sean: AB = 8 cm y AC = 6 cm.

2. Construye una recta paralela al segmento BC que pase por un punto Ecualquiera del lado AB, siendo D el punto de corte con AC. Traza el seg-mento DE y mueve el punto E hasta que la longitud de DE sea de 5 cm,tal como se ve en la figura.

3. Construye el segmento DB y calcula su medida: ¿Es de 4 cm? ¿Están enposición de Tales?

4. Guarda la figura creada mediante → con el nom-bre: Unidad09_02.

Segmento

NU

EVA

S T

EC

NO

LOG

ÍAS

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LA

División de un segmento en partesproporcionales

Semejanza de triángulos

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No se sabe casi nada de la vida de Apolonio de Perga, si bien se cree que nació en Perga (actual Turquía) en torno al año 262 a.C. y murió en Alejandría alrededor del 190 a.C., ciudad en la que estudió e impartió clases.

Los detalles que se conocen de su vida derivan de anotaciones que él mismo hizo en su obra de Las cónicas. Por ejemplo, la lectura que proponemos en la unidad muestra a Eudemo y a Apolonio en Éfeso, situación que recoge el propio Apolonio en una copia de Las cónicas que envía a su amigo Eudemo, en Pérgamo.

Asimismo, el acertijo que Apolonio propone en el texto es, en realidad, la variante más difícil de un problema geométrico que recibe el nombre de Problema de Apolonio y que consiste en encontrar una circunferencia tangente a tres elementos dados (punto, recta o circunferencia), siendo el caso más sencillo hallar la circunferencia que pasa por tres puntos, es decir, la circunferencia circunscrita a un triángulo.


El regalo

Figuras planas. Áreas10C

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George Alexander Pick (1859-1943) fue un matemático austríaco que estableció la relación que existe entre los nudos de una malla y el área de un polígono dibujado sobre ella. Cada punto de intersecciónde una recta horizontal y otra vertical se denomina nudo, y cadasegmento que une dos nudos consecutivos se llama lado. Así, un cuadrado de dicha malla será la unidad de superficie.

Hay que considerar, para cada figura, el número de puntos de la malla que tiene y su número de lados.

En general, el área de una figura es: A = N − − 1, siendo N

los puntos de la malla que tiene la figura y L su número de lados.

L

2

Fórmula de Pick

2 � 2 son 4.2 � 3 son 6.¡Ay, qué corta vidala que nos hacéis!3 � 3 son 9.2 � 5, 10.¿Volverá a la ruedala que fue niñez?

6 � 3, 18.10 � 10 son 100.¡Dios! ¡No dura nadanuestro pobre bien!Infinito y cero.¡La fuente y el mar!¡Cantemos la tablade multiplicar!

MIGUEL DE UNAMUNO

Poesía matemática

➀ ➁ ➂

➃ ➄

Lado

Nudo

5

5

Figura12345

Nudos de la malla1715201921

Lados8

1289

17

Área128

1513,511,5

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CONTENIDOS PREVIOS

Recuerdes los tipos de ángulosque existen.

CONVIENE QUE…

Te ayudará a comprender las clasificaciones de los polígonos.

PORQUE…

Sepas qué es la alturade un triángulo.

CONVIENE QUE…

Vamos a estudiar el teorema de la altura.

PORQUE…

Distingas los polígonos regularesdel resto de polígonos.

CONVIENE QUE…

Estudiaremos cómo se calcula su ángulo central.

PORQUE…

Un POLÍGONO REGULAR es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.En caso contrario, el polígono es irregular.

La ALTURA de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado,o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.

Figuras planas. Áreas10LE

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DE

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ATE

MÁ

TIC

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Ángulo recto

Sus lados sonperpendiculares.

Ángulo llano

Sus lados estánsobre la misma

recta.

Ángulo agudo

Ángulo menorque el recto.

Ángulo obtuso

Ángulo mayor queel recto y menor

que el llano.

Octógono

8 lados iguales

Hexágono

6 lados iguales

Pentágono

5 lados iguales

h h

h

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a + c � b Indica que la suma de laslongitudes de los lados a y c esmayor que la longitud del lado b.

b � c − a Indica que la longitud del lado bes mayor que la diferenciade las longitudes de los lados c y a.




A Indica el área de un polígono.


El área de un polígono se suele representar por la letra A.

Se utiliza una notación de este tipo para indicarlas relaciones entre los lados de un triángulo.

La altura es el segmentoperpendicular a un lado, o a su prolongación,trazado desde el vérticeopuesto.


Se suele representar mediante la letra h.

A veces se añade a la letra h un subíndice; la expresión hc representa la altura sobre el lado c.

r Indica el radio de una circunferencia.

D Indica el diámetro de una circunferencia.

C Es la notación usada para designar una circunferencia.


Una circunferencia se nombramediante una letra mayúscula,normalmente C. A veces, cuando tenemos más de una circunferencia, se denominan C1, C2, C3…

El radio y el diámetro se suelenrepresentar mediante las letras ry D (o d), respectivamente.

AOB Indica el ángulo formadopor los puntos A, O y B.


Para nombrar un ángulo definidopor tres puntos se escriben los trespuntos y encima se pone .

El orden de las letras nos indica elsentido en que se mide el ángulo.

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DE

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EN LA VIDA COTIDIANA... Diseño y movimientos

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Utilizar distintos tipos de mosaicos para recubrir el plano y decorarlo. • Calcular perímetros y áreas de baldosas con diferentes formas que recubren el plano.

Luisa tiene una empresa de fabricación de baldosas yha recibido de un Ayuntamiento el encargo de realizarunos diseños para pavimentar y decorar las calles.

Para resolver el problema, Luisa debe realizar dise-ños de mosaicos. Un mosaico se forma con la yuxta-posición de figuras planas, de forma que recubren oteselan todo el plano, es decir, no dejan huecos ni sesolapan entre ellas.

Luisa ha decidido inicialmente trabajar con mosaicosregulares, aquellos que se forman usando solo polí-gonos regulares iguales, pero enseguida se ha dadocuenta de que es más sencillo formar mosaicos contriángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos.

Por tanto, decide proponer los tres diseños que se mues-tran, con baldosas en forma de triángulo equilátero, cua-drado y hexágono regular, respectivamente.

Observa que, para que se forme un mosaico, la sumade todos los ángulos coincidentes en cada vértice delmosaico debe ser igual a 360°.


a) Estos tres polígonos regulares, ¿son los únicos queforman mosaicos regulares? Trabaja con los diviso-res de 360° y recuerda que el ángulo interior de unpolígono regular de n lados mide: 180° ⋅ (n − 2) / n.

b) Todas las baldosas que ha diseñado Luisa tienende lado 30 cm. Calcula cuántas baldosas necesita-rá el Ayuntamiento para embaldosar 10.000 m2 siutiliza triángulos equiláteros, cuadrados o hexágo-nos regulares.

Mosaicos regulares1

Luisa decide incluir también algunos diseños de bal-dosas basados en los mosaicos semirregulares, aque-llos que utilizan dos o más tipos de polígonos regula-res, de modo que alrededor de cada vértice seencuentren siempre los mismos polígonos y en idénti-co orden.

Al igual que en los mosaicos anteriores, la suma de losángulos coincidentes en cada vértice ha de ser de 360°.Existen ocho mosaicos semirregulares, que son losque se muestran a continuación.

Mosaicos semirregulares2

Figuras planas. Áreas10C

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3

4

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a) Comprueba que todos los mosaicos semirregularescumplen la relación numérica que les correspon-de, siendo m, n, p, q, r y s, el número de lados delos polígonos que coinciden en cada vértice delmosaico.

Para tres polígonos, tenemos que:

Y para cuatro, cinco y seis polígonos:

b) Luisa decide presentar como diseños semirregula-res los siguientes y toma como pieza base de cadamosaico:

– Mosaico ➃: un hexágono más los 6 cuadrados y los 6 triángulos que lo rodean.

– Mosaico ➄: un cuadrado más los 4 triángulosque lo rodean.

– Mosaico ➅: un hexágono más los 6 triángulos quelo rodean.

– Mosaico ➆: un hexágono más los 18 triángulosque lo rodean.

– Mosaico ➇: un cuadrado más los 2 triángulos desus lados opuestos.

Calcula el perímetro y el área de cada pieza base,sabiendo que todos los triángulos que aparecenson equiláteros y miden 10 cm de lado.1 1 1 1 1 1

2m n p q r s+ + + + + =

1 1 1 1 1 3

2m n p q r+ + + + =

1 1 1 11

m n p q+ + + =

1 1 1 1

2m n p+ + =

Luisa decide proponer también al Ayuntamiento algu-nos diseños de mosaicos que no estén basados en po-lígonos regulares. Cuando utilizamos polígonos no re-gulares que permiten recubrir correctamente el plano,el mosaico formado se llama pararregular.

Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendoteselas o piezas iguales, obtenidas a partir de la defor-mación de polígonos regulares. Observa el ejemplo enel que se deforma un cuadrado:


a) Si el cuadrado que deforma Luisa para obtener lapieza mide 10 cm de lado, ¿qué área tiene dichapieza?

b) Halla el perímetro de esta pieza, sabiendo que lostriángulos rectángulos ➀ que aparecen en la de-formación poseen catetos de 6 cm y 8 cm, respecti-vamente, y los equiláteros ➁ tienen 5 cm de lado.

c) Construye dos mosaicos a partir de piezas obtenidasdeformando un polígono regular. ¿Qué área tienecada una de esas piezas?

