Reg Lay Compas

5/23/2018 Reg Lay Compas

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Construcciones con regla y compas

Juan Sabia

Universidad de Buenos Aires - CONICET

Semana de la Matematica - 2009

Juan Sabia Construcciones con regla y compas
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Algunos ejemplos

Vamos a hacer algunos dibujos usando un papel, un lapiz, un

compas y una regla sin medidas marcadas.

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Algunos ejemplos1. Dos polgonos regulares

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Paso 1: Marcamos primero con el lapiz dos puntos A y B en elpapel.

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Paso 1: Marcamos primero con el lapiz dos puntos A y B en elpapel.

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Paso 2:Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas lascircunferencias que determinan esos dos puntos.

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Al j l


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Con nuestra construccion aparecieron cuatro nuevos puntos: C, D,E y F.


Al j l
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Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro Ey que pasapor A.


Al j l
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Al j l
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Ahora aparecieron los puntos G, H e I.


Al s j l s
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Paso 4:Finalmente unimos los puntos B, C, G, E, H y D:


Algunos ejemplos
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Algunos ejemplos
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Hemos dibujado un hexagono regular.


Algunos ejemplos
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Otro posible paso 4:O bien unimos los puntos B, G, y H.


Algunos ejemplos
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Algunos ejemplos
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Hemos dibujado un triangulo equilatero.


Algunos ejemplos
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Algunos ejemplos2. Bisectriz de un angulo


Algunos ejemplos


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Paso 1: Marcamos primero con el lapiz tres puntos A, B y C y

dibujamos el angulo BACque forman en el papel.


Algunos ejemplos
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Paso 1: Marcamos primero con el lapiz tres puntos A, B y C y

dibujamos el angulo BACque forman en el papel.


Algunos ejemplos
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Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y quepasa por alguno de ellos (en este caso B).


Algunos ejemplos
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g j p2. Bisectriz de un angulo



Algunos ejemplos
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Obtenemos as el punto E.


Algunos ejemplos
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Paso 3:Trazamos la circunferencia con centro en By que pasa por A.


Algunos ejemplos
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Paso 3:Trazamos la circunferencia con centro en By que pasa por A.


Algunos ejemplos
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2. Bisectriz de un angulo

Paso 4:Trazamos tambien la circunferencia con centro en Ey quepasa por A.


Algunos ejemplos


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Algunos ejemplos
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Al punto de corte lo llamamos F.


Algunos ejemplosBi i d l
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Paso 5:Finalmente, trazamos la semirrecta

AF.


Algunos ejemplos2 Bi i d l
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AF.


Algunos ejemplos2 Bi t i d l
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AF.

Esta semirrecta parte al angulo BAC en dos angulos iguales BAF yFAC(y se llama la bisectriz de BAC).


Algunos ejemplos3 Pol gonos + bisectrices Mas pol gonos
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3. Polgonos + bisectrices = Mas polgonos


Algunos ejemplos3 Polgonos + bisectrices = Mas polgonos
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Si a los angulos centrales del hexagono regular los partimos por la

mitad, construimos un dodecagono regular.


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Si seguimos bisecando angulos, vamos a poder construir polgonosregulares de 24, 48, 96, ... lados.


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Algunos ejemplos3. Polgonos + bisectrices = Mas polgonos


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3. Polgonos + bisectrices Mas polgonos

Y, si tomamos un vertice de cada tres del dodecagono regular,obtenemos un cuadrado:


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g + p g

Y, si tomamos un vertice de cada tres del dodecagono regular,obtenemos un cuadrado:


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g p g


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g p g

Nuevamente, si a los angulos centrales del cuadrado los partimos

por la mitad, construimos un octogono regular:


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Y, si seguimos bisecando angulos, vamos a poder construirpolgonos regulares de 16, 32, 64, ... lados.


Reglas basicas


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Reglas basicas
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Las reglas del juego o que se puede hacer? (y que no)


Reglas basicas
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Tenemos entonces una regla sin marcas, un compas, un lapiz y unahoja de papel. Las reglas basicas son:


Reglas basicas
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Marcamos dos puntos en la hoja para empezar.


Reglas basicas
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Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados.


Reglas basicas
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Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados.Podemos trazar la circunferencia con centro en un puntomarcado y radio la distancia entre dos puntos marcados.


Reglas basicas
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Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados.Podemos trazar la circunferencia con centro en un puntomarcado y radio la distancia entre dos puntos marcados.

Todos los puntos que se obtengan del corte de dos rectas, doscircunferencias o una recta y una circunferencia que pudimos

dibujar, pasan a ser puntos marcados y los podemos usar paraseguir dibujando.


Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Jresulta construible siguiendo las reglas establecidas.


Reglas basicas - Definiciones
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Cualquier construccion que podamos realizar a partir de estas

reglas basicas se dira construible con regla y compasy lospuntos que resulten en cada paso de estas construcciones sellamaran puntos construibles.


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Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto:


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Que los polgonos regulares de 3, 6, 12, 24, ... (en general, losde 3 2n conn 1) lados son construibles con regla y compas.


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Que los polgonos regulares de 3, 6, 12, 24, ... (en general, losde 3 2n conn 1) lados son construibles con regla y compas.Que los polgonos regulares de 4, 8, 16, 32, ... (en general, losde 2n con n 2 ) lados son construibles con regla y compas.


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Que los polgonos regulares de 3, 6, 12, 24, ... (en general, losde 3 2n conn 1) lados son construibles con regla y compas.Que los polgonos regulares de 4, 8, 16, 32, ... (en general, losde 2n con n 2 ) lados son construibles con regla y compas.Que si nos dan tres puntos construibles, se puede bisecar elangulo que determinan usando regla y compas.


Mas construcciones posibles1. Perpendiculares
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Se puede construir con regla y compas la perpendicular por un

punto a una recta dada por otros dos puntos.


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Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y Cen el papel y
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la recta que pasa por A y B.



Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y Cen el papel y
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Paso 2:Ahora trazamos la circunferencia con centro enBque pasa
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por C.



Paso 2:Ahora trazamos la circunferencia con centro enBque pasaC
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por C.



Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y que pasaC
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por C.



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por C.



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por C.

LlamemosDal punto de corte.



Paso 4:Tra amos la recta q e ne C D


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Trazamos la recta que une C y D.



Paso 4:Trazamos la recta que une C y D
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Paso 4:Trazamos la recta que une C y D
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La recta CDes la perpendicular a ABque pasa por C.


Mas construcciones posibles2. Paralelas
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Tambien se puede construir con regla y compas la paralela por un

punto a una recta dada por otros dos puntos.


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Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y Cen el papel yla recta que pasa por A y B


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Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y Cen el papel yla recta que pasa por A y B.


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Paso 2:Aprovechemos la construccion anterior de la perpendicularCD.


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C





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LlamemosEal punto de corte de las dos rectas.



Paso 3:Ahora trazamos la circunferencia con centro A y radio iguala la distancia de C a E.


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Paso 3:Ahora trazamos la circunferencia con centro A y radio iguala la distancia de C a E.
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Paso 4:Ahora trazamos la circunferencia con centro Cy radio iguala la distancia de A a E.
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LlamemosFal punto de corte de las dos circunferencias.



Paso 5:Ahora trazamos la recta CF.
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La recta CFes la paralela a ABque pasa por C.


Preguntas posibles
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Preguntas posibles

La primera pregunta que surge es: Podremos dibujar lo que se nosocurra usando estas reglas? Y si no cuales construcciones
http://goforward/http://find/http://goback/


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ocurra usando estas reglas? Y si no, cuales construcciones

podremos hacer y cuales no?

J S bi C st i s l s

Preguntas posibles

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Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por losmatematicos de la Grecia clasica hace mas de 2000 anos. Los

griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvasperfectas, y las construcciones que solo se basaran en ellas tambienseran perfectas.


Preguntas posibles



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Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por losmatematicos de la Grecia clasica hace mas de 2000 anos. Los

griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvasperfectas, y las construcciones que solo se basaran en ellas tambienseran perfectas.

Esencialmente, los griegos dejaron abiertos tres problemas sobre

construcciones con regla y compas que fueron completamenteresueltos recien en el siglo XIX.


Problemas griegos: 1. Triseccion del angulo
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Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el angulo queforman usando las reglas establecidas.
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forman usando las reglas establecidas.



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g

Un problema que trataron de responder los griegos es si hay algunaforma de, dados tres puntos, dividir el angulo que forman en trespartes iguales utilizando solo regla y compas.



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g




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g


Este se conoce como el problema de la triseccion del angulo.


Problemas griegos: 2. Duplicacion del cubo
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En el ano 429 a. C. una peste asolaba a Atenas.
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El Oraculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, paradetener la enfermedad, deban elaborar un nuevo altar en forma decubo cuyo volumen duplicara el del altar cubico ya existente.



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Lo intentaron pero no pudieron. La peste desaparecio pero elproblema matematico no.



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Lo intentaron pero no pudieron. La peste desaparecio pero elproblema matematico no.

