Regime Permanente Senoidal Álvaro Medeiros

Introdução › Objetivos

– Mostrar comportamento da LT com entrada senoidal – Apresentar parâmetros relativos ao regime permanente AC – Analisar a LT sem reflexões e LT sem distorção

Introdução › Equações do Telegrafista

› Aplicações – Transmissão de potência (60 ou 50 Hz) – Sinais de faixa estreita

( ) ( ) ( )txit

LtxRitxex

,,,∂∂

−−=∂∂

( ) ( ) ( )txet

CtxGetxix

,,,∂∂

−−=∂∂

Solução para LT em regime permanente AC › Representação fasorial

› Equações da LT

( ) ( ) ( )θ

ωω θωj

tjtj

eEE

tEEeexEtxe

=

+=== cosReRe,

( ) ( ) ( )θ

ωω θωj

tjtj

eII

tIIeexItxi

=

+=== cosReRe,

( ) ( ) tjtj IeLjREex

ωω ω+−=∂∂ ( ) ( ) tjtj EeCjGIe

xωω ω+−=

∂∂

Solução para LT em regime permanente AC › Simplificando

› Definição – Impedância-série da LT (Ω/m): Z = R + jωL – Admitância-paralela da LT (S/m): Y = G + jωC

› Atenção! Y ≠ 1/Z

( ) ZIILjRdxdE

−=+−= ω

( ) YEECjGdxdI

−=+−= ω

Solução para LT em regime permanente AC › Derivando com relação a x

› Solução

dxdIZ

dxEd

−=2

2

( )EYZdx

Ed=2

2 Eq. da onda no regime permanente senoidal

)( esquerda àpropagando onda

2

)( direta àpropagando onda

1

↓

+

↑

− +=

x

xYZ

x

xYZ eCeCE

Solução para LT em regime permanente AC › Substituindo

› Impedância característica da linha

( ) ( ) ZIeZYCeZYCdxdE xZYxZY −=+−= −

21

( )xZYxZY eCeCYZ

I 211

−= −

Ω++== em 0 CjG

LjRYZZ

ωω

Solução para LT em regime permanente AC › Para a LT sem perdas (R=G=0)

– Note que Z0 ≠ Z(x) = E(x)/I(x)

› Constante de propagação da LT

› Para a LT sem perdas (R=G=0)

CLZ =0

( )( ) βαωωγ jCjGLjRYZ +=++==

LCjCjLj ωωωγ =⋅=

LCωβα == e 0

Linha sem reflexões › Modelo matemático mais simples é a linha infinita

0 ℓ x

Eg

Zg Z0

.....

.....

Es

+

-

Linha sem reflexões › Circuito equivalente

0 ℓ x

Eg

Zg Z0 Es

+

-

Linha casada, corretamente terminada ou não-ressoante

Linha sem reflexões › Onda progressiva (apenas primeira componente)

› Em t=0

› Temos então que

xYZeCE −= 1

( ) 10 CExE s ===

xYZseEE −=

xseEE γ−=

xjxs eeEE βα −−=

xeEE xs βα −∠= −

Linha sem reflexões › Analogamente

› Tensão na entrada – Lembrando que fasor de amplitude = √2 fasor eficaz

0

0

θβα jxjxs eeeZEI −−−= 000 θ∠= ZZ

( ) tjxjxs eeeEtxe ωβα −−= Re,

( ) ( )xteEtxe xs βωα −= − cos,

Se considerado real

Linha sem reflexões › Para ωt – βx constante

› Linha sem perdas

( ) 0 0 =−⇒=−dtxdxt

dtd βωβω

βω

==dtxdvp

Velocidade de fase da onda

1LC

vp =LCωβ =

βπλπβ 2 2 =⇒=x Comprimento de onda

Linha sem reflexões › Velocidade de fase = velocidade de uma onda senoidal

estacionária › Velocidade de fase = velocidade de propagação dos

campos elétrico e magnético › Velocidade de fase ≠ velocidade dos elétrons

– Elétrons realizam movimento oscilatório que se sobrepõe a sua velocidade usual

Linha sem reflexões Onda progressiva em

linha casada com ℓ=4λ/3 e α=0,9 neper

Linha sem reflexões › Tensão ao longo da linha varia

senoidalmente à medida que a onda passa – Fase se atrasa progressivamente – Amplitude tem valor √2Ese-αx e

