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A.A. 2018/19 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 (MAT) e I (FIS) PER I CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA I° semestre, 12 crediti Teoria: 9 crediti, tenuti da me Esercitazioni: 1 credito io e 2 crediti Dott. Bruno Scardamaglia COMMISSIONE D’ESAME Presidente: Prof. Giuseppe MARINO Membri: Dott. Bruno Scardamaglia e Dott. Luigi Muglia REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI IMPORTANTE: tutti i Teoremi NUMERATI sono stati dimostrati. I a settimana (10 ore) Totale 10 ore lezione PREREQUISITI Lun 24.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (Tot. 2 ore lezioni) Presentazione del corso. Modalità del ricevimento studenti e degli esami. Differenti significati del segno =. Assiomi dei gruppi e dei campi astratti. Esercizi ed esempi. Mar 25.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 4 ore lezioni) Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali, reali. Notazioni. Gli assiomi dei numeri reali: assiomi relativi alle operazioni, relativi all’ordine e il FONDAMENTALE ASSIOMA DI COMPLETEZZA; Conseguenze note degli assiomi dei numeri reali. Esempi ed esercizi. Dimostrazione che 2 Q. Definizioni di maggioranti, minoranti, estremo superiore ed inferiore. AX DEL SUP. TEOREMA 1. L’AX del sup e l’AX di completezza sono equivalenti. Mer 26.9.18, 9.30-11.30, 2 ore (tot. 6 ore lezioni) Cenni di teoria degli insiemi: quantificatori, simboli di appartenenza, di inclusione; unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complemento, leggi di De Morgan; Applicazioni (o funzioni) tra insiemi. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi. R 2 , R 3 ,…, R n . Definizione di Graf(f) Interpretazione geometrica con le rette orizzontali che tagliano il grafico delle funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Esempi ed esercizi Gio 27.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 8 ore lezioni) Operazioni con le funzioni: operazioni aritmetiche e prodotto di composizione. Esercizi su equazioni e disequazioni con valore assoluto e razionali. Ven 28.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 10 ore lezioni) Definizioni, grafici, andamento esercizi in tutte le salse delle funzioni potenza x r , prima per r in N, poi per r in Z, poi per r in Q, infine per r in R.

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A.A. 2018/19 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 (MAT) e I (FIS) PER I CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

I° semestre, 12 crediti Teoria: 9 crediti, tenuti da me

Esercitazioni: 1 credito io e 2 crediti Dott. Bruno Scardamaglia

COMMISSIONE D’ESAME Presidente: Prof. Giuseppe MARINO

Membri: Dott. Bruno Scardamaglia e Dott. Luigi Muglia

REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI IMPORTANTE: tutti i Teoremi NUMERATI sono stati dimostrati.

Ia settimana (10 ore) Totale 10 ore lezione

PREREQUISITI

Lun 24.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (Tot. 2 ore lezioni) Presentazione del corso. Modalità del ricevimento studenti e degli esami. Differenti significati del segno =. Assiomi dei gruppi e dei campi astratti. Esercizi ed esempi. Mar 25.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 4 ore lezioni) Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali, reali. Notazioni. Gli assiomi dei numeri reali: assiomi relativi alle operazioni, relativi all’ordine e il FONDAMENTALE ASSIOMA DI COMPLETEZZA; Conseguenze note degli

assiomi dei numeri reali. Esempi ed esercizi. Dimostrazione che 2 Q. Definizioni di maggioranti, minoranti, estremo superiore ed inferiore. AX DEL SUP. TEOREMA 1. L’AX del sup e l’AX di completezza sono equivalenti. Mer 26.9.18, 9.30-11.30, 2 ore (tot. 6 ore lezioni) Cenni di teoria degli insiemi: quantificatori, simboli di appartenenza, di inclusione; unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complemento, leggi di De Morgan; Applicazioni (o funzioni) tra insiemi. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi. R2, R3,…, Rn. Definizione di Graf(f) Interpretazione geometrica con le rette orizzontali che tagliano il grafico delle funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Esempi ed esercizi Gio 27.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 8 ore lezioni) Operazioni con le funzioni: operazioni aritmetiche e prodotto di composizione. Esercizi su equazioni e disequazioni con valore assoluto e razionali. Ven 28.9.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 10 ore lezioni) Definizioni, grafici, andamento esercizi in tutte le salse delle funzioni potenza xr, prima per r in N, poi per r in Z, poi per r in Q, infine per r in R.

