Relações de Girard

Considere a função polinomial:

F(x) = a0. xn + a1. xn – 1 + a2. xn – 2 +... + xn – 1. x + xn, sendo a0 ≠ 0 e n ≥ 1.Considerando o teorema da decomposição podemos representar F(x) = a0 . (x – r1). (x – r2). ... . (x – rn). Empregando a propriedade distributiva, tornando redutíveis os termos semelhantes, e ordenando o polinômio, temos:

F(x) = a0 . xn – a0(r1 + r2 + ... + rn) . xn-1 + a0 (r1r2 + r1r3 + ...) xn-2 + ...

Se igualarmos os coeficientes deste último polinômio, dois a dois, respectivamente, como os coeficientes iniciais a0, a1, a2, ..., an, obtemos n relações entre as raízes e os coeficientes de F, tais relações são denominadas Relações de Girard, e são as seguintes:

Relações de Girard para uma equação de grau 2:

A equação a0x2 + a1 x + a2 = 0 possue como raízes os termos r1 e r2, nesse caso:

Relações de Girard para uma equação de grau 3

A equação a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0 possui como raízes os termos r1, r2 e r3, nesse caso:

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Relações de Girard para uma equação de grau 4

A equação a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0 possui como raízes os termos r1, r2, r3 e r4, nesse caso:

Equações Algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação. Exemplos:

a x + b = 0 a x2 + bx + c = 0 a x4 + b x2 + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela está escrita nas formas acima.

(an-1) x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

 a x2 + b x + c = 0

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onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

2 x2 + 7x + 5 = 0 3 x2 + x + 2 = 0  Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se o coeficientes b ou c são nulos, juntos ou separadamente. Mesmo na equação incompleta o coeficiente a é sempre diferente de zero.

Exemplos:

4 x2 + 6x = 0 3 x2 + 9 = 0 2 x2 = 0  Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax2=0

Basta dividir toda a equação por a para obter:

 x2 = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.  Equações do tipo ax2+c=0

Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x2 = -c/a

Se –c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se –c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

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Equações do tipo ax2+bx=0

Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0ou x" = -b/a Exemplos gerais

A equação 4x2=0 tem duas raízes nulas. A equação 4x2-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"=-R[2] A equação 4x2+5=0 não tem raízes reais. A equação 4x2-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo:

a x2 + b x + c = 0

é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula de Bhaskara, que também pode ser escrita na forma:

onde D=b2-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

Se D=0, há duas soluções iguais:

x' = x" = -b / 2ª

Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

x' = (-b + R[D])/2ª e x" = (-b - R[D])/2a

O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas.

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Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x2 - 5 x + 6 = 0

Identificar os coeficientes

a = 1 , b = -5 , c = 6

Escrever a fórmula do discriminante

D = b2 - 4ac

Calcular o discriminante

D = (-5)2 - 4.1.6 = 25 - 24 = 1

Escrever a fórmula de Bhaskara:

Substituir os coeficientes a, b e c na fórmula de Bhaskara: x' = (1/2) (5 + R[1]) = (5+1) / 2 = 3x" = (1/2) (5 - R[1]) = (5-1) / 2 = 2

Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x2 + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x2

para gerar

a y2 + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez  x2 = y'x2 = y" e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos: x4 - 13 x2 +36 =0

Tomando y=x2, teremos y2 - 13 y + 36 =0

cujas raízes são  y' = 4 ou y" = 9

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Assim: x2 = 4 ou x2 = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = { 2, -2, 3, -3}

x4 - 5 x2 -36 = 0

Tomando y=x2, teremos y2 - 5 y - 36 =0

cujas raízes são  y' = -4 ou y" = 9

Assim:  x2 = -4 ou x2 = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = {3, -3}

x4 + 13 x2 +36 =0

Tomando y=x2, teremos

y2 + 13 y + 36 =0

cujas raízes são  y' = -4 ou y" = -9

Assim:   x2 = -4 ou x2 = -9

o que garante que o conjunto solução é vazio.