valor eficaz Ese-αx – Atraso de fase é igual a βx

› Exemplo: em λ/4 atraso é de 90º

Variação do fasor de tensão em linha casada com ℓ=7λ/8 e α=0,8 neper

Atenuação na linha › Relação entre E ou I dois pontos da linha

E1 E2

Nepers lnlnlnlnNepers em Atenuação1

1

2

1

2

1 xeeE

EII

EE x

x ααα ==

=

=

= −

x

=

=

=

2

1

2

1

2

1 log20log20log10dB em AtenuaçãoII

EE

PP

Neper em Atenuação686,8ln10ln

20dB em Atenuação2

1 ⋅=

=

II

Decibel (dB) › Importante em telecomunicações

– Resposta em frequência do ouvido humano e de canais é logarítmica – Ganhos e perdas ao longo de um sistema de comunicações estão em ordem

exponencial

› dB não é nenhuma unidade de medição de uma grandeza elétrica › dB corresponde a uma relação entre duas grandezas elétricas, tais

como Potência (W), Tensão (V), Corrente (A)

Sistema Entrada Saída

Decibel (dB) › Decibel (dB)

– O dB permite comparar saídas com entradas e vice-versa – Se a saída é maior que a entrada diz-se que existe um ganho (+) – Se a saída é menor que a entrada diz-se que existe uma perda (-) – Valor em dB = 10 log10(P2/P1)

Sistema

P1 P2

Decibel (dB) › Decibel em Potências

PdB

2mW 4mW PdB=10log(4/2)= +3,01 dB

+9dB 6mW P2 P2=6 x 10(9/10)= 48 mW

PdB 10mW 0,1mW PdB=10log(0,1/10)= -20 dB

Decibel (dB) › Regras básicas

– Multiplicar equivale a somar em dB – Dividir equivale a subtrair em dB

– Quadrado equivale a multiplicar por 2 – Raiz quadrada equivale a dividir por 2

PdB=10log(A x B) =10log(A)+10log(B) = A + B dB

PdB=10log(A / B) =10log(A)-10log(B) = A - B dB

Decibel (dB) › Regras básicas

– Exemplo

equivale a

+7dB 15mW P2

+10dB = 10 vezes -3 dB = dividir por 2 P2=15x10/2 = 75mW +10dB

15mW -3dB P2

Decibel (dB) › dBm e dBW

– Derivados do dB e continuam a ser uma relação – Medidas de potência

› dBm é relacionado a 1mW › dBW é relacionado a 1W

– Valor em dBm = 10 log10(P / 1mW) – Valor em dBW = 10 log10(P / 1W)

1mW = 0dBm 1W = 0dBW

+30dBm= 1000mW =1W = 0dBW -30dBW = 0,001W = 1mW = 0dBm

Decibel (dB) › dBm e dBW

– Exemplo: Calcular P2 em dBm

– Exemplo: Calcular P1 em dBm

+23dB 8mW P2

-17dB 10mW P1

Decibel (dB) › Decibel em Tensão e Corrente

– Valor em dB = 20 log10(V2 / V1) apenas se R1=R2

P1=V12/R1

P2=V22/R2

PdB=10log(P2/P1) = 10log[ (V22/R2)/(V1

2/R1)] =10log(V2

2/V12)+10log(R1/R2)

=20log(V2/V1) + 10log(R1/R2)

Decibel (dB) › Exemplo

– Um estação transmissora de rede celular utiliza um transmissor que entrega 1W ao cabo que liga à antena. O cabo tem uma perda de 0,2dB/m e comprimento 30m. A antena apresenta um ganho de 3dB ao sinal. Qual a máxima perda do sinal (em dB) no ar se o receptor (celular) opera com potência de recepção mínima de -100dBm? 1W

Análise na frequência › Parâmetros importantes

› Casos particulares – Corrente contínua – Altas frequências

› Em linhas com boa isolação – Perdas no condutor muito maiores que na isolação G/C<<R/L