Investigando, Luisa observa también que con cualquiertriángulo es posible conseguir mosaicos que recubrantodo el plano.

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Explica cómo se puede formar un mosaico a partirde un triángulo cualquiera.

b) ¿Ocurre lo mismo con un cuadrilátero cualquiera? Razona tu respuesta.

c) Existe un pentágono cuyos lados son de la mismalongitud y con el que se puede formar mosaicos.Dibújalo.

Mosaicos pararregulares3

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Podemos completar el dibujo (véase la figura de la derecha) trazando la paralela al lado A�D� por el vértice B.

Al trazar esta paralela se puede apreciar en la figura que B�M� = 3,9 cm, M�C� = 6,9 − 3,9 = 3 cm

y, por tanto, el triángulo BMC es isósceles. De este modo se tiene:

Para calcular el área de la parcela debemos obtener las bases y la altura del trapecio en la realidad. Así, la base menor es: 3,9 cm ⋅ 1.000 = 3.900 cm; es decir, 39 m.

Halla la base mayor, la altura y el área real de la parcela.

h = − = − = =3 9 1 5 15 21 2 25 12 962 2, , , , , 3,6 cm

Una parcela tiene forma de trapecio isósceles. El plano de la parcela a escala 1 : 1.000 es el queaparece a la izquierda. ¿Cuál es la superficie de la parcela en metros cuadrados?

Estrategia La estrategia de hacer un dibujo de acuerdo con el enunciado ya ha sido utilizada en problemas de tipo numérico. En Geometría, esta estrategia es imprescindiblepara los problemas en los que no se proporciona la figura. En los problemasgeométricos en los que se parte de una figura, a veces conviene completarla trazandoalgún elemento (una paralela, una altura, etc.) para que el problema sea más fácil.

Una finca tiene la forma de un trapecioisósceles con las dimensiones que se indican en la figura. Calcula el área de la finca en hectáreas.

El siguiente plano está hecho a una escala1 : 2.000 y representa el plano de unaparcela. ¿Cuál es el área de la parcela en metros cuadrados?

21


Hacer o completar un dibujo

PROBLEMA RESUELTO


Figuras planas. Áreas10A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

3,9

cm3,9 cm

3,9 cm

6,9 cm

3,9 cm

1,5CD

h

M

A B3,9 cm

3,9

cm

3,9 cm

6,9 cm

A B

D C

60°

4 km

8 km

F

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S T

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EJERCICIOS

De forma análoga a la Práctica 1, haz el ejercicio 43 de la página 200.

Haciendo los cambios pertinentes, realiza el ejercicio 46 de la página 200.

Resuelve el resto de apartados del ejercicio 51de la misma forma que en la Práctica 2.

Guarda las figuras anteriores con →, asignándoles los nombres

correspondientes.

4

3

2

1

PRÁCTICA CABRIAbre el Programa CABRI para construir un triángulo rectángulo ABC y com-probar experimentalmente el teorema de Pitágoras.


1. Construye un segmento AB mediante y

comprueba que su medida es 12 cm (si no es así, lo puedes mover conel puntero hasta que tenga exactamente la distancia propuesta).

2. Con la herramienta , construye una recta per-pendicular al segmento que pase por el punto A, y sobre ella dibuja un

punto cualquiera C. Con la herramienta podrásocultar la recta perpendicular.

3. Une los puntos A y C mediante la herramienta y compruebaque su medida es 5 cm.

4. Une el punto C con el punto B mediante la herramienta y ob-tendrás el lado BC (hipotenusa).

5. Calcula la longitud de la hipotenusa BC y comprueba que se cumple elteorema de Pitágoras.



1. Con la herramienta , construye un triángulo equiláte-

ro, y con la herramienta comprueba que su perímetro sea de 30 cm.

2. Con la herramienta , construye una recta per-pendicular a uno de los lados de forma que pase por el vértice opuesto.

3. Construye el segmento que une el vértice con el punto de intersección dela recta con el lado y, después, con la herramienta

, podrás ocultar la recta perpendicular, por lo que verás la altura.

4. Calcula la medida de esta altura.


Segmento

Segmento

Teorema de Pitágoras

Aplicaciones

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Aristarco de Samos fue un astrónomo y matemático griego que nació en el año 310 a.C. y murió en el 230 a.C.

Es el primer científico en proponer un modelo heliocéntrico del universo, es decir, donde el Sol (y no la Tierra) es el centro del universo.

Aristarco fue atraído por la Biblioteca de Alejandría, donde se reunían los sabios más brillantes de su tiempo. Allí presentó su teoría, pero fue rechazada, ya que por entonces la teoría más aceptada era la de Aristóteles, que afirmaba que el centro del universo era la Tierra y, alrededor de ella, se movían los demás astros, describiendo esferas perfectas.

Su teoría cayó en el olvido y no fue aceptada hasta casi 2.000 años más tarde con los estudios de Copérnico (1473-1543).


El centro del universo

Cuerpos geométricos11C

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11

Todos hemos visto fotografías o imágenes de las pirámides de Egipto. La gran mayoría de estaspirámides tienen una base casi cuadrada.

Los antiguos egipcios utilizaban como medida delongitud el codo. Un codo equivale aproximadamentea 0,523 metros. Es lógico pensar que la longitud delas aristas de la pirámide era seleccionada de modoque fuera un número entero de codos, y, por ello, la mayoría de las medidas encontradas para estasbases son múltiplos de 5.

En la siguiente tabla puedes ver algunas de las pirámides y el valor aproximado del lado de la base y la altura en codos y metros.

Las medidas de las pirámides de Egipto

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Herón de Alejandría nació aproximadamente hacia el año 126 a.C. y murió en el 50 a.C. De origen humilde,fue zapatero en su juventud, lo cual no le impidió inventarmáquinas como el odómetro (sistema de engranajescombinados para contar las vueltas de una rueda) o la eolipila, precursora de la turbina de vapor.

Una de sus obras más importantes sobre Matemáticas fue Métrica, dividida en tres libros:

– Libro I: dedicado al estudio de áreas y polígonosregulares.

– Libro II: dedicado al estudio de volúmenes.

– Libro III: dedicado a la división de figuras en partesproporcionales.

Herón de Alejandría

Pirámide

Senuseret IIAmenemhat IIIMenkauraJufu (Keops)Jafra (Kefren)IsesiTetiUserkafAmenemhat IUnas

Lado(codos)

200200200440410150150150160110

Altura(codos)

90,32112121,7280273,310010010011281

Lado(metros)104,6104,6104,6230,12214,4378,4578,4578,4583,6857,53

Altura(metros)47,2458,5863,67

146,44142,95352,352,352,358,57642,39

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CONTENIDOS PREVIOS

Repases las principales figurasplanas.

CONVIENE QUE…

Te ayudará a trabajar con cuerposgeométricos.

PORQUE…

Sepas aplicar el teoremade Pitágoras en el plano.

CONVIENE QUE…

Lo tendrás que usar para calcular áreas de poliedros.

PORQUE…

Conozcas las áreas de las figurasplanas.

CONVIENE QUE…

Te servirá para calcular las áreasde los cuerpos geométricos.

PORQUE…

Conozcas los elementosde una circunferencia.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para trabajar con cuerpos de revolución.

PORQUE…

Cuerpos geométricos11LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

Triángulo Cuadrado Rectángulo

Trapecio Paralelogramo Pentágono

Para calcular la diagonal de un cuadrado cuyo ladomide 25 cm, se aplica el teorema de Pitágoras.

d2 = 252 + 252 = 1.250

d = = 35,4 cm1 250.

Triángulo Cuadrado Rectángulo Paralelogramo Trapecio

ATriángulo = ARectángulo = b ⋅ h ATrapecio =

ACuadrado = l2 AParalelogramo = b ⋅ h

( )B b h+ ⋅2

b h⋅2

ÁNGULO CENTRAL es el ángulo formado por dos radios.

ARCO es la parte de la circunferenciacomprendida entre dos de sus puntos.

SEMICIRCUNFERENCIA es un arco igual a la mitad de la circunferencia.

d

25 cm

h h h hb

b l b b B

CuerdaDiám

etro

Radio

Ángulo central

F

F

Semicircunferencia

Arco

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C Indica el número de carasde un poliedro.

V Indica el número de vérticesde un poliedro.

A Indica el número de aristasde un poliedro.




Cuando hablamos de poliedros y contamos sus caras,aristas y vértices, en la mayoría de los casos se verifica la fórmula de Euler:

C + V = A + 2

Esta fórmula afirma que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2.

Las letras V y A se utilizan también para designar el volumen y el área, respectivamente.


N

S

E

O

Al escribir las coordenadasgeográficas de un punto de lasuperficie terrestre, se dan dos medidas de ángulos.

Una de estas medidas expresa la latitud y, además del ángulo,indicamos su dirección, Norte o Sur.

La otra medida expresa lalongitud y se completa poniendosu dirección, Este u Oeste.

¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

Generalmente, para hallar el área de un cuerpogeométrico se calculan primero sus áreas parciales.

Las letras mayúsculas A o AT denotan el área total del cuerpo.

Las áreas parciales, área de la base y área lateral, se denotan con AB y AL, respectivamente.

r Indica el radio.

h Indica la altura.

g Indica la generatriz.


