RELACIONES, APLICACIONES Y FUNCIONES (RAF) · ellos la matemática, de existir, sería una caricatura de lo que es. La ciencia devendría prácticamente imposible. Y la vida sería,

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OBJETIVOS DE LA UNIDAD

1. Introducción

2. Relaciones

2.1. Definición 2.2. Tipos de relaciones

2.2.1. Relaciones unarias o monarias 2.2.2. Binarias 2.2.3. N-arias

2.3. Dominio, recorrido y campo de una relación 2.4. Operaciones entre relaciones: restricción; conversa o inversa; producto relativo

2.4.1. Representación de relaciones

2.5. Propiedades de las relaciones 2.6. Composición de relaciones 2.7. Relación de equivalencia 2.8. Relaciones de orden: mayorantes, minorantes. Límites. Cardinales y ordinales

3. Aplicaciones

3.1. Definición 3.2. Restricción de una aplicación

UNIDADDIDÁCTICA

2 RELACIONES, APLICACIONES Y FUNCIONES (RAF)

Sumario │

"Todos los derechos reservados. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta Unidad sólo puede ser realizada con la autorización de la Universidad a Distancia de Madrid, UDIMA, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47)".

MATEMÁTICA DISCRETA

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3.3. Grafo de una aplicación 3.4. Tipos de aplicaciones 3.5. Composición de aplicaciones

4. Funciones

4.1. Generalidades 4.2. Descripción de conjuntos 4.3. Ejemplo del uso de funciones: el calendario universal 4.4. Funciones de dispersión: funciones «Hash»

5. Morfismos

CONCEPTOS BÁSICOS A RETENER

EJERCICIOS VOLUNTARIOS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

│ Sumario


J. Pazos Sierra Relaciones, aplicaciones y funciones (RAF)

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OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Familiarizar al estudiante con conceptos fundamentales, relevantes y ubicuos, no solo para las matemáticas, sino también para la ciencia en general e incluso para la vida cotidiana. Estos conceptos son los siguientes:

• Relacionesysustipos:equivalenciayorden.

• Aplicaciones:sustiposyoperaciones.

• Funcionesymorfismos(homomorfismos,isomorfismos,automorfismosyendomorfismos).

• Sistemasyestructurasalgebraicas:operacionesinternasyexternas.

Sumario │



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1. INTRODUCCIÓN

DurantelaSegundaGuerraMundial,enelmomentoálgidodelpoderíonazi,Hitlerdecidió invadir Inglaterra. Como paso previo, desencadenó masivos, violentos y continua-dosbombardeosaéreosenloqueseconociócomolabatalladeInglaterra.Frentealosmásquesuperioresmediosaéreosnazis,tantoenbombarderoscomoencazas,losbritánicossolopudieronoponerunasmenguadasfuerzasaéreas,básicamentecazasHurricane,enloqueerasuRoyalAirForce(RAF).ContodosalierontanbienlibradasdeloscombatesqueeldesembarcoylaconsiguienteinvasióndelReinoUnidojamásseprodujo.Anteelvalor,ladecisión,elcoraje,lahabilidad,etc.,delamenguadaRAF,Churchillpronuncióunadelasfrasesquehicieronhistoria:«Nuncatantosdebentantoatanpocos».

JugandoconlasinicialesdelosconceptosquesevanaabordarenestaUnidaddi-dáctica,«relaciones»,«aplicaciones»y«funciones»,quetambiéndanelacrónimoRAF,sepuedeparafrasearlafamosafrasedeChurchilldiciendoque,enmatemáticas,«nuncatantasrealizacionesdebentantoatanpocosconceptos».Enefecto,losconceptosaquíabordados son tan fundamentales, prácticamente para todas las matemáticas, más aún, paratodalaciencia,inclusomás,parainfinidaddecosasdelavidacotidiana,quesinelloslamatemática,deexistir,seríaunacaricaturadeloquees.Lacienciadevendríaprácticamenteimposible.Ylavidasería,ademásdemuydistinta,seguramentemuchopeor.Peroesque,amayores,solosontres,omejordicho,uno:las«relaciones»,pueslas«aplicaciones»sonuntipoespecialderelacionesylas«funciones»unaclaseparti-culardelasaplicaciones,demodoqueR ⊃ A ⊃ F.

Unaspalabrasdeadvertencia.Enlosdiferentestextosaparecendistintosenfoques,énfasisyterminologíaparatratarestascuestiones,casitantoscomoautores,inclusomás,puesalgúnautor,alrepetirohacernuevasedicionesdesustextos,cambiaalgunoatodosloselementosanteriores.Aquísesigueunenfoqueeclécticoyglobalizador,usando,esosí,unavisiónúnica,completando,encadacaso,loquedecíaunautorconloquedecíanotros,naturalmentecuandoestonoeralomismo.Porejemplo,lainmensamayoríadelostextos,alhablardelaspropiedadesdelasrelaciones,selimitanalascuatronecesa-riasparadefinirlasrelacionesbinariasmásimportantes(equivalenciayorden),esdecir,a la reflexividad, simetría, antisimetría y transitividad.Sinembargo,aquísehanam-pliadodichaspropiedadessustancialmenteysehamantenidolaterminologíausadaporcadaautorparaentrenaralestudianteenlalecturayaprendizajededistintasformasdeexpresarlomismo,puesasíescomoapareceenelmundoreal.

│ Sumario



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2. RELACIONES

2.1. DEFINICIÓN

Unarelaciónnoesmásqueunsubconjuntodeunreferencialodelproductocarte-sianodedosomásconjuntosdiferentesoidénticos.

2.2. TIPOS DE RELACIONES

2.2.1. Relaciones unarias o monarias

EnunconjuntoreferencialU,cuyoselementossonsusceptiblesdeverificarunapropiedad p,elsubconjuntoR, o R(p),constituidoporloselementosqueverificanp, de-fineunarelación unaria:

R ⊂ U

Entonces,sedicequeloselementosdeRverificanlarelacióno,mejoraún,estánenlarelación.Porejemplo,la«cribadeEratóstenes»permiteestablecer,enunalistali-mitada de números pertenecientes a N,losnúmerosdedichalistaquesonprimos.Puesbien,elsubconjuntodelosnúmerosprimosobtenidosdeestaformanoesotracosaqueuna relación unaria.

2.2.2. Binarias

Siahoraenvezdeunconjuntosetienendosconjuntos,verbigraciaA y B, se deno-mina relación binariaaunsubconjuntodelproductocartesianodeA × B:

R ⊂ A × B

Elconjuntodeparesordenadosqueestánenlarelaciónconstituyelalistadeelemen-tos de R.

2.2.3. N-arias

Lanocióndeproductocartesiano,vistaenlaUnidaddidáctica1,paradosconjun-tos puede ampliarse de varias formas; a saber:

Sumario │



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• Aconjuntosidénticos;verbigracia,A × A.

• Aconjuntosinfinitos;porejemplo,N × N.

• Amásdedosconjuntos,verbigracia,A × B × C. Entonces, en vez de pares ordenados se tienen ternas ordenadas.

Másaún,puesesteconceptopuedegeneralizarseanconjuntos;porejemplo,A, B, C, …n , N,teniéndoseentoncesunan-erna.Enestecaso,larelaciónrecibeelnombrede«n-aria».

En resumen, una relación n-aria esunsubconjuntoden-ernasordenadaspertene-cientes al producto cartesiano de nconjuntosigualesodistintosqueestánenlarelación.

Lasrelacionessonútileseninformáticapormuchasrazones;sinirmáslejos,todaslas«basesdedatosrelacionales»utilizanrelacionesn-ariasparaelalmacenamientoyaccesodedatos.Sinembargo,enestaUnidad,yporserlasmásgenerales,solosevanaconsiderarlasrelacionesbinarias.Naturalmente,todoloquesedigadeellases,mutatis mutandis,aplicablearelacionesde«aridad»superior.

Enlatabla1,semuestransucintamentelostiposderelacionesconsusejemplosasociadosmáshabitualesenlaciencia.