Números complexos

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

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z=(x,y)=x+yiExemplos:

(5,3)=5+3i(2,1)=2+i(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de zy=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos

Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1=z2<==> a=c e b=d

Adição de números complexos

Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1+z2=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos

Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1-z2=(a-c) + (b-d)

Potências de i

Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:i0 = 1i1 = ii2 = -1i3 = i2.i = -1.i = -ii4 = i2.i2=-1.-1=1i5 = i4. 1=1.i= ii6 = i5. i =i.i=i2=-1i7 = i6. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.

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Exemplo:

i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i

Multiplicação de números complexos

Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2

z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bciz1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i

Observar que : i2= -1

Conjugado de um número complexo

Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi

Módulo de um número complexo

Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro

Interpretação geométrica

Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos

Da interpretação geométrica, temos que:

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que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Operações na forma polar

Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:

a)Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação

para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

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Historia Matemática:

Pitágoras

Pitágoras de Samos (do grego Πυθαγόρας) foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca de 496 a.C. ou 497 a.C.

A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome significa altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança seria um ser excepcional.

Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica.

Biografia.

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como referentes às viagens e aos contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o Filósofo e matemático grego nasceu no ano de 496 a.C. na cidade de Samos, fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental cujo principais enfoques eram: harmonia matemática, doutrina dos números e dualismo cósmico essencial. Aliás, Pitágoras foi o criador da palavra "filósofo". Acredita-se que tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Pitágoras cunhado em moeda

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números - para eles o número (sinônimo de harmonia) era considerado como essência das coisas - é constituído então da soma de pares e ímpares, noções opostas (limitado e ilimitado) respectivamente números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação, criando a teoria da harmonia das esferas (o cosmos é

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regido por relações matemáticas). A observação dos astros sugeriu-lhes a idéia de que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas, por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contem as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos discípulos (já que há obscuridades que cerca o pitagorismo devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..

A escola de Pitágoras

Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.

Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.

O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica.

O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.

Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais no início, sem altura definida, sendo uma tomada como fundamental (pensemos numa longa corda presa a duas extremidades que, quando tangida, nos dará o som mais grave - e a partir dela, gerar-se-á a quinta e terça através da reverberação harmônica. Os sons harmônicos. Prendendo-se a metade da corda, depois a terça parte e depois a quinta parte conseguiremos os intervalos de quinta e terça em relação à fundamental. A chamada SÉRIE HARMÔNICA. À medida que subdividimos a corda

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obtemos sons mais altos e os interevalos serão diferentes. E assim sucessivamente. Descobriu ainda que frações simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis. Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis.

O nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites. A filosofia baseou uma doutrina chamada Filosofia explanatória Cristo-Pitagorica.

A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose.

Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos fatores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir o papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos estimulavam a expansão de cultos populares ou estrangeiros.

Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar a purificação. Dioniso guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.

Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim, portanto, uma coisa manifestaria externamente a estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor.

Principais descobertas

Além de grandes místicos, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.

Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo.

α α α

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α α αα α α α

A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe.

Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:

1. Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6.2. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Teorema de Pitágoras

Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:

Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".

A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

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Reitor da primeira universidade

A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas.

Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º).

Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.

Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".

A Escola Pitagórica e as atividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se:

prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;

lealdade entre os membros e distribuição comunitária dos bens materiais; austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola; proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que os

discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras);

purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;

classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis; "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o

qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons);

grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;

na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades nas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia de que há uma ordem que domina o Universo;

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aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";

na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas.

Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a Geometria".

Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos números”.

A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.

Pensamentos de Pitágoras

1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens.2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si.3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.4. O que fala semeia; o que escuta recolhe.5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.7. Todas as coisas são números.8. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de

Deus.9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei

de Deus.10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem

desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.