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IIa settimana (10 ore) (Tot. 20 ore) 18 ore Lezioni, 2 ore Esercitazioni

RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA – RELAZIONI DI EQUIVALENZA – CLASSI DI CONGRUENZA

Lun 1.10.16, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 2 ore Esercitazioni) Esercizi su Disequazioni razionali con valori assoluti. Disequazioni irrazionali e fratte Disequazioni esponenziali

Mar 2.X.15, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 12 ore Lezioni) Funzioni esponenziali e logaritmi, con base >1 e <1. Trigonometria: nascita con l’intento di conoscere le misure senza misurare (branca di teoria della similitudine) alla formulazione in geometria analitica. Mer 3.10.16, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 14 ore Lezioni) Trigonometria: dalla formulazione in geometria analitica alla formulazione analitica. Proprietà e grafici di sen, cos, tg, arcsen, arccos, arctg. Gio 4.10.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 16 ore Lezioni) Relazioni. Relazioni di equivalenza Teorema 2. Teorema fondamentale sulle relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di congruenza modulo p, ≡𝒑 su Z

Teorema 3. Caratterizzazione della ≡𝒑. Le classi di congruenza come resti della divisione diviso p.

Teorema 4. Le definizioni di somma e prodotto sono ben poste. Tabelline della somma e del prodotto. Ven 5.10.18, 8.30-10.30, 2 ore (tot. 18 ore lezioni) Criteri di divisibilità per 2, 3, 11 come conseguenze della congruenza modulo p. Relazione di equipotenza nell’universo di tutti gli insiemi. Cardinalità numerabile. Esempi: D, P, N, Z, Q. Cardinalità del continuo: R. Teorema 5 (Metodo della diagonale di Cantor). Non può esistere nessuna funzione suriettiva da N in R.

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IIIa settimana (8 ore) (Tot. 28 ore) 24 ore Lezioni, 4 ore Esercitazioni

CARDINALITA’ - PRINCIPIO DI INDUZIONE – SOMMA GEOMETRICA- DIS. DI BERNOULLI

Lun 8.10.18: LEZIONI SOSPESE PER CINQUANTENARIO NASCITA UNICAL Mar 9..X.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 4 ore Esercitazioni) Esercizi su disequazioni, numeri irrazionali, composizione di funzioni, anche con funzioni definite da due formule. Inf e sup di insiemi numerici. Mer 10.10.18, 2 ore , 9.30-11.30 (tot. 20 ore lezioni)

Lemma 6 (Lemma della Concordia) X, Y insiemi. 𝒇: 𝑿 → 𝒀 𝒆 𝒈: 𝒀 → 𝑿 funzioni. Allora esistono {𝑿𝟏, 𝑿𝟐} e {𝒀𝟏, 𝒀𝟐} partizioni di X e Y rispettivamente tali che 𝒇(𝑿𝟏) = 𝒀𝟏 e 𝒈(𝒀𝟐) = 𝑿𝟐

Teo 7. (Teorema di Cantor-Schröder-Bernstein) La cardinalità è una relazione d’ordine, in particolare se esiste un’applicazione iniettiva da X in Y e una iniettiva da Y in X allora esiste una funzione biunivoca fra X e Y. Teorema 8: Teorema di Cantor-Bernstein : un insieme non è mai equipotente al suo insieme delle parti. Conseguenze: 1. Esistono infiniti numeri transfiniti

2. Spiegazione del paradosso del barbiere di Russell. Gio 11.10.18, 2 ore , 8.30-10.30 (tot. 22 ore lezioni) Riepilogo di quanto fatto finora. Paradosso di Bertrand

Primo e secondo principio di induzione. Esempi ed esercizi. In particolare: somma dei primi n numeri naturali.

Esempi ed esercizi. formule chiuse per

n

k

k1

,

n

k

k1

2,

n

k

k1

3.

Ven 12.10.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 24 ore lezioni)

Somma Geometrica

n

k

kx1

. Esempio: Moltiplicazione dei depositi bancari

Teorema 9: Disuguaglianza di Bernoulli.