Tabla 1. Relaciones más habituales en ciencia

Tipo de relación Descripción Ejemplos

Taxonómica Clasificaunconceptogeneralenunnúme-romásespecíficodeconceptosuobjetos.

A es B.ApuedeclasificarsecomounB, un C o un D.

Estructural Describe cómo un concepto o un sistema de conceptos puede ser descompuesto en par-tes o subsistemas.

A está cerca de B.A está a la izquierda de B.

Topológica Describe la distribución espacial de concep-tos físicos y las interconexiones entre estos conceptos.

A está a la derecha de B.A está encima de B.A está debajo de B.A está dentro de B.A contiene a B.A intersecta a B.A está conectada a B.A está en contacto con B.

.../...

│ Sumario



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Tipo de relación Descripción Ejemplos

.../...

Causal Describe cómo ciertos estados o acciones in-ducen otros estados o acciones.

A causa B.A es causado por B.

Funcional Describe las condiciones por las cuales pueden ocurrir acciones y las reacciones y consecuencias que pueden resultar de las acciones.

A permite B.A necesita B.A dispara B.

Cronológica Describe la secuencia temporal en la que ocurren los eventos.

A sucede antes que B.A ocurre después que B.A y B suceden simultáneamente.A ocurre durante B.A comienza antes de que Bfinalice.

Similaridad Establece la«igualdad»oanalogíaentreconceptosyenquégrado.

La válvula A está abierta=admite gasolina.

Condicional Define las condiciones en las que tienen lugarciertascosas.

Cuando masas pequeñas se mueven a poca velocidad y mucha acelera-ción usar hipótesis cuántica.

Finalidad Establece el porqué y para qué de los con-ceptos.

Loscódigosloscrearonloshuma-nos para transmitir sus ideas.

2.3. DOMINIO, RECORRIDO Y CAMPO DE UNA RELACIÓN

Enlasrelaciones,lassiguientesdefinicionessonimportantes:

• Eldominio de una relación binaria R,queexplícitamenteserepresentapor«Dom»R,eselconjuntodetodoslosprimerosmiembrosdelosparesdeR; esdecir,«Dom»R = {x|∃ y < x, y >∈ R}.

• Elrecorrido o contradominio de una relación binaria R,queexplícitamenteserepresentapor«Rec»R,eselconjuntodetodoslossegundosmiembrosde los pares de R;estoes,«Rec»R = {x|∃ y < y, x >∈ R}.

Sumario │



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• Elcampo de una relación Reselconjuntodetodoslosprimerosysegun-dos, miembros de los pares de R; o sea, es la unión del dominio y el contra-dominio o recorrido:

«Cam»R = («Dom»R ∩

«Rec»R)

Así,si«Dom»R={1,3},«Rec»R = {a, b},«Cam»R={1,3,a, b}.Si,verbi-gracia,«Dom»R = {x|x es un varón y xespadredealgunamujer},«Rec»R = = {x|xesunamujeryalgúnvarónespadredex},«Cam»R = {x|x es un varón padredealgunamujer,oxesunamujerquetieneporpadrealgúnvarón}.

Elsímbolo= significaigualpordefinición.

2.4. OPERACIONES ENTRE RELACIONES: RESTRICCIÓN; CONVERSA O INVERSA; PRODUCTO RELATIVO

Lasrelaciones,comoacabadeverse,sonciertotipodeconjuntos,concretamenteconjuntosdepares,ternas,engeneral,«n-ernas»,ordenadas.Entantoqueconjuntos,obviamenteaellasseaplicanlassiguientesoperacionesgeneralesentreconjuntos,yavistasenlaUnidaddidáctica1:unión,intersección,complementación,etc.Peroademás,entantoqueconjuntosdeernas,sepuedendefinirparaellasciertasoperacionesespe-ciales;lasmáscomunesyútilessonlassiguientes,aunqueparasimplificarsolosevana considerar relaciones binarias:

• Restricción.SedenominarestriccióndeunarelaciónR respecto a un con-juntocualquieraC,quesedenotamedianteR/C, a una nueva relación for-mada por los pares de R, cuyo primer miembro pertenece a C; es decir, R/C = {⟨x, y⟩|⟨x|y⟩ ∈ R˄x ∈ C}.

• Imagen.SedenominaimagendeunarelaciónRbajounconjuntoC, y se denota por R[C]alconjuntodelossegundosmiembrosdelosparesdeR cuyo primer miembro pertenece a C;osea,el«recorrido»deR/C: R[C] =

={y/∃x|⟨x, y⟩ ∈ R˄x ∈ C}=«Rec»R/C.Así,verbigracia,siR = {⟨x, y⟩|x es un libro escrito por y} y C = {x|xesunanovelapolicíaca},R/C = {⟨x, y⟩|x esunanovelapolicíacaescritapory} y R[C] = {x|xhaescritoalgunano-velapolicíaca}.

• Conversa o inversa. Larelaciónconversaoinversa,deunarelaciónRquese denota por R–1, es la relación R«dadalavuelta»;esdecir,larelacióncuyos pares son los pares de R«invertidos»,intercambiandosusmiembros;esto es, R–1 = {⟨x, y⟩|⟨y, x⟩ ∈ R}.Así,paraelejemploanteriorR–1 = {⟨x, y⟩|x

│ Sumario



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haescritoellibroy} y si R fuera la relación: R = {⟨x, y⟩|x es progenitor de y}, R–1 = {⟨x, y⟩|xeshijodey}.

• Producto relativo de las relaciones R y S.Sedenominaproductorelativode dos relaciones R y S,quesedenotapor«R|S»,alarelaciónpuenteentreR y S. Es, por tanto, una nueva relación formada por los pares ⟨x, y⟩, tales quex es el primer miembro de un par de R, cuyo segundo miembro es el primer miembro de un par de S quetieney como segundo miem-bro.Máscoloquialmente,x tiene asuderechaenRalgoqueestáalaizquierdadey en S. Por consi-guiente, R|S = {⟨x, y⟩|∃ Z |⟨x, z⟩ ∈ ∈ R ˄⟨z, y⟩ ∈ S}.Porejemplo,si R = {⟨x, y⟩|x es primo de y} y S = {x, y|xeshijodey}, entonces R|S = {⟨x, y⟩|x es sobrino de y} y S|T = {⟨x, y⟩|xeshijodeunprimo de y}.

2.4.1. Representación de relaciones

Unarelaciónpuederepresentarsededis-tintasmaneras,entrelasquecabedestacarlassi-guientes: grafo, sagital o mediante un cuadro. Sean,verbigracia,losconjuntos

A={1,2,3}yB={1,2,3,4,5,6,7}

Y sea la relación R dada por x ∈ A divide a B,obteniéndoseelconjuntoC,talque

C = ARB={(1,1),(1,2),(2,2),(1,3),(3,3),(1,4),(2,4),(1,5),(1,6),(2,6),(3,6),(1,7)}

Entonces,lasfiguras1(a),(b)y(c)repre-sentan, respectivamente, esta relación con sus formas de grafo, sagital o en cuadro.

Figura1. Distintas representaciones de una relación

(a) Sagital

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

(b) Grafo

1

23

4

56

7

(c) Cuadro

54321

67

1 2 3

Sumario │



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2.5. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Lasrelaciones,entantoqueconjuntodepares,puedentenerpropiedades,quepue-denserdeciertotipo,enfuncióndequélesocurraasusparesconjuntamenteconsidera-dos.Porejemplo,unarelaciónpuedesertalquesiemprequetengaunpar,tengatambiénunparopuesto(verbigracia,«serhermanode»),oquenotenganuncadosparesopues-tos(verbigracia,«serprogenitorde»)oquetodoelementodelcampoestérelacionadoconsigomismo(verbigracia,«sertanomásaltoque»)etc.Teniendoestoencuenta,laspropiedades más destacadas de las relaciones son las siguientes:

• Reflexividad. Sedacuandotodoobjetodelcampoestárelacionadoconsi-go mismo. Formalmente, Resreflexiva↔ ∀x(x ∈«Cam»R→⟨x, x⟩ ∈ R).

