Régulation de température d'une souffleriesi-icam-paris-senart.e-monsite.com/medias/files/module-i1-1-si1... · ... représente le coefficient de frottement ... coefficient d’amortissement

ASSERVISSEMENT – I1.1 SI1

Exercice

Régulation de température d’une

soufflerie

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Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles

Mise en situation

La figure suivante donne le schéma de principe d’une soufflerie. Une turbine aspire de l’air ambiant, et

le refoule avec un débit constant � dans un cylindre de section constante �. Cet air passe à travers un

élément chauffant constitué d’un fil résistif, commandé par une tension u(t) à travers un amplificateur

de puissance.

On dispose de deux points de mesure de la température : le premier ��(�) est situé au voisinage de

l’élément chauffant, et le second ��(�) est au bout du cylindre, à la distance du premier. On admettra

que le cylindre est bien isolé, et qu’il n’y a pas d’échange de chaleur entre le corps du cylindre et le

milieu extérieur. On a ainsi la relation temporelle :

��(�) = ��(� − �), où � est le temps mis par l’air pour parcourir la distance .

Les températures sont mesurées à l’aide de thermocouples ; l’étage d’adaptation et d’amplification

permet de délivrer en sortie une tension continue image de la température du thermocouple.

La consigne est élaborée à partir d’un potentiomètre (rhéostat) linéaire qui délivre une tension de −15�

pour une consigne de 25°�.

On donne les valeurs numériques suivantes :

= 1�; � = 0,1�²; � = 0,1��/�


Exercice


soufflerie

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Questions :

A. Etude des différents organes du système

1. La figure suivante rappelle le schéma fonctionnel d’un système asservi. Repérer et entourer

sur la figure précédente, les blocs 1 à 4.

2. On donne la courbe représentative de la réponse indicielle ��(�) à une entrée de tension en

échelon d’amplitude 3�.

Donner la fonction de transfert ��(�)/�(�). Justifier l’ordre du système.


Exercice


soufflerie

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3. On donne la courbe représentative de la caractéristique statique de la sonde de

température fonctionnant avec son étage d’adaptation et d’amplification. On négligera le

temps de réponse de la sonde. En déduire la fonction de transfert ��(�)/��(�).

4. L’ampli-op est supposé idéal. Isoler le circuit électrique (ampli, la résistance � et les deux

résistances �), et en déduire une relation entre �, �� et �!.

5. Exprimer la relation �!(�)/�!(�) sachant que le potentiomètre est linéaire et délivre −15�

pour une température de 25°�.

6. Exprimer la fonction de transfert ��(�)/��(�). 7. Faire le schéma fonctionnel de l’ensemble. Le transformer pour obtenir un schéma à retour

unitaire.

B. Amélioration de l’asservissement

On ajoute une deuxième boucle de réaction selon le schéma fonctionnel suivant :

8. Calculer la valeur de ", pour laquelle l’erreur statique de position est nulle.


Exercice Système de copie de pièces

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Mise en situation

Le schéma montre un système de régulation automatique de position appliqué à la copie de pièces. Un

modèle (à gauche) est fixé rigidement sur une table d’usinage. La surface du modèle est parcourue par

un palpeur à vitesse constante : la position ��(�) de ce palpeur est convertie en tension par un capteur

potentiométrique linéaire de constante � (��(�) = �. ��(�) avec � = 0,1 /��).

La position �(�) correspondante de l’outil est mesurée par un capteur potentiométrique linéaire de

même type, qui délivre une tension ��(�) (��(�) = �. �(�)).

La différence de ces deux tensions �(�) est amplifiée d’un facteur proportionnel �� (��(�) = �� . �(�)).

La tension ��(�) alimente un moteur à courant continu � qui déplace l’outil dans un plan vertical par

l’intermédiaire d’un réducteur à vis sans fin et d’une crémaillère.

L’ensemble transforme la vitesse angulaire du moteur en vitesse linéaire de translation selon � avec un

rapport � : ��(�) = �.�(�) avec � = 1/50.

L’outil de coupe est entraîné à vitesse constante par un moteur �� qui n’intervient pas dans le

processus de régulation.