Importância para o Direito

Pitágoras foi o primeiro filósofo a criar uma definição que quantificava o objetivo final do Direito: a Justiça. Ele definiu que um ato justo seria a chamada "justiça aritmética", na qual cada indivíduo deveria receber uma punição ou ganho quantitativamente igual ao ato cometido. Tal argumento foi refutado por Aristóteles, pois ele acreditava em uma justiça geométrica, na qual cada indivíduo receberia uma punição ou ganho qualitativamente, ou proporcionalmente, ao ato cometido; ou seja, ser desigual para com os desiguais a fim de que estes sejam igualados com o resto da sociedade.

Daniel Bernoulli

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Radicada em Basiléia, Suíça, a família Bernouili (ou Bernouilli) tem um papel de destaque nos meios científicos dos séculos XVII e XVIII: dela descendem nada menos que dez cientistas eminentes, que revolucionarão a Física e a Matemática do período. Pela diversidade e profundidade de seus trabalhos, Daniel Bernoulli - simultaneamente filósofo, físico, fisiologista, médico, botânico e matemático - é considerado por muitos o mais brilhante representante dessa família excepcional.

Sobrinho do famoso físico e matemático Jacques (ou Jakob) Bernoulli (o criador dos números de Bernoulli, que desenvolveram o uso do cálculo infinitesimal),filho de Johann Bernoulli (doutor em Medicina e professor de Física Aplicada da Universidade de Basiléia), Daniel nasceu em Gröningen, na Holanda, a 9 de fevereiro de 1700. Os Bernoulli estavam radicados na cidade havia algum tempo, pois Johann era catedrático na universidade local. Em 1705, com a morte de Jakob, eles retomaram à Basiléia, pois coube a Johann assumir o lugar do irmão à testa da cadeira de matemática da importante universidade

Aos treze anos, Daniel já iniciava seus estudos de Filosofia e Lógica, completando o curso colegial em dois anos. Durante esse período, ele recebeu ensinamentos de Matemática de seu próprio pai e, especialmente, do irmão mais velho, Nikolaus. O verdadeiro desejo familiar, entretanto, era encaminhá-lo para a carreira de comerciante. A insistência de Daniel, porém, levou Johann a autorizar sua inscrição no curso de Medicina, primeiramente em Basiléia, depois em Heidelberg e Estrasburgo. Somente em 1720 ele retomaria à Suíça, obtendo o doutorado no ano seguinte, com uma dissertação intitulada De respiratione.

Após a conclusão do curso, não encontrando, imediatamente, um posto na Universidade de Basiléia, Daniel resolveu juntar-se ao irmão Nikolaus, em Veneza, onde este último continuava seus estudos de Medicina com Pietro Antonio Michelotti. Também desejava trabalhar com G. B. Morgagni, em Pádua, mas não pode realizar essa vontade devido a uma doença grave.

Nessa época, publicou seu primeiro trabalho, as Exercitationes Mathematicae, chamando a atenção dos meios científicos. A obra contém quatro trabalhos diversos, estudando, sucessivamente, jogos de azar, a queda da água de recipientes abertos, a equação de Riccati (equação diferencial cuja solução não pode, em geral, ser reduzida a integração - motivo porque despertou a curiosidade dos matemáticos) e as figuras limitadas por dois arcos circulares. Nesse trabalho já se demonstrava o talento especial de Daniel para a Física, a Mecânica e a tecnologia, usando a Matemática como suporte.

Seu sucesso resultou num convite, para lecionar na Academia de São, Petersburgo, na Rússia, para onde ele partiu, em 1725, com Nikolaus. No mesmo ano, ganhou o prêmio da Academia de Paris, o primeiro de uma série de dez lauréis que lhe foram conferidos por essa entidade.

A estada de Daniel em São Petersburgo deixou-lhe amargas lembranças. Além de perder o irmão mais velho, que tanto influenciara sua formação, sofreu bastante com os rigores do clima. Por isso, solicitou três vezes uma cadeira na Universidade de Basiléia, que só obteve em 1733, passando a dirigir o departamento de Anatomia e Botânica.