• Irreflexividad.Enestecaso,ningúnobjetoestárelacionadoconsigomismo.Formalmente, Resirreflexiva↔ ∀x(x ∈«Cam»→⟨x, x⟩ ∉ R).

• Simetría. Para todo par, el par converso está también en la relación. For-malmente, R es simétrica ↔ ∀x, y(⟨x, y⟩ ∈ R→⟨y, x⟩ ∈ R).

• Asimetría. Cuando ningún par está invertido en la relación. Formalmente, R es asimétrica ↔ ∀x, y(⟨x, y⟩ ∈ R→⟨y, x⟩ ∉ R).

• Antisimétrica.Cuandolosúnicosparesconversos,casodehaberalguno,sonlosidénticos;esdecir,conambosmiembrosidénticos,o,dichodeotromodo,nohaydospares«diferentes»invertidos.Formalmente,R es antisi-métrica ↔ ∀x, y(⟨x, y⟩ ∈ R˄⟨y, x⟩ ∈ R → x = y).

• Transitividad. Larelaciónse«hereda»;esdecir,siemprequeunobjetoestérelacionado con otro y este lo esté con un tercero, el primero también está relacionado con el tercero. Formalmente, R es transitiva ↔ ∀x, y, z(⟨x, y⟩ ∈ R˄⟨y, z⟩ ∈ R → ⟨x, z⟩ ∈ R).

• Intransitividad.Nohayningunasecuenciadeparestransitivos.Formal-mente, R es intransitiva ↔ ∀x, y, z(⟨x, y⟩ ∈ R˄⟨y, z⟩ ∈ R → ⟨x, z⟩ ∉ R).

• Conexión débil.Cualesquieradosobjetosdel«campo»diferentesestánrelacionados en un sentido u otro o en los dos. Formalmente, Resconexa ↔ ∀x, y(x ∈Cam R ˄y ∈ Cam R ˄x≠y→⟨x, y⟩ ∈ R˅⟨y, x⟩ ∈ R).

• Conexión fuerte.Cualesquieradosobjetosdelcampoestánrelacionadosen un sentido u otro o en los dos. Formalmente, Resfuertementeconexa↔ ∀x, y(x ∈Cam R ˄y ∈ Cam R →⟨x, y⟩ ∈ R˅⟨y, x⟩ ∈ R).

Así,porejemplo:R = {⟨1,1⟩, ⟨1,2⟩, ⟨2,2⟩, ⟨2,3⟩, ⟨1,3⟩, ⟨3,3⟩}esreflexiva,anti-simétrica,transitiva,conexayfuertementeconexa.S = {⟨1,2⟩, ⟨2,1⟩, ⟨2,3⟩, ⟨3,2⟩} es

│ Sumario



www.udima.es 53

irreflexiva,simétricaeintransitiva.T = {⟨1,2⟩, ⟨2,3⟩, ⟨1,3⟩}esirreflexiva,asimétrica,antisimétrica,transitivayconexa.U = {⟨1,2⟩, ⟨2,1⟩ , ⟨2,2⟩, ⟨2,3⟩} no tiene ninguna de estaspropiedades.Øtienetodaslaspropiedades,pueshacefalsoelantecedentedetodoslosdefinientes.V = {⟨1,2⟩}esirreflexiva,asimétrica, antisimétrica, transitiva, intran-sitivayconexa;enestecaso,latransitividadeintransitividadsecumplenambasporquese cumplen vacuamente. W = {⟨1,1⟩} es re-flexiva,simétrica,transitiva,conexayfuer-tementeconexa.Q = {⟨x, y⟩|x e y tienen los mismosprogenitores}esreflexiva,simétricay transitiva. P = {⟨x, y⟩|xesmásaltoquey} es irreflexiva,asimétrica,antisimétricaytransitiva. O = {⟨x, y⟩|x ama a} no tiene nin-guna de estas propiedades.

Entre estas propiedades se dan las im-plicacionessiguientes:simetríamástran-sitividadimplicanreflexividad;asimetríaimplicatantoirreflexividadcomoantisime-tría;yconexióndébilmásreflexividadim-plicanconexiónfuerte.

Teniendoencuentalosgrafosdelasrelaciones, una relación es reflexiva si y solo si su grafo, tal y como se muestra en la figura2,tieneunbucleencadaunodesuspuntos; en caso contrario, recibe el nombre de antirreflexiva.

Unarelaciónessimétrica si, tal y como semuestraenlafigura3,cadavezquesugrafotieneunaflechaquevadeahaciab, también hayunarcoquevadebhaciaa; si esta simulta-neidadnoexiste,larelaciónesantisimétrica. Es decir, R, simétrica ⇔ R = R–1.

Unarelaciónestransitiva si su grafo, talycomosemuestraenlafigura4,satisfacealacondición:«si»unaflechavadeahaciab

Figura2. Representación de la reflexividad

Figura3. Representación de simetría

b

a

entoncessi

Figura4. Representación de la transitividad

b

a

entonces

si

c

si

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54 www.udima.es

yotraflechavadebhaciac,«entonces»unaflechavadeahaciac,yestocualquieraqueseanlospuntosa, b, c distintos o no. En este caso, se tienen las diversas relacio-nesquesemuestranenlafigura5.

Figura5. Diversas formas de transitividad

entonces

si si

a = b = c a = bentoncessi si

csi bsi

entonces

a = c≠bentonces

b = c≠a

asi

si

a = b≠ca c

b

2.6. COMPOSICIÓN DE RELACIONES

LarelaciónM◦P se llama compues-ta de las relaciones P y M. En general M ◦P≠P ◦M.Sia y b son relaciones, se tiene la fórmuladadapor la figura6: (B◦A)–1 = A–1◦B–1.

Lacomposiciónderelacioneses«aso-ciativa»;esdecir,secumpleC◦(B◦A)=(C◦ ◦B)◦A,talycomosemuestraenlafigura7.

Porejemplo,si⊥ es una relación de perpendicularidaddefinidaenunconjuntoC derectasdelplanoπ,y||esunarelacióndeparalelismodefinidaenunconjuntoC de rectasdelplanoπ,entoncessedemuestrafácilmenteque:

• ⊥2=⊥◦⊥=||.

• ⊥◦||=||◦⊥=⊥.

• ||◦||=||.

∀ a, b, cresulta:(a/b y b/c)⇒ a/c.

Figura6. Representación de la composición de relaciones

b

a

M◦P

P

c

MP◦M

Figura7. Asociatividad de la composición de relaciones

CB

AB ◦AC ◦B

(C ◦B)◦A

∩

C ◦(B ◦ A)

│ Sumario



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2.7. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

• UnarelaciónbinariaRenunconjuntoAesdeequivalenciasiesreflexiva,simétrica y transitiva. En otros términos, una relación binaria se denomina relación de equivalenciasiesalavezreflexiva,simétricaytransitiva.Estosignificaqueparatodoxsetienequex x,yquex yimplicaquey xyquex y e y zimplicanquex z.Laigualdad,elparalelismodevectoresylase-mejanzadetriángulossonrelacionesdeequivalencia.Parasubrayarqueuna relación ε esdeequivalencia,aveces,seemplealanotaciónespecífi-ca x ≡ y(módε),queselee«x es congruente con y módulo ε»,ytambién«xesequivalenteay módulo ε».Sinohayconfusiónposible,sedirá«x es equivalenteay».

Desdeunpuntodevistaformal,ycomoyasecomentó,todarelacióndeequi-valencia εgeneraliza,pues,laspropiedadesdeigualdad.Recíprocamente,laigualdadaparececonfrecuencia,como«contracción»deunaequivalen-cia.Yaquenoson«idénticos»lossímbolos2/3,4/6,6/9,noson«iguales»,perosílosonlosnúmerosracionalesquerepresentan0,6̂,puestoquelossímbolossonequivalentessegúnsedesprendedelaconocidaregla«pro-ductodemediosigualaproductodeextremos».Estanocióndeequivalen-cianoesexclusiva,nimuchomenos,delasmatemáticas.Porejemplo,la«fonología»deunalenguaconsideracomoequivalentesdossonidosqueel«fonético»reconocecomodiferentes,contaldequeestossonidosnosehallenjamásenoposiciónyquelasustitucióndeunoporelotroseaindi-ferenteenlacomunicacióndedospersonasquehablan.Laclasedeequi-valenciaesel«fonema».

