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1.Sistema de los Números Naturales

Es el conjunto = 0,1, 2,3,4, 5, ,

provisto de las operaciones de Adición (+) y

Multiplicación (∙), una relación de orden ( ) y una relación de igualdad (=).

:(a,b) a b

+ →→ +

:(a,b) a b →

→

Los cuales cumplen los siguientes axiomas: ADICIÓN (+)

A1) a,b : a b +

Clausura o cerradura A2) a,b : a b b a + = +

Conmutativa A3) a,b,c : (a b) c a (b c) + + = + +

Asociativa

A4) a , ! 0 a 0 0 a a + = + =

Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo MULTIPLICACIÓN (∙) M1) a,b : a b Clausura o cerradura M2) a,b : a b b a =

Conmutativa M3) a,b,c : (a b) c a (b c) = Asociativa

M4) = =a , ! 1 a 1 1 a a

Existencia y unicidad del elemento neutro Multiplicativo. M5) a,b,c : a (b c) a b a c + = +

+ = + a,b,c : (a b) c a c b c

Distributiva

RELACIÓN DE ORDEN (<) Dados dos números naturales “a” y “b”, se dice que a b , si y solo si, existe un número

natural c 0 , tal que: a c b+ =

O1) Para dos números naturales “a” y “b”, se cumple una y sola una de las siguientes posibilidades: a b , a b ó a b =

Tricotomía O2) a,b,c : a b b c a c

Transitiva. O3) a,b,c : a b a c b c + +

Compatibilidad de orden. O4) a,b,c : a b c 0 a c b c Compatibilidad de orden. O5) a,b,c : a c b c a b + +

Cancelativa. O6) a,b,c : a c b c c 0 a b

Cancelativa. RELACIÓN DE IGUALDAD (=) I1) Al comparar dos números naturales a, b;

una y sólo una de las dos relaciones se cumple: a b ó a b= Dicotomía

I2) a : a a = Reflexiva I3) a,b : a b b a = = Simetría I4) a,b,c : a b b c a c = = = Transitiva I5) a,b,c : a b a c b c = + = +

Unicidad de la suma I6) a,b,c : a b a c b c = =

Unicidad de la multiplicación I7) a,b,c : a c b c a b + = + = Cancelativa I8) a,b,c : a c b c c 0 a b = =

Cancelativa

2

2.Sistema de los Números Enteros

Es el conjunto

= , , 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5, ,− − − − + ,

provisto de las operaciones de Adición (+), sustracción (-) y multiplicación (∙), una relación de orden ( ) y una relación de igualdad (=). En el sistema de los números enteros están totalmente definidos las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.

El sistema de los números enteros hereda todas las propiedades del sistema de los

números . Además de todas las propiedades

anteriores, en este sistema se cumplen: A5) a , ! a a ( a) ( a) a 0 − + − = − + =

Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo

O7) a,b,c : a b c 0 a c b c NOTA: 1. si = =a : a 0 0 a 0 entonces al “0” se

le llama "elemento absorbente”, 2. El símbolo proviene del alemán Zahlen

que en el idioma castellano significa “números”.

OBSERVACIONES 1. Adición

Sumas notables:

a) n(n 1)

1 2 3 4 n2

++ + + + + =

b) 2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 4 n

6

+ ++ + + + + =

c) 2

3 3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 4 n

2

+ + + + + + =

d) n

2 3 4 n k(k 1)k k k k k

k 1

−+ + + + + =

−

Otras sumas: a) 2 4 6 8 2n n(n 1)+ + + + + = +

b) 21 3 5 7 (2n 1) n+ + + + + − =

c) 2 2 2 2 2 2n(2n 1)(2n 2)2 4 6 8 (2n)

6

+ ++ + + + + =

d) 2 2 2 2 2 2n(2n 1)(2n 1)1 3 5 7 (2n 1)

6

− ++ + + + + − =

2.- En la sustracción: M – S = D Donde: M: Minuendo S: Sustraendo D: Diferencia

1)

2) 2

M S D

M S D M

= +

+ + =

• Si , y ab ba mn− =

Entonces m + n = 9

• Si: , además: abc cba mnp− =

Entonces y

, 3.-COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA(N)) Sea el numeral “N” de “K” cifras en base 10:

( ) N10NCA K −=

( ) ( )

( ) ( )( )( )( )

4

:

10 0

9 9 9 10

Forma práctica

CA abcd abcd asumiendod

CA abcd a b c d

= −

= − − − −

4.- División Inexacta.- Cuando al agrupar las unidades sobran o faltan unidades para formar un grupo más. a.- Cuando sobra unidades se dice que la división es inexacta por defecto. b.- Cuando falta unidades para formar un grupo más, se dice que la división es inexacta por exceso. EN GENERAL:

POR DEFECTO POR EXCESO

d

D d

r q

1e

D d

r q +

dD dq r= +

( )1 eD d q r= + −

DONDE:

dr : Residuo por defecto

er : Residuo por exceso

3

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Ejemplo:

PROPIEDADES 1. r < d 2. r(mínimo) =1 3. r(máximo) = d –1

4. drr ed =+

Nota: Cuando la división es inexacta, y no se especifica el tipo, se asume que es inexacta por defecto.