Questions :

A. Etude du moteur de positionnement de l’outil

Les équations qui décrivent le fonctionnement du moteur M sont les suivantes :

��(�) = (�) + ". #(�) + $.%#(�)%�

&'(�) = (.%�(�)%�

+ ).�(�)

&'(�) = �� . #(�)

(�) = �* . �(�)

Où (�) est la force contre-électromotrice, " la résistance de l’induit, $ la self de l’induit, &'(�) le

couple moteur, ( l’inertie du système (on supposera que ( comporte l’inertie propre du rotor et l’inertie

ramenée du système porte-outil), ) représente le coefficient de frottement visqueux, �� la constante de

couple, et �* la constante de vitesse.

1. En supposant toutes les conditions initiales nulles, transformer les équations précédentes

dans le domaine de Laplace.



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2. En déduire le schéma bloc du moteur. Compléter :

3. Ecrire successivement les expressions des fonctions de transfert de la chaîne directe, de la

FTBO et finalement de la FTBF. Mettre l’expression de la FTBF sous forme canonique d’une

fonction du second ordre. En déduire l’expression des paramètres caractéristiques en

fonction des constantes du moteur.

Application numérique :

Calculer les valeurs des paramètres caractéristiques avec les valeurs suivantes :

R=0,52 Ω L=2,6.10-3 H Kc=67.10-3 Nm/A Ke=72.10-3 V/rd/s

J=1,8.10-4 kg.m² f=1.10-3 Nm/rd/s

Calculer le dépassement en réponse à un échelon de tension unitaire ��(�). On rappelle :

+% = 100. -../01-/²

A partir de l’abaque, déterminer le temps de réponse �3.



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B. Simplification du modèle

On suppose que la self L peut être négligée.

4. Montrer que la FTBF du moteur se réduit à une fonction du premier ordre dont on précisera

les paramètres, et calculer la nouvelle valeur du temps de réponse �3. Comparer avec les

valeurs de la question 3.

5. Dans toute la suite du problème, on prendre pour fonction de transfert du moteur 4(5)

telle que :

4(5) =12,54

0,01755 + 1

Montrer que le schéma bloc de l’ensemble complet a la forme :

Transformer ce schéma pour le mettre sous la forme d’un schéma-bloc à retour unitaire et

en déduire la FTBF : 9(5)/9�(5).

6. Mettre cette FTBF sous la forme canonique d’un second ordre et exprimer les paramètres

caractéristiques en fonction du gain ��.

7. On souhaite minimiser le temps de réponse : quelle valeur faut-il donner à l’amortissement

: ? En déduire la valeur du gain ��, celle du temps de réponse, et la valeur du dépassement

+%. Dans le problème qui nous occupe, quelle est la conséquence d’un dépassement du

déplacement � ?

8. Si l’on souhaite annuler ce dépassement tout en ayant un système rapide, quelle valeur

faut-il donner à : ? En déduire la nouvelle valeur de �� et la valeur correspondante de �3 à

5%.



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C. Etude de l’erreur de traînage

Le signal d’entrée est une rampe de pente 2��/;.

9. Montrer qu’il existe une erreur �(�) = ��(�) − �(�) et faire l’application numérique avec les

hypothèses de la question 8. Quelle est la conséquence de cette erreur sur la pièce usinée

par rapport au modèle ?

10. On veut diminuer cette erreur d’un facteur 10 ; pour cela on va utiliser un retour

tachymétrique (instrument de mesure des vitesses) sur le moteur, de coefficient =. Le

nouveau schéma bloc prend alors l’allure suivante :

Déterminer tout d’abord la fonction de transfert >(5) correspondant à la boucle interne,

puis la FTBO de l’ensemble du système, et enfin la FTBF.

11. Calculer les valeurs de �� et de = pour obtenir une erreur de traînage diminuée d’un facteur

10, tout en conservant un système rapide sans dépassement.


Exercice Régulation de niveau

1/2


Mise en situation

On considère la régulation de niveau d’un liquide dans une cuve cylindrique, de section � = 0,5�².

On note ℎ la hauteur de consigne et ℎ le niveau de la cuve à eau à réguler.