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IVa settimana (10 ore) (Tot. 38 ore) 32 ore Lezioni, 6 ore Esercitazioni

NUMERI COMPLESSI – SUCCESSIONI – TEOREMA FONDAMENTALE PER LE SUCC. MONOTONE Lun 15.10.18, 2 ore, 8,30-10.30 (tot. 26 ore lezione) Calcolo Combinatorio. Teorema 16: Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio Teorema 17: Permutazioni e disposizioni semplici e con ripetizione

Teorema 19. Combinazioni semplici e con ripetizione 𝑪𝒏,𝒌𝒓 = (

𝒏 + 𝒌 − 𝟏𝒌

)

Coefficienti binomiali. Proprietà e convenzioni

Teorema 20. (𝒏𝒌) = (

𝒏𝒏 − 𝒌

) e (𝒏𝒌) = (

𝒏 − 𝟏𝒌 − 𝟏

) + (𝒏 − 𝟏𝒌

)

Teorema 21. Sviluppo del binomio di Newton Mar 16.10.16, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 6 ore) Varie dimostrazioni per induzione: disuguaglianze; criteri di divisibilità; sommatorie e produttorie; numero di sottoinsiemi di un insieme finito; irrazionalità di numeri definiti per ricorrenza. Mer 17.10.18, 2 ore, 9.30-11.30, (tot. 28 ore) Numeri complessi. Forma geometrica. Forma algebrica. Coniugio. Esercizi. Forma trigonometrica. Forma esponenziale Teorema 22. Formula di De Moivre Teorema 23. Radici n-esime Teorema 24. Radici n-esime dell’unità Gio 18.10.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 30 ore) Introduzione alle successioni numeriche. Definizione, esempi. Successioni in forma chiusa e definite per ricorrenza. Sostegno. Definizione di limite finito e infinito Successioni regolari ed oscillanti. Successioni limitate. Unicità del limite. Osservazione sull’epslon del concetto di limite che può essere sostituito dal prodotto per una costante. Osservazione sulla diversità dell’epslon nei concetti di limite al finito e all’infinito Successioni monotone. Teorema 25: Teorema fondamentale sulle successioni monotone: Ogni successione monotona è regolare. Teorema 26. I teoremi con le operazioni aritmetiche. Forme indeterminate delle operazioni aritmetiche. Esercizi. Esercizi. Ven 19.10.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 32 ore) Forme indeterminate e teoremi di confronto:

- Teorema 27: Teorema della permanenza del segno. Corollario 1. Corollario 2. - Teorema 28: Teorema dei Carabinieri.

Osservazione: an infinitesima sse modulo di an infinitesima. Teorema 29: Teorema del prodotto di una successione limitata per una infinitesima.

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Va settimana (10 ore) (Tot. 48 ore) 40 ore Lezioni, 8 ore Esercitazioni

LIMITI NOTEVOLI DI SUCCESSIONI – PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DI INFINITESIMI ED INFINITI – SUCCESSIONI DI CAUCHY – liminf e limsup Lun 22.10.18, 2 ore, 8,30-10.30 (tot. 34 ore lezione) Sottosuccessioni o successioni estratte.

Teorema 30: Il Teorema di Bolzano-Weierstrass: Ogni successione ammette sempre un’estratta regolare. Esercizi Mar 23.10.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 8 ore) Esercizi su: - sviluppo di un binomio di Newton; - calcolo combinatorio – limiti – Lemma della Concordia Mer 24.10.18, 2 ore, 9.30-11.30 (tot. 36 ore lezione) Alcuni limiti notevoli:

- Teorema 31. lim an; - Teorema 32. lim n a , - Teorema 33. lim nn ;

- Teorema 34. lim sen an, con an infinitesima; - Teorema 35. lim cos an, con an infinitesima;

- Teorema 36. lim n

n

a

asen, con an infinitesima; - Teorema 37. lim

n

n

a

acos1 con an

infinitesima; - Teorema 38. lim 2

cos1

n

n

a

a, con an infinitesima.

Gio 25.10.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 38 ore) Teorema 39: Applicazione del Teorema Fondamentale sulle Successioni Monotone: convergenza al numero “e” delle successioni

n

n

11 ,

na

na

11 con na ,

na

na

11 con na

Convergenza ad exp(x) della successione

n

n

x

1 .