• Unaclasedeequivalenciadeunelementoa ∈ Aeselconjunto[a] = {x ∈ A/ /xRa},yverificalaspropiedadessiguientes:

– ∀a ∈ A, [a]≠Ø.

– [a] = [b] ⇔ aRb.

– Si[a]≠[b], entonces [a]∩[b]≠Ø.

• UnaparticiónoconjuntococientedeunconjuntonovacíoA es una colec-cióndesubconjuntosnovacíosA1, A2, … Ai … de Atalesque:

– Ai∩Aj = Ø, si i≠j.

– A ∩

i∈I Ai; es decir, ∀a ∈ A, ∃italquea ∈ Ai.

Sumario │



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LossubconjuntosAi se denominan bloques de la partición o clases.Unarelacióndeequivalenciaenunconjuntoproduceunaparticióndelconjun-to,y,recíprocamente,unaparticióndeunconjuntodeterminaunarelacióndeequivalenciaenelconjunto.

Teorema

Si R es una relación de equivalencia en A, entonces A/R = {[a]/a ∈ A} es una partición de A.

(La demostración del teorema aparece en la bibliografía).

Teorema

Sea {A1, A2, …, Ai, …} una partición de A; entonces la relación R definida en A por aRb ⇔ ∃i ∈ I, tal que a, b ∈ Ai, es una relación de equivalencia en A.

(La demostración del teorema aparece en la bibliografía).

Porejemplo,seaAigualqueantes:

A={1,2,3,4,5}yunaparticióndeA dada por P={{1,2},{3,5},{4}},entonceslarelación R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5),(4,4)}esunarelacióndeequivalenciaenA,cuyoconjuntococienteesA/R={[1],[3],[4]}.

2.8. RELACIONES DE ORDEN: MAYORANTES, MINORANTES. LÍMITES. CARDINALES Y ORDINALES

Unarelaciónbinaria sedicequeesunarelacióndeordensiesreflexiva,antisi-métrica y transitiva. En otros términos: para todo xseverificax x, x y e y x impli-can x = y;finalmente,x y e y z implican x z.Porejemplo,sobreelconjuntodelosnúmeros enteros, la relación x≤yesunarelacióndeorden.Dicharelación,aladmitirlaigualdad,caracterizaunordenensentidoamplioonoestricto.Deahíquelarelación< podríadenominarserelacióndeordenestricto.Aquí,unosevaaateneralacostumbrequetiendeareservarelnombrederelacióndeordenparalasrelacionesreflexivas.

Sobreelconjuntodelosenterosigualesosuperioresa1,larelaciónx/y, es decir, x divide a y,estambiénunarelacióndeorden.Sinembargo,debeobservarseladiferencia

│ Sumario



www.udima.es 57

siguiente: dos elementos a y b son siempre «comparables»mediantelarelación≤,yaquesiempresetendráa≤b o bien b≤a, e incluso las dos si a = b,mientrasquedosele-mentoscomo7y36«nosoncomparables»mediantelarelación∕.Elhechodeque7nodividaa36noimplicaque36dividaa7. Asípues,larelación≤esunarelacióndeorden total,entantoque∕esunarelaciónde orden parcial.

Muchasvecesconvienerepresentarporundiagramaunconjuntoordenadomedian-te una relación de orden total o parcial. Para ello,loselementossesimbolizanconpuntos(∙)ocirculitos(◦),doselementoscompa-rablesseunenporunalínea,y,sia b, se coloca b encima de a.Lafigura8representaelconjunto{2,3,6,21,42}ordenadopor∕.

Larelación«a es un ascendiente de b»esunadeesasrelacionesquepuedende-nominarse de orden estricto.Sudiagramaestácompuestodeárbolesgenealógicos.Elorden es parcial.

Larelación⊆,definidaenelconjuntodelaspartesdeunreferencial,esunarela-cióndeordenparcial,quizáslamásprimitivadetodas.

• Mayorantes y minorantes.Límitessuperioreinferior.SeaAunconjun-to dotado con una relación de orden .Sielordenestotal,seemplearáelsigno≤,queselee«inferioroiguala»;sielordenesparcial,seutilizaráelsímbolo℘,queseleerá«precede»o«esanteriora».

Sia≤b, o si a ℘ b,sedicetambiénquebesun«mayorante»paraa.SiA' es una parte de Atalqueparatodoa ∈ A',severificaquea≤b o a ℘ b, se dicequebesun«mayorante»deA'.

Enelcasodelordentotal,sielconjuntodetodoslosmayorantesdeA' con-tieneunelementoβmenorquetodoslosrestantes,sedemuestrafácilmente,porreducciónalabsurdo,queβesúnicoysedenomina«el»límitesuperiorde A'.Lasnocionesde«minorante»y«límiteinferior»sededucendelasanteriores invirtiendo el orden.

Enelconjuntodelosenteros,todosubconjuntofinitoadmiteunlímitesu-perioryotroinferiorquepertenecenalsubconjunto.Enelconjuntodelos

Figura8. Diagrama de relación ⁄

21

32

6

42

Sumario │



58 www.udima.es

enterosnaturales,todosubconjuntoadmiteunlímiteinferiorylocontiene.Enelconjuntodelosracionales,elsubconjuntoA' de elementos de la forma 1–1/n con nenteroypositivoadmiteel1comolímitesuperior,peronolocontiene;es«abierto».Añadiéndoleel1seobtieneelconjuntocerradoĀ'. Elconjuntodelosnúmeros«racionales»x,talesquex2<2admitecomomayorantes1,5o1,42o1,415…,perosedemuestraquetalconjuntonotienelímitesuperiorenelconjuntodelosnúmerosracionales.

• Cardinales.Sea

unconjuntodeconjuntos,mejorllamadofamilia de conjuntos:

= {A, A', A'',…}finitooinfinito.SeescribiráA≡A' si y solo siexisteunabiyeccióndeA en A'. Entonces, ∈esunarelacióndeequiva-lencia sobre

. Cada clase se denomina número cardinal o simplemente cardinal,ysediráquedosconjuntosdeunamismaclasetienenlamisma«potencia».Verbigracia,losdíasdelasemanaylasmaravillasdelmundoantiguotienenlamismapotencia:7.

Cuandounconjuntoesaplicablebiunívocamentesobreelconjuntoℵ* de losnúmerosenterosnaturales,sedicequeesnumerableoquesucardinales ℵ0,alefdeíndice0.Elconjuntodelospares,eldeloscuadradosperfec-tosyeldelosnúmerosprimossonconjuntosnumerables.Deloanterior,sededucequeunconjuntoinfinitopuedetenerlamismapotenciaqueunade sus partes propias.

• Ordinales.Sea

= {B, B', B'',…}unafamiliadeconjuntostotalmenteor-denados.SeescribiráT≡T 'siysolosiexisteunaaplicaciónbiunívocadeT sobre T 'queconserveelorden;esdecir,quesia≤b, se deberá tener a'≤b' paralasimágenes.Sedemuestra,conrelativafacilidad,que≡esunarela-cióndeequivalencia.Acadaclaseseledenominauntipo de orden.Unconjuntosedicebien ordenadositodosubconjuntonovacíoadmiteunprimer elemento. N,ordenadonaturalmente,estábienordenado.Laclasedeunconjuntobienordenadoesun«tipodebuenorden»oun«ordinal».LaclasedeN*eselprimer«ordinaltransfinito»quesedesignaporW.

3. APLICACIONES

3.1. DEFINICIÓN

DadosdosconjuntosA y B,sedefineunaaplicación, en inglés mapping, de A en Bdandoun«criterio»transformacióno«regla»quepermitahacercorrespondera todo elemento de A un elemento bien determinado de B.Esta«regla»seconsidera

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comoun«operador»,quesedesignaporlaletraf, g, T,…Sia ∈ A, f (a)designael«aplicado»otransformadodea y representa, por consiguiente, un elemento de B.Sedescribe a →f f (a),ysedicequea se aplica sobre f (a).