En un cono, el radio de la base se suele denotar por r, la altura por h y la generatriz por g.

¿QUÉ SIGNIFICA?

11

A

AT

AB

AL

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LALE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

Estas letras indican los cuatro puntoscardinales.

Expresan Norte, Sur, Este y Oeste,respectivamente.

Indican las áreas totales o parcialesde cuerpos geométricos.

gh

r

S

EO N

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EN LA VIDA COTIDIANA... Tomografías

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Reconocer y determinar diferentes secciones planas de un cubo. • Truncar un cubo. • Conocer la técnicatomográfica y aplicarla en distintos cuerpos geométricos.

Considera un cubo. Si lo cortamos con un plano, la intersección de ambos, formada por los puntos del espacio comunes, crea una figura plana, que será dis-tinta según el plano que corte el cubo.

Las diferentes formas que toma ese plano son lassecciones planas del cubo.

Una de las secciones, que además es un plano de si-metría, es la obtenida al cortar el cubo con un planoparalelo a dos caras opuestas y que pasa por los pun-tos medios de las aristas.

Observa que la sección es un cuadrado de lado igual ala arista del cubo. Las dos partes o poliedros que re-sultan al cortar el cubo son ortoedros.

Hay otro tipo de planos de simetría que cortan el cubopor las diagonales de las caras y por los puntos mediosde cada par de aristas opuestas.


a) Observa las siguientes figuras, e indica en cadacaso cómo es la sección que se obtiene y si el plano que corta al cubo es de simetría. Señala tam-bién qué tipos de poliedros resultan del corte.

b) ¿Cuántas formas existen de cortar el cubo con unplano y que la sección resultante sea un cuadrado?¿Cuál es el área de dicho cuadrado?

c) ¿Y para obtener un rectángulo? De las seccionesque son rectángulos, ¿cuál es la de área máxima?Calcula dicha área.

d) Si tratamos de obtener un triángulo equilátero,¿cómo habría que hacer el corte? ¿Cuál es el áreadel mayor triángulo posible?

Secciones planas de un cubo1

Imagina que cortamos, en todas las esquinas de uncubo, una pequeña porción de forma que la secciónresultante en cada una sea un triángulo equilátero.

El poliedro resultante es el cubo truncado, que tiene14 caras: 8 caras son los triángulos equiláteros que re-sultan de los vértices, y las otras 6 caras son octógo-nos que resultan de las caras del cubo, a las que sehan quitado los triángulos de las esquinas.

Cuando los cortes llegan hasta el centro de cada aris-ta, el poliedro que obtenemos es distinto de los de-más: sigue teniendo triángulos, pero los octógonos seconvierten en cuadrados.

Los cortes podrían llegar hasta elcentro de las caras. En ese mo-mento obtendríamos otro sólidoplatónico: el octaedro.

Cubo truncado2

Cuerpos geométricos11C

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Ya hemos visto cómo se pueden obtener seccionesplanas de un cuerpo geométrico, cortándolo con pla-nos. Pero también se puede determinar a qué cuerpogeométrico pertenecen unas secciones planas dadas,es decir, reconstruirlo a partir de ellas.

La tomografía es una de las técnicas más modernas enMedicina. Mediante complejos aparatos y programas in-formáticos se obtiene una serie de cortes planos delcuerpo humano (similares a las radiografías) y, a partirde ellos, se logra una imagen tridimensional del órga-no en cuestión.

En figuras geométricas también podemos hacerlo, y deforma más sencilla. Por ejemplo, si tenemos un cono yhacemos cortes horizontales y paralelos a la base, y en-tre sí, se consigue la serie tomográfica de la derecha.

Hacemos lo mismo con un cilindro y obtenemos:


a) Indica a qué cuerpo corresponden las siguientesseries tomográficas.

b) Dibuja la serie tomográfica de:

– Un prisma hexagonal regular.– Un octaedro.– Una pirámide pentagonal regular.– Dos conos unidos por sus bases.– Dos tetraedros unidos por una de sus caras.

c) Si seccionas el cubo por planos paralelos al planocoloreado, ¿qué serie obtienes?

d) Si seccionas el cubo truncado (obtenido al cortaren todas las esquinas una pequeña porción) porplanos paralelos al plano coloreado, ¿qué serieobtienes?

Tomografías en figuras geométricas3

11

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En el diagrama podemos ver los posibles caminos.

Estando en A podemos pasar a B, D o E. De cada uno de estos vértices podemos pasar a otros dos (no es posible tomar la misma arista dos veces), y de ellos pasamos al vértice G, ya que no se pueden usar más de tres aristas en cada camino.

¿Cuántos caminos distintos de cinco aristas llevan de A a G?

¿Cuántos caminos distintos de tres aristas existen en este cubo por los que ir de A a G sin pasar dos veces por la misma arista?

Estrategia En algunos problemas, para hallar las soluciones, hay que organizarse y realizar un esquema adecuado.

Una de las técnicas más útiles para hacerlo es construir un diagrama de árbol,donde podemos ver las posibles soluciones del problema, o las formas de llegardesde un punto inicial a uno final.

Observa el siguiente octaedro.

a) ¿Cuál es el número mínimode aristas que puede tenerun camino que lleve de Aa B? ¿Y el número máximo?

b) Halla todos los caminosdistintos de tres y cuatroaristas que llevan del vértice A al vértice B.

Ayudándote de un diagrama de árbol, calcula todos los ortoedros que cumplen estas condiciones.

a) Su ancho, a, es un númeroprimo divisor de 6.

b) Su largo, b, es un númeroprimo mayor que ay menor que 2 ⋅ a.

c) Su altura, c, es un númeroprimo mayor que by menor que 2 ⋅ b.

21


Hacer un diagrama de árbol

PROBLEMA RESUELTO


Cuerpos geométricos11A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

A

B b

c

a

A B

CD

EF

GH

Caminos

C ⎯⎯⎯ G AB C GB F ⎯⎯⎯ G AB F GC ⎯⎯⎯ G AD C GA D H ⎯⎯⎯ G ADHGH ⎯⎯⎯ G A E HGE F ⎯⎯⎯ G A E F G

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NU

EVA

S T

EC

NO

LOG

ÍAS


11

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EJERCICIOS

De forma análoga a la Práctica 1, haz el desarrollo plano de los prismas del ejercicio 44de la página 221, pon pestañas y reconstrúyelos.

Guarda las figuras mediante → con los nombres

adecuados.

De forma parecida a la Práctica 2, calcula las fórmulas que se han de utilizar y resuelve los ejercicios 38 y 39 en diferentes hojas del libroPOLIEDROS.


3

2

1

PRÁCTICA CABRI-EXCELAbre el Programa CABRI para crear las figuras siguientes.


1. Construye un cuadrado de 5 cm de lado que servirá de base:

a) Con la herramienta , pulsa en un punto, (elcentro) y después, en dos puntos más para la construcción de uncuadrado. Mueve el vértice A hasta que el lado del cuadrado sea de 5 cm.

b) Etiqueta los vértices como A, B, C y D.

2. Construye los seis cuadrados:

a) Con la herramienta , construye el simétrico delpolígono respecto del lado BC y haz lo mismo respecto de los ladosAB, CD y AD. Obtendrás una figura como la del margen.

b) Vuelve a hacer el simétrico del polígono ADEF respecto del lado EF,y habrás obtenido el desarrollo plano del cubo.

3. Con la herramienta Segmento , haz las pestañas. Puedes ocultar

con las etiquetas que hayas utilizado para

hacer la construcción, y obtendrás una figura semejante a la del mar-gen (solamente hay tres pestañas).

4. Imprime la figura con → , recórtala y construyeel cubo.



A continuación haremos los cálculos con EXCEL. Abre un nuevo libro con elnombre POLIEDROS.

1. Cambia el nombre de una hoja: Unidad11_2a y crea una tabla igualque la de la figura del margen.

2. Introduce las siguientes fórmulas en B2: y en B3:.


=RAIZ(3)*A2=RAIZ(2)*A2

Simetría

Desarrollo plano

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Arquímedes de Siracusa es uno de los sabios más conocidos de la antigüedad. Nació en Siracusa (Sicilia) alrededor del año 287 a.C.y murió en el 212 a.C., en el asedio a la ciudad por el ejército romano al mando de Marcelo, a pesar de que este ordenó respetar la vida del sabio.

Se dice que en su juventud viajó a Alejandría (Egipto), donde conoció a Eratóstenes, sabio con el que mantuvo correspondencia, haciéndolepartícipe de sus descubrimientos, sobre todo de los matemáticos.

Es universalmente recordado por formular el principio general de la hidrostática, aunque también son notables sus estudios sobre las máquinas simples: la palanca, el plano inclinado, la polea, la cuña o el tornillo.

Sus aportaciones matemáticas han quedado eclipsadas por estas aportaciones físico-técnicas; sin embargo, son notables sus estudios geométricos al margen de Los elementosde Euclides. De hecho, su tumba fue redescubierta por Cicerón en el año 75 a.C., quien la reconoció por tener un grabado geométrico consistente en una esfera inscrita en un cilindro. Esta historia nos transmite la idea de que Arquímedes tenía en gran consideración sus estudios teóricos, por encima de los prácticos, que son por los que es mundialmente conocido.