Ordini di infinitesimi e infiniti. Infinitesimi e infiniti campione Teorema 40: Principio di sostituzione degli infinitesimi Teorema 41: Principio di sostituzione degli infiniti Teorema 42: Criterio del rapporto: Se an>0 e lim an+1/an <1, allora lim an =0. Ven 26.10.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 40 ore). Successioni di Cauchy. Teorema 43: Una successione è di Cauchy sse è convergente. Punti di aderenza. Massimo e minimo limite. Teorema 44: Caratterizzazione di limsup e liminf.

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VIa settimana (6 ore) (Tot. 54 ore) 44 ore Lezioni, 10 ore Esercitazioni

SUCCESSIONI DEFINITE PER RICORRENZA – SUCCESSIONE DI FIBONACCI – INFINITI DI ORDINE CRESCENTE

Lun 29.10.18, 2 ore, 8,30-10.30 (tot. 42 ore lezione) Successioni definite per ricorrenza. Esercizi. Successione di Fibonacci e legame con il rapporto aureo di un segmento.

Mar 30.10.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 10 ore)

Mer 31.10.18, 2 ore, 9.30-11.30 (tot. 44 ore lezione) Applicazione del Teorema del Rapporto: Infiniti di ordine crescente

Teorema 45. Infiniti di ordine crescente: ord(𝒏𝒃) < 𝒐𝒓𝒅(𝒂𝒏) < 𝒐𝒓𝒅(𝒏!) < 𝒐𝒓𝒅(𝒏𝒏) RIASSUNTO DI QUANTO FATTO FINORA. Esercizi, esercizi, esercizi. Gio 1.11.18 FESTA DI OGNISSANTI Ven 2.11.18 GIORNO DEI DEFUNTI

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VIIa settimana (10 ore) (Tot. 64 ore) 54 ore Lezioni, 10 ore Esercitazioni

I TEOREMI FONDAMENTALI SULLE FUNZIONI CONTINUE Lun 5.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 46 ore lezione) Limiti di funzioni. Tutte le diverse definizioni di limite unificate da 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝜶𝒇(𝒙)=𝜷 sse per ogni intorno I di 𝜷 esiste un intorno J di 𝜶 t.c. 𝒇(𝑱\{𝜶})⊆𝑰 Teorema 46: Teorema Ponte Teorema 47: Operazioni con i limiti di funzioni. Mar 6.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 48 ore lezione) Continuità locale e globale. Discontinuità: eliminabile, prima specie (salto) e seconda specie Teorema 48. Tutte le funzioni elementari sono continue nei loro domini di definizione. Teorema 49 della permanenza del segno per funzioni continue. Teorema 50 di Esistenza degli Zeri. Teorema 51: Applicazione del Teorema di Esistenza degli Zeri all’esistenza di punti antipodali con la stessa temperatura. Teorema 52: Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Mer 7.11.18, 2 ore, 9.30-11.30 (Tot. 50 ore lezione) Teorema 53: Teorema di Weierstrass Teorema 54: Secondo Teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema 55: Criterio di invertibilità. Teorema 56: Teorema sul limite delle funzioni monotòne. Teorema 57: Criterio di continuità per le funzioni monotòne Teorema 58: Teorema di continuità della funzione inversa di una funzione continua Gio 8.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 52 ore lezione) Definizione di derivata. Tasso di accrescimento. Significato meccanico. Notazioni di Newton e Leibnitz Teorema 59: Significato geometrico della derivata come tangente trigonometrica della retta tangente nel punto. Teorema 60: L’errore che si commette considerando il valore della retta tangente in un punto invece del valore esatto della funzione è un infinitesimo di ordine superiore all’incremento della variabile indipendente. Esempi di valori approssimati di radici di numeri reali. Ven 9.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 54 ore lezione) Teorema 61: Operazioni aritmetiche con le derivate. Teorema 62: Teorema di derivazione delle funzioni composte. Teorema 63: Teorema di derivazione delle funzioni inverse Teorema 64: Derivate delle funzioni elementari: potenze ad esponente razionale, logaritmi, potenze ad esponente reale.