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Na Rússia, entretanto, sua produção intelectual foi extremamente rica, principalmente depois de 1727, quando trabalhou com outro grande cientista: Leonhard Euler. Seus estudos dessa época incluem escritos em Medicina, Matemática e Ciências Naturais (especialmente Mecânica), geralmente independentes um do outro, embora simultâneos. Assim, em 1728, publicou uma teoria mecânica da contração muscular. Também realizou pesquisas sobre o nervo óptico e o trabalho mecânico do coração, além de abordar questões de Fisiologia, como o cálculo da quantidade máxima de trabalho realizada pelo homem.

Seu verdadeiro interesse, porém, situava-se nos campos da Física e da Matemática e, já nessa época, ele completava o esquema de sua obra mais marcante, a Hidrodinâmica - importante estudo de mecânica dos fluidos -, além de realizar um trabalho sobre oscilações e um tratado original da teoria da probabilidade.

Em 1733 retornou à Basiléia, junto com o irmão mais novo, Johann, que também se radicara em São Petersburgo. Aproveitou a viagem para visitar várias cidades européias, sendo bem recebido no mundo científico.

Novamente instalado na Suíça, Daniel entregou-se às suas aulas de Medicina, sem abandonar, porém, os estudos de Matemática e Mecânica, sua verdadeira paixão. Publicou vários artigos e completou a Hidrodinâmica (em 1734), que só publicou em 1738.

A mecânica dos fluidos divide-se em duas partes: a hidrostática, que estuda o equilíbrio dos fluidos, e a hidrodinâmica, que estuda seu movimento. A primeira nasceu com Arquimedes - de cuja obra Daniel Bernoulli é considerado um continuador -, mas recebeu um estudo sistemático somente no final do século XVII, com Stevin e Pascal. Já os fundamentos da dinâmica dos líquidos surgem apenas no século XVIII, principalmente graças a Euler. A dinâmica dos gases apresenta impulso maior na atualidade, por sua aplicação ao vôo de aparelhos mais pesados que o ar.

Daniel Bernouili inspirou-se em Demócrito e Arquimedes para desenvolver as idéias centrais de sua mecânica dos fluidos. Do primeiro ele tirou a concepção de que a matéria é composta de átomos que se movem rapidamente em todas as direções. Mas foi a partir dos conceitos de hidrostática e mecânica desenvolvidos por Arquimedes, que o matemático suíço estruturou sua hidrodinâmica.

O grande sábio de Siracusa foi o primeiro a assinalar, ainda no século II a.C., que os fluidos não guardam espaços vazios entre si, apresentando-se, portanto, macroscopicamente contínuos e uniformes.

O norueguês Stevin, contemporâneo de Galileu, estudou a distribuição das pressões nos líquidos em equilíbrio, complementando e sistematizando o estudo do princípio de Arquimedes. Não se sabe se Blaise Pascal (1623-1662) tinha conhecimento do trabalho de Stevin, mas ele completou e confirmou seus resultados, assinalando como a transmissão das pressões a todos os pontos de um líquido em equilíbrio podia ser aproveitada na prensa hidráulica.

Foi Torricelli quem se preocupou primeiro com o problemas suscitados pelo movimento dos fluidos. Talvez o conjunto de estudos que realizou sobre o escoamento de um

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líquido por um orifício seja uma de suas mais importantes obras, apesar de relativamente pouco conhecida. A chave da interpretação das peculiaridades do movimento dos fluidos ideais, porém, foi dada no Tratado de Hidrodinâmica, que Daniel Bernoulii publicou em Estrasburgo, em 1738.