Esimportantedistinguirclaramentelostreselementosqueintervienenenunaapli-cación. El elemento a ∈ A, f, el operador, y f (a)∈ B. Con frecuencia es cómodo designar con otra letra, verbigracia, b, al elemento de B denotado por f (a).Entalcasoseescribea→b: f (a),peroestonoesmásqueunconveniodeescrituraqueinteresaseparardelanoción de aplicación.

Alelementof (a)seledenominaimagen de a.Recíprocamente,a es el antecedente de f (a).A se denomina conjunto inicial, origen o de partida o aun dominio, y B, con-junto final, llegada o codominio de la aplicación.

Confrecuencia,seencuentranaplicacionesdeunconjuntoAensímismo;esdecir,A = B.Enestascondiciones,existeunaaplicaciónparticulartalque,atodoa ∈ A, asocia el mismo elemento a.Esla«aplicaciónidéntica»,generalmentedenotadaporI.

3.2. RESTRICCIÓN DE UNA APLICACIÓN

SeaA1unsubconjuntocualquieradeA.TodaaplicacióndeA en B determina una aplicación de A1 en B,enlaquelaimagendeunelementodeA1quedadefinidaenvir-tud de pertenecer a A. Esta aplicación se llama restricción de f a A1.

3.3. GRAFO DE UNA APLICACIÓN

RecibeestenombreelsubconjuntodelconjuntoproductoA × B, constituido por los pares [a, f (a)]asociadosenlaaplicación.Así,porejemplo,enlateoríaordinariadefunciones, el grafo de la aplicación x→f (x)estáconstituidoporelconjuntodelospun-tos(x, y)delplano,talesquey = f (x).

3.4. TIPOS DE APLICACIONES

Seaf una aplicación de A en B, y A1unsubconjuntocualquieradeA. En la apli-cación f,elconjuntodelasimágenesdeloselementosdeA1constituyeunsubconjunto de B,queseescribeconlanotaciónf (A1)yquesedenominaimagendelsubconjuntoA1. SiA1esvacío,seestableceademásquef (Ø)=Ø.Engeneral,setendráf (A1)⊆ B.

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SiA1sereduceaunsoloelemento,suimagenquedaigualmentereducidaaunele-mento,deacuerdoconladefinicióndelaaplicación.SiA1 = A,elsubconjuntoobteni-do f (A)sellamasubconjunto «imagen» de la aplicación.Encualquiercaso,setienequef (A)⊆ B.

• Aplicaciónsuprayectivaosobre.Siseverificaquef (A)=B,demodoqueelconjuntodelasimágenesrecubretotalmenteaB, la aplicación se denomina sobre o suprayectivaysedicequeesunasuprayección.Seempleatam-biénlaexpresión«aplicacióndeA sobre B»,reemplazandolapreposición«en»,utilizadaenelcasogeneral,porlapreposición«sobre».Pordefiniciónde f (A),laaplicacióndeA en f (A)es,evidentemente,suprayectiva.

ConsidéreseahoraunaparteB1 de B.Sedenomina«imagenrecíproca»deB1 por f alsubconjuntodetodoslosa ∈ A,talesque f (a)∈ B1.Sedenotarápor f –1(B1)estaparte de B,conviniendoademásque f –1(Ø)=Ø.Adviértasequesifnoes«suprayecti-va»,sepuedetenerf –1(B1)=Ø,inclusosiendoB1≠Ø.ParaelloessuficientequeB1 y elsubconjuntoimagenseandistintos.

• SedicequeunaaplicacióndeA en B es inyectivaotambiénqueesunainyección, cuando dos elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B. Por consiguiente, todo elemento de Bpuedetenercomomáximounantecedente;esdecir,laimagenrecíprocadetodopuntoserá,obienvacía,o bien estará reducida a un punto.

• Aplicaciónbiyectiva.Unaaplicaciónf de A en Bqueseaalavez«supra-yectiva»e«inyectiva»sedenominabiyectiva.Tambiénsedicequeesunabiyección. En tal aplicación, todo b ∈ B admite un antecedente y solo uno en A,loquedefineunaaplicacióndeB en A. Esta nueva aplicación es su-prayectiva,yaquetodoelementoa de A es antecedente del elemento f (a)de B.Estambiéninyectiva,yaquedoselementosdiferentesdeB no pueden tener el mismo antecedente en A.Sehaobtenido,pues,unabiyeccióndeB en A, llamada biyección recíproca de f,olasdosigualdadesequivalentessiguientes: b = f (a)oa = f –1(b).

Dosconjuntosentreloscualesesposibleestablecerunabiyecciónsedeno-minarán equipotentes;sedice,asimismo,quetienenlamismapotencia.

Dicholoanterior,esdeseñalarlosiguiente.Enprimerlugar,siseconsideraunaaplicacióninyectivaenlaquef (A)eselsubconjuntoimagen,laaplicacióndeA sobre f (A)esbiyectiva,pero,engeneral,noesunabiyeccióndeA sobre B.Alhablardeapli-

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cacióninyectivasehaempleadoelsímbolo f –1(B1)paradesignarlaimagenrecíprocade una parte de B, y, en este caso, f –1 no designa una aplicación de B en A.Sinembar-go,hayquehacerconstarquesisetratadeunabiyección,laimagenrecíprocadeunsubconjuntoreducidoaunelemento, f –1({b}),coincideconeltransformado f –1(b)enlabiyecciónrecíproca.Porlotanto,nohaycontradicciónenlosdosusosdelsigno f –1.

Finalmente,indicarque,aveces,sedicedeunaaplicaciónqueesbiunívoca.Sinoseañadenadamás,estosignificaqueportenertodoelementodeA una imagen, toda «imagen»tienesolounantecedente;porconsiguiente,latransformaciónesinyectiva.PerosiseprecisaquelatransformaciónseabiunívocaentreA y B,sedebeentenderque,al tener todo elemento de Bunantecedenteyunosolo,existeunabiyeccióndeA sobre B, consubiyecciónrecíprocadeB sobre A.

Lafigura9muestragráficamentelosdistintostiposdeaplicacionesconsiderados:

Figura9. Tipos de aplicaciones

a

b

cde

α

β

γδ

A B

(a) Aplicación sobreyectiva

a

b

e

α

β

γδ

A B

(c) Aplicación inyectiva

a

b

cd

α

β

γδ

A B

(b) Aplicación no sobreyectiva

a

b

c

d

α

β

γδ

A B

(d) Aplicación biyectiva

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3.5. COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

Existenvariostiposdecomposicióndeaplicaciones.Lasmásimportantessonelproductoylaautoaplicaciónqueseconsideranacontinuación:

• Producto de dos aplicaciones.SeantresconjuntoscualesquieraA, B, C, y considérese una aplicación f de A en B y una aplicación g de B en C.Si a ∈ A, f da una imagen b = f (a),yg da de b una imagen c = g(b).Elpasodi-recto de a a cdefineunaaplicaciónh de A en C,talquec = h(a)=g[f (a)].Pordefinición,h se denomina compuesta o producto de las aplicaciones f y g. Simbolizandoestaleydecomposiciónporelsigno◦,seescribeh = g◦f y se lee g«compuesto,productoocírculo»f.

Para respetar la notación funcional se está obligado a escribir las sucesivas aplicacionesdederechaaizquierda.Esinteresanteseñalarqueelproducto◦ lacomposicióndefinidadeestamaneranoesunaleydecomposiciónenel sentido dado a ese término anteriormente. En efecto, f, g y h no son ele-mentosdeunmismoconjunto.

Lacomposición◦productodeaplicacionesesasociativa.Seancuatrocon-juntosA, B, C y D, y sea f una aplicación de A en B, g una aplicación de B en C y h una aplicación de C en D.Laasociatividadseexpresaporlafór-mula h◦(g◦f)a=(h◦g)◦f,queresultadeladefinicióndelproducto;en efecto, para a ∈ A, el primer miembro da [h◦(g◦f )]a = h[g◦f (a)]= = h(g[ f (a)])yelsegundo[(h◦g)◦f ]a=(h◦g) f (a)=h(g[ f (a)]).Quema-nifiestalaidentidaddelosresultados,cualquieraqueseaelelementodeA considerado.