El saqueo de Siracusa

Volumen de cuerpos geométricos12C

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12

En el siglo III a.C., en la ciudad de Siracusa gobernaba el reyHierón II. Este rey encargó una nueva corona de oro a unorfebre, al que le dio un lingote de oro puro para realizarla.

Cuando el orfebre terminó el trabajo y entregó la corona, al rey comenzó a asaltarle una duda. El orfebre pudo habersustituido parte del oro por una cantidad de cobre, de formaque el peso de la corona fuese el mismo que el del lingote. El rey encargó a Arquímedes, un famoso sabio y matemáticode la época, que estudiase el caso.

El problema era complejo y Arquímedes estuvo un tiempopensándolo. Un día, cuando estaba en los baños, se dio cuenta de que al introducirse en una bañera

rebosante de agua, esta se vertía al suelo. Ese hecho le dio la clave para resolver el problema y, dice la leyenda, que lleno de alegría salió a la calle desnudo, gritando: «¡Eureka!», que en griego significa: «¡Lo encontré!» o «¡Lo resolví!».

Arquímedes se dio cuenta de que si un cuerpo se sumerge en un líquido, desplaza un volumen igual al suyo. Aplicando este principio, Arquímedes sumergió la corona y comprobó que el agua que se vertía al introducirla en una cuba de agua no era la misma que al introducir un lingote de oro idéntico al que el rey le dio al orfebre. Eso significaba que no toda la corona era de oro, ya que si hubiese sido de oro, el volumen de agua desalojado habría sido igual al del lingote, independientemente de la forma de la corona.

El oro es más denso que el cobre. Por tanto, el volumen utilizado para elaborar la corona de oro debe ser menor que el que se necesita si se sustituye parte de ese oro por cobre.

Arquímedes y la corona de oro

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RA

Sophie Germain nació en el año 1776 y su pasión por las Matemáticas era tal que su padre, para impedirle que estudiase por las noches,

le escondía las velas que la iluminaban.

Sophie, por su condición de mujer, no pudo ingresar en la ÉcolePolytechnique, por lo que asumió la identidad de un antiguo alumno(Antoine-August Le Blanch). A pesar de estudiar por correo, al cabo de unos meses, el encargado del curso, Lagrange, solicitó una entrevista con ella debido a la brillantez de sus respuestas, lo que la obligó a descubrir su identidad.

Sophie murió de cáncer de mama y, pese a su capacidad, no se la reconoció entre los 72 sabios franceses que se inscribieron

en la Torre Eiffel, cuando se erigió en 1889.

Sophie Germain

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CONTENIDOS PREVIOS

Sepas lo que es un cuboy un ortoedro.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para estudiar las unidades de volumen.

PORQUE…

Realices con soltura la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros.

CONVIENE QUE…

Te será útil para transformar unasunidades de medida en otras.

PORQUE…

Sepas utilizar las unidadesde volumen.

CONVIENE QUE…

Las usarás en el estudio del volumen de los cuerposgeométricos.

PORQUE…

Recuerdes las equivalenciasentre los órdenes del sistema de numeración decimal.

CONVIENE QUE…

Te ayudará a comprender las relaciones entre los múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida.

PORQUE…

Volumen de cuerpos geométricos12LE

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EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

El cubo tiene todas sus caras cuadradas.

El ortoedro tiene todas sus caras rectangulares

o cuadradas.

46 ⋅ 100 = 4.600

2,074 ⋅ 100 = 207,4

4.600 : 100 = 46

2,074 : 100 = 0,02074

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Decenade millar

Unidadde millar

Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima

DM UM C D U d c m

→�

→

�

G GG GG G

G G G G G G

G GG GG GG

G G G G G G G

⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000

: 1.000 : 1.000 : 1.000 : 1.000 : 1.000 : 1.000

: 10 : 10: 10 : 10: 10 : 10: 10

⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10

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kilo- (k) Prefijo que expresa una cantidadequivalente a 1.000 unidades.



12


Para expresar medidas en forma compleja, se deja un espacio en blanco entre cada una de las unidades.


1 km Un kilómetro equivale a 1.000 metros.

1 kl Un kilolitro equivale a 1.000 litros.

1 kg Un kilogramo equivale a 1.000 gramos.

hecto- (h) Prefijo que expresa una cantidadequivalente a 100 unidades.


1 hm Un hectómetro es 100 metros.

1 hl Un hectolitro equivale a 100 litros.

1 hg Un hectogramo es 100 gramos.

deca- (da) Prefijo que expresa una cantidadequivalente a 10 unidades.


1 dam Un decámetro equivale a 10 metros.

1 dal Un decalitro es 10 litros.

1 dag Un decagramo es 10 gramos.

deci- (d) Prefijo que expresa una cantidadequivalente a la décima parte de la unidad.


1 dm Un decímetro es 0,1 metros.

1 dl Un decilitro equivale a 0,1 litros.

1 dg Un decigramo es 0,1 gramos.

centi- (c) Prefijo que expresa una cantidadequivalente a la centésima parte de la unidad.


1 cm Un centímetro equivale a 0,01 metros.

1 cl Un centilitro es 0,01 litros.

1 cg Un centigramo es 0,01 gramos.

mili- (m) Prefijo que expresa una cantidadequivalente a la milésima parte de la unidad.


1 mm Un milímetro es 0,001 metros.

1 ml Un mililitro equivale a 0,001 litros.

1 mg Un miligramo es 0,001 gramos.

2 hm 5,1 dam 27 m Expresa una medida de longitud en formacompleja.

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EN LA VIDA COTIDIANA... Obras y reformas

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Reconocer la presencia de cuerpos geométricos en la vida diaria. • Aplicar el cálculo de áreas y volúmenes en distintos contextos.

Belén se ha comprado un piso de segunda mano. Como tiene que hacer algunas reformas, ha realizadoun plano a escala 1 : 200 para hacerse una idea de losgastos. (Recuerda que 1 : 200 significa que 1 cm delplano corresponde a 200 cm de la realidad.) La alturade los techos del piso es 2,7 m.

Una de las reformas que quiere hacer es cambiar elsuelo del piso y poner parqué y cerámica en distintashabitaciones. El parqué cuesta 30,21 €/m2, y la cerá-mica, 23,43 €/m2.

También quiere instalar aire acondicionado en algunasde las habitaciones.


a) Halla el área de cada una de las habitaciones delpiso y el área total.

b) ¿Cuánto costará poner suelo de parqué al dormito-rio, el salón y el pasillo?

c) ¿Cuánto costará poner suelo de cerámica al baño yla cocina?

d) El número de frigorías necesarias para enfriar unahabitación se obtiene multiplicando su área (enmetros cuadrados) por 120. Halla las frigorías ne-cesarias para enfriar cada habitación del piso.

La reforma del suelo de un piso1

Belén quiere pintar las paredes de la casa. En la tien-da de pinturas le dan las siguientes opciones, relativasa dimensiones de botes, precio y rendimiento.

– Bote cilíndrico de radio 10 cm y altura 12 cm, preciode 5 € y rendimiento de 2 m2/l.

– Bote cilíndrico de radio 15 cm y altura 10 cm, pre-cio de 6,50 € y rendimiento de 3 m2/l.

– Bote cilíndrico de radio 20 cm y altura 15 cm, preciode 9 € y rendimiento de 4 m2/l.


a) Calcula el área que tiene que pintar (incluyendo eltecho del piso).

b) Dibuja el desarrollo plano de los botes.c) ¿Qué bote tiene mayor volumen? ¿Cuántos metros

cuadrados se pintan con un bote de cada tipo?d) ¿Cuántos botes de cada tipo se necesitan para pin-

tar el piso?e) ¿Cuál es la opción más económica?

Botes de pintura2

Volumen de cuerpos geométricos12C

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Cocina

Baño

Pasillo

Dormitorio

Salón

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12

En la compra del piso va incluido un trastero que tieneforma de ortoedro, con dimensiones 60 dm, 48 dmy 26 dm. Belén ha decidido pintarlo y poner el suelo decerámica.


a) ¿Cuántos botes de cada tipo necesita para pintar eltrastero?

b) ¿Cuál es la opción más económica?c) ¿Cuánto le cuesta arreglar el trastero?

La mitad del trastero lo quiere ocupar con cajas cúbi-cas, iguales y del mayor tamaño posible, sin que que-den huecos.


a) Calcula el volumen total del trastero.

b) El valor de la arista de las cajas tiene que dividir ala mitad del largo, el ancho y el alto del ortoedro.Además, su valor debe de ser el máximo posible.¿Cuánto mide dicha arista?

c) Calcula el volumen de cada caja.

d) ¿Cuántas cajas caben exactamente en la mitad deltrastero?

e) ¿Y en todo el trastero?

La reforma de un trastero3

El piso tiene acceso a dos piscinas comunitarias. Unade las piscinas está destinada a niños pequeños y laotra a mayores de 12 años. El presidente de la comu-nidad ha informado a los 100 vecinos que este añohay que pintar las piscinas. Las dimensiones de la pis-cina infantil son las indicadas en el dibujo.


a) Si con un bote de 1 kg se pintan 4 m2, ¿cuántosbotes se necesitan para pintar la piscina?

b) Si cada bote cuesta 6,12 €, ¿cuánto tiene que pa-gar cada vecino por la pintura?

c) Calcula el volumen de la piscina.

