Para el estudio de las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos es indispensable saber el concepto de proyección.

PROYECCIÓN

Proyección de un punto

La proyección de un punto P sobre unarecta , es el pié de perpendicularbajada desde P, se llama proyectante.

l P

PP

P

Pl

Proyección de un segmento AB sobre una recta l

La proyección del segmento sobre la recta es el segmento

cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre

l

l

ABI IA B

l l

A B

A

B

IAIB IBIA

Se lee: es la proyeccióndel segmento AB sobre la recte l

I IA B

E

F

l l l

H

G

M

J

IF IGIM

IH

IEF : Proyección de EFsobre I

I IH G : proyección de HGSobre l

IM : es laProyección de MJsobre l

Ejemplo:

AH : es la proyección de ABsobre AC

HC : es la proyección de BCsobre AC

Ejemplo:

AN : es la proyección de AM sobre AC

NC : es la proyección de MC sobre AC

BM : es la proyección de AB sobre BC

MC : es la proyección de AC sobre BC

RELACIONES MÉTRICAS: Al trazar la altura »h» en el triángulo rectángulo BAC quedan proyectados los dos catetos sobre la hipotenusa. Las proyecciones de los catetos b y cson m y n respectivamente. Se cumple los siguientes teoremas:

1.Teorema de la altura relativa.

El cuadrado de la altura relativa a lahipotenusa es igual al producto delas proyecciones de los catetos sobrela hipotenusa.

2 .h m n2.Teorema de los catetos.

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa porla proyección del cateto sobrela hipotenusa.

2 .c a n 2 .b a m

3.Teorema de Pitágoras.

2 2 2a b c

En un triángulo rectángulo también se cumple:

. .bc a h2 2 2

1 1 1

b c h

Ejemplos:

1.Encuentra la altura.

Desarrollo:

Primero hallamos AB por Pitágoras.

2 2 250 48AB

2 250 48 AB

AB = 14 cm

Hallando h por : . .bc a h

( 14 ) ( 48 ) = 50 h

H = 13,44 cm

2.Encuentra la altura.

Desarrollo:

Aplicando Pitágoras:

2 2

3 2 3AB

Aplicando: . .bc a h

3 2 3 15h

15AB

6 15

15h cm

3.Encuentra «x»

Desarrollo:

Aplicando: 2 .c a n

2 4 20x

80x

16 5x 4 5x cm

4.Halla el valor de «x»

Desarrollo:

Aplicando:2 .c a n

2 7 16x

7 16x

4 7x cm

5.En un triángulo rectángulo ABC, un catetoes 7 cm menor que el otro cateto y la hipotenusa mide 8 cm mas que el catetomenor. Encuentra el perímetro del triángulo

Desarrollo:

x

x -7

x +1

2 2 21 7x x x

2 2 22 1 14 49x x x x x2 16 48 0x x

Resolviendo: X = 12 y 4

el valor de x es 12 , para 4 no cumple.

Los lados del triángulo son: 5,12 y 13

Perímetro : 30cm

6.Hallar el perímetro de un triángulorectángulo, si la altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm, y la diferenciade las medidas de sus proyeccionesortogonales de sus catetos sobre la hipotenusa mide 7 cm.

Desarrollo:

A

B

CH

12a

c

b

m n

1) Por dato:

m – n = 7 m = n + 7

2) 2h mn

144 = ( n + 7 ) ( n )

2 7 144 0n n

( n + 16 ) ( n – 9 ) = 0 n = 9

Por lo tanto: m = 16

3) Hallando los lados del triángulo:

b = m + n b = 25

2c mbC = 4.5 = 20

2 16 25c

2a b n2 25 9a

a = 15

Perímetro : 25 + 20 + 15 = 60 cm

RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

Teorema de Euclides:

1.En un triángulo acutángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo, es igual a la sumade los cuadrados de los otros dos lados , menosel doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre el anterior.

2 2 2 2a b c bm

2 2 2 2c a b bn

2.En un triángulo obtusángulo se cumple que el cuadrado del ladoopuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadradosde los otros dos lados, más el dobledel producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre el anterior.

2 2 2 2a b c bm

Teorema de la mediana

En todo triángulo, la suma de loscuadrados de los lados es iguala dos veces el cuadrado de la mediana relativa al tercer ladomás la mitad del cuadrado deltercer lado.

22 2 2

2

ba c m

Teorema de la proyección de la mediana.

La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual doble producto del tercer lado por la proyección de la mediana sobre el tercer lado.

2 2 2a c bn

Teorema de la bisectriz interior

En todo triángulo, el cuadrado delsegmento bisectriz interior es igualal producto de los lados que formanel vértice del cual se traza la bisectrizmenos el producto de los segmentosque determina la bisectriz sobre el lado opuesto.

2. .BM a c m n

Ejemplos diversos:

1.Dos lados de un triángulo ABC miden AB = 14 cm y AC = 18 cm. halla el lado BCsabiendo que su proyección sobre el lado AB = 1cm.

Desarrollo:

A

C

BH

18

14

x

1

Aplicando:

13

2 22 18 14 2 14 13x

2 324 196 364x2 520 364x

2 156x 4 37x

2. De la figura, halla x

Desarrollo:

Ph1

h2h2

x/2x/2

Q

R

x/2

h1

2

1 22

xh h

En el triángulo BPR:

En el triángulo AQH:

1

2

1 42

xh

2

1 2h x 2

2

2 92

xh

2

2

9

2h x 3

Multiplicando 2 y 3:

2 2

1 2 9h h x

22

292

xx

429

16

xx

2 9 16x

X =3 x 4

X = 12