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VIIIa settimana (10 ore) (Tot. 74 ore) 62 ore Lezioni, 12 ore Esercitazioni

ESERCIZI SU TUTTO QUANTO FATTO FINORA

Lun 12.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 56 ore lezione) Esercizi interattivi su quanto fatto finora Mar 13.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 58 ore lezione) Esercizi interattivi su quanto fatto finora Mer 14.11.18, 2 ore, 9.30-11.30 (Tot. 60 ore lezione) Esercizi interattivi su quanto fatto finora Gio 15.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 12 ore) Esercizi interattivi su quanto fatto finora Ven 16. 11.18, 2 ore 8.30-10.30 (Tot. 62 ore lezione) Esercizi interattivi su quanto fatto finora

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IXa settimana (10 ore) (Tot. 84 ore) 70 ore Lezioni, 14 ore Esercitazioni

I TEOREMI FONDAMENTALI SULLE DERIVATE Lun 19.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 64 ore lezione) Le funzioni iperboliche e le loro inverse Teorema 66: Teorema fondamentale della geometria iperbolica: cosh2x - senh2x = 1 Teorema 67: Grafici delle funzioni iperboiche senh, cosh, tgh. Teorema 68: Le funzioni iperboliche inverse: sett senh, sett cosh, sett tgh e i loro grafici Massimi e minimi locali. Mar 20.11.18, 2 ore 8.30-10.30 (tot. 66 ore) Teorema 69: Primo Teorema di Fermat. Teorema 70: Secondo Teorema di Fermat. Teorema 71. Teorema di Rolle Teorema 72: Teorema di Lagrange Esercizi Mer 21.11.18, 2 ore, 9.30-11.30 (tot. 68 ore) Corollari del Teorema di Lagrange: Funzioni crescenti e decrescenti. Teorema 73: Criterio di monotonia Teorema 74: Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Teorema 75: Criterio di stretta monotonia Funzioni derivabili convesse e concave. Teorema 76. Criterio di convessità con la derivata seconda Teorema 77:Teorema di L’H𝒐 pital Esercizi su studio del grafico di una funzione Gio 22.11.18, 2 ore 8.30-10.30 (tot. 70 ore) Polinomio di Taylor Teorema 78 sulla proprietà fondamentale del Polinomio di Taylor: coincide, con tutte le sue derivate, con i rispettivi valori delle derivate della funzione nel centro della formula. Teorema 79: Formula di Taylor con il resto di Peano: Teorema 80: Criterio per i punti estremanti con l’uso del polinomio di Taylor. Sviluppo dei polinomi di Taylor per exp(x), lg(1+x), senx, cosx, (1+x)a

Ven 23.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 14 ore) Applicazioni dei teorema del calcolo differenziale (Lagrange, l’Hopital, funzione inversa); ricerca di massimi e minimi assoluti su compatti; uno studio di funzione completo.

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Xa settimana (10 ore) (Tot. 94 ore) 78 ore Lezioni, 16 ore Esercitazioni

INTEGRAZIONE DEFINITA SECONDO RIEMANN PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE Lun 26.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 72 ore lezione) Teorema 81 di Cauchy come estensione di Lagrange. Teorema sulle discontinuità della funzione derivata. Definizione di Partizione di un intervallo e di ampiezza di una partizione. Somme inferiori s(f,P), Definizione di somme superiori S(f,P) Teorema 82: Teorema Fondamentale sulle Partizioni: Sia f definita su [a,b] limitata. Allora, per ogni coppia di partizioni P e Q di [a,b] si ha M(b – a) ≤s(f,P) ≤ S(f,Q) ≤ M(b – a)

Mar 27.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 16 ore) Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor-McLaurin; uno studio di funzione completo.

Mer 28.11.18, 2 ore, 9.30-11.30 (tot. 74 ore) Definizione di Integrale Definito come s(f) = S(f). Teorema 83. Teorema di Riemann sulla integrabilità con le partizioni: Una funzione f limitata su [a, b] è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se ∀𝜺> 0 ∃una partizione P di [a, b] tale che s(f,P) – S(f,P) < 𝜺 . Proprietà degli integrali definiti: Additività rispetto ai limiti di integrazione, Linearità rispetto alla funzione integranda, Monotonìa rispetto alla funzione integranda. Definizione di continuità uniforme. Esempi e controesempi. Esercizi Gio 29.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 76 ore) Proprietà degli integrali definiti: Additività rispetto ai limiti di integrazione, Linearità rispetto alla funzione integranda, Monotonìa rispetto alla funzione integranda. Definizione di continuità uniforme Teorema 84. Teorema di Cantor sull’uniforme continuità: Ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua Primo e secondo Teorema della Media Teorema 85. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Teorema 86.FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Definizione di Integrale Indefinito. Esercizi sugli integrali definiti. Esercizi

