1

Relacioacuten de problemas Tema 4

1-Un oscilador armoacutenico del tipo bloque-muelle con k=23 Nm y m=047 kg tiene una

energiacutea mecaacutenica de 25 mJ

a) iquestCuaacutel es la amplitud del movimiento

b) iquestCuaacutel es la velocidad maacutexima del bloque

c) iquestCuaacutel es la velocidad del bloque cuando x=11 mm

d) iquestCuacuteal es la distancia del bloque al centro cuando el moacutedulo de su velocidad es de

025 ms

a)

2

Datos

23

047

25 0025

1 2 2 0025004662

2 23

004662

k N m

m kg

E mJ J

EE kA A m

k

A m

=== =

sdot= rarr = = =

=

b)

2

2max max max

max

1

2

1 2 2 00250326

2 047

0326

c

c

E mv

EE mv E v m s

m

v m s

=

sdot= = rarr = = =

=

c)

2 2

2

1 1

2 2

2 2 0025 23 0011

047

031695

E mv kx

E kxv

m

v m s

= +

minus sdot minus sdot= =

=

2

d)

2

2 2

2

1 1

2 2

2 2 0025 047 025

23

002994

E mv kx

E mvx

k

x m

= +

minus sdot minus sdot= =

=

2-Un reloj de peacutendulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo

correcto en un lugar donde g= 9823 ms2 retrasa 40 s por diacutea cuando se lleva a otro

lugar geograacutefico iquestCuaacutento vale g en ese lugar

En un diacutea retrasa 40 s Luego el reloj con la nueva g tarda 360024T+40 segundos en

marcar un diacutea donde T es su periodo (en segundos) Luego

3600 24 40

3600 24T

sdot +=sdot

Sabemos que para un peacutendulo

1

2 2

1 1

2

Si con g T=1s1

Entonces

g

1 T 1 3600 24+40 = = =

g g 3600 24

g 9814

lT

g

l

T

g l

m s

=

rarr =

sdotsdot

=

3-Un muelle tiene una longitud natural de 15 cm Cuando le colgamos una masa de 50

g queda en reposo con una longitud de 17 cm Si ahora lo estiramos 5 cm calcular

a) La ecuacioacuten del movimiento (en la forma cosenoidal) si ponemos en marcha el

cronoacutemetro cuando la masa pasa por primera vez por la posicioacuten de equilibrio

b) Los valores de la elongacioacuten para los cuales la aceleracioacuten valga amax2

c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa desde su posicioacuten maacutes baja

hasta la primera de las posiciones anteriores

3

3

22

0

50 98 10245

2 10

mgk kg s

x

minus

minussdot sdot= = =

∆ sdot

a)

( )

( )

2con

ya que en 0 pasa por la posicioacuten de equilibrio

Amplitud o elongacioacuten maacutexima =

2214

0

A= 5 cm

x=5sen t+0

5

t

k kx Asen t rad s

m m

x sen t

ω φ ω ω

φ

ωω

=

= + = = =

=

=

b)

( )

( ) ( )2 2 2max

2max

maxelongacioacuten correspondiente a

cos

0

1 15 5

2 2 2 2

25

a ( )= 25

2 2

dxv A t

dt

dva Asen t Asen t a a

dta A

a sen t x sen t

x cm

Ax cm

ω ω φ

ω ω φ ω ω ω

ω ω ω

= = +

= = minus + = minus + rarr = minus

= = minus rarr = rarr = =

=

plusmn = plusmn

4

c)

22 2 22

22 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 30023

2 2 4 8

0023

A A A

AA A

AW Fdx kxdx kx k kA

AkA k kA J

W J

minus minus minus

minusminus minus

asymp

= = minus =minus = minus minus + =

= minus =

=

int int

4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente

(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm

(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de

equilibrio el sistema efectuacutea un mas

Calcular para la situacioacuten (2)

a) El periodo de oscilacioacuten

b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo

c) La aceleracioacuten maacutexima

d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino

entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas

e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de

equilibrio

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

1

2

2

2

max max

2

1

05 981327

015

2

2 2 155

155

)

sin cos

081

F kx

m gk N m

x

a

mkT s

m k

T s

b

dx dvx A t v A t a Asen t

dt dt

kv A A v m s

m

πω πω

ω φ ω ω φ ω ω φ

ω

= minussdot= = =

= = = =

=

= + = = + = = minus +

= = =

5

( )

2 2max max

2

22

2

)

327

)

10 30ordm

2 2

cos 0866 0699 2 2

1635 2 2 2

)