• Aplicación de un conjunto en sí mismo. Considérese el caso particular de quelosconjuntosB y C se confunden con A. Entonces, las aplicaciones f y g pertenecenalmismoconjunto:eldelasaplicacionesdeA en A.Esteconjun-toestábiendefinido,caracterizándoseenéllaigualdadpor f = f ' si f (a)== f '(a)paratodoa ∈ A.Estadefiniciónasociaalasaplicacionesf y g toma-das en este orden una aplicación producto, g◦f,queperteneceigualmentealconjuntoconsiderado.Setiene,pues,unaleydecomposiciónsobreesteconjuntoy,segúnlapropiedadprecedenteen(A),estaleyesasociativa.Engeneral, no es conmutativa g◦ f ≠ f ◦g,porloquedeberárespectarseelorden de los factores.

Elestudiodelastransformacionesgeométricasclásicascomosimetría,ro-tación,homotecia,traslación,satisfaceladefiniciónanterior,siendoA el conjuntodepuntosentodoelespaciooenunodesusplanos.

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• Propiedades de la ley.Laleydecomposiciónqueacabadedefinirsepre-senta las propiedades siguientes:

– Elemento neutro.Laleyadmiteunelementoneutro:laaplicaciónidéntica iqueparatodoa ∈ A asocia i (a)=a.Secomprueba,enefec-to,queparacualquierf : i◦f = f ◦i = f.

– Simétrico.Todaaplicación f de Aensímismaadmiteunaaplicaciónsimétrica o inversa con condiciones dadas por el teorema siguiente:

Teorema

Una aplicación f de A en sí misma admite una aplicación simétrica, inversa, para la ley ◦ si y solo si es biyectiva.

(La demostración de este teorema aparece en la bibliografía).

4. FUNCIONES

4.1. GENERALIDADES

Lanocióndefunción, en principio no difieredelconceptode«aplicación».Preci-samentehablando,solosediferenciaenqueseusaeltérmino«función»cuandoA y B son conjuntosdenúmeros.Tambiénseadoptanpara este caso algunas variantes de termino-logía.Enefecto,a es entonces la variable, generalmente designada por x; A es el domi-niodedefinición,yB, el dominio de valores.

Conviene evitar una confusión demasia-do frecuente entre f,quedesignalafunción,o el operador, y f (x),queessuvalorparaelelemento x. Corrientemente, se dice, verbi-gracia,«lafunciónsenx»,cuandodeberíadecirse«lafunciónsen».Lanotacióndelasaplicacionesx→senxevitadichaconfu-sión.Tambiénsepuededecir:lafunción f definidaporf (x)=senx.

Gottlob Frege. Nacido en Wismar (actual Alemania) en 1848.

En 1879 publicó su revolucionaria obra Con-ceptografía (Begriffsschrift), en la que sentó las bases de la lógica matemática moderna iniciando una nueva era en esta disciplina, que había permanecido prácticamente inal-terada desde Aristóteles.

Frege fue el que dio contenido lógico al con-cepto de «función».

Muere en Bad Kleinen hacia 1925.

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Eltérmino«función»provienedellatínfunction,quesederivadelverbofungi, y sig-nificacumplir.Elconceptode«función»esfundamentalentodaslascienciasy,natural-mente,enmatemáticas.Dehecho,entodateoríamatemáticahayquedeterminarcuálessonlosconjuntos,lasrelacionesylasfuncionesrelevantesdelamisma.Porejemplo,elálgebralinealconsideraespaciosvectorialesyfuncioneslineales;enlateoríadegruposdeloscon-juntos,losgruposylasfuncionessonloshomomorfismos,queconservanlasoperaciones;entopología,son,respectivamente,losconjuntosabiertosylasfuncionescontinuas,etc.

Unejemploconspicuosonlospolinomiosylasfuncionesalgebraicas,talescomo y = x3–2x+4.Sienellasesustituyexpor,verbigracia,elnúmero3,seobtieneelvalory=25.Entantoquesisehacex=–3,resultay =–17.Sediceque25y–17sonlosvaloresquetomalafunciónenx=3yx=–3.

Evidentemente, la composición de funciones sigue las reglas de la composición de aplicaciones.

4.2. DESCRIPCIÓN DE CONJUNTOS

Lasfuncionestambiénsirvenparadescribirconjuntos.Enefecto,sea,verbigracia,elconjuntoClacircunferenciaunidadenelplano.Entonces,unconjuntoC puede des-cribirsedealguna(s)oinclusodetodaslasformassiguientes:

• Implícita.Ocomounconjuntodenivel;esdecir,comoantes:

C = f –1(1)={(x, y)≠R2|x2 + y2=1},dondef (x, y)=x2 + y2

• Paramétrica. Como una imagen: C={(cost, sen t)|0≤t<2π}.Enefec-to,siseconsideralafuncióncuyodominioeselintervalo[0,2π]dadapor f (t)=(cost, sen t),resultaquef ([0,2π])=Img( f )=C.

• Explícita.Enestecaso,unconjuntoeslagráficadeunafunción.Porejem-plo, la semicircunferencia C+={(x, y)|x2 + y2=1,y≥0}eslagráficadela función f:[–1,1]→R , i = f (x)=√1–x2.

4.3. EJEMPLO DEL USO DE FUNCIONES: EL CALENDARIO UNIVERSAL

Lamedicióndeltiempo,noatmosférico,siemprehaestadovinculadaalconoci-mientodelosmovimientosdelosastros;enparticular,delaLunay,sobretodo,delSol.1añoeseltiempoquelaTierratardaendescribirsuórbitasolaryesiguala365días

│ Sumario



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másunexcesopróximoa6horas.EntiemposdelemperadorromanoJulioCésar,seins-tauróuncalendariocon1añode365días,másunacorrecciónde1díamáscada4años,paracompensarlascasi6horasperdidas,dandolugaralosañosbisiestos.Sinembargo,comoeltiemporealquetardalaTierraenrecorrersuórbitaesunpocomenor,alcabode los siglos, el error convertido, no despreciable en absoluto, dio lugar a un cierto ade-lantodelcalendario.Hacia1582,entiemposdelpapaGregorioXIII,esteerrorsecifróen10días.Lamaneradecorregiresaacumulacióndepequeñosadelantosoriginóelca-lendario«gregoriano»,elactualmentevigente.Enestecalendariosiguenexistiendobi-siestos;estoes,febrerotiene29díaslosañosmúltiplosde4,exceptolosúltimosañosdecadasiglo,quesololoseríansi,además,fuerandivisiblespor400.Esdecir,1700,1800y1900nofueronbisiestos,mientrasque1600y2000sílofueron.

Teniendoestoencuenta,sisequisierasaber,verbigracia,quédíadelasemanafueel12deenerode1910,seprocederíadeacuerdoconelpríncipedelasmatemáticas,Gauss,quienideóunasencillafórmulaquepermiteresponderaltipodecuestionesqueexponemosacontinuación.

S = D + M + Z + W, siendo Seldíapedido;D,elnúmerodeldía,enelejemplo D=12;Mesunafunciónquesolodependedelmes,enparticularM(enero)=0(dichafunciónseexplicitaenlatabla2);Zesotrafunción,queaparecedescritaenlatabla3,ydependedelnúmerodecentenasdelaño,enestecasoZ(19)=1;finalmente,W es otrafunción,cuyadescripciónapareceenlatabla4,ysolodependedelasdosúltimascifrasdelaño,enestecasoW(10)=5.Porúltimo,sedivideSporelnúmerodedíasdelasemana(7)yseobtieneelresto,quebuscadoenlatabla5,dacomoresultado«miércoles»,esdecir,eldía12deenerode1910fuemiércoles.

