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Región factible del problema

Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles dan una contribución a la utilidad de 2400 dólares? Estas soluciones se dan por los valores de X1 y X2 de la región factible que cumplan con la siguiente función objetivo que se puede simplificar para obviar cálculos, así:

Ésta expresión es simplemente la ecuación de una línea recta, por lo que todas las soluciones factibles (X1, X2), con una contribución a la utilidad de 24 dólares deben estar en esta línea. Ya se aprendió como trazar una línea de restricción; el procedimiento para trazar la línea de la función objetivo o de utilidad es el mismo. Haciendo X1=0, se tiene que X2 debe ser 8; entonces, el punto de solución (X1=0, X2=8) está en la recta. Similarmente, haciendo X2 = 0, se tiene que el punto de solución (X1=6, X2 = 0), también está en la recta. Dibujando la línea recta por estos puntos, se identifican todas las soluciones que tienen una contribución a la utilidad de 24; una gráfica de esta línea de utilidad se presenta en la siguiente grafica que muestra un número infinito de combinaciones factibles de producción que darán una contribución de 24 a la utilidad.

Utilizando el procedimiento anterior para el trazado de rectas de utilidad y de restricción, se trazan la línea de utilidad de 72 y 120 que se presentan en la misma grafica. Por supuesto, sólo los puntos de las rectas de valor 24, 72 y 120 que están dentro de la región factible, deben considerarse como soluciones factibles para tal contribución de utilidad.

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Diferentes líneas de utilidad para el problema

Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor creciente conforme se alejan del origen, se pueden obtener valores mayores para la función objetivo, continuando el movimiento hacia fuera del conjunto factible pero manteniéndose adentro del mismo, hasta alcanzar el (los) último(s) punto(s) vértice antes de salir. Dado que los puntos fuera de la región factible no son aceptables, el (los) punto(s) vértice en la región factible que coincide(n) con la recta de utilidad mayor es una solución óptima al programa lineal.

El estudiante debe identificar ahora, el punto de solución óptimo para el problema . Utilice una regla y escuadra, mueva paralelamente la recta de utilidad tan lejos del origen como pueda, pero conservando el contacto en la zona factible. ¿Cuál es el último punto de la región factible? Este punto debe ser vértice y corresponde a la solución óptima, vea el gráfico siguiente. Los valores óptimos para las variables de decisión son ( X1, X2) = ( 25, 20 ).

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Solución óptima para el problema

Dependiendo del tamaño y claridad de su gráfica, se determinan los valores óptimos exactos de X1 y X2 leyendo directamente de la gráfica.La solución óptima del ejemplo está en la intersección de las rectas de restricción 1 y 3 que se pueden resolver para precisar los valores coordenados.

Por lo que los valores de las variables de decisión X1 y X2 deberán satisfacer las ecuaciones de manera simultánea. Resolviendo en función de X1 en (1)

Sustituyendo esta expresión (4) de X1 en la ecuación (3) y resolviendo en función de X2 se obtiene

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Sustituyendo X2 =20 en la ecuación (4) y resolviendo en función de X1, resulta

A pesar de que la solución óptima para el problema está formada de valores enteros de las variables de decisión, esto no será siempre el caso. La localización exacta del punto de solución óptima es X1 =25 y X2 =20. Este punto identifica las cantidades óptimas de producción para la empresa en 25 toneladas de cera automotriz y 20 toneladas de pasta pulidora, con una contribución a la utilidad de:

Así, en un problema de programación lineal con dos variables de decisión, se puede determinar el valor exacto de las variables de la solución óptima, utilizando primero el método gráfico para identificar el punto que optimiza y después resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones que generan el mismo.

Trazo de líneas rectas

Un aspecto importante del método gráfico es la posibilidad de trazar líneas rectas representando las restricciones y la función objetivo del programa lineal. El procedimiento más sencillo para trazar la recta de una ecuación, es encontrando dos puntos cualesquiera que la satisfagan y a continuación trazando la recta a través de dichos puntos. En el caso de la línea recta de restricción de la materia prima 1 del problema

se identifican los dos puntos (X1 = 0, X2 = 40) y (X1 = 50, X2 = 0). Después se traza la línea recta de restricción de la materia prima 1 a través de estos dos puntos.

Cuando en la ecuación de restricción sólo aparece una variable, como es el caso

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de la materia prima 2 del problema (1/5 X2 <= 5), se resuelve en función de la única variable que aparece en la ecuación (para esta restricción, X2 =25); es claro que en tal ecuación X1 = 0 pues no está presente, así (X1 =0, X2 =25) representa el punto en el eje X2 por donde debe pasar una recta paralela al eje X1.