1013

2 6 6 6

c

ka A A a m s

m

d

AAsen t sen t t

A Av A t A v m s

A A Aa a m s

e

msen t t t t s

k

ω

ω φ ω ω

ω ω ω

ω

π π πω ω ω

= = =

= = = rarr =

= = sdot =

= =

= rarr = rarr = = =

5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de

polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule

el periodo de ese movimiento

Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la

Tierra RltRT

2 3

3

44 4

43

3

T

T

Mg R G R

R

π π ππ

= minus

Simplificando queda

3

T

T

GMg RR

R= minus

Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra

Si se deja caer un cuerpo de masa m

6

2

2 2

2

2 3

3

T T

3

T T

es decir

Luego es un mas

GM R2con una = y 2

R GM

T

T

T

T

F ma

GM d RmR ma m

R dt

GMd RR

dt R

Tπω π

ω

=

minus = =

= minus rArr

= =

sum

3

GT

πρ

=

6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un

estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el

periodo de sus oscilaciones

2 30

Bloque flotando en equilibrio

Densidad agua

Volumen del cubo sumergido

F 0

a

cs

a cs c c

a cs c c

a c

V

V g V g

V V

y a a

ρ

ρ ρρ ρρ ρ

= minus ==

=

sum

7

( )20

20

Bloque oscilando

F 0a cs c c

a c cresul

aresul

V g V g

F a y y g V g

F a y g

ρ ρρ ρ

ρ

prime= minus ne

= + minus

=

sum

c cV gρminus 2

2

22 22

2 2

2

2 2

El signo se debe a que el sentido es contrario a y

con

1 1 1 5 980249

2 2 2 100

04

a

recup a

aa

a

a

a yg

F a yg

a gd y d ya yg m y

mdt dt

a gmas

m

a gHz

m

T s

ρρ

ρρ

ρω

ρωυ π π π

+

= minus

minus = rarr = minus

=

sdot sdot= = = =

=

7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor

a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten

de moacutedulo 05 g

b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g

c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms

d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso

correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj

del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si

permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor

durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los

relojes

a)

( )

1

11

1

Ascensor hacia arriba2

3

2 2

2 23

2

2 2 2011

3 3 3

008981

T T

ga

gF mg ma F m g a m g mg

l lT T

g g

TT T

T

T s

π π

uarr =

minus = rarr = + = + =

= rarr =

= rarr = =

=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

2

d)

2

2 2

2

1 1

2 2

2 2 0025 047 025

23

002994

E mv kx

E mvx

k

x m

= +

minus sdot minus sdot= =

=

2-Un reloj de peacutendulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo

correcto en un lugar donde g= 9823 ms2 retrasa 40 s por diacutea cuando se lleva a otro

lugar geograacutefico iquestCuaacutento vale g en ese lugar

En un diacutea retrasa 40 s Luego el reloj con la nueva g tarda 360024T+40 segundos en

marcar un diacutea donde T es su periodo (en segundos) Luego

3600 24 40

3600 24T

sdot +=sdot

Sabemos que para un peacutendulo

1

2 2

1 1

2

Si con g T=1s1

Entonces

g

1 T 1 3600 24+40 = = =

g g 3600 24

g 9814

lT

g

l

T

g l

m s

=

rarr =

sdotsdot

=

3-Un muelle tiene una longitud natural de 15 cm Cuando le colgamos una masa de 50

g queda en reposo con una longitud de 17 cm Si ahora lo estiramos 5 cm calcular

a) La ecuacioacuten del movimiento (en la forma cosenoidal) si ponemos en marcha el

cronoacutemetro cuando la masa pasa por primera vez por la posicioacuten de equilibrio

b) Los valores de la elongacioacuten para los cuales la aceleracioacuten valga amax2

c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa desde su posicioacuten maacutes baja

hasta la primera de las posiciones anteriores

3

3

22

0

50 98 10245

2 10

mgk kg s

x

minus

minussdot sdot= = =

∆ sdot

a)

( )

( )

2con

ya que en 0 pasa por la posicioacuten de equilibrio

Amplitud o elongacioacuten maacutexima =

2214

0

A= 5 cm

x=5sen t+0

5

t

k kx Asen t rad s

m m

x sen t

ω φ ω ω

φ

ωω

=

= + = = =

=

=

b)

( )

( ) ( )2 2 2max

2max

maxelongacioacuten correspondiente a

cos

0

1 15 5

2 2 2 2

25

a ( )= 25

2 2

dxv A t

dt

dva Asen t Asen t a a

dta A

a sen t x sen t

x cm

Ax cm

ω ω φ

ω ω φ ω ω ω

ω ω ω

= = +

= = minus + = minus + rarr = minus

= = minus rarr = rarr = =

=

plusmn = plusmn

4

c)