La forma y dimensiones de la piscina de adultos sonlas indicadas en el dibujo.


a) Calcula el volumen de la piscina.

b) Halla el tiempo que tarda en llenarse con un grifoque vierte 300 litros por minuto.

c) Para tener el agua de las piscinas en óptimas con-diciones se añaden 20 g de cloro por 15 m3 deagua cada 5 días. ¿Cuántos gramos de cloro se ne-cesitarán para el mantenimiento de ambas pisci-nas durante 60 días?

El mantenimiento de la piscina4

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TEM

ÁTI

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25 m

2 m10 m

5 m0,5 m

0,5 m

1,5 m

1 m

3 m

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El número de cubos de la secuencia anterior se expresa por la serie de números impares:

1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n − 1

Por tanto, estos números indican el volumen de los policubos de la secuencia. El volumen del policubo de lugar n es 2n − 1.



Observa la siguiente secuencia de policubos. Dibuja en tu cuaderno los dos policubos que siguen en esta secuencia. Después, escribe el volumen que tiene el policubo de lugar n, tomando como unidad uno de los cubos.

Estrategia En Matemáticas aparecen con frecuencia problemas con secuencias de elementos:números, figuras, etc. Muchas de estas secuencias siguen unos patrones o regularidades cuyo conocimiento es necesario para la resolución de los problemas.En los siguientes problemas se trata de encontrar las regularidades en secuenciasde cuerpos geométricos.

Observa la secuencia anterior y fíjate en el área de cada policubo, tomando como unidad el área de una cara. Completa la siguiente tabla con las áreas de cadapolicubo. ¿Qué regularidad observas al pasarde un policubo de la secuencia al siguiente?Expresa esta regularidad (no es necesarioescribirla en función de n).

Observa la secuencia de cubos. ¿Qué regularidado regla general observas en la medida de las aristas? ¿Cuál es el valor de la suma delas aristas del cubo de lugar n2?

Completa la tabla y escribe el volumen del cuboque ocupa el lugar n.

21


Utilizar tablas, gráficas y ecuaciones

PROBLEMA RESUELTO


Volumen de cuerpos geométricos12A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

12

3

1

2

3

4

PolicubosÁrea

16

214

3 4 5 6

Lugar del cuboen la secuencia

Volumen

1 2 3 4 5 6 … n

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12


RE

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AU

LAN

UE

VAS

TE

CN

OLO

GÍA

S

EJERCICIOS

De forma análoga a como has hecho en la Práctica 1, abre una figura con CABRI y crea un cono (ejercicio 63 b), pág. 237). Para ello, tendrás que dibujar una elipse y trasladar el centro de la elipse mediante un vector vertical hasta que aparezca el cono.

Guarda la figura en tu carpeta con el nombreUnidad12_ejercicio63.

En el mismo libro EXCEL y en la misma hoja,introduce los valores correspondientes al conodel ejercicio 63 b), o sea r = 3 y h = 11,y obtendrás el volumen del cono.

Abre una nueva hoja y crea una tabla con fórmulasque te permitan calcular el volumen de la esfera.Resuelve el ejercicio 70 de la página 238.


4

3

2

1

PRÁCTICA CABRI-EXCELAbre el Programa CABRI para construir la figura del ejercicio.


1. Con la herramienta , construye una elipse (hacen fal-ta cinco puntos: A, B y otros tres puntos).

2. Con la herramienta , construye un vector vertical v�.

3. Con la herramienta , haz la traslación de la elipsemediante el vector v�.

4. Construye dos segmentos que unan los puntos A y B con sus traslada-dos A' y B'.



En este caso, haremos cálculos con EXCEL. Abre el libro POLIEDROS.

1. Cambia el nombre de una hoja: Unidad12_02a.

2. Crea los rótulos que se ven en la figura.

3. Introduce en la celda D2 la fórmula: . Esta fórmula nos dael volumen de un cilindro. El valor se utiliza para dar valor al núme-ro π con 15 cifras decimales.

4. Introduce en la celda D3 la fórmula siguiente: quesirve para hallar el volumen de un cono.

Ahora puedes introducir datos y calcular los volúmenes de cilindros yconos, dados el radio de la base (celdas B2 o B3) y la altura del cuerpo(celdas C2 o C3).

5. En el caso del cilindro de la figura, introduce 8 en la celda B2 (ya que eldiámetro es 16) y 15 en la celda C2, y observa qué valor aparece en lacelda D2.

=1/3(PI()*B2^2*C2)

PI()

=PI()*B2^2*C2

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René Descartes nació en La Haye, cerca de Poitiers (Francia) en 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) en 1650. Comenzó sus estudios en la Escuela de los Jesuitas de la Flèche, que le proporcionaron una sólida base de cultura clásica, aprendiendo Latín, Griego y Matemáticas puras y aplicadas, que habían sido supervisadas por Christopher Clavius. Posteriormente se graduó en Derecho en la Universidad de Poitiers, aunque esos estudios no fueron totalmente de su agrado.

El episodio que se desarrolla en el libro de texto corresponde a 1619, año en el que Descartes conoció a Isaac Beeckman, con el que posteriormente mantendría una profunda amistad. Este viaje tuvo lugar en su época de juventud, en la que Descartes recorrió Europa, unas veces por su cuenta y otras veces enrolado en algún ejército como soldado de fortuna. En estos viajes conoció a algunos de los más afamados pensadores de la época.

Se le considera el padre de la Filosofía moderna y su obra más conocida es El discurso del método, siendo su principal aportación matemática la invención de la Geometría analítica que desarrolló en su obra La Geometría.


El ingenio y la espada

Funciones13C

OM

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13

En ocasiones, tenemos varios pares de valores de dos magnitudesrelacionadas y queremos calcular otros valores intermedios.

¿Cómo podemos obtener estos nuevos pares si no sabemos la expresión algebraica de la función?

Para ello hacemos un ajuste gráfico y una interpolación.

Interpolar es obtener, a partir de los datos ya conocidos, un nuevo par de valores comprendido entre ellos.

Teresa se ha comprado un ordenador por 1.500 €. En una revista lee cuál es el valor de dicho ordenador al año, a los 2 años y a los 4 años de comprarlo, como se ve en la tabla.

¿Cómo puede Teresa calcular el valor a los tres años?

Representamos los pares conocidos en un gráfico.

Unimos con un segmento los puntos correspondientes a 2 y 4 años.Levantando una vertical desde el valor 3 y, luego, desde el punto de corte, una paralela que corte al eje vertical, vemos que el valor del ordenador estará alrededor de 800 €.

Vamos a calcular su valor de forma numérica:

En 2 años (4 − 2) 960 − 615 = 345 €�En 1 año x

Como x = = 172,50 €, el valor del ordenador al tercer año será:

960 − 172,50 = 787,50 €

345

2

se depreciará⎯⎯⎯⎯⎯→

se depreciará⎯⎯⎯⎯⎯→

Cuidado con los promedios

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LAC

OM

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CTO

RA

Gauss nació en Brunswick en 1777. Destacó comomatemático, físico y astrónomo. Cuando tenía 10 años, su profesor propuso el problema consistente en sumar los 100 primeros números naturales, y mientras sus compañeros hacían sumas interminables, Gauss escribió rápidamente el resultado en la pizarra. El profesor le regaló un libro de Aritmética, que Gaussleyó y corrigió de forma inmediata.

Gauss estudió Matemáticas y fue catedrático de esta disciplina en Kazán y de Astronomía en Göttingen.

Falleció en Göttingen en 1855.

Gauss

0

1.500

1

1.200

2

960

3 4

615

Año

Valor (€)

1.500

1.200

900

600

300

1 2 3 4 5

Años

Valo

r (€

)

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CONTENIDOS PREVIOS

Sepas utilizar tablas numéricas.

CONVIENE QUE…

Las necesitarás para expresarfunciones mediante tablas.

PORQUE…

Conozcas cómo se localiza un punto en el plano.

CONVIENE QUE…

Te servirá para determinar las coordenadas de un punto.

PORQUE…

Recuerdes cómo calcular el valornumérico de un polinomio.

CONVIENE QUE…

Te será útil para representarfunciones.

PORQUE…

Dado el polinomio:

P(x) = 3x2 − x + 1

su valor numérico, para x = 2, es:

P(2) = 3 ⋅ 22 − 2 + 1 = 12 − 2 + 1 = 11

Dados unos valores, obtenemos otros mediante operaciones aritméticas.

Recuerdes lo que es unaexpresión algebraica.

CONVIENE QUE…

Lo utilizarás para representar la relación entre algunasmagnitudes.

PORQUE…

Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es un conjunto de números y letras unidosmediante los signos de las operaciones aritméticas.

Enunciado Expresión algebraica

El triple de un número ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 3x

La mitad de un número ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

El cuadrado de un número ⎯⎯⎯⎯⎯→ x2

x

2

Funciones13LE

ER

Y C

OM

PR

EN

DE

R M

ATE

MÁ

TIC

AS

Sumando Sumando Suma

1

2

3

4

5

7

7

7

7

7

1 + 7 = 8

2 + 7 = 9

3 + 7 = 10

4 + 7 = 11

5 + 7 = 12

El árbol está en la casilla (C, 4).

El hospital, en la casilla (B, 2).

El lago, en la casilla (F, 2).

5

4

3

2

1

A B C D E F G H I

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(x, y ) Indica un par ordenadode una función.