Tabla 2. Valores de la función M

M(enero)=0 M(abril)=6 M(julio)=6 M(octubre)=0

M(febrero)=3 M(mayo)=1 M(agosto)=2 M(noviembre)=3

M(marzo)=3 M(junio)=4 M(septiembre)=5 M(diciembre)=5

Tabla 3. Valores de la función Z

Número de centenas Z Número de centenas Z

15, 19 .................................... 1 17, 21 .................................... 3

16, 20 .................................... 2 18, 22 .................................... 4

Sumario │



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Tabla 4. Valores de la función W

Últimas cifras del año W

00 06 17 23 28 34 45 0

01 07 12 18 29 35 40 46 1

02 13 19 24 30 41 47 2

03 08 14 25 31 36 42 3

09 15 20 26 37 43 48 4

04 10 21 27 32 38 49 5

05 11 16 22 33 39 44 50 6

51 56 62 73 79 84 90 0

57 63 68 74 85 91 96 1

52 58 69 75 80 86 97 2

53 59 64 70 81 87 92 98 3

54 65 71 76 82 93 99 4

55 60 66 77 83 88 94 5

61 67 72 78 89 95 6

Tabla 5. Correspondencia del resto con el día de la semana

Domingo ............................. 0 Jueves .................................. 4

Lunes ................................... 1 Viernes ................................ 5

Martes ................................. 2 Sábado ................................. 6

Miércoles ............................ 3

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¿PorquéfuncionalafórmuladeGauss?Enprimerlugar,noesextrañoqueelrestoquedaunnúmeroaldividirlopor7desempeñeunpapeltancrucial;despuésdetodoencadasemanahayexactamente7días.Porejemplo,considéreselafunciónMyhá-gase M(enero)=0.Ahorabien,enerotiene31días;esdecir,31=4×7+3,queson4semanasjustasysobran,enestecaso,3días;poreso,M(febrero)=3.Estoes,sieneroempieza en domingo, entonces febrero empieza en martes; si enero empieza en lunes, entoncesfebreroempiezaenmiércoles,yasísucesivamente.

Porotraparte,salvolosbisiestos,febrerotiene28días,queson4semanasjustas,luegomarzocomienzaelmismodíadelasemanaquefebrero:M(marzo)=M(febrero)= =3.Porelcontrario,marzotiene31días,denuevo4×7+3,loquehacequeM(abril)= = M(marzo)+3=6.Mayo,porunrazonamientosimilar,altenersolo30,daM(mayo)= =abril+2módulo7;osea,M(mayo)=1,queeselrestodedividir8por7,yasísuce-sivamente.

Finalmente, las funciones Z y Wintroducenlascorreccionesdebidasalosañosbi-siestos.

Naturalmente,esteejemplotambiénpodríautilizarseenlaaritméticamodular.Sepidecomoejerciciodecirporqué.

4.4. FUNCIONES DE DISPERSIÓN: FUNCIONES «HASH»

Unadelasaplicacionesmásimportanteseninformáticadelasfuncionessonlasfuncionesdedispersiónofunciones«Hash»,que,entreotrascosas,sirvenparaalma-cenar datos. Para ello, si se conocen los datos de entrada, se construye una función H: Z→Zm,queasignaacadaclavek un número, H(k),de1am.Estenúmerosirvedeín-dice para seleccionar una posición en una tabla formada por m registros de memoria.

Supóngase,verbigracia,quesetienen2.000personasysedisponede5.000posi-cionesdememoria.Enlugardeguardarlos2.000númerosdeDNI(documentonacio-naldeidentidad),setomam=5.000,ounnúmeroprimopróximoa5.000,yseutilizaentoncesunafunción«Hash»H (k)=(k mód m)ysealmacenaenH(k).

Porejemplo,paraguardarelnúmeron se puede considerar como primera opción para la posición al número n(mód11).LafuncióndedispersiónesH(n)=n(mod11).Elresultadodeguardarlosnúmeros15,558,32,132,102y5,eneseorden,enunasceldasoriginalmentevacíassemuestraenlatabla6.

Sumario │



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Tabla 6. Valores y módulos del ejemplo

Valores 132 102 15 5 558 32

Módulos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Siahorasequiereguardar,verbigracia,257,comoH(257)=4,entoncessetendríaqueguardar257enlacelda4.Ahorabien,comopuedeverse,lacelda4yaestáocupa-daporel15;entonces,sedicequeseproduceunacolisión:H(x)=H(y)conx≠y.Unaformaderesolverlascolisionesconsisteenasignarlasiguienteceldamayorvacía.Enestecasoocuparíalaposición6.

Sisequisiera,ahora,localizarunvaloryaguardadon, se calcula m = H(n)ysecomienza a buscar en la posición m.Sin no está en esa posición, se pasa a la siguiente mayor,yasísucesivamente.Sisellegaaunaceldavacíaoseregresaalaposiciónini-cial, entonces n no está presente.

5. MORFISMOS

Esteconcepto,juntoconelde«ducción»(abducción,deducción,inducciónyretro-ducción)sonquizáslasdosideasmáspoderosas,fructíferasyubicuasdelmétodocien-tífico,poresosetratanaquílosmorfismosconalgunaamplitudyprofundidad.

• Isomorfismo.Lanocióndeisomorfismoesunodelosconceptosbásicosdelálgebramoderna.SeandosconjuntosC y C ', y f, una biyección de C sobre C '.SupóngansedefinidassobreC ' una ley de composición, denotada por *, y otra sobre C ' simbolizada por *'.Labiyecciónsellama«regular»respecto a las leyes *, y *' si la igualdad a * b = c,supuestaverificadaenC, implica para las imágenes f (a), f (b)y f (c)laigualdad: f (a)*' f (b)= = f (c),queseverificasobreC '.Estoequivaleadecirqueeltransformadodel compuesto sobre A de dos elementos es el compuesto sobre C ' de los transformados de estos elementos.

DeelloresultaqueatodaigualdadentrediversoselementosdeC compuestos por la ley * corresponde una igualdad entre sus imágenes en C ', compuestas de la misma manera según la ley *'. Por consiguiente, toda propiedad de la ley *(asociatividad,conmutividad,elementosneutroeinverso,etc.)perte-

│ Sumario



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nece igualmente a la ley *' de C '.Losdosconjuntosposeen,pues,propie-dadesalgebraicasidénticas.Sonisomorfos,delgriegoisos,estoes,«igual»,y morfé,esdecir,«forma»,ypuedenconsiderarsecomodosrealizacionesconcretas de la misma estructura algebraica.

Estanociónseextiendeademásaestructurasmásricas.SobreC y C ' puede existirunmismonúmerodeleyesdecomposición;atodaleydeC debe co-rresponder una ley de C ',talquef sea regular para cada par. Cabe también queexistanrelacionesbinarias: sobre C, ' sobre E '; la biyección f se denomina regular respecto a y ' si a b' implica f (a) ' f (b).Entonces,las relaciones y 'gozandelasmismaspropiedades.LosdosconjuntosC y C 'sedicenisomorfosparalasestructurasdefinidasporlasleyesyre-lacionesconsideradas.Algunosejemplosaclararánloanterior:

– Lossímbolos0,1,10,11,100,…,empleadosenlanumeraciónbi-naria,ylossímbolos0,1,2,3,4,5,…,delsistemadecimal,formandosconjuntosisomorfosparalasleyesdecomposicióninterna+,larelación<,etc.Estosdosconjuntos«concretos»sonisomorfosconelconjunto«abstracto»delosenteros,delquedandosrepresenta-ciones.

– Enmatemáticaselementalesunosefamiliariza,enunespírituemi-nentementepráctico,conelisomorfismoqueligaelconjuntodelosnúmerosestrictamentepositivosalconjuntodetodoslosnúmerosre-lativos,isomorfismocuyo«léxico»eslatabladelogaritmosycuyagramática tiene las reglas siguientes:

- × corresponde a +.

- : corresponde a –.

- Elevar a la potencia de n corresponde a multiplicar por n.

- Extraerraízn-ésimacorrespondeadividirporn.

- ≤correspondea≤.

Paradefinirlosnúmerosnegativosseintroducenavecesdosclasesdenúmeros,afectandodeunsignocalificativo,+o–,alosnúmeroshastaentoncesenuso.Terminalateoríaidentificandolosnúmerospositivosconlosnúmerosordinarios.Paraevitarqueesteprocedi-mientoparezcaunjuegodeprestidigitación,convieneseñalarlosi-guiente:

Sumario │



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- Queunnúmeroafectadodeunsignonoesyaunnúmeroor-dinario.