22 2 22

22 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 30023

2 2 4 8

0023

A A A

AA A

AW Fdx kxdx kx k kA

AkA k kA J

W J

minus minus minus

minusminus minus

asymp

= = minus =minus = minus minus + =

= minus =

=

int int

4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente

(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm

(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de

equilibrio el sistema efectuacutea un mas

Calcular para la situacioacuten (2)

a) El periodo de oscilacioacuten

b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo

c) La aceleracioacuten maacutexima

d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino

entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas

e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de

equilibrio

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

1

2

2

2

max max

2

1

05 981327

015

2

2 2 155

155

)

sin cos

081

F kx

m gk N m

x

a

mkT s

m k

T s

b

dx dvx A t v A t a Asen t

dt dt

kv A A v m s

m

πω πω

ω φ ω ω φ ω ω φ

ω

= minussdot= = =

= = = =

=

= + = = + = = minus +

= = =

5

( )

2 2max max

2

22

2

)

327

)

10 30ordm

2 2

cos 0866 0699 2 2

1635 2 2 2

)

1013

2 6 6 6

c

ka A A a m s

m

d

AAsen t sen t t

A Av A t A v m s

A A Aa a m s

e

msen t t t t s

k

ω

ω φ ω ω

ω ω ω

ω

π π πω ω ω

= = =

= = = rarr =

= = sdot =

= =

= rarr = rarr = = =

5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de

polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule

el periodo de ese movimiento

Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la

Tierra RltRT

2 3

3

44 4

43

3

T

T

Mg R G R

R

π π ππ

= minus

Simplificando queda

3

T

T

GMg RR

R= minus

Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra

Si se deja caer un cuerpo de masa m

6

2

2 2

2

2 3

3

T T

3

T T

es decir

Luego es un mas

GM R2con una = y 2

R GM

T

T

T

T

F ma

GM d RmR ma m

R dt

GMd RR

dt R

Tπω π

ω

=

minus = =

= minus rArr

= =

sum

3

GT

πρ

=

6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un

estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el

periodo de sus oscilaciones

2 30

Bloque flotando en equilibrio

Densidad agua

Volumen del cubo sumergido

F 0

a

cs

a cs c c

a cs c c

a c

V

V g V g

V V

y a a

ρ

ρ ρρ ρρ ρ

= minus ==

=

sum

7

( )20

20

Bloque oscilando

F 0a cs c c

a c cresul

aresul

V g V g

F a y y g V g

F a y g

ρ ρρ ρ

ρ

prime= minus ne

= + minus

=

sum

c cV gρminus 2

2

22 22

2 2

2

2 2

El signo se debe a que el sentido es contrario a y

con

1 1 1 5 980249

2 2 2 100

04

a

recup a

aa

a

a

a yg

F a yg

a gd y d ya yg m y

mdt dt

a gmas

m

a gHz

m

T s

ρρ

ρρ

ρω

ρωυ π π π

+

= minus

minus = rarr = minus

=

sdot sdot= = = =

=

7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor

a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten

de moacutedulo 05 g

b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g

c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms

d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso

correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj

del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si

permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor

durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los

relojes

a)

( )

1

11

1

Ascensor hacia arriba2

3

2 2

2 23

2

2 2 2011

3 3 3

008981

T T

ga

gF mg ma F m g a m g mg

l lT T

g g

TT T

T

T s

π π

uarr =

minus = rarr = + = + =

= rarr =

= rarr = =

=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

3

3

22

0

50 98 10245

2 10

mgk kg s

x

minus

minussdot sdot= = =

∆ sdot

a)

( )

( )

2con

ya que en 0 pasa por la posicioacuten de equilibrio

Amplitud o elongacioacuten maacutexima =

2214

0

A= 5 cm

x=5sen t+0

5

t

k kx Asen t rad s

m m

x sen t

ω φ ω ω

φ

ωω

=

= + = = =

=

=

b)

( )

( ) ( )2 2 2max

2max

maxelongacioacuten correspondiente a

cos

0

1 15 5

2 2 2 2

25

a ( )= 25

2 2

dxv A t

dt

dva Asen t Asen t a a

dta A

a sen t x sen t

x cm

Ax cm

ω ω φ

ω ω φ ω ω ω

ω ω ω

= = +

= = minus + = minus + rarr = minus

= = minus rarr = rarr = =

=

plusmn = plusmn

4

c)

22 2 22

22 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 30023

2 2 4 8

0023

A A A

AA A

AW Fdx kxdx kx k kA

AkA k kA J

W J

minus minus minus

minusminus minus

asymp

= = minus =minus = minus minus + =

= minus =

=

int int

4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente

(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm

(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de

equilibrio el sistema efectuacutea un mas

Calcular para la situacioacuten (2)

a) El periodo de oscilacioacuten

b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo

c) La aceleracioacuten maacutexima

d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino

entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas

e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de

equilibrio

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

1

2

2

2

max max

2

1

05 981327

015

2

2 2 155

155

)

sin cos

081

F kx

m gk N m

x

a

mkT s

m k

T s

b

dx dvx A t v A t a Asen t

dt dt

kv A A v m s

m

πω πω

ω φ ω ω φ ω ω φ

ω

= minussdot= = =

= = = =

=

= + = = + = = minus +

= = =

5

( )

