Regra de Três Simples e Composta

Regra de Três Simples Regra de Três Simples e Compostae Composta

Professor João GilbertoProfessor João Gilberto

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos por meio de um processo pratico, chamado regra de três simples.

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.


Um automóvel faz 180 km com 15l de álcool. Quantos litros de álcool

este automóvel gastaria para percorrer 210 km?

Exemplo 5

O problema envolve duas grandezas: distância percorrida e consumo

de álcool. As unidades empregadas para medir tais grandezas são,

respectivamente, quilômetros e litros.


Indicando por x o número de litros de álcool que serão consumidos, podemos montar a tabela a seguir:

As grandezas distância percorrida e consumo de álcool são diretamente proporcionais, se a distância percorrida aumenta, o consumo de álcool aumenta proporcionalmente, ou seja, se a distância dobra, triplica..., o consumo de álcool também dobra, triplica...

Logo, a razão entre as distâncias é igual a razão entre os consumos correspondentes.

Distância (em km)

Consumo (em litros)

180 15

210x


Assim, temos a proporção que nos leva ao valor de x:180 15

210 x

Portanto, esse automóvel levaria 17,5 litros para percorrer 210 km.

180 15

210 x

180x 15 210 180x 3150

3150

x180

,x 17 5


Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Exemplo 6

O problema envolve duas grandezas: área (m2) e energia (Wh). As unidades

empregadas para medir tais grandezas são, respectivamente, metros

quadrados e watts por hora.


Montando a tabela temos:

Área (em m2) Energia (em Wh)

1,2 400

1,5x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Área (em m2) Energia (em Wh)

1,2 400

1,5x

,

,

1 2 400

1 5 x

, ,1 2x 1 5 400

,

600x

1 2

x 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.


Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, Vânia gasta 4 horas para fazer

certo percurso. Quanto seria gasto para fazer o mesmo percurso, se Vânia

aumentasse a velocidade para 80 km/?

Exemplo 7

O problema envolve duas grandezas: velocidade em km/h e tempo em horas.

Indicando por x o número de horas, podemos montar a tabela a seguir:

Velocidade (em km/h)

Tempo (em horas)

60 4

80x


As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao

aumentar a velocidade, o tempo de percurso diminui proporcionalmente. Se, por

exemplo, a velocidade dobra, tempo ficará reduzido à metade.

Velocidade (em km/h)

Tempo (em horas)

60 4

80x


Neste caso, como as razões têm sentido contrários, devemos inverter uma das

razões e em seguida, aplicamos propriedade fundamental das proporções.

60 x

80 4

Portanto, Vânia gastaria 3 horas para percorrer o mesmo trajeto com a nova

velocidade.

80x 60 4

80x 240

240

x80

x 3

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Regra de Três Composta2) Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas

grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Logo, se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então é

proporcional ao produto dessas outras.

De um modo geral, suponhamos que uma grandeza A dependa de duas

outras grandezas B e C. Se, fixando C, A é diretamente proporcional a

C, então A é diretamente proporcional ao produto de B e C.


Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Exemplo 8

Resolução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas

de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies

diferentes que se correspondem:

Tempo (horas)

Caminhões Volume (m3)

8 20 160

5x

125


Tempo (horas)


8 20 160

5x

125

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número

de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima

na 1ª coluna).


Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.

Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

Tempo (horas)


8 20 160

5x

125

Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras

razões de acordo com o sentido das setas.

20 160 5

x 125 8

20 20

x 25 x 25

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).


Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Resolução: montando a tabela:

Exemplo 9

Homens CarrinhosTempo (dias)

8 20 5

4x

16


Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta.

Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos

inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o

produto das outras razões.

20 8 5

x 4 16

20 1 5

x 4 2

160x

520 5

x 8 x 32

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