CjGLjRZ

ωω

++=0 ( )( )CjGLjRj ωωβαγ ++=+=

GRZ =⇒= 00ω RG==αγCLZ =⇒∞→ 0ω LCjj ωβγ ==

LRj

CLZ

ω−= 10

Análise na frequência › Aproximação deixa de ser

válida à medida que a frequência diminui

› Exemplo – Linha telefônica: R/L=2780

e G/C=36,5 – Cabo telefônico: R/L=60000

e G/C=33

› Linhas com dielétrico sólido podem ter perdas bastante elevadas

Análise na frequência › Aproximação

› Constante de propagação

– Para frequência mais alta, R<<ωL e G<<ωC, então

( )( )

+⋅

+≅++=

CjGCj

LjRLjCjGLjR

ωω

ωωωωγ 1

21

2

CLZ =0

baa

baba >>+≅+ para 12

LCjCLG

LCR ωγ ++=

22 LCGZZR ωβα =+=⇒ e

22 0

0

Análise na frequência › Dois condutores de cobre 10 AWGN espaçados de 30,5cm

Sistemas lineares › Resposta na frequência

– Aplicando Transformada de Fourier

› X(w) – Função densidade espectral de x(t) › Y(w) – Função densidade espectral de y(t) › H(w) – Função de transferência do sistema

( ) ( ) ( ) ( )wHwXthtx ↔∗

Y(w) X(w) H(w)

Sistemas lineares › Função de transferência

– Geralmente é uma função complexa

– |H(w)| é denominada resposta em amplitude do sistema

– θh(w) é denominada resposta em fase do sistema

( ) ( ) ( )wj hewHwH θ=

( ) ( )( )wXwY

wH =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wHwHwww xyh Re

Imtan 1−=−= θθθ

Sistemas lineares › Alterações na amplitude

– Se |H(w)|=1 ⇒ sistema passa-tudo

– Amplificador ideal

› |H(w)|= constante na faixa do sinal a ser amplificado

– Se |H(w)|≠ constante

› Alterações no sinal

› Alterações desejadas: Filtros, equalizadores

› Alterações indesejadas: distorções

Sistemas lineares › Alterações na fase

– Seja

– Se

– Se

( ) ( ) ( ) ( )321 6cos324cos

212cos

211 φπφπφπ ++++++= ttttx

0321 === φφφ

12;8;4 321 === φφφ

Sistemas lineares › Alterações na fase

– Seja

– Se

– Se

( ) ( ) ( ) ( )321 2cos322cos

212cos

211 φπφπφπ ++++++= ttttx

93,0;7,2;6 321 =−== φφφ

7;1,4;2,1 321 −=== φφφ

Transmissão sem distorção › Entrada e saída tem formas de onda idênticas

– Geralmente é uma função complexa – Sinal de entrada x(t) e de saída y(t) satisfazem a condição

› k – constante multiplicativa › t0 – atraso imposto pelo sistema

( ) ( )0ttxkty −⋅=x(t)

t y(t)

t t0

Transmissão sem distorção › Transformada de Fourier

– Como Y(w)= H(w) X(w), então

– Resposta em amplitude |H(w)|=k – Resposta em fase θh(w)= -wt0

( ) ( )wXkewY jwt0−=

( ) 0jwtkewH −=

Transmissão sem distorção

› Resposta em amplitude constante

› Resposta em fase decresce linearmente com a frequência

Transmissão sem distorção

› Sistema passa-tudo – Resposta em fase não necessariamente linear – Mudanças na fase não-lineares com a frequência podem acarretar

em mudanças no sinal de saída – Não confundir com sistema sem distorção

› Na prática, sistemas reais podem apenas aproximar-se das características ideais dos sistemas sem distorção

› Um método para verificar a linearidade da fase é analisar a sua derivada

Transmissão sem distorção

› Exemplo

( ) ( )

( ) 6101 onde

11

11

==+

=

+=

+=

RCa

jwaawH

jwRCjwCRjwCwH

Transmissão sem distorção

› Exemplo

( )

( )

( ) 22

1

22

tan

waa

dwdwt

aww

waawH

hd

h

+=−=

−=

+=

−

θ

θ( )

( )