2 2max max

2

22

2

)

327

)

10 30ordm

2 2

cos 0866 0699 2 2

1635 2 2 2

)

1013

2 6 6 6

c

ka A A a m s

m

d

AAsen t sen t t

A Av A t A v m s

A A Aa a m s

e

msen t t t t s

k

ω

ω φ ω ω

ω ω ω

ω

π π πω ω ω

= = =

= = = rarr =

= = sdot =

= =

= rarr = rarr = = =

5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de

polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule

el periodo de ese movimiento

Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la

Tierra RltRT

2 3

3

44 4

43

3

T

T

Mg R G R

R

π π ππ

= minus

Simplificando queda

3

T

T

GMg RR

R= minus

Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra

Si se deja caer un cuerpo de masa m

6

2

2 2

2

2 3

3

T T

3

T T

es decir

Luego es un mas

GM R2con una = y 2

R GM

T

T

T

T

F ma

GM d RmR ma m

R dt

GMd RR

dt R

Tπω π

ω

=

minus = =

= minus rArr

= =

sum

3

GT

πρ

=

6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un

estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el

periodo de sus oscilaciones

2 30

Bloque flotando en equilibrio

Densidad agua

Volumen del cubo sumergido

F 0

a

cs

a cs c c

a cs c c

a c

V

V g V g

V V

y a a

ρ

ρ ρρ ρρ ρ

= minus ==

=

sum

7

( )20

20

Bloque oscilando

F 0a cs c c

a c cresul

aresul

V g V g

F a y y g V g

F a y g

ρ ρρ ρ

ρ

prime= minus ne

= + minus

=

sum

c cV gρminus 2

2

22 22

2 2

2

2 2

El signo se debe a que el sentido es contrario a y

con

1 1 1 5 980249

2 2 2 100

04

a

recup a

aa

a

a

a yg

F a yg

a gd y d ya yg m y

mdt dt

a gmas

m

a gHz

m

T s

ρρ

ρρ

ρω

ρωυ π π π

+

= minus

minus = rarr = minus

=

sdot sdot= = = =

=

7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor

a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten

de moacutedulo 05 g

b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g

c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms

d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso

correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj

del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si

permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor

durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los

relojes

a)

( )

1

11

1

Ascensor hacia arriba2

3

2 2

2 23

2

2 2 2011

3 3 3

008981

T T

ga

gF mg ma F m g a m g mg

l lT T

g g

TT T

T

T s

π π

uarr =

minus = rarr = + = + =

= rarr =

= rarr = =

=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

4

c)

22 2 22

22 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 30023

2 2 4 8

0023

A A A

AA A

AW Fdx kxdx kx k kA

AkA k kA J

W J

minus minus minus

minusminus minus

asymp

= = minus =minus = minus minus + =

= minus =

=

int int

4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente

(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm

(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de

equilibrio el sistema efectuacutea un mas

Calcular para la situacioacuten (2)

a) El periodo de oscilacioacuten

b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo

c) La aceleracioacuten maacutexima

d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino

entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas

e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de

equilibrio

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

1

2

2

2

max max

2

1

05 981327

015

2

2 2 155

155

)

sin cos

081

F kx

m gk N m

x

a

mkT s

m k

T s

b

dx dvx A t v A t a Asen t

dt dt

kv A A v m s

m

πω πω

ω φ ω ω φ ω ω φ

ω

= minussdot= = =

= = = =

=

= + = = + = = minus +

= = =

5

( )

2 2max max

2

22

2

)

327

)

10 30ordm

2 2

cos 0866 0699 2 2

1635 2 2 2

)