O tratado principia com uma breve história da Hidráulica, seguida de pequena apresentação da Hidrostática. Mas, nos treze capítulos, é aos fluidos elásticos - os gases - que Bernoulli dedica a parte mais importante da obra, esboçando uma teoria cinética dos gases. Para ele, esses fluidos são compostos “de minúsculas partículas que se deslocam de cá para lá, numa movimentação rápida”. A idéia básica de sua teoria cinética é a de que a pressão de um fluido sobre a parede do recipiente que o contém é devida aos inúmeros choques (contra a parede) das pequenas partículas (moléculas) que compõem o fluido. A parede fica sujeita a uma multiplicidade de forças que, em média, correspondem a uma força constante distribuída por toda a superfície em contato com o fluido.

Na mesma obra, o cientista deduz o teorema que leva seu nome - e que exprime, no fundo, a conservação da energia mecânica nos fluidos ideais, afirmando que, em qualquer ponto do fluido, há uma relação constante entre três grandezas: velocidade, pressão e energia potencial do fluido. É um dos princípios fundamentais da mecânica dos fluidos, uma vez que, com algumas correções (considerando-se a compressibilidade e a viscosidade dos fluidos reais), pode, ser aplicado ao movimento de qualquer tipo de fluido. Acima de tudo, ele permite calcular a velocidade de um fluido medindo-se as variações de pressão (a diminuição de velocidade provoca o aumento de pressão e vice versa).

Partindo da idéia da conservação da energia mecanica - característica encontrada mesmo em um líquido isento de forças viscosas - Bernouili mostrou que, em igualdade de nível, há uma diferença de pressões devida à diferente velocidade de escoamento nos vários pontos de um fluido. Por exemplo, num dado ponto do fluido, no qual este último esteja em repouso, a pressão aí será maior, pois está associada a uma forma de energia potencial, ao passo que num outro ponto onde o fluido se move rapidamente a pressão é menor, pois nessa posição à velocidade do fluido corresponde uma dose de energia cinética. Dado que a energia total é a mesma em todos os pontos do filete líquido, nos pontos de maior energia cinética a pressão é menor e vice-versa.

A própria força de sustentação dos aviões se deve à existência da diferença de pressões, que Bernoulli tão bem assinalou. De fato, como o trajeto que os filetes de ar devem percorrer na parte superior do perfil da asa é bem maior que na parte inferior, estabelece-se uma diferença de velocidade nos filetes, de forma que, onde a velocidade é maior, a pressão é menor. Essa diferença resulta numa força ascensional.

Além do vôo do mais pesado que o ar, foram os conhecimentos de Hidrodinâmica que possibilitaram muitos dos confortos da vida atual (desde o cálculo de uma rede de adução e distribuição de água até o projeto dos submarinos, aviões supersônicos, foguetes e mesmo automóveis e outros veículos modernos). Também nas turbinas a gás, instalações frigoríficas, indústrias químicas, motores térmicos, nos quais, ao lado da Termodinâmica, a teoria do escoamento dos fluidos fornece a base teórica indispensável à sua construção.

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Ao publicar sua obra, Daniei teve que suportar as críticas do próprio pai, que o acusou de partir de “um princípio indireto, o qual é perfeitamente verdadeiro, mas que ainda não é acolhido por todos os filósofos”. Johann pretendia estudar o movimento das águas unicamente à luz dos princípios da Dinâmica, pelo que foi felicitado pelo próprio Euler (amigo íntimo de Daniel, com quem mantinha correspondência desde a partida deste último de São Petersburgo). Em 1742, Johann publica sua Hidráulica, com a pré-data de 1732, pretendendo, desta forma, a prioridade de algumas descobertas de seu filho.

Os meios científicos, entretanto, consagraram o livro de Daniel. Este continuou a lecionar em Basiléia, obtendo, em 1743, a cadeira de Fisiologia, mais próxima de seus verdadeiros interesses. Finalmente, em 1750, ele obtém a cadeira de Física, que ocuparia até 1776. Seis anos depois vem a falecer, sendo sepultado em Peterskirche, perto do lugar onde residia.

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