Le débit entrant dans la cuve �� (m3/s) est réglé par une vanne motorisée ; il est proportionnel à

l’angle d’ouverture de la vanne �� (rad) :

�� = �� . �� avec �� = 0,1m3/(s.rad).

Le débit �� représente le débit de fuite de la cuve et sera considéré dans la suite comme une

perturbation.

Le moteur est alimenté par l’induit sous la tension �� , crée par l’amplificateur de gain �� :

�� = ��. �� − �� . Il tourne alors à la vitesse �� . La position angulaire de l’arbre moteur

�� . Le moteur sera modélisé (entre son entrée �� et sa sortie �� ) par une fonction de transfert

du premier ordre de gain statique � = 4,78 !/��#. $� et de constante de temps % = 0,1&.

Ce moteur va ouvrir ou fermer la vanne par l’intermédiaire d’un réducteur �� ='(�)�

*+.

Le potentiomètre d’entrée , gradué en mètres, délivre une tension �� proportionnelle au niveau de

consigne ℎ� � demandé : �� = �. ℎ� �� = 20$/�).

Le flotteur mesure le niveau ℎ� � dans la cuve. Il déplace

le curseur du potentiomètre de sortie ,�. La tension

�� est proportionnelle à ℎ� � : �� = �. ℎ� � (les

potentiomètres , et ,� sont identiques).

La cuve à eau sera modélisée dans la suite par le

schéma-bloc ci-contre :


Exercice Régulation de niveau

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Questions :

1. Quelle est l’entrée de ce système ? Quelle est la sortie de ce système ?

Donner le schéma fonctionnel de cet ensemble.

2. Le principe de conservation de la masse permet d’écrire l’égalité entre :

→ La variation de masse dans la cuve .�� pendant un temps .

→ Et la différence entre la masse entrante et sortante pendant . .

En déduire une relation entre ℎ/ � �, �, �� et �� .

Appliquer la transformée de Laplace à l’équation obtenue, et en déduire une relation entre

ℎ�0�, ��0� et ��0�. Compléter le schéma-bloc présenté ci-dessus.

3. En déduire le schéma-bloc complet du système. Montrer qu’il peut se mettre sous la forme d’un

système à retour unitaire.

4. Le système précédent est modifié :

On mesure avec un autre potentiomètre la position de la vanne ; celui-ci délivre une tension

�� : �� = 1. �� avec 1 = 20$/!2.. Le signal de commande est élaboré grâce à un

comparateur-amplificateur de gain �*.

Dessiner le schéma-bloc du nouvel asservissement.

5. Calculer la fonction de transfert du second ordre de l’ensemble moteur : ��0�/3��0�.

Donner son gain statique, son coefficient d’amortissement, ainsi que sa pulsation propre.

Calculer �* pour avoir un coefficient d’amortissement de 0,7. En déduire la pulsation propre

non amortie.

6. On considère � = 0�4/&. Exprimer la FTBO du système (entrée ℎ�0�, sortie ℎ�0�).


Exercice Commande de radar

1/4


Mise en situation

Une antenne radar est entraînée à la vitesse �(�) par un

actionneur constitué d’un groupe « Ward-Léonard ».

L’ensemble radar et actionneur peut être représenté par le

schéma-bloc ci-dessous :

Avec :

� �(�) : tension de commande du groupe Ward-Léonard,

�(�) sa transformée de Laplace ;

� �(�) : vitesse de rotation angulaire du radar, Ω(�) sa

transformée de Laplace ;

� (�) : couple dû à l’action du vent sur le radar, (�) sa

transformée de Laplace ;

� ��, ��, �� et �� constantes réelles positives.

On se propose d’étudier l’influence d’une rafale de vent lorsque :

- Le système n’est pas asservi ;

- Le système est asservi ;

- Le système est asservi et comporte un correcteur.

Questions :

A. Détermination de �� et ��

En partant d’une position de repos avec �(�) = 0 donc �(�) = 0, le système est soumis à une rafale de

vent, assimilée à un échelon d’amplitude � Nm.