1013

2 6 6 6

c

ka A A a m s

m

d

AAsen t sen t t

A Av A t A v m s

A A Aa a m s

e

msen t t t t s

k

ω

ω φ ω ω

ω ω ω

ω

π π πω ω ω

= = =

= = = rarr =

= = sdot =

= =

= rarr = rarr = = =

5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de

polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule

el periodo de ese movimiento

Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la

Tierra RltRT

2 3

3

44 4

43

3

T

T

Mg R G R

R

π π ππ

= minus

Simplificando queda

3

T

T

GMg RR

R= minus

Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra

Si se deja caer un cuerpo de masa m

6

2

2 2

2

2 3

3

T T

3

T T

es decir

Luego es un mas

GM R2con una = y 2

R GM

T

T

T

T

F ma

GM d RmR ma m

R dt

GMd RR

dt R

Tπω π

ω

=

minus = =

= minus rArr

= =

sum

3

GT

πρ

=

6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un

estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el

periodo de sus oscilaciones

2 30

Bloque flotando en equilibrio

Densidad agua

Volumen del cubo sumergido

F 0

a

cs

a cs c c

a cs c c

a c

V

V g V g

V V

y a a

ρ

ρ ρρ ρρ ρ

= minus ==

=

sum

7

( )20

20

Bloque oscilando

F 0a cs c c

a c cresul

aresul

V g V g

F a y y g V g

F a y g

ρ ρρ ρ

ρ

prime= minus ne

= + minus

=

sum

c cV gρminus 2

2

22 22

2 2

2

2 2

El signo se debe a que el sentido es contrario a y

con

1 1 1 5 980249

2 2 2 100

04

a

recup a

aa

a

a

a yg

F a yg

a gd y d ya yg m y

mdt dt

a gmas

m

a gHz

m

T s

ρρ

ρρ

ρω

ρωυ π π π

+

= minus

minus = rarr = minus

=

sdot sdot= = = =

=

7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor

a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten

de moacutedulo 05 g

b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g

c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms

d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso

correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj

del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si

permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor

durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los

relojes

a)

( )

1

11

1

Ascensor hacia arriba2

3

2 2

2 23

2

2 2 2011

3 3 3

008981

T T

ga

gF mg ma F m g a m g mg

l lT T

g g

TT T

T

T s

π π

uarr =

minus = rarr = + = + =

= rarr =

= rarr = =

=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

5

( )

2 2max max

2

22

2

)

327

)

10 30ordm

2 2

cos 0866 0699 2 2

1635 2 2 2

)

1013

2 6 6 6

c

ka A A a m s

m

d

AAsen t sen t t

A Av A t A v m s

A A Aa a m s

e

msen t t t t s

k

ω

ω φ ω ω

ω ω ω

ω

π π πω ω ω

= = =

= = = rarr =

= = sdot =

= =

= rarr = rarr = = =

5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de

polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule

el periodo de ese movimiento

Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la

Tierra RltRT

2 3

3

44 4

43

3

T

T

Mg R G R

R

π π ππ

= minus

Simplificando queda

3

T

T

GMg RR

R= minus

Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra

Si se deja caer un cuerpo de masa m

6

2

2 2

2

2 3

3

T T

3

T T

es decir

Luego es un mas

GM R2con una = y 2

R GM

T

T

T

T

F ma

GM d RmR ma m

R dt

GMd RR

dt R

Tπω π

ω

=

minus = =

= minus rArr

= =

sum

3

GT

πρ

=

6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un

estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el

periodo de sus oscilaciones

2 30

Bloque flotando en equilibrio

Densidad agua

Volumen del cubo sumergido

F 0

a

cs

a cs c c

a cs c c

a c

V

V g V g

V V

y a a

ρ

ρ ρρ ρρ ρ

= minus ==

=

sum

7

( )20

20

Bloque oscilando

F 0a cs c c

a c cresul

aresul

V g V g

F a y y g V g

F a y g

ρ ρρ ρ

ρ

prime= minus ne

= + minus

=

sum

c cV gρminus 2

2

22 22

2 2

2

2 2

El signo se debe a que el sentido es contrario a y

con

1 1 1 5 980249

2 2 2 100

04

a

recup a

aa

a

a

a yg

F a yg

a gd y d ya yg m y

mdt dt

a gmas

m

a gHz

m

T s

ρρ

ρρ

ρω

ρωυ π π π

+

= minus

minus = rarr = minus

=

sdot sdot= = = =

=

7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor

a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten

de moacutedulo 05 g

b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g

c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms

d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso

correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj

del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si

permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor

durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los

relojes

a)

( )

1

11

1

Ascensor hacia arriba2

3

2 2

2 23

2

2 2 2011

3 3 3

008981

T T

ga

gF mg ma F m g a m g mg

l lT T

g g

TT T

T

T s

π π

uarr =

minus = rarr = + = + =

= rarr =

= rarr = =

=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

6

2

2 2

2

2 3

3

T T

3

T T

es decir

Luego es un mas

GM R2con una = y 2

R GM

T

T

T

T

F ma

GM d RmR ma m

R dt

GMd RR

dt R

Tπω π

ω

=

minus = =

= minus rArr

= =

sum

3

GT

πρ

=

6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un

estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el

periodo de sus oscilaciones

2 30

Bloque flotando en equilibrio

Densidad agua

Volumen del cubo sumergido

F 0

a

cs

a cs c c

a cs c c

a c

V

V g V g

V V

y a a

ρ

ρ ρρ ρρ ρ

= minus ==

=

sum

7

( )20

20

Bloque oscilando

F 0a cs c c

a c cresul

aresul

V g V g

F a y y g V g

F a y g

ρ ρρ ρ

ρ

prime= minus ne

= + minus

=

sum

c cV gρminus 2

2

22 22

2 2

2

2 2

El signo se debe a que el sentido es contrario a y

con

1 1 1 5 980249

2 2 2 100

04

a

recup a

aa

a

a

a yg

F a yg

a gd y d ya yg m y

mdt dt

a gmas

m

a gHz

m

T s

ρρ

ρρ

ρω

ρωυ π π π

+

= minus

minus = rarr = minus

=

sdot sdot= = = =

=

7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor

a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten

de moacutedulo 05 g

b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g

c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms

d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso

correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj

del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si

permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor

durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los

relojes

a)