ALTERACIÓN DE UNA DIVISIÓN INEXACTA

a) Sea la división D dq r= +

Sea “n” una cantidad entera positiva; sumando “n” ambos miembros de la igualdad anterior:

D + n = d(q) + r + n

Si se aumenta una cantidad al dividendo, hace que puede variar el residuo y el cociente. Analizando:

D n d

r n q

+

+

Si “ ” el cociente no se altera.

Si “ ” el cociente aumenta en tantas unidades como “r + n” contenga a “d”. Ejemplo:

23 10

3 2

Sea: n = 5

23 5 10

3 5 2 no varia

+

+

Sea: n = 12

23 12 10 35 10

3 12 2 5 3

+

+

b) Si al dividendo y al divisor se le multiplica o divide por una misma cantidad el cociente no varía pero el residuo queda automáticamente multiplicado o dividido por la misma cantidad.

D = d(q) + r

EJERCICIOS 1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones

son falsas? I. La propiedad de la tricotomía se enuncia de la siguiente forma: Dados Nba , se

cumple una de las siguientes relaciones:

a < b b < a b = a

II. cbcaNcbacba ..,,;0;

III. La operación de sustracción está bien definida en los N a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2. De las siguientes proposiciones:

I. a , ! 0 a 0 0 a a + = + = II. El elemento neutro para la adición es único III. La división no cumple con la propiedad de la cerradura en los números naturales. IV. Si 0.)( = −+ xaZZa , entonces se

puede decir que “a” es el elemento absorbente. Indique la alternativa falsa. a) III b) II c) I y III d) IV e) N.A

3. Para todo Zcba ,, , de las siguientes

proposiciones:

I. Si a b a c b c + +

II. Si a b a.c b.c

III. a.c b.c c 0 a b

IV. a.c b.c c 0 a b

POR DEFECTO POR EXCESO

78 10

8 7

78 10

2 8

No puede ser residuo Cociente Aumentado en 1

4

Son verdaderas: a) III b) I y III c) I y IV d) IV e) N.A

4. De las siguientes proposiciones:

I. Entre los números naturales a y a + 1, no existe otro número natural. II. El número cero pertenece al conjunto de los números enteros positivos. III. La operación de la sustracción está totalmente definida en el conjunto de los números enteros. IV. Para todo número natural existe un único 1/a , talque a.(1/a) = 1 . ¿Cuántas

proposiciones son falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. De las siguiente proposiciones I. La operación de la adición está totalmente definida en el sistema de los números naturales. II. 0)()(/)(!, =+−=−+− aaaaZaZa

III. = =a , ! 1 a 1 1 a a

Son verdaderas: a) II y III b) II c) I y III d) IV e) Todas.

6. En el sistema de los números naturales

¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? I. La propiedad de la adición cumple con la propiedad de clausura. II. El elemento neutro aditivo no es único. III. , ! / ( ) 0a N a N a a − + − =

IV. Cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Son falsas a) II b) I y IV c) II y III d) IV e) I y III

7. De las siguientes proposiciones indicar el

valor de verdad y falsedad.

I. a,b,c Z: a c b c a b = =

II. La propiedad clausura en los números enteros se cumple para la sustracción.

III. 0.00;,, babaZcba

IV. a,b,c : a b c 0 a c b c

V. Si a b c d a c b d= = + = +

a) VFFVF b) VFVVF c) FVVFF d) VFVVF e) FVFVV 8. Hallar: x + y + a; si :

1387321 yxa...xaxaxa =++++

a) 6 b) 9 c) 7 d) 8 e) 10 9. Hallar “m + n” si se cumple que:

nmnmnnm =++ 352

a) 12 b) 14 c) 15 d) 19 e) 18 10. Calcular: 4 + 7 + 10 + 13 + . . . + 37 a) 236 b) 246 c) 266 d) 244 e) 270 11. Calcular “ x + y ” si:

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 𝑥 = 196 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 𝑦 = 420

a) 69 b) 68 c) 67 d) 40 e) 27 12. Calcular:

𝐸 = √0,01 + 0,03 + 0,05 + . . . + 19,99 a) 150 b) 120 c) 100 d) 50 e) 200 13. Mario y Juan leen una novela de Vargas

Llosa; Mario lee 10 páginas diarias y Juan lee 1 página el 1𝑒𝑟día, 2 el 2𝑑𝑜día, 3 el 3𝑒𝑟día y así sucesivamente. ¿Después de cuantos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo?