(x, f (x )) Indica el mismo par ordenado.

(1, 2) Indica un punto en el plano.

(1,3; 2,4) Indica un punto en el plano con coordenadas decimales.



13


Para indicar un punto de la gráfica de una función, la primera coordenada se suele denotar con la letra x,y la segunda, con la letra y o con la expresión de la función, f (x ).

Cuando queremos indicar un punto del plano, se escriben las dos coordenadas del punto entreparéntesis, y se separan con una coma seguida de un espacio.

A veces, al referirse a un punto de una gráfica, solo se da la coordenada de x, por ejemplo: «La función ftiene un máximo en el punto x = 2». Esto quiere decir que tiene un máximo en el punto de coordenadas (2, f (2)).

(x, y ) Indican el punto formado por un número y el valor

(x, f (x)) de la función en ese número.


Si se afirma que el punto (2, 3) pertenece a unafunción f, esto significa que si x = 2, entonces y = 3o que f (2) = 3. Es decir, (2, 3) = (2, f (2)).

f (x) = x − 5 Ambas son expresiones querepresentan la función cuyaexpresión algebraica es x − 5.y = x − 5


Una función se puede representar mediante la expresión f (x ) o mediante la letra y.

X, OX Indican el eje de abscisas.

O Representa el origen de coordenadas,el punto (0, 0).

Y, OY Indican el eje de ordenadas.


Utilizamos OX o eje de abscisascuando nos referimos a esteeje. En el gráfico solamenteescribimos X.

Utilizamos OY o eje de ordenadas cuando nos referimos a este eje. En el gráfico solamenteescribimos Y.

RE

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LALE

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DE

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ATE

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TIC

AS

X

Y

O

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El calor es una forma de energía y, cuando aportamoscalor a un cuerpo, esta energía se utiliza para aumen-tar el nivel de calor de dicho cuerpo. A ese nivel de ca-lor se le denomina temperatura.

Al llegar a unas determinadas temperaturas (diferen-tes para cada sustancia), llamadas punto de fusión ypunto de ebullición, un mayor aporte de energía (calor)no significa una elevación de la temperatura, sino uncambio de estado de la sustancia.

• Punto de fusión: paso de sólido a líquido.

• Punto de ebullición: paso de líquido a gas.

La gráfica muestra este proceso en el caso del agua.


a) ¿Qué se representa en el eje X? ¿Y en el eje Y?

b) ¿Qué temperaturas corresponden a las letras a y b?

c) ¿Qué interpreta-ción le das a cadauno de los tramosde la gráfica seña-lados como I, IIy III?

d) Representa unagráfica como la anterior para elhierro, con unpunto de fusión de 1.536 °C y unpunto de ebulli-ción de 3.000 °C.


EN LA VIDA COTIDIANA... Gráficas en las Ciencias

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Analizar diferentes funciones extraídas de situaciones reales a partir de su gráfica. • Representargráficamente una relación funcional, a partir de una tabla de valores, y obtener la expresión algebraica de la función. • Obtener la representación gráfica de una relación funcional, a partir de su expresiónalgebraica. • Elaborar tablas de relaciones funcionales con valores obtenidos de forma empírica.

Las gráficas calor-temperatura en los cambios de estado1

El crecimiento de determinadas poblaciones de seresvivos puede ser muy rápido. Observa la siguiente ta-bla, que señala el número de bacterias presentes enun cultivo realizado en el laboratorio.


a) Representa los datos en una gráfica.

b) Une los puntos mediante trozos de rectas. ¿Tienentodos la misma inclinación?

c) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 6 horas? ¿Y al cabo de 10 horas?

d) Determina gráficamente el tiempo que tardan lasbacterias en duplicarse, por ejemplo, en pasar de 100a 200.

e) Obtén gráficamente el tiempo aproximado que hade transcurrir para que haya 5.000 bacterias.

f) Obtén una expresión algebraica que exprese la po-blación de bacterias en función del tiempo.

El crecimiento de una población2

Funciones13C

OM

PE

TEN

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MA

TEM

ÁTI

CA

012345

Tiempo (h)100165272448739

1.218

Bacterias (miles)

aI

bY

X

II

III

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13

Un sistema elástico, por ejemplo un muelle, ejerce unafuerza directamente proporcional al estiramiento o lon-gitud alcanzada respecto a su posición de equilibrio.

La expresión algebraica de esta ley: la ley de Hooke, esF = k ⋅ x, donde k es la constante del sistema, x es elalargamiento y F es la fuerza. Es, por tanto, una fun-ción lineal.

Supón un muelle cuya constante sea 2,5 y su longitud límite 10 cm.


a) Representa la relación funcional Alargamiento(en cm)-Fuerza (en newtons, N).

b) ¿Qué fuerza corresponde a un alargamiento de5,5 cm? ¿Y a un alargamiento de 11 cm?

c) Cuando la fuerza es de 10 N, ¿qué alargamiento hasufrido el muelle? Si es de 20 N, ¿le corresponderáel doble de alargamiento?

d) Considera otro muelle cuya constante sea 5 y sulímite de elasticidad sea 20 cm, y representa grá-ficamente la relación Alargamiento-Fuerza. ¿Quécaracterística tiene la función?

Los sistemas elásticos3

Los gases, como el dióxido de carbono (CO2) y el me-tano (CH4), crean un efecto invernadero natural, sin elcual la vida en este planeta no existiría.

Ahora bien, desde la era industrial, la actividad huma-na ha añadido un exceso de esos gases a la atmósfera,sobre todo al quemar combustibles como el petróleo,el carbón o el gas. Este exceso de CO2 provoca, entreotros fenómenos, un calentamiento excesivo de la atmósfera.

La cantidad de CO2 atmosférico había permanecidoestable, aparentemente durante siglos, pero desde elcomienzo de la industrialización se ha incrementadoen un 30 % aproximadamente.

El Panel Intergubernamental sobre el Cambio Climá-tico (IPCC), un foro internacional de científicos ex-pertos en climatología, editó un informe en 1990 yotro a finales de 1995.

En dichos informes se afirmaba que si continúa el ín-dice actual de emisiones, la concentración atmosféricade CO2 hacia mediados del siglo XXI será el doble de laanterior a la revolución industrial. Esta concentraciónse mide en ppb (partículas de CO2 por cada mil millo-nes de partículas), y, en la época preindustrial, la con-centración en la atmósfera era de 0,28 ppb.


a) ¿Qué concentración de CO2 (en ppb) hay actual-mente?

b) Suponiendo que la concentración de CO2 crececada diez años un 12 %, realiza una tabla dondese expresen las concentraciones de CO2 hasta final de siglo.

c) Representa los datos de la tabla en una gráfica.

El CO2 y el calentamiento global4

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TEN

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TEM

ÁTI

CA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Alargamiento (cm)

Fuer

za(N

)

282624222018161412108642

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El perfil de la etapa reina del Giro está representado en este dibujo.

¿Cuál es la gráfica correspondiente a la velocidad de un corredor a lo largode la etapa?

Estrategia La interpretación de gráficas ocasiona errores al confundirse la gráfica y el dibujoque acompañan al enunciado. Las gráficas son representaciones abstractas derelaciones entre dos variables.

Hay casos en los que la relación entre dos variables es sencilla de interpretar, y la gráfica se deduce directamente del dibujo que acompaña al texto, manteniendoincluso cierta similitud. Sin embargo, en otros casos, la relación entre las dosvariables da lugar a gráficas que no tienen relación con el dibujo representado,como ocurre en estos problemas.


Interpretar gráficas y dibujos

PROBLEMA RESUELTO

Funciones13A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

15.a

3.0002.8002.6002.4002.2002.0001.8001.6001.4001.2001.000

800600400200m 0

km 0

MERANO-APRICA Domingo, 5 de junio. 195 km

10

MER

ANO

365

m

Rab

ia52

0 m

Lasa

869

m

Contrarreloj individual Gran Premio de la Montaña Avituallamiento

Traf

oi1.

543

m

Bor

mio

1.22

5 m

Gro

sotto

843

m

Edol

o69

9 m

Apric

a1.

181

m

Pass

o de

l Mor

tirol

o1.

582

m

APR

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1.18

1 m

Valic

o di

S. C

ristin

a1.

427

m

Pass

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llo S

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io 2

.758

m

Cast

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llo58

7 m

CIMA COPPI GPM

GPM

GPM

GPM

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

Este es el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a España.

¿Cuál es la gráfica correspondiente a la velocidad de un corredor a lo largo de la etapa?

PROBLEMA PROPUESTO

El corredor parte de cero y alcanza cierta velocidad. Conforme asciende, irá reduciéndola hasta la cima. Al descender, aumentará cada vez más la velocidad hasta el pie de la montaña. Luego vuelve a ascender,baja la velocidad hasta la cima, y así hasta el final del trayecto.


Velo

cida

d

Distancia

17.a Sabiñánigo 166 km Cerler

1

0 20

Biescas(850 m)

Broto(900 m)

Ainsa(550 m)

Cerler(1.520 m)

Alto de Ampriu(1.930 m)

Puerto de Cotefablo(1.410 m) Puerto de

la Foradada(1.020 m)

40 60 80 100 120 140 160

2

E

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13


RE

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LAN

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CN

OLO

GÍA

S

EJERCICIOS

De la misma manera, abre una nueva hoja:Unidad13_2a y realiza el ejercicio 64 de la página 257.