Ven 30.11.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 78 ore) Integrali indefiniti immediati con la tabella delle derivate Teorema 87. Formula di integrazione per parti Teorema 88. Formula di integrazione per sostituzione Formula dell’area sottesa dal grafico di una funzione. Formula dell’area della regione compresa fra il grafico di due funzioni. Teorema 89. Formula del salame (solidi di rotazione attorno all’asse delle x) Teorema 90. Formula della carta igienica (solidi di rotazione attorno all’asse delle y)

Esercizi

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XIa settimana (8 ore) (Tot. 102 ore) 84 ore Lezioni, 18 ore Esercitazioni

SERIE NUMERICHE ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Lun 3.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 80 ore lezione) Def. di serie numerica. Successione delle somme parziali. Teorema 91. Il termine generale di una serie convergente è infinitesimo. Teorema 92. Il carattere di una serie non cambia modificando un numero finito di termini. Resto o coda di una serie. Teorema 93: Criterio di Cauchy per le serie. Serie a termini non negativi. Serie armonica. Serie armonica generalizzata Esercizi Mar 4.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 18 ore) Calcolo di integrali immediati; integrali per parti; integrali per sostituzione; integrali di funzioni razionali fratte; Mer 5.12.18, 2 ore, 9.30-11.30 (tot. 82 ore) Teorema 94. Criteri di confronto. Criterio di condensazione Teorema 95: Criterio della radice Teorema 96: Criterio del rapporto Teorema 97: Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. Serie assolutamente e incondizionatamente convergenti. Teorema di Riemann sulle serie convergenti non assolutamente. Esempi ed esercizi Gio 6.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 (tot. 84 ore) Equazioni differenziali: Teorema 98. Equazioni differenziali lineari del Io ordine Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità con secondo membro lipschitziano (senza dimostrazione) Teorema 99. Equazioni di Bernoulli Teoema 100. Equazioni a variabili separabili. Esempi ed esercizi

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XIIa settimana (8 ore) (Tot. 110 ore) 90 ore Lezioni, 20 ore Esercitazioni

EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI DI 2 VARIABILI Lun 10.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 86 ore lezione) Teorema 101. S = y* + S0, con y* soluzione particolare in S: Teorema 102. Teorema di unicità per le equazioni del II ordine a coefficienti costanti. Teorema 103.Condizione di base per due soluzioni dell’eq. omogenea del II ordine a coefficienti costanti Teorema 104.Teorema di esistenza per le soluzioni di base dell’eq. omogenea del II ordine a coefficienti costanti Termini noti particolari: polinomi, esponenziali o trigonomentriche o prodotti di queste: cercare una soluzione particolare dello stesso tipo . Esercizi

Mar 11.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 20 ore) Un’applicazione del teorema della media integrale; un’applicazione del teorema fondamentale del calcolo; calcolo volumi di solidi di rotazione; convergenza di serie a termini positivi. Mer 12.12.18 SOSPENSIONE RETTORALE DELLE ATTIVITA’ DIDATTICHE Gio. 13.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 88 ore lezione) Funzioni di due variabili: - dominio, rappresentazione cartesiana

- Limiti e continuità. Metodo delle rette. Coordinate polari

- Derivate parziali, gradiente

- Differenziabilità.

- Teorema del differenziale totale (enunciato)

- Derivate successive, Teorema di Schwarz (enunciato)

- Massimi, minimi, punti di sella. Condizioni del secondo ordine con l’Hessiano (enunciato) - Esercizi

Ven 14.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 (Tot. 90 ore lezione) Modellizzazione di fenomeni naturali con equazioni differenziali

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XIIIa settimana (6 ore) (Tot. 116 ore) 90 ore Lezioni, 26 ore Esercitazioni

EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI DI 2 VARIABILI Lun 17.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 22 ore) Mar 18.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 24 ore) Gio 20.12.18, 2 ore, 8.30-10.30 Esercitazioni Dr. Scardamaglia (tot. 26 ore)

QUI FINISCE IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1!

CHE VI SIA UTILE PER IL VOSTRO PROSIEGUO NEGLI STUDI,

SIA DAL PUNTO DI VISTA INFORMATIVO

SIA SOPRATTUTTO DAL PUNTO DI VISTA FORMATIVO.

AUGURI DI OGNI BENE PER LA VOSTRA VITA!!!