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Regla de l'Hôpital
Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-
Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén
en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine,
marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits
pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial,
aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y
demostró.1
Índice
[ocultar]
1 Enunciado
o 1.1 Demostración
2 Ejemplos
o 2.1 Aplicación sencilla
o 2.2 Aplicación
consecutiva
3 Adaptaciones algebraicas
o 3.1 Cocientes
incompatibles
o 3.2 Indeterminaciones
no cocientes
4 Generalizaciones
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
[editar]Enunciado
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en
el caso de las indeterminación del tipo .2 3 4
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0,
con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite
de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,
Guillaume de l'Hôpital
[editar]Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en
realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para
su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede
escribir de la siguiente manera:
Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la
definición de derivada:
[editar]Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor
numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el
denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se
obtendrá: f'(x)/g'(x).
[editar]Aplicación sencilla
[editar]Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla
puede aplicarse n veces:
[editar]Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico
transformar otros tipos de indeterminaciones
al tipo mediante
transformaciones algebraicas:
[editar]Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo se pueden
transformar mediante la doble inversión de
los cocientes:
De esta forma se puede demostrar que
las indeterminaciones de tipo también
se pueden resolver por medio de la
aplicación de la regla de L'Hôpital de
forma directa, sin aplicación de la doble
inversión.
[editar]Indeterminaciones no cocientes
A veces algunos límites indeterminados
que no aparecen dados como cocientes
pueden ser hallados con esta regla.
Tipo
[editar]Generalizaciones
La regla de
L'Hôpital se puede
extender a
funciones
escalares
de n variables que
sean
diferenciables.
Dadas dos
funciones f y g tale
s que f(c) = g(c) =
0, se tiene:
, representan los gradientes de ambas funciones
escalares.
, representa el producto escalar de dos vectores.
, representa la norma de un vector.
, es el ángulo formado por el gradiente de f y el
vector .
, es el ángulo formado por el gradiente de g y el
vector .
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Referencias
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Enlaces externos
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