Abre una nueva hoja: Unidad13_3a y resuelve el ejercicio 65 de la página 257.


21

PRÁCTICA EXCELAbre un nuevo libro EXCEL con el nombre FUNC_ESTAD2. Cambia el nom-bre de la primera hoja: Unidad13_1a.

EXCEL no es un programa de gráficos como DERIVE, pero permite hacergráficas de puntos y de otros tipos a partir de una tabla, por lo que nos re-sulta interesante en esta unidad.


1. Escribe los rótulos de la fila 1: litros en la celda A1 y Precio (€) en la cel-da B1. Escribe también en la columna A los litros 1, 2, 3, ..., hasta 6 enlas celdas A2, A3, ..., hasta A7.

2. Colócate en la celda B2 y escribe el valor de un litro . Obser-va el valor que aparece.

3. Copia esta fórmula con CTRL+C y CTRL+V en las celdas B3 a B7.

4. Ahora haremos la gráfica, activando el asistente para gráficos quepermitirá, mediante una serie de pasos, seleccionar el tipo de gráfico ysu ubicación. Selecciona el rango de celdas A1:B7, tal como se ve en lafigura y haz, en este orden, lo siguiente (después de cada paso, pulsaen , y al final del paso 4, ).

• Paso 1: Gráfico: Dispersión. Subtipo: Líneas.

• Paso 2 (se ve el gráfico).

• Paso 3: Opciones: permite cambiar ejes, poner etiquetas, líneas dedivisión, rótulos de datos… (alguna de estas opciones se puedencambiar más adelante).

• Paso 4: Ubicación. Permite que la gráfica aparezca en una hoja dife-rente o en la misma hoja de trabajo. Elige la segunda opción.

5. Observa la gráfica que sale:

6. Pon las flechas de los ejes, las etiquetas x e y, y completa la línea de lagráfica para que comience en el origen de coordenadas.

=1,25*A2

Subtipo

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Cayo Julio César Octavio Augusto, más conocido como César Augusto, nació en el año 63 a.C. y murió en el 27 d.C. Aunque él mismo nunca se dio el título de emperador, sino que se proclamó Princeps Civium,es decir, el principal ciudadano, se le considera el primer y más importante emperador romano.

A los largos años de guerra civil en Roma, tras la victoria de Augusto llega un período de paz, conocido como la Pax Augusta, que se aprovecha para organizar el sistema político, militar y económico del Imperio.

Gobernar un imperio tan extenso como el romano y organizar los recursos que generaba era una difícil tarea. Una de las acciones que Augusto mandó realizar fue un censo, es decir, un inventario de personas y bienes que le ayudaría a conocer la situación real del imperio.


La Pax Augusta

Estadística14C

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14

Las ONG (Organizaciones No Gubernamentales) son asociaciones que se encargan de ayudar a los países más desfavorecidos. Para ellocuentan con la ayuda de voluntarios, de suscripciones particulares y de entidades colaboradoras que las sustentan económicamente. En España, en 1999, había censadas 260 ONG, siendo algunas de las más conocidas: Manos Unidas, Médicos sin Fronteras, Fundesco,Cáritas Española, Cruz Roja Española, Unicef, etc. La Oficina de AyudaHumanitaria de la Comunidad Europea (ECHO), creada en 1992, ha canalizado unos 5.000 millones de euros a través de estasorganizaciones, sobre todo europeas. Es el mayor donante humanitariomundial junto a Estados Unidos, responsabilizándose de la financiaciónde la ayuda internacional en un 50 %.

Por dicho motivo, con frecuencia se realizan encuestas para conocer la opinión de los ciudadanos acerca de las ONG. En una de dichasencuestas había una serie de preguntas relacionadas con este tema,algunas de las cuales reproducimos a continuación.

Las ONG y las encuestas

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Los primeros indicios de Estadística se encuentran en la isla de Cerdeña, en restos prehistóricospertenecientes a los Nuragas, los primeros habitantesde la isla. Estos monumentos donde aparecen sonbloques de basalto superpuestos sin mortero, cuyas

paredes muestrantoscas señales que han sidointerpretadascomo signos que utilizaban parallevar la cuenta del ganado y la caza.

El inicio de la Estadística

En el siglo XVII,Godofredo Achenwallle dio a esta ciencia el nombre de«Estadística», queetimológicamentederiva de la palabrastatus, y que significaestado o situación.

¿Por qué «Estadística»?

1.o Centrándonos en las ONG, es decir, las Organizaciones No Gubernamentales que se caracterizan por ser asociaciones deiniciativa privada, no lucrativas y dedicadas a la solidaridad internacional y al desarrollode países pobres, ¿conoce usted o ha oídohablar de la existencia de este tipo de organizaciones?

Sí ⎯⎯⎯→ 88,1 %No ⎯⎯⎯→ 11,7 %NS/NC ⎯→ 0,2 %

Total respuestas: 2.493

2.o Con independencia de que usted las conozca o no, ¿cómo valora lasactividades y el trabajo que desarrollan este tipo de ONG?

Muy bien ⎯→ 30,7 %Bien ⎯⎯⎯→ 48,0 %Regular ⎯→ 10,9 %Mal ⎯⎯⎯→ 1,0 %Muy mal ⎯→ 0,3 %NS ⎯⎯⎯→ 8,4 %NC ⎯⎯→ 0,6 %

Total respuestas: 2.493

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CONTENIDOS PREVIOS

Sepas construir una tablaestadística.

CONVIENE QUE…

Te será útil para organizar los datos y hacer representacionesgráficas.

PORQUE…

Conozcas las gráficasestadísticas.

CONVIENE QUE…

Las utilizarás para analizare interpretar conjuntos de datos.

PORQUE…

Recuerdes qué es el valorabsoluto de un número.

CONVIENE QUE…

Es necesario para calcular alguna de las medidas utilizadasen Estadística.

PORQUE…

Una TABLA ESTADÍSTICA muestra los datos recogidos en una investigaciónestadística y el número de veces que se repiten.

Se lee: 6 alumnos tienen zapatillas de color azul…

El VALOR ABSOLUTO de un número es ese mismo número prescindiendo de su signo, es decir, si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo, y si es negativo, le cambiamos de signo.

El valor absoluto de −3 es ⏐−3⏐ = 3 y el valor absoluto de 3 es ⏐3⏐ = 3.

Las GRÁFICAS ESTADÍSTICAS sirven para captar rápidamente las informaciones más relevantes del conjunto de datos.

Diagrama de barras Gráfico de sectores

Recuerdes lo que es un sectorcircular.

CONVIENE QUE…

Te hará falta para realizar gráficosestadísticos.

PORQUE…

Un SECTOR CIRCULAR es la parte del círculolimitada por dos radios y su arcocorrespondiente.

Para dibujar un sector circular basta con conocer la longitud del radio y el ánguloque abarca el sector circular.

Estadística14LE

ER

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DE

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MÁ

TIC

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Color dezapatillas Azul Verde Amarillo Rojo

N.º de alumnos 6 9 4 3

rr

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fi Indica la frecuencia absoluta del valor x i.

hi Indica la frecuencia relativa del valor x i.

N Indica el número total de datos del estudio.

xi Indica los valores o datos que obtenemos en un estudio estadístico.




La notación xi indica los datos obtenidos. El índice, i, expresa el orden, es decir, x1 es el primero, x2 es el segundo…

Si el número de hermanos de 10 alumnos es:

0, 3, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 0

x1 = 0 x2 = 3 x3 = 1 x4 = 1, …

Cuando los datos se expresan agrupados, el significado de xi no es el valor de cada dato, sino los valores que aparecen.


x� Indica la media de unos datos.Me Indica la mediana de unos datos.Mo Indica la moda de unos datos.

La media aritmética se denota por x�.

La mediana se suele indicar por Me, aunque también se puede nombrar como Md.

La moda se denota por Mo.


La frecuencia absoluta de un valor se suelerepresentar por fi, donde el subíndice i indicaque pertenece al valor x i.

f1 = 4 f2 = 3 f3 = 2 f4 = 1

La frecuencia relativa se representa por hi: hi = .

En el ejemplo: h1 = 0,4; h2 = 0,3; …

El número total de datos de un estudio suele denotarse con las letras N o n. En el ejemplo: N = 10.

f

Ni

∑ Indica una sumade elementos.


∑fi = f1 + f2 + f3 + … es la suma de las frecuenciasabsolutas.

En el ejemplo:

∑fi = f1 + f2 + f3 + f4 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

14

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DE

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MÁ

TIC

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xi = N.º de hermanos 0 1 2 3

4 3 2 1N.º de alumnos

xi = N.º de hermanos 0 1 2 3

4 3 2 1fi = N.º de alumnos

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EN LA VIDA COTIDIANA... Encuesta sobre la enseñanza

En este proyecto pretendemos que aprendas a:• Leer una encuesta. • Utilizar los datos de una encuesta para ampliar la información. • Codificar los datos de una encuesta y obtener nuevos resultados numéricos. • Efectuar una crítica constructiva de las encuestas.

El CIS (Centro de Investigaciones Sociológicas) en suestudio estadístico del Barómetro, de marzo de 2002,realizaba entre otras una serie de preguntas sobre ladocencia y la educación en España.

