5/13/2018 Relaciones Binarias - slidepdf.com

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Relaciones Binarias

La relación binaria entre dos conjuntos A y B está definida por R el cual es

un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (AxB). En este caso se dirá

que la relación de A en B es el conjunto R. El conjunto A es el conjunto de

partida mientras que B el conjunto de llegada.

Los elementos del conjunto R son pares ordenados (a, b) de los cuales a ∈ A

y b ∈ B. Estos se denotan aRb lo cual se lee “a está relacionado con b según la

relación R”.

Por ejemplo, la relación mayor que de los conjuntos A= {5, 7, 8} y B=

{6,9,10} será R= {(7,6),(8,6)}

Cuando A=B diremos que R es una relación en A.

Dominio y Rango

El dominio y rango de una relación binaria entre dos conjuntos está

determinado por los elementos del conjunto de partida (dominio) y del

conjunto de llegada (rango o imagen). De esta manera tenemos que:

Dom(R)= {a∈ A | (a,b)∈ R para algún b∈ B }

Rang(R)= {b∈ B | (a,b)∈ R para algún a∈ A }

En otras palabras, el dominio serán los primeros componentes de los pares

ordenados (a,b) que conforman R y el rango serán los segundos componentes.

Representación gráfica de Relaciones

Las relaciones pueden representarse gráficamente de diversas maneras

siendo las más comunes la representación cartesiana, la matricial y la

sagitaria.

Representación Cartesiana

En esta se utilizan los elementos del conjunto de partida como abscisas y

los del conjunto de llegada como ordenadas para representar la relación en el

plano cartesiano.

Por ejemplo, si tenemos que una relación de A en B es el conjunto R= {(3,-

2), (1,-1), (-1,0), (-3,1), (-5,2)} entonces su representación cartesiana será

la siguiente:

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Representación Sagitaria

En ella se utilizan diagramas de Venn para representar los conjuntos de

partida y de llegada y se unen los pares ordenados mediante flechas. Esta es

empleada para conjuntos finitos.

Representación Matricial

En ella se crea una matriz colocando los elementos del conjunto de partida

como filas y los del conjunto de llegada como columnas. La matriz se llena

colocando 1 en las posiciones donde los elementos se relacionan y 0 en caso

contrario. Así, la relación binaria menor o igual entre los conjuntos A=

{1,2,3,4} y B= {1,2,3,4} es el conjunto R= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2),

(2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} el cual se representa matricialmente de la

forma:

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Relación Inversa

Si R es una relación de A en B, la relación inversa R-1 está definida por:

R-1= {(b,a)∈ BxA| (a,b)∈ R}

En la relación inversa se cumple que dom(R-1)= rang(R) y Rang(R-1)=

dom(R), es decir, se intercambian el dominio y el rango de la relación original.

Por ejemplo, dada la relación R= {(1,2), (4,6), (5,7)} la relación inversa

sería R-1= {(2,1), (6,4), (7,5)}.

Teorema. Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R

Composición de Relaciones

Dada la relación R de A en B y la relación S de B en C, la composición de R y

S es la relación:

R ∘ S= {(a,c)∈ AxC | ∃ b∈ B | aRb y bSc}

Nótese que R ∘ S ≠ S ∘ R

Teorema. Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es

una relación de Z en W, entonces:

T ∘ (S o R) = (T ∘ S) ∘ R

Teorema. Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z,

entonces (S ∘ R)-1 = R-1 ∘ S-1