( )

1

11

1

Ascensor hacia arriba2

3

2 2

2 23

2

2 2 2011

3 3 3

008981

T T

ga

gF mg ma F m g a m g mg

l lT T

g g

TT T

T

T s

π π

uarr =

minus = rarr = + = + =

= rarr =

= rarr = =

=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

7

( )20

20

Bloque oscilando

F 0a cs c c

a c cresul

aresul

V g V g

F a y y g V g

F a y g

ρ ρρ ρ

ρ

prime= minus ne

= + minus

=

sum

c cV gρminus 2

2

22 22

2 2

2

2 2

El signo se debe a que el sentido es contrario a y

con

1 1 1 5 980249

2 2 2 100

04

a

recup a

aa

a

a

a yg

F a yg

a gd y d ya yg m y

mdt dt

a gmas

m

a gHz

m

T s

ρρ

ρρ

ρω

ρωυ π π π

+

= minus

minus = rarr = minus

=

sdot sdot= = = =

=

7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor

a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten

de moacutedulo 05 g

b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g

c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms

d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso

correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj

del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si

permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor

durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los

relojes

a)

( )

1

11

1

Ascensor hacia arriba2

3

2 2

2 23

2

2 2 2011

3 3 3

008981

T T

ga

gF mg ma F m g a m g mg

l lT T

g g

TT T

T

T s

π π

uarr =

minus = rarr = + = + =

= rarr =

= rarr = =

=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

8

b)

( )

2

22

2

Ascensor baja2

1

2 2

2

2

2 2 011 2

01556

T T

ga

gmg F ma F m g a m g mg

lT

g

TT T

T

T s

π

darr =

minus = rarr = minus = minus =

=

= rarr = =

=

c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea

0 011a T s= rarr =

d)

T= 011 s

- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s

- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s

Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)

2

1

00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541

002019

Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo

T T ss

T T s

minus = =minus =

8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno

a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde

a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas

b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en

el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de

las pequentildeas oscilaciones

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

9

a)

2

2

2

2

2 2

Plano de giro = plano del anillo

distancia del cm al centro de oscilacioacuten O

momento de inercia del aro respecto a O

1

2T=

sin

2

cm

R m

dM mgR mgR I

dt

d mgR mgR

I Idt

IT

mgR

R

I

I r dm R d

πω

θθ θ

θ θ ω

π

==

=

= minus minus =

= minus rarr =

=

= =

sum

int

≃

2 2

2 2

2

Por Steiner 2

2 22 2

2 12 283845

98

cm

m R dm mR

I I mR mR

mR RT

mgR g

T T s

π π

π

= =

= + =

= =

sdot= rarr =

int int

b)

( )( )2 2 2 2

2

2

012 112

012 2 2 048 248

012 2 124

012 112

248 22 2

124112

112

c

cm

IT

m gR

m m m m m m

I I m R mR mR mR

mR m RR y R

m m

mR RT T T

gmg R

π

π π

prime=primeprime prime

= + = + =prime

= + = + =prime+prime= = =prime+

= = rarr =prime prime

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

10

9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo

a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares

compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la

masa se localizara

i) En el centro de masas (Tcm)

ii) En el extremo inferior (TL)

iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute

b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una

distancia x del centro de masas

Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)

Comente los resultados obtenidos

c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo

a)

2

2

Peacutendulo fiacutesico

con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten

Colgada del extremo e

1

2

2 1232 223

1 23

1638

ee

e

e

e

L m

IT

mgd

IT

L mLmg LT

gLmg

I mL

T s

π

π

π π

=

=

=

= =

=

=

ai)

2

2

2

m localizada en el cm 2

periodo del peacutendulo simple de longitud L2

2

1

2 4

1

4 22 2 1419

2

cmcm

cm

cm cm

cm

IT

Lmg

LI m mL

LmLT T s

gLmg

T

π

π π

rarr =

= =

= = rarr =

=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

11

aii)

2

2

m localizada en el extremo L

periodo del peacutendulo simple de longitud L

2

2 2 2007

LL

L

cmL

L

IT

mgL

I mL

mL LT T s

mgL g

T

π

π π

rarr =

=

= = rarr =

=

aiii)

debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt

b)