La encuesta fue realizada a 2.498 personas de ambossexos, de 18 años y más, en todo el ámbito nacional, de las que el 48,2 % eran hombres y el 51,8 % muje-res, con las siguientes edades.

Los 2.498 ciudadanos contestaron así:

1. ¿Cómo calificaría usted la situación de la enseñan-za en colegios?

Muy buena ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1,4 %Buena ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 24,8 %Regular ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 41,8 %Mala ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 15,9 %Muy mala ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 6,5 %NS/NC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 9,6 %

2. ¿Cómo valora usted la calidad de la enseñanza quereciben los alumnos en los colegios e institutos?

Muy buena ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1,8 %Buena ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 32,9 %Regular ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 40,3 %Mala ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 13,3 %Muy mala ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2,8 %NS/NC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8,9 %

3. ¿Considera usted que los profesores deben tener la facultad de imponer sanciones a los alumnos?

Sí ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 69,0 %No ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 29,1 %NS/NC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1,8 %

(Los que contestan Sí pasan a 3. bis)

3. bis. ¿Qué tipo de sanción considera más adecuada?

Suprimir un recreo ⎯⎯⎯⎯→ 27,1 %Imponer tarea extra ⎯⎯⎯→ 44,8 %Expulsar de clase ⎯⎯⎯⎯→ 14,0 %Otras respuestas ⎯⎯⎯⎯⎯→ 5,6 %NS/NC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8,4 %(N.º de respuestas: 1.724)

4. ¿Cree usted que los contenidos de las materias quese imparten en los colegios e institutos son sufi-cientes o habría que mejorarlos?

Son suficientes ⎯⎯⎯⎯⎯→ 22,9 %Habría que mejorarlos ⎯⎯→ 59,0 %NS/NC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 18,0 %

5. ¿Cree usted que, en la actualidad, los estudiantesde los colegios e institutos se esfuerzan mucho, bas-tante, poco o muy poco por estudiar y aprender?

Mucho ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1,7 %Bastante ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 21,5 %Poco ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 52,8 %Muy poco ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 13,1 %NS/NC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 10,9 %

6. ¿Y cree usted que, en la actualidad, en los colegios e institutos se les exige a los alumnos…?

Mucho ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 5,8 %Bastante ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 32,3 %Poco ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 42,5 %Muy poco ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 5,7 %NS/NC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 13,6 %

Lectura de la encuesta1

Estadística14C

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

Edad Porcentaje18-25 12,825-35 20,735-45 18,345-55 14,955-65 12,7

65 o más 20,6

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a) ¿Cuántos hombres y mujeres contestaron a la en-cuesta?

b) Obtén las frecuencias absolutas, formando una ta-bla con las edades de los encuestados, y contesta.• ¿Cuántas personas tenían menos de 45 años?

¿Y entre 35 y 55 años?• ¿Cuántas tenían 65 años o más?

c) La primera pregunta de cómo calificaría la situa-ción de la enseñanza se puede codificar dando los valores: Muy bien = 5, Bien = 4, Regular = 3,Mal = 2, Muy mal = 1, NS/NC = 0. Forma una tabla y calcula.• Las frecuencias absolutas y relativas.• La calificación media, mediana y moda.

d) Haz lo mismo para la pregunta 4 sobre la calidadde la enseñanza.

e) Elabora un gráfico de sectores correspondiente a lapregunta sobre las sanciones.

f) Representa, en otro gráfico de sectores, los tiposde sanción, teniendo en cuenta que 1.724 perso-nas han contestado diciendo sí a la aplicación desanciones. ¿Cuántas personas contestan a cadamodalidad en la pregunta 4?

g) En la pregunta 5 codifica las respuestas de esta for-ma: Mucho = 4, Bastante = 3, Poco = 2, Muy po-co = 1 y NS/NC = 0.• Representa el diagrama de barras y el polígono

de frecuencias asociado.• Obtén la puntuación media, la mediana y la

moda.

h) Haz lo mismo para la pregunta 6.

i) ¿Qué comentario te merece la pregunta 7? Formadgrupos en clase y discutidlo, haciendo una puestaen común.

j) Para la pregunta 8 elabora, una vez codificadas lasrespuestas como en la cuestión 3, tres tablas: una para Sociedad, otra para Padres y otra para Alum-nos, y obtén:• La frecuencia absoluta.• La media aritmética.• La moda.Compara los resultados de las tablas y coméntaloscon tus compañeros.

7. ¿Qué calificación de 0 a 10 daría usted a los actua-les jóvenes españoles que estudian en colegios einstitutos en las siguientes cuestiones?

8. ¿Cómo cree usted que valora la sociedad a los pro-fesores de los colegios e institutos? ¿Y cómo los va-loran los padres? ¿Y los alumnos?

Cálculo de medidas de centralización y dispersión2

14

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LAC

OM

PE

TEN

CIA

MA

TEM

ÁTI

CA

M5,794,883,873,864,864,39

1,631,852,022,011,982,07

2.1452.1992.2922.2702.2042.222

DT NConocimientosEsfuerzoModalesDisciplinaGanas de aprenderResponsabilidad

M: media; DT: desviación típica; N: número de respuestas.

Sociedad4,8 %

46,9 %32,5 %8,1 %0,9 %6,8 %

13,6 %47,9 %32,1 %8,2 %1,2 %7,0 %

2,0 %25,2 %34,1 %2,4 %7,2 %9,0 %

Padres AlumnosMuy bienBienRegularMalMuy malNS/NC

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Debemos observar los datos que se presentan en la tabla para responder que la moda es no tener hijos,aunque también hay un alto número de familias con tres hijos.

Para calcular la media aritmética hay que sumar todos los datos:

Media aritmética =

¿Se puede tener 1,34 hijos? Ten en cuenta que a veces la media aritmética no proporciona un dato que se corresponda con la realidad.

= =535

4001 34,

0 131 1 127 2 57 3 61 4 12 5 9 6 3

400

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Se ha realizado una encuesta sobre el número de hijos entre 400 familias, con los siguientes resultados.

Calcula la media aritmética y la moda.

Estrategia La comprensión de datos estadísticos es un proceso que se inicia obteniendo unos datos que se organizan en una tabla, y que nos permitirán elaborar una gráfica en la que también podremos leer dichos datos.

Se ha preguntado a 40 personas por el número de libros leídos en un año, y hemos obtenido la siguiente tabla de resultados.

Haz un diagrama de barras para estos datos.

La estatura (en m) de 40 alumnos de 2.º ESO es:

1,87 - 1,72 - 1,57 - 1,78 - 1,89 - 1,69 - 1,64 - 1,81 - 1,86 - 1,65 - 1,64 - 1,57 - 1,94 - 1,86 - 1,81 - 1,53 - 1,55 - 1,56 - 1,87 - 1,48 - 1,91 - 1,55 - 1,77 - 1,57 - 1,88 - 1,63 - 1,93 - 1,83 -

1,89 - 1,79 - 1,58 - 1,56 - 1,82 - 1,55 - 1,67 - 1,95 - 1,49 - 1,56 - 1,89 - 1,64

Agrupa los datos en ocho intervalos de clase.

Construye la tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas, calculando la moda y la media aritmética.

Haz un diagrama de barras.

2

1


Pasar de una tabla a un gráfico

PROBLEMA RESUELTO


Estadística14A

PLI

CA

CIÓ

N D

E E

STR

ATE

GIA

S

N.º de hijosN.º de familias

0 1 2 3 4 5 6131 127 57 61 12 9 3

Libros leídosN.º de personas

0-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-4011 3 7 5 4 4 2 4

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14


RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LAN

UE

VAS

TE

CN

OLO

GÍA

S

EJERCICIOS

De la misma manera que en la Práctica 1, abreuna nueva hoja Unidad14_3a y calcula la media de los datos del ejercicio 60 de la página 277.

De forma análoga que en la Práctica 2, perocambiando el tipo de gráfico, representa los datos del ejercicio 52 de la página 276.


21

PRÁCTICA EXCELAbre el libro FUNC_ESTAD2 de tu carpeta personal e inserta una nueva hoja Unidad14_1a.


1. Escribe los rótulos de la fila 1, tal como se ve en la figura del margen.

2. Escribe los valores de los datos (xi) en la columna A y las frecuencias enla columna B (fi).

3. Escribe los rótulos de las celdas A6 y B8.

4. Colócate en la celda C2 y escribe la fórmula siguiente: y, de lamisma manera que antes, copia la fórmula en el resto de celdas de la columna C: de C3 a C5.

5. En la celda B6 escribe la fórmula siguiente: .

6. Cópiala en la celda C6.

7. Colócate en la celda C9 y escribe la fórmula: que dará la me-dia de todos los datos.


De forma análoga a como se ha hecho en la unidad anterior, podemos rea-lizar gráficas con los datos.

1. Abre una nueva hoja Unidad14_2a e introduce los datos tal como se veen el margen.

2. Activa el menú Insertar | Gráfico o el icono de la barra de herra-mientas.

3. Selecciona el tipo y el subtipo .

4. En el paso 2 selecciona: .

5. En el paso 3 puedes poner título al gráfico: Deportes favoritos, y activaren la pestaña de las etiquetas de datos el nombre de las categorías.

6. En el paso 4 haz que la ubicación sea en la misma hoja de trabajo.

7. Observa al margen el resultado del gráfico.

=C6/B6

=suma(B2:B5)

=A2*B2

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Documents

Reforzo mates 3º eso