En terminos de geometra plana, podemos plantear el problema de

la siguiente manera:


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Dada la siguiente plantilla para armar un cubo:
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113/266



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114/266

Sera posible armar otra plantilla a partir de esta usando regla ycompas de forma tal que el nuevo cubo obtenido tengaexactamente el doble del volumen del original?



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Sera posible armar otra plantilla a partir de esta usando regla ycompas de forma tal que el nuevo cubo obtenido tengaexactamente el doble del volumen del original?

Este se conoce como el problema de la duplicacion del cubo.


Problemas griegos: 3. Cuadratura del crculo
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Como para los griegos, el crculo era una figura perfecta,consideraban que un cuadrado sera perfecto si tuviese su misma
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superficie.



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superficie.



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superficie.

Sera posible construir, usando regla y compas, un cuadrado apartir de un crculo con exactamente la misma superficie?



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superficie.

Sera posible construir, usando regla y compas, un cuadrado apartir de un crculo con exactamente la misma superficie?

Este se conoce como el problema de la cuadratura del crculo.


Otro problema: Polgonos
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Aunque no fue explcitamente planteada por los griegos, otra
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pregunta que uno puede hacerse esta relacionada con los polgonosregulares.



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Ya vimos que los polgonos de 3, 6, 12, 24 ... lados sonconstruibles con regla y compas. Y tambien los de 4, 8, 16, 32, ...

lados. Pero, y el pentagono? Y los demas?



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La pregunta concreta es:




d h l i d l l
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La pregunta concreta es:

Para que valores de n se puede construir un polgono regular de n

lados con regla y compas?


Un enfoque moderno: Coordenadas
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Vamos a relacionar la geometra con los numeros. Y para eso vamosa trabajar en un par de ejes de coordenadas cartesianas.
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129/266

Como siempre partimos de un par de puntos A y B, podemos pensarque esos puntos son el (0, 0) y el (1, 0) en el plano.


Numeros construibles
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Definicion: Se dice que un numero real positivo esconstruible sies la distancia entre dos puntos construibles.


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Ejemplo 1:
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Ejemplo 1:




Ejemplo 1:
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Ejemplo 1:




Ejemplo 1:
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Ejemplo 1:

1, 2, 3, 4, ... son numeros construibles pues son las distancias al(0, 0) de los puntos construidos sobre el eje x.


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135/266



Ejemplo 2:
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Ejemplo 2:Volvamos por un momento al cuadrado que construimos:
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Ejemplo 2:Volvamos por un momento al cuadrado que construimos:
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138/266



Ejemplo 2:Observemos el triangulo rectangulo ABC
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El segmentoBC es su hipotenusa. Aplicando Pitagoras:



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d(B, C) =12 + 12 = 2



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d(B, C) =12 + 12 = 2Por lo tanto,

2 resulta ser un numero construible.


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Ejemplo 3:
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Ejemplo 3:Consideremos ahora dos puntos A y Bque esten a distancia a.
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Ejemplo 3:Consideremos ahora dos puntos A y Bque esten a distancia a.
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147/266



Ejemplo 3:Y otros dos puntos C y D que esten a una distancia bmenor.
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Ejemplo 3:Y otros dos puntos C y D que esten a una distancia bmenor.
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Ejemplo 3:Tracemos la recta que pasa por A y B.
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Ejemplo 3:Tracemos la recta que pasa por A y B.
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Ejemplo 3:Tracemos la circunferencia con centro By radio b=d(C, D).
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LlamemosE y Fa los puntos de corte:



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d(A, E) =a+b d(A, F) =a b



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d(A, E) =a+b d(A, F) =a bSia >bson construibles, entoncesa + b y a bson construibles.


Numeros construibles: Resultado central
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Teorema

Un numero positivo es construible si y solo si se puede escribir

usando los numeros naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), lasoperaciones+,,, y la raz cuadrada
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158/266



Teorema


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159/266

Por ejemplo,



Teorema


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160/266

Por ejemplo,

5, 47 , 2,



Teorema


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161/266

Por ejemplo,

5, 47 , 2,514



Teorema


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162/266

Por ejemplo,

5, 47 , 2,514

116

+ 116

17 + 1

16

34 217+

+1

817 + 31734 217 234 + 217



Teorema

Un numero positivo es construible si y solo si se puede escribirusando los numeros naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), lasoperaciones+,,, y la raz cuadrada
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163/266

Por ejemplo,

5, 47 , 2,514

116

+ 116

17 + 1

16

34 217+

+1

817 + 31734 217 234 + 217resultan ser numeros construibles.