1. Tracer le schéma-bloc du système lorsque �(�) = 0.

2. Donner l’expression de Ω(�). 3. Etablir l’expression de la valeur finale de �(�). 4. Déterminer la pente de la tangente à l’origine à la courbe représentative de �(�). 5. Etablir l’expression de �(�) sachant que la décomposition en éléments simples de Ω(�) est

de la forme :

Ω(�) =��

1 + ��+��

6. Déterminer la valeur de �(�) en � = ��.

7. En utilisant la courbe ci-dessous qui représente l’enregistrement de �(�) pour

� = −1�.�, déterminer graphiquement la valeur de K� et T�.



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B. Détermination de �

En partant d’une position de repos avec (�) = 0 (absence totale de vent), le système est maintenant

soumis à un échelon d’amplitude �� volts.

1. Tracer le schéma-bloc du système lorsque (�) = 0.

2. Etablir l’expression de la valeur finale �(�). 3. En utilisant la courbe ci-dessous qui représente l’enregistrement de �(�) pour �� = 10�, et la

valeur de �� trouvée en A7, déterminer la valeur de ��.



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C. Asservissement du système

On considère dans cette question le système en l’absence de vent, soit (�) = 0.

On souhaite asservir la vitesse de rotation �(�) de l’antenne.

A cet effet, �(�) est mesurée à l’aide d’une génératrice tachymétrique fournissant une tension �!(�) proportionnelle à la vitesse : �!(�) = ".�(�). Cette tension est comparée à une tension de consigne �#(�). L’écart $(�) = �#(�) − �!(�) est amplifié

par un amplificateur de gain A alimentant l’entrée �(�) de l’actionneur : �(�) = %. $(�).

1. Tracer le schéma bloc de l’asservissement en précisant la fonction de transfert dans chaque

bloc.

2. Donner l’expression littérale de la fonction de transfert en boucle ouverte &(�).

3. Donner l’expression littérale de la fonction de transfert en boucle fermée '�(�) que l’on

mettra sous la forme :

'�(�) =(

1 + )�� + )��²

En explicitant les coefficients )�, )� et B en fonction de ��, ��, ��, ��, %et".

D. Intérêt de l’asservissement

On suppose dans cette question que l’antenne radar est au repos (�#(�) = 0) soit �(�) = 0. Pour

étudier l’influence d’une rafale de vent, on considère (�) comme l’entrée principale du système. Le

système peut alors être représenté par le schéma bloc ci-dessous :

1. Etablir l’expression littérale de la fonction de transfert '�(�) =+(,)

-(,). On mettra '�(�) sous

la forme :

'�(�) =.� + .��

/� + /�� + /��²

En explicitant les coefficients .�, .�, /�, /� et /� en fonction de ��, ��, ��, ��, %et".

2. Le système est maintenant soumis à une rafale de vent, assimilée à un échelon de couple

d’amplitude ��. Déterminer la valeur de �(�) au bout d’un temps suffisamment long.

3. On donne :

% = 1,5� = 10,47� pour une vitesse de rotation de 1000�3/�56

�� = 17

�� = 27

�� = 12,5�.�. �9�

�� = 0,43)/. 79�. �9�.�9�

� = −1��

Calculer la valeur finale de �(�). Comparer à la valeur de la question A. Conclure quant à

l’intérêt de l’asservissement.



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E. Intérêt de l’asservissement

On incorpore dans le système un correcteur de fonction de transfert :(�) =;<,

où �# est un coefficient

constant. Le système est alors représenté par le schéma bloc :

1. On pose Ω(�) = &�(�). �#(�) + &�(�). (�).

Etablir les expressions littérales de &�(�) et de &�(�). On écrira sous les formes suivantes :

&�(�) ==�

�(1 + >��)(1 + >��) + >? ; &�(�) =

A�. �(1 + A�. �)

�(1 + >��)(1 + >��) + >?

Où AB, >B.�=B sont des coefficients réels qui seront exprimés en fonction de %,�# , ��, ��, ", ��et��.

2. En partant d’une position de repos avec �#(�) = 0 soit �(�) = 0, le système est soumis à

une rafale de vent, assimilée à un échelon d’amplitude ��. Déterminer la valeur de �(�) au bout d’un temps suffisamment long. Conclure quant à l’influence du correcteur.

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