Todas las rectas de restricción y de funciones objetivo en los programas lineales de dos variables, se pueden trazar si se pueden identificar los puntos de la línea. Sin embargo, determinar dichos puntos no siempre es tan fácil como resultó en el problema. Por ejemplo, considere la restricción:

Usando la forma de igualdad y haciendo X1 = 0, se tiene que el punto (X1 = 0, X2 = -100) pertenece a la recta de restricción. Si X2=0, se tiene el segundo punto (X1 = 50, X2 = 0) sobre la misma recta de restricción. Si se ha dibujado sólo la porción no negativa (X1 >= 0, X2 >= 0) correspondiente al primer cuadrante de la gráfica, entonces no se puede fijar el primer punto (X1 = 0, X2 = -100), porque no hay escala para valores negativos en la gráfica tal como es X2 = -100. Siempre que se tengan dos puntos de la recta, con uno o ambos valores negativos, el procedimiento gráfico obligado es incluir la escala negativa a los dos ejes coordenados horizontal y vertical, incluyendo los cuadrantes necesarios. En este ejemplo, se puede localizar el punto (X1 = 0, X2 = -100) extendiendo hacia abajo el eje vertical para incluir los valores negativos de X2. Una vez localizados los dos puntos que satisfacen la ecuación y el conjunto de soluciones factibles para la nueva restricción de ejemplo 2X2 - 1X2 <= 100, entonces se procede a su trazo, según se ve en la siguiente figura: .

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Soluciones factibles de la restricción 2X1-1X2 <= 100

Considere ahora la restricción: 1X1 - 1X2 >= 0 mostrada en la siguiente grafica. El lado derecho con valor cero en esta desigualdad, identifica una línea recta que contiene o pasa por el punto vértice conocido como origen. Para determinar las soluciones que satisfacen la restricción como igualdad, primero se hace X1 = 0 y se resuelve en función de X2. El resultado muestra que el origen (X1= 0, X2 = 0) está en la recta de restricción. Al hacer X2 = 0 y al resolver para X1, resulta en el mismo punto. Pero se puede obtener otro punto de la recta, al dar a X2 un valor cualquiera distinto de cero y entonces resolver en función de X1. Por ejemplo, haciendo que X2 = 100 y resolviendo en función de X1, se encuentra que el punto (X1 = 100, X2 = 100) también pertenece a la recta. En ambos puntos (X1=0, X2= 0) y (X1 = 100, X2 = 100) se puede trazar la línea de restricción 1X1-1X2 = 0 y pueden determinarse las soluciones factibles para 1X1 - 1X2 >= 0.

Soluciones factibles de la restricción 1X1 - 1X2 >= 0

Resumen del método de solución gráfica en dos variables.

1. Dibuje en un sistema de dos ejes cartesianos (por ejemplo X1 para la coordenada horizontal y X2 para la coordenada vertical) las líneas rectas correspondientes a cada una de las expresiones lineales del modelo de programación lineal, identificando las mismas, calcule y anote las coordenadas (valores de X1 y X2) para cada punto vértice.

2. Observe la dirección de las desigualdades para definir, individualmente, el conjunto de puntos de solución factible de cada una de las restricciones y posteriormente, combinando todas ellas, por intersección o traslape, definir

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y señalar el conjunto de puntos de solución factible para todo el sistema de restricciones del problema.

3. Con un valor arbitrario para la función Z, calcule las coordenadas de un punto perteneciente a cada uno de los dos ejes cartesianos, dando alternativamente el valor de cero a X1 y X2 de la función objetivo Z, ahora se traza una recta que pase por dichos puntos en los ejes, la cual muestra todos los valores posibles de X1 y X2 de la misma.

4. Mueva la recta de la función objetivo Z paralelamente hacia valores mayores de la función, si el problema es de máximo, o bien, hacia valores menores, si el problema es de mínimo, hasta que coincida con un punto vértice, antes de salir de la región factible. La recta de la función objetivo se cuantifica con los valores ( X1, X2 ) al coincidir con el vértice; su valor crecerá o bien decrecerá conforme a su traslado paralelo, según sean los signos de sus términos.

5. Cualquier punto vértice que sea solución factible para el sistema de restricciones que coincida con la recta de la función objetivo que resulte con el valor mayor para un máximo o bien con el menor para un mínimo, según el caso, es una solución óptima.

Variables de Holgura

Además de la solución óptima y de su contribución a la utilidad asociada, la administración de la empresa química desea tener información de uso de las tres materias primas. Se puede obtener esta información reemplazando los valores óptimos de las variables (X1=25, X2=20) en las restricciones del programa lineal.

Material consumido: solución óptima cera y pasta

La solución completa le indica a la administración que la producción de 25 toneladas de cera automotriz y de 20 toneladas de pasta pulidora requiere toda la materia prima disponible 1 y 3, pero solamente cuatro de las cinco toneladas de la materia prima 2. La tonelada de la materia prima 2 no utilizada se conoce como holgura. En terminología de programación lineal, cualquier capacidad sin utilizar y ociosa para una restricción igual o menor (≤) se llama holgura asociada con la restricción, por lo que la restricción del recurso 2 tiene una holgura de una tonelada.