Numeros no construibles

A partir de la caracterizacion anterior, se puede probar usandoalgebra moderna que hay numeros no construibles.
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Por ejemplo, tomemos una ecuacion
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aX3 +bX2 +cX+d= 0




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aX3 +bX2 +cX+d= 0

donde a, b, c y dson numeros enteros, a = 0.




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aX3 +bX2 +cX+d= 0

donde a, b, c y dson numeros enteros, a = 0.

Teorema

Si la ecuacion no tiene soluciones del tipo ef

con e y f enteros,

entonces sus soluciones positivas son numeros no construibles.



Por ejemplo, consideremos la ecuacion:
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X3 2 = 0
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X3 2 = 0

Sus coeficientes son enteros (1 para X3, 0 para X2 y para X y2 sin X).
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X3 2 = 0

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Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que las unicassoluciones racionales posibles son

1 o

2 pero ninguna sirve.




X3 2 = 0

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1 o


32 es positivo y es solucion de la ecuacion.




X3 2 = 0

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174/266


1 o


32 es positivo y es solucion de la ecuacion.

Corolario3

2no es un numero construible (es decir, no puede escribirse

usando los numeros naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), lasoperaciones+,,, y la raz cuadrada )


Problemas griegos: Respuestas
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1. Duplicacion del cubo:
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176/266



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177/266



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178/266

Si consideramos la plantilla donde A= (0, 0) y B= (1, 0), el ladodel cubo mide entonces 1.



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179/266

Si consideramos la plantilla donde A= (0, 0) y B= (1, 0), el ladodel cubo mide entonces 1.

Su volumen es V =3 = 13 = 1.


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Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendramos quetener un cubo de volumen V =3 = 2
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P d b d i b d l d 3

2
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183/266

Para eso, deberamos poder construir un cubo de lado = 3

2.





P d b d t i b d l d 3

2
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184/266


2.

Pero acabamos de ver que 3

2 no es construible!





P d b d t i b d l d 3

2
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185/266


2.

Pero acabamos de ver que 3

2 no es construible!

Corolario

No se puede duplicar el cubo con regla y compas.


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2. Triseccion del angulo:
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Supongamos que queremos trisecar el angulo BAGde 120.
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Supongamos que queremos trisecar el angulo BAGde 120.
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189/266




Entonces tendramos que poder construir el anguloIABde 40.
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190/266




Entonces tendramos que poder construir el anguloIABde 40.
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Trazamos la perpendicular a la recta AB por I.
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194/266

Consideraciones trigonometricas dicen que la distancia entre A y Jes igual a D= cos(40) y que esta cantidad satisface la ecuacion




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195/266

Consideraciones trigonometricas dicen que la distancia entre A y Jes igual a D= cos(40) y que esta cantidad satisface la ecuacion

8X3 3X 1 = 0


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197/266




Dada la ecuacion:
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Dada la ecuacion:8X3 3X 1 = 0
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199/266





Sus coeficientes son enteros.
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Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tiene
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Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tienesoluciones racionales (las unicas posibles son

1,

1

2

,

1

4

y1

8 y ninguna sirve).






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1,

1

2

,

1

4

y1

8 y ninguna sirve).

La distancia entre A y J (cos(40)) es solucion positiva de laecuacion.






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203/266


1,

12

,

14

y1

8 y ninguna sirve).

La distancia entre A y J (cos(40)) es solucion positiva de laecuacion.

CorolarioLa distancia de A a J no es construible con regla y compas.


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204/266



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205/266



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206/266



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207/266

Si la distancia de AaJno es construible, el puntoJno es construi-ble.



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208/266

Y si el punto Jno es construible, el punto Ino es construible.



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209/266

Luego:



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210/266

Luego:

Corolario 1

El angulo de120 no se puede trisecar con regla y compas.



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211/266

Luego:

Corolario 1

El angulo de120 no se puede trisecar con regla y compas.

Corolario 2

No se puede construir un eneagono regular con regla y compas.


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3. Cuadratura del crculo:
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3. Cuadratura del crculo:Supongamos que queremos cuadrar el crculo del dibujo dondeA= (0, 0) y B= (1, 0):
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216/266

La superficie del crculo es S=r2 =.



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Entonces, la superficie del cuadrado debe ser =2.



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218/266


Entonces, la superficie del cuadrado debe ser =2.

Y la distancia entre D y F debera ser = .


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Es decir, para que el crculo se pudiese cuadrar,

debera ser unnumero construible.
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Teorema(Lindemann, 1882) El numero no se puede escribir usando losnumeros naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las operaciones+,,, y la raz cuadrada (es decir,no es construible)
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223/266

Corolario 1

El numero

no es construible.