22

2 2 2

2 2

6 6

2 2

2 2

6 2

2122

1

12

6 6

12 36 412 362 2 26 6

6

2 2

12 4 412 42 2 22 6

2

1639

PP

P

cmP

L L

L L

L L

I LT xmgx T

gxI I mx mL mx

L L LL L

x T TL g gg

L L LL L

x T TL g gg

T T s

ππ

π π π

π π π

= +=

= + = +

++= rarr = = rarr =

++= rarr = = rarr =

= =

c)

1 22 2 2

2

2 2

22 2

22

0

2121 122 0

2

2 012

029912 12

PP miacutenimo

TT

x

LL xgx g xx

gx g x

Lx x

L Lx x m

π

minus

part= rarr =part

minus ++=

minus + =

= rarr = =

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

12

10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135

mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la

pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta

95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es

inferior a 50 mm Determinar

a) La constante γ para este movimiento

b) La hora a la que se para el reloj

a)

5 1

arco normal

arco menor

En 917 tomamos y

Pasados 5 minutos

917 135

922 95

0 135

95 135 007028min

tA Ae

mm

mm

t A mm

e

γ

γ γ

minus

minus minus

=primerarrrarr

= =

= rarr =

b)

El reloj se para a los 50 mm

El reloj se para a las

50ln13550 135 141328min

917 141328min 931

te t

horas

γγ

minus= rarr = minus =

+ ≃

11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un

movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν

a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la

moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma

b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente

de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A

que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

13

a)

2

max

2max

maxmax 2 2

La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a

En el oscilador armoacutenico luego

0

A4

P N ma

N a g

a A

a g

ω

ω π υ

minus == rarr =

=

= =

b)

max

max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute

4

r

r

F N mga g

F ma

gA

micro micro micro

microπ υ

= ==

=

=

12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada

en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo

cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de

constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro

extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M

(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)

Debe ser un movimiento armoacutenico simple

Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe

cumplirse

0 (1)Mg kx=

Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

14

Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo

( )2 0 (2)T k x x= +

Y en la masa M

( )1 3Mg T Maminus =

Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten

21 2

I

aT R T R I mR mRa

Rα

αminus = = =

Dividiendo todo por R queda

( )1 2 4T T maminus =

De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce

2a x

k ka x

m M m Mωω

=minus= minus rarr =

+ +

y el periodo

3M+m 10T=2 2

k 16 10

0157T s

π π=sdot

=

13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa

unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable

Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende

a) De un extremo

b) Del otro extremo

c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo

d) Del punto medio

a) y b)

2

2

lT

g

T s

π=

=

c)

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

15

( )

( )

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

2 5

3 3 9

52 2 26

3

26

z

d d d

d d mdI m m

I mgd sen mgd sen mg d d

I dT s

gmg d d

T s

α θ θ θ

π π

= +

= + =

= minus + minus minus

= = =minus

=

≃

d)

1 2 0d d Tminus = rarr = infin

Modo 2

2 2 22 5

2 3 3 3 9

52 2 26

3

d d d d mdL I m m

I dT s

mgL gπ π

= minus = + =

= = =

14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo

de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen

b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un

mas y compare su periodo con el que tendriacutea el

mismo sistema oscilando en un plano vertical

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

16

N

2 2N

2 2

N

Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda

Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta

necesaria para describir el ciacuterculo

F

F

Fv R

R Lsen

m R m Lsen

mv Rm

R ω

θ

ω ω θω

=

=

= =

= =2

2

2 2N

22

F

coscos cos cos

m RR

m Lsen Lsentg

mg mg g

sen g g gtg

L LL

ω

ω θ ω θθ

θθ θ ω ωθ θ θω

=

= = =

= rarr = rarr = rarr =

2

1

2 cos

1 cos2

f

gf

L

Lf T

T g

ω π

π θθπ

=

=

= rarr =

b)

P coacutenico 2

2

2

4 tan costan 2c

g lR g T

T lsen g

π θ θω θ πθ

= = =

P Plano

2p

lT

gπ=

Relacioacuten 0

cos 1c

p

T

T θθ

rarr

= rarr

En coordenadas rectangulares (x y) horizontales

P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =

P planos

( )0 sinx y R tω φ= +

Composicioacuten

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

sin cos

cos sin

x y R t R t R

v R t R t R v R

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ = + = = + = =

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

17

15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas

representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute

situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2

para cada uno de los dos resortes unidos al bloque

a)

( )

( )1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2a

k k

m k k

x x x

F k xF F F

F k x

F FFF kx x x x

k k k

k kk

k k k k k

k kk

m m k kω

υ π

+

= += minus

= == minus

= minus rarr = minus = + = minus minus

rarr = + rarr =+

= =+

rarr =

a b c

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

18

b)