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A menudo se agregan variables, conocidas como variables de holgura Hi, o bien Xi, (según la notación preferida) a la formulación de un problema de programación lineal para representar la capacidad ociosa. La capacidad sin utilizar no hace ninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holgura que se incluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. En general, las variables de holgura representan la diferencia entre los lados derecho e izquierdo de una restricción de tipo ≤.

Una vez agregadas las variables de holgura a la representación matemática correspondiente al problema de la empresa química el modelo matemático se convierte en:

Cuando todas las restricciones de un problema lineal se expresan en forma de igualdades, se dice que el modelo matemático está en forma estándar. En el problema se observa que en la solución óptima (X1=25, X2 =20), el valor de las variables de holgura es:

Concepto físico de la holgura H2

También se puede utilizar el análisis gráfico para obtener la información de las holguras. Observe que al determinar la solución óptima , el punto vértice que es intersección de la materia prima 1 y de la 3, restringen o limitan la región factible hasta ese punto vértice, por lo que la solución óptima requiere usar la totalidad de estos dos recursos. Cuando en un gráfico se tienen rectas de restricción que sólo tocan un vértice del conjunto factible o bien ningún punto del mismo, se identifican como restricciones redundantes (sobrantes). En problemas con más de dos

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variables de decisión, se tienen métodos analíticos para detectar la redundancia.

En tal caso, la región factible se conserva igual, independientemente de que se incluya o no una restricción redundante del problema, por lo tanto se pueden eliminar sin que tengan ningún efecto sobre la solución óptima. Sin embargo, en la mayor parte de los problemas de programación lineal, las restricciones redundantes no se descartan porque no son reconocibles de inmediato como tales. El problema no tiene restricciones redundantes pues todas las restricciones forman la frontera de la región factible.

Observaciones y comentarios

1. En la forma estándar de un I.O, los coeficientes para las variables de holgura son cero en la función objetivo, por lo tanto, las variables de holgura que representan recursos sin utilizar, no afectan el valor de la función y se pueden omitir. Pero en algunas aplicaciones, algunos o todos los recursos no utilizados pueden venderse para recuperar valores y contribuir a la utilidad. En estos casos las variables de holgura correspondientes se convierten en variables de decisión que representan el total de recursos a vender. Para cada una de estas variables, un coeficiente distinto de cero en la función objetivo reflejará la utilidad asociada con la venta de una unidad del recurso correspondiente.

2. Las restricciones redundantes no afectan la región factible; como consecuencia, pueden eliminarse de un modelo de programación lineal sin afectar la solución óptima. Sin embargo, si posteriormente se debe resolver el modelo de programación lineal con algunos cambios en los datos, una restricción previamente redundante se podría convertir en un recurso limitante, por lo que se sugiere conservar todas las restricciones del modelo de programación lineal, aun cuando se espere que una o más de ellas sean redundantes.

Puntos extremos y solución óptima

Suponga que la contribución a la utilidad de una tonelada de pasta pulidora se incrementa de 300 a 600 dólares, en tanto que la contribución a la utilidad de una tonelada de cera automotriz y todas las demás restricciones se mantienen sin modificación. La función objetivo se convierte en:

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Cambia óptimo: objetivo máximo Z = 400X1 + 600 X2

Si existe la solución óptima de un problema de programación lineal, se puede encontrar en un punto extremo de la región factible del problema.

Esta propiedad significa que, si busca la solución óptima de un problema de I.O, debe limitarse a evaluar y comparar los puntos de solución correspondientes a los vértices de la región factible.”1

“METODO ALGEBRAICO

El teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer un método de solucionar un problema con dos variables.

En un problema de I.O con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región.

Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan.

1 Tomado de http://www.buenastareas.com/ensayos/Problema-De-Programaci%C3%B3n-Lineal/724197.html

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En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región

La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.

EJEMPLO

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y

sujeto a: 4x + 5y 40

2x + 5y 30

x 0 , y 0

1) Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones:

Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones:

{ 4x + 5y = 40 , 2x + 5y = 30}. Solución A(5,4)

{ 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solución:B (0,8)

{ 4x + 5y = 40 , y = 0}. Solución: C(10,0) { 2x + 5y = 30 , x = 0} Solución: D(0,6)

{ 2x + 5y = 30 , y = 0}. Solución : E(15,0) { x = 0, y = 0} Solución: O(0,0)

2) Determinar los vértices de la región factible:

Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones.

Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que:

B no cumple la segunda restricción 2x + 5y 30 , ya que 2·0 + 5·8 = 40 . Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible.

E no cumple la primera restricción 4x + 5y 40 , ya que 4·15 + 5·0 = 60 . Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.

Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vértices de la región factible.

3) Calcular los valores de la función objetivo en los vértices:

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f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47 f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30

f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48 f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 = 0

La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D(0,6).

En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.. se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

La solución de un problema , en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.

Región factible acotada

Región factible no acotada

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las

desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >).

Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.”2

2 http://www.investigacion-operaciones.com/Aspectos_Generales_PL.htm