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Corolario 1

El numero

no es construible.

Corolario 2

El crculo no se puede cuadrar con regla y compas.


Polgonos regulares: Respuestas
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225/266



Consideremos ahora al pentagono regular.
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226/266



Consideremos ahora al pentagono regular.
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Tracemos la paralela al eje ypor el punto J.
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230/266

Se puede probar que la distancia de A a C es igual a

514

que esun numero construible.



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Se puede probar que la distancia de A a C es igual a

514

que esun numero construible.

Resultado

El polgono regular de5 lados (y el de 10, 20, 40, ...) esconstruible con regla y compas.


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Teorema 1

(Gauss (1796)-Wantzel (1837))Un polgono regular de p lados (p

un numero primo) es construible con regla y compas si y solo sip 1 es una potencia de2.
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Teorema 1



Ejemplos:
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Teorema 1



Ejemplos:
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235/266

De 3 y 5 lados



Teorema 1



Ejemplos:
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De 3 y 5 ladosconstruibles.



Teorema 1



Ejemplos:
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De 7, 11, 13 y 19 lados



Teorema 1



Ejemplos:
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De 7, 11, 13 y 19 ladosno construibles.


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Teorema 2(Gauss (1796)-Wantzel (1837))Un polgono regular de n lados esconstruible con regla y compas si y solo si cuando factorizamos a ncomo producto de primos solo aparece una potencia de dos y

primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno danpotencias de dos.
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Ejemplos:
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241/266





Ejemplos:
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242/266

De 15 = 3 5 lados





Ejemplos:
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De 15 = 3 5 ladosconstruible





Ejemplos:
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De 15 = 3 5 ladosconstruibleDe 140 = 22 5 7 lados



Teorema 2(Gauss (1796)-Wantzel (1837))Un polgono regular de n lados esconstruible con regla y compas si y solo si cuando factorizamos a ncomo producto de primos solo aparece una potencia de dos yprimos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno danpotencias de dos.

Ejemplos:
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De 15 = 3 5 ladosconstruibleDe 140 = 22 5 7 ladosno construible




Ejemplos:

D 15 3 5 l d ibl
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De 60 = 22

3

5 lados




Ejemplos:

D 15 3 5 l d ibl
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De 60 = 22

3

5 lados

construible




Ejemplos:

D 15 3 5 l d t ibl
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De 60 = 22

3

5 lados

construible

De 180 = 22 32 5 ladosJuan Sabia Construcciones con regla y compas



Ejemplos:

D 15 3 5 l d t ibl
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De 60 = 22

3

5 lados

construible

De 180 = 22 32 5 ladosno construibleJuan Sabia Construcciones con regla y compas

Polgonos regulares: 17 lados
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Si dibujamos un polgono regular de 17 lados,
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se puede probar que la distancia de A a Ses igual a


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254/266



d(A, S) = 116

+ 116

17 + 1

16

34 217+

+ 18

17 + 3

17

34 217 2

34 + 2

17
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d(A, S) = 116

+ 116

17 + 1

16

34 217+

+ 18

17 + 3

17

34 217 2

34 + 2

17

Luego, d(A, S) es un numero construible!
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d(A, S) = 116

+ 116

17 + 1

16

34 217+

+ 18

17 + 3

17

34 217 2

34 + 2

17


Resultado

El polgono regular de17lados (y el de 34, 68, ...) es construible

con regla y compas
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con regla y compas.



d(A, S) = 116

+ 116

17 + 1

16

34 217+

+ 18

17 + 3

17

34 217 2

34 + 2

17


Resultado


con regla y compas.
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con regla y compas.

Pero esto ya lo sabamos:



d(A, S) = 116

+ 116

17 + 1

16

34 217+

+ 18

17 + 3

17

34 217 2

34 + 2

17


Resultado


con regla y compas.


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con regla y compas.

Pero esto ya lo sabamos:

17 es un numero primo, y 17 1 = 16 = 24.


Ultimo comentario
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Ultimo comentario

Los unicos numeros primos que se conocen que al restarles 1 dauna potencia de dos son:
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Ultimo comentario


3 = 21 + 15 = 22 + 1

17 = 24 + 1257 = 28 + 1

65537 = 2

16

+ 1
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Ultimo comentario


3 = 21 + 15 = 22 + 1

17 = 24 + 1257 = 28 + 1

65537 = 216 + 1
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Conjetura

Hay infinitos numeros primos de esta forma.

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MUCHAS GRACIAS!
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