a) 15 b) 12 c) 13 d) 19 e) 20 14. Calcular: 𝑆 = 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 10 + 17+. . .⏟

37 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠

a) 2659 b) 2509 c) 2637 d) 2569 e) 3000 15. La suma de todos los términos de una

sustracción es 1 380 y el sustraendo es 2/3 del minuendo hallar la diferencia.

a) 230 b) 220 c) 240 d) 250 e) 304

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16. La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una resta es 64, además el producto del sustraendo por la diferencia es el séxtuplo del minuendo, indicar la resta del sustraendo y la diferencia.

a) 21 b) 16 c) 20 d) 23 e) 18

17. Hallar a c− , si:

abc cba mnp− = Donde

c a y 99=− pnmmnp

a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 6 18. Si en una operación de resta, al minuendo

se le agrega 3 unidades en las decenas y al sustraendo se le agrega 5 unidades en las centenas, entonces la diferencia:

a) Aumenta 20 b) Disminuye 20 c) Disminuye 47 d) Aumenta 470 e) Disminuye 470

19. Si abc cba mnp− = , halle a + b + c ,

dado que abc es máximo y mnp es el

menor posible. a) 36 b) 34 c) 22 d) 38 e) 25 20. La suma de un número de 3 cifras con el

que se obtiene al invertir el orden de sus cifras es 1332. La diferencia de los números anteriores tiene como cifra de centenas 5. Hallar el producto de dichas cifras.

a) 60 b) 100 c) 164 d) 162 e) 90

21. Si a + b + c + d = 19. Determine la suma de las cifras del C.A del numeral

abcd.

a) 15 b) 20 c) 18 d) 21 e) 24 22. Hallar (a + b + c), si:

. .( ) (2 ) (4 )2

aC A abc b c=

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e)9

23. Determinar la suma de cifras de un número de 3 cifras tal que su complemento aritmético y el complemento aritmético de su quíntuplo suman 8522.

a) 10 b) 6 c) 8 d) 7 e) 9 24. ¿Cuál es el mayor de 4 cifras

significativas, tal que la diferencia de la suma de sus cifras y la suma de las cifras de su CA es 11? Dar la suma de sus cifras.

a) 34 b) 24 c) 23 d) 32 e) 14 25. El complemento aritmético de un número

de 3 cifras excede al complemento de su tercera parte en 702. Hallar la suma de las cifras del número.

a) 18 b) 13 c) 17 d) 19 e) 10 26. En cierto producto, si al multiplicado se le

disminuye 4 unidades, entonces el producto es disminuido en 640; pero si al multiplicador se le aumenta 4 unidades, entonces el producto aumenta en 120. ¿Cuál es el producto?

a) 2400 b) 4200 c) 6400 d) 4800 e) 5400 27. Aumentando en 7 a cada uno de los

factores de una multiplicación, el producto aumenta en 364. Hallar el producto original si la diferencia de sus factores es 5.

a) 480 b) 520 c) 436 d) 500 e) 524 28. La suma de los 3 términos de una

multiplicación es 47 si se multiplica por 6 al multiplicando. La nueva suma será 207. Calcular el multiplicador.

a) 5 b) 18 c) 6 d) 15 e) 7

29. La suma de C.A. de los números xy y

yx es 79 y el producto de los números es

3154. Hallar: x2 + y2 a) 72 b) 85 c) 73 d) 74 e) 78 30. Halle a + b + c + m + n si

nmmmmabc2=

9

a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 23

6

31. Sabiendo que el producto de mnppor

ab es 51285. Hallar la suma de cifras del

producto resultante de mnpmnp por

ab

a) 31 b) 20 c) 33 d) 32 e) 34 32. La diferencia de dos números es 832, su

cociente es 17 y el residuo el más grande posible. Halla la suma de dichos números.

a) 860 b) 390 c) 903 d) 309 e) 930 33. La suma de los cuatro términos de una

división entera es 4500, siendo el residuo igual al cociente. Si se suma 20 al dividendo, la división se hace exacta. Halle el dividendo. a) 1234 b) 3214 c) 4132 d) 4312 e) 1432

34. Hallar a + b + c , si al dividir abc entre

ab , el resto es máximo

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 35. Hallar un numero que dividido entre 43,

da como resto por defecto el doble del cociente por defecto y como resto por exceso el triple del cociente por exceso.

a) 380 b) 376 c) 360 d) 348 e) 320 36. En una división inexacta, al residuo le

faltan 35 unidades para ser máximo y le sobran 29 unidades para ser mínimo y le sobran 29 unidades para ser mínimo. ¿Cuál es el valor del dividendo, si el cociente es 23? a) 1629 b) 1654 c) 1548 d) 1327 e) 1249

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