( )

1 2

1 1 11 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 21

2b

x x x

F k xF F F

F k x

kx k x k x k k x

k k k

k k k kk

m m mω υ π

= == minus

= += minus

minus = minus minus = minus += +

+ += = rarr =

c)

( )

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

Lo que se estira el muelle 1 es igual

a lo que se comprime el muelle 2

c b

x x

F F F

kx k x k x k k x k k k

υ υ

=

= +minus = minus minus = minus + rarr = +

=

16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera

Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con

rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en

uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la

columna liacutequida es T=2π(L2g)12

( )2

2

Fuerza recuperadora

2

2

rec

rec

F

F g y A

d yg yA m

dtm V AL

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

= minus

minus =

= =

minus 2g y A ρ= A2

2

2

2Movimiento armoacutenico simple

con

2

2 22

2

d yL

dt

d y gy

Ldt

g LT T

L g

πω πω

= minus rarr

= rarr = rarr =

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

19

17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250

Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una

fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N

Determinar

a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario

b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud

25

25

1250

50

12

t

o

rad s

m kg

k N m

b kg s

F N

ω ====

=

( )

2 2

1

2

22 2 2 2

2 2

3

Resonancia

1250500

25

5010

2 2 2512

48 25

4

2

9313 10

2 10 257596 1326

500 625

962

96

o

o

o

o

o t t

e

o t

o

o

o

t ot

o

ks

m

bs

mF

m sm

F

mA

tg

A m

arctg rad

F

mA mm

A mm

ω

γ

ω ω γ ω

γωδω ω

δ δ

ω ω γω

minus

minus

minus

= = =

= = =sdot

= =

=minus +

=minus

= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus

minus

= rarr = =

=

18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre

de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones

presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a

la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar

a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ

b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas

c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

20

d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador

e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces

la amplitud de las oscilaciones

( )2

0

0 cos

2

200

03

1

2

mt

m kg kF kx ma

mk N m

A m

x A e tβ

ω

ω δ

τ β

minus

= = minus = rarr ===

= minus

=

a)

( ) ( )2

252

0

1

En 25

2 ln 225 ln 2

2 25

1

225

2

011

1803

1803

m

m

t

tt

m

m

A A ee

At s A

kgs

ms

s

β

βδ

β β

β

τ βτ

minusminus

minus

+

=

==

= rarr =

rarr =

=

= =

=

b)

( ) ( )0

10 210

2 10

1591549

062831

rad s Hz T s

Hz

T s

πω ν πν

= rarr = =

==

c)

2 20 2

159

0628

Hz

T s

ωω ω β ν πν

= minus rarr =

==

d)

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

21

La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0

t

E E e τminus

=

T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1

01 0

2

TE

E T E e τminus

= =

1 ln 2 126T sτ= =

1 126 sT =

e)

( )2

2 0 0001

T

E T E E e τminus

= =

T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99

( )2 ln 001 838E T sτ= minus =

2 838 sT =

La amplitud viene dada por

( )( )

2 20 0

2

0

Bt t

m

t

A t A e A e

A te

A

τ

τ

minus minus

minus

= =

=

Al transcurrir T2 tendremos

( ) ( )2 001 1ln

2 2 2 2

0

001 01

TA Te e

Aτ

minus= = = =

Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial

19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor

de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m

Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10

13 Hz Seguacuten la

mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la

constante de Boltzman

a) Calcular la constante de recuperacioacuten

b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)

c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase

un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido

Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

22

13

22

0

10 2

10

f Hz E T f

Rm g

N

κ ω π

κminus

= = =

= =

a)

( )22 22 3 13 25 26 2

2

10 10 2 10 10 4 10

40

k m kg Hz kg s

k N m

ω π π

π

minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot

=

b)

( )232

2

12

8312 273 17

1 2 2 6023 102 40

1672 10

E TE kA A

k k

A m

κπ

minus

+sdot= rarr = = =

= sdot

c)

( )

2

2

2 11 2322 20

0

1 1

10 2 2 10

40 51 10 6023 10

2 100 200 200 831200

37209 9909ordm

fuioacuten

fuioacuten

fuioacuten

a aA E kA k T

ka Nka kaT

R RN

T K C

κ

πκ

minus

= = = =

sdot sdot= = = =

sdot

= =

20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo

largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de

longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una

distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en

la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=

23

( )( )

0

0

20

0 2

0

0 0 0 0 0

0

cos

1

1

x

x

k l

l l

xF F F

Llx d x

L l l F k L l k x mL L dt

F k L l

l l l l l lk k

L l l l m l m l

l lk

m l

θ

ω

ω

asymp

gt

= =

= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus

minus= rarr = minus =+ ∆

minus=