( ) 6101

1 para

−=≅

−≅

=≅

<<

awt

aww

wHaw

d

hθ

Transmissão sem distorção

Distorção em sinais de áudio e vídeo › Áudio

– Ouvido humano é mais sensível a distorções em amplitude do que em fase

– Distorção de fase torna-se perceptível quando a variação do atraso td(w) é da mesma proporção da duração do sinal

– Exemplo: Sinal de voz › Cada sílaba é considerada um sinal individual de duração entre 0,001 a

0,1 segundos › Sistemas de áudio apresentam td(w) da ordem de frações de milisegundos › Fabricantes apresentam apenas |H(w)|

Distorção em sinais de áudio e vídeo › Vídeo

– Olho humano é mais sensível a distorções em fase do que em amplitude

– Na TV, distorções em amplitude apresentam-se como destruição nas componentes de cores, que é imperceptível ao olho humano

– Distorções em fase podem apresentar atrasos diferentes os elementos da imagem, resultando em uma imagem manchada

original distorcida

Linha sem distorção › Sistema não causa distorção no sinal de entrada se sinal de saída

tem o mesmo formato em todas as frequências › Para isso, componentes em frequência devem ser atenuadas

igualmente e devem ter a mesma variação (velocidade) de fase, então

› Linha sem distorção pode ser obtida se

› Assim,

constante e constante ==βωα

CG

LR=

LCjRG ωγ += LCRG ωβα ==⇒ e

Carregamento indutivo › Normalmente G/C<<R/L › Para reduzir a distorção, pode-se

– Aumentar G ⇒ Aumento das perdas no dielétrico – Redução de R ⇒ Aumento de diâmetro dos fios – C pode ser diminuída e L pode ser aumentada aumentando

espaçamento entre condutores

› Na prática utiliza-se o carregamento indutivo (pupinização) – Envolve-se condutores com tiras metálicas de alta

permeabilidade – Insere-se bobinas indutoras em intervalos regulares

Carregamento indutivo › Principal motivação é a redução na atenuação

› Exemplo: α = 4,8×10-3 + 0,06 ×10-3

– Se L aumenta 4 vezes, α = 2,4×10-3 + 0,12 ×10-3 = 2,5 ×10-3

› Carregamento indutivo é mais comum em cabos telefônicos – R alto e L baixo – Condutores mais finos e muito próximos – O uso de bobinas tornam a linha em filtro passa- baixas

› Problemas com o ADSL – Regeneradores e amplificadores são mais utilizados hoje em dia

CLG

LCR

22+≅α

Velocidade de fase e de grupo › Velocidade de fase de uma onda senoidal progressiva

– Esta velocidade vale para sistemas em que fase é linarmente proporcional à frequência

› Considere uma onda senoidal modulada em amplitude por outra portadora senoidal

βω

=pv

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]xtE

xtExtEtxeββωω

βωββωω∆+−∆++

−+∆−−∆−=cos

coscos,

2

12

Velocidade de fase e de grupo › Como cos(a+b)=cosa cosb – sena senb, temos

› A velocidade de fase da envoltória do sinal é

› Para componentes muito agrupadas (∆ω→0 e ∆β→0)

( ) ( )[ ] ( )

portadora freq modulante sinal

21 coscos2, xtxtEEtxe βωβωω

−∆−∆+=∆

βω

∆∆

=gv

βω

ddvg = Velocidade de grupo

Velocidade de fase e de grupo › Velocidade de grupo é o

inverso da inclinação da função de fase com a frequência

› Velocidade de grupo ≠ velocidade de fase – Porém se igualam em sistemas

sem distorção

-1

=ωβ

ddvg

Exemplo › Um cabo telefônico tem as seguintes constantes na

frequência de 30 kHz: R=32,63 ohms/km, L=0,68 mH/km, C=38,53 nF/km, G=0,54 µmho/km. (a)Calcule α, β, comprimento de onda, velocidade de fase. (b) Encontre o comprimento da linha capaz de produzir uma atenuação de 3 dB. (c) Nesta frequência, a linha pode ser considerada sem distorção? Justifique. (d) Se a linha possui distorção, quanto deve ser aumentada a indutância com o carregamento indutivo para que ela não apresente distorção nesta frequência?

Lista de exercícios › Capítulo 2 (Johnson)

– 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 13