- Queelconjuntodenúmerosprecedidodelsigno+esisomorfocon el de los números ordinarios.

- Quelaasimilaciónesunconvenio,cuyaposibilidadsebasaendichoisomorfismo.

Laconstruccióndelosnúmerosracionalesdalugaraunaobservaciónaná-logaparalossímbolosn/L.

Unaobservaciónadicionalespertinentesobrelodicho.Supóngasequeexisteuna biyección fentredosconjuntosA y A'.SiA posee ciertas leyes de com-posición,esposibledefinirleyescorrespondientessobreA'.Atodaley* sobre A se asocia una ley *' sobre A'definiendoelcompuestoc' = a' *' b' de los elementos a' = f (a),yb' = f (b)porc' = f (c),siendoc = a * b. De estemodo,losdosconjuntosresultanisomorfos.Sedice,entonces,quelasoperaciones sobre A'sehandefinidoporisomorfismo.

• Automorfismo.Uncasoparticulareselautomorfismo.SeaAunconjun-tosobreelqueestádefinidaunaley*.Sifesunabiyecciónensímisma,regularparaestaley,entonces,comolosconjuntosA y A' se confunden, elisomorfismocorrespondienterecibeelnombrede«automorfismo».Porejemplo,engeometríaeuclideana,lasimetríaconrelaciónaunplanoesunautomorfismodelconjuntodelosvectoreslibresdelespaciodotadodelaley clásica de adición.

• Homomorfismo.ConsidérensedosconjuntosC y C ' dotados respectivamen-te de leyes de composición * y *'.Supóngase,además,queexisteunaaplica-ción suprayectiva f de C en C ',talquelaimagendelcompuestodea por b mediante * se superpone sobre el compuesto de a' por b' mediante *'. De forma más precisa: a→a' y b→b' y a * b = c y a' * b' = c' implican c→c'.

SediceentoncesqueC 'esuna«imagenhomorfa»deC, dando a f el nom-brede«homomorfismo».Resultaobvioqueenelcasodequef sea una bi-yección,esteconceptoseconfundeconelde«isomorfismo».

Elconceptode«homomorfismo»esfundamentalenlaconstruccióndemo-delos.

Sesabequelaaplicación f de C sobre C ' da origen sobre Caunaequiva-lencia asociada εenlaqueloselementosa, a1, a2, … de una clase C (a)son

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losquetienenlamismaimagena',desuertequeelconjuntococienteC/ε se aplicabiunívocamentesobreelconjuntoimagenC ' por la regla C(a)⇔ a'.

Por otra parte, ε induce sobre C– = C/ε una ley *–,ydecirqueC(a)*– C(b)=

= C(c)oquea' * b' = c'equivaleevidentementeatraducirelmismoconte-nido matemático en términos ligeramente diferentes. De manera rigurosa, elconjunto C

– dotado de la ley *– es isomorfo con C ' dotado de *'.

Siexisteunelementoneutroetalquea * e = e * a = acualquieraqueseaa, su imagen e' da a' * e' = e' * a' = a'cualquieraqueseaa',yaquetodoa' es imagen. Es decir, la imagen del elemento neutro es neutro, y en C/ε corres-ponde a una clase neutra C(e).

Teorema

Sea C un conjunto dotado de una ley de composición *. Si C ' es una ima-gen homomorfa de C por la aplicación f, la equivalencia ε asociada a f de-termina un conjunto cociente C/ε que es isomorfo con E ' dotado de la ley *'.

• Endomorfismo.SielconjuntoC ' es una parte de C,elhomomorfismore-cibeelnombrede«endomorfismo».

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CONCEPTOS BÁSICOS A RETENER

• Relación:relacióndeequivalenciayorden.

• Aplicacionesyfuncionesdiferenciales.

• Tiposdeaplicacionesyfunciones:inyectivas,sobreyectivasybiyectivas.

• Morfismosysustipos.

EJERCICIOS VOLUNTARIOS

TraselestudiodeestaUnidaddidáctica,elestudiantepuedehacer,porsucuenta,unaseriedeejerciciosvoluntarios,comolossiguientes:

1. Déalgunosejemplosderelacionesmonarias,ternariasycuaternarias.

2. AdemásdelaspropiedadesdelasrelacionesdadasenlaUnidad,hayotrastambiéninteresantes.Identifíquelasydefínalas.

3. DadoelconjuntoZ* de los enteros positivos:

• Versiesonoordenado,y,siesordenado,quétipodeordenes.

• DadoelsubconjuntoS={1,2,4,5,10},calcularsuscotassuperioromayoranteeinferiorominorante,susupremoeínfimo,sumaximal,minimal,mínimo;esdecir,suselementosextremales,siexisten.

4. Aldefinirlasaplicaciones,seidentificanlostiposquehabitualmenteapare-cenentodoslostextos:inyectiva,sobreyectiva,biyectiva,delosquesediosurepresentaciónsagital;sinembargo,hayotrosdos,muyimportantes,delosquecasinuncasedasurepresentantesagital.Identifíquelos,defínalosy dé su representación sagital.

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5. Poneralmenosunejemplodelarestriccióndeunafunciónydefinirydarunejemplodesurecíproca,unaampliacióndeunafunción.

6. Considéreseelconjuntodelosdivisoresde60.Represéntelosgráficamenteycalculesiexistensuselementosextremales.

7. Considéreseahoralosnúmerosprimos:2,3,5,7,11,13,17,19,23,…Seaπ(x)elnúmerodeprimosmenoresoigualesquex:π(1)=0,π(7)=4,π(20)= =8,…Comoejercicio:

• Calcularlosvaloresπ(27),π(40)yπ(200).

• Elaborar,porcomputador,unatabladenúmerosprimoshasta1.000ycomprobarconellalapropiedadπ(2x)–π(x)≥1,six≥1.

8. Siacadaenteropositivon se le asigna d(n)elnúmerodesusdivisorespo-sitivos: d (1)=1,d (2)=2,d (3)=3,d (4)=3,d (10)=4,d (30)=8,…,¿cómosedenominanlosnúmeroscuyaimagendadaporesafunciónes2?Describir los números ntalesqued (n)=4.

9. Responderalassiguientescuestiones:¿esinyectivalafunciónf (x)=Lugarde nacimiento de x?Considéreselafunciónnúmerodedivisoresdeunnú-mero, d (n),cuyodominiosonlosenterospositivosZ+={1,2,3,…},ycuyoconjuntodellegadaestambiénZ+.¿Esinyectiva?

10. Paracadafuncióndedispersión(Hash),mostrarenloscasosa),b),c)yd)laformaenqueseinsertanlosdatos,enelordendado,enceldasinicial-mentevacías,con:

a) H (x)=x (mód11).

Celdas:del0al10.

b) H (x)=x2(mód11).

Datos:53,13,281,743,377,20,10y796.

c) H (x)=x(mód17).

Celdas:del0al16.

d) H (x)=(x2+ x)(mód17).

Datos:714,631,26,373,775,906,509,2.032,42,4,136,1.028.

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11. Enelconjuntodelosenterosrelativos,lasleyes+y∙sonestablesrespectodelaequivalencia(a∙b)=mult∙2.Demostrarquelasoperacionesinduci-das son

par + par = par, par + impar = impar, impar + impar = par; y

par∙par=par,par∙impar=par,impar∙impar=impar.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BREUER,J.: Iniciación a la teoría de conjuntos,Madrid,Paraninfo,1970.

GARCÍAMERAYO,F.: Matemática discreta,Madrid,Thomson,Paraninfo,SA,2005.

LIPSCHUTZ,S.: Teoría de conjuntos. 530 Problemas resueltos,SeriedeCompendiosSchaum,NuevaYork,McGraw-Hill,1963.

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RELACIONES, APLICACIONES Y FUNCIONES (RAF) · ellos la matemática, de existir, sería una caricatura de lo que es. La ciencia devendría prácticamente imposible. Y la vida sería,