Relasi Dan Fungsi

RELASI DAN FUNGSI

A. Relasi

1. Pengertian Relasi

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita mendengar istilah relasi. Secara

umum relasi berarti hubungan, namun dalam ilmu matematika relasi memiliki arti

yang lebih khusus.

Misalkan Dian, Adi, Dwi, dan Lani diminta untuk menyebutkan warna

kesukaan masing-masing:

Dian menyukai warna merah dan hijau

Adi menyukai warna putih

Dwi menyukai warna merah

Lani menyukai warna hijau

Jika A = {Dian, Adi, Dwi, Lani} dan B = {merah, putih, hijau} maka dapat

dibentuk relasi atau hubungan antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B.

Relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut.

Relasi yang tepat untuk dua himpunan tersebut di atas adalah menyukai

warna. Dian dipasangkan dengan warna merah dan hijau, artinya Dian menyukai

warna merah dan hijau. Adi dipasangkan dengan warna putih, artinya Adi menyukai

warna putih. Tiap anggota himpunan A dapat dipasangkan dengan satu atau

beberapa anggota himpunan B, bahkan dapat juga anggota himpunan A tidak

memiliki pasangan dengan anggota himpunan B.

Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa :

Definisi Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan

anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B

merah

putih

hijau

Dian

Adi

Dwi

Lani

A B

Relasi dan Fungsi* 2

2. Menyatakan Relasi

Relasi dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan

menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.

a) Diagram Panah

Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua

himpunan dengan disertai anak panah.

Contoh:

Diketahui dua himpunan A dan B dengan A = {3,4,5,6} dan B = {4,5,6}. Untuk

menyatakan relasi dari himpunan A dan B dapat kita buat dalam diagram panah

sebagai berikut :

Dari diagram panah di atas tanda panah () menyatakan relasi antara himpunan

A dan B.

b) Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi antara dua himpunan, misalnya relasi dari himpunan A ke himpunan B

dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x A dan y B.

Contoh :

Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5}. Jika relasi dari himpunan A ke

himpunan B adalah kurang dari, maka himpunan pasangan berurutan yang dapat

dibuat adalah{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) }.

c) Diagram Cartesius

Relasi juga dapat dinyatakan dalam diagram cartesius dengan anggota himpunan

A dibuat pada sumbu mendatar (horisontal), dan anggota himpunan B dibuat

pada sumbu tegak (vertikal). Setiap pasangan himpunan A dan B yang berelasi

dinyatakan dengan sebuah noktah ().

4

5

6

3

4

5

6

A kurang dari B

4

5

6

3

4

5

6

A lebih dari B

4

5

6

3

4

5

6

A faktor dari B

Relasi dan Fungsi* 3

Contoh:

Diketahui A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Relasi himpunan A ke

himpunan B adalah "lebih dari". Jadi, diagram cartesiusnya adalah sebagai

berikut.

B. Fungsi

1. Pengertian Fungsi

Gambar diagram panah di bawah menunjukkan relasi rasanya dari

himpunan B ={garam, gula, cabai, lada} ke himpunan R ={asam, asin, pahit, manis,

pedas}. Pada relasi dari anggota himpunan B ke anggota himpunan R tersebut,

ternyata setiap bahan-bahan dapur ini memiliki satu rasa dan tidak ada bahan-bahan

dapur yang tidak memiliki rasa atau memiliki lebih dari satu rasa.

Karena setiap anggota himpunan B mempunyai hubungan dengan anggota

himpunan R dan setiap anggota himpunan B tepat memiliki satu kawan pada

himpunan B maka relasi dari B ke R disebut fungsi atau pemetaan.

Asam

Asin

Pahit

Manis

Pedas

B Rasanya R

Garam

Gula

Cabai

Lada

Definisi Fungsi atau Pemetaan

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang

menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota

himpuman B.

Relasi dan Fungsi* 4

Contoh :

Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?

Jawab:

Diagram panah (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan

dengan tepat satu anggota B.

Diagram panah (ii) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu p,

mempunyai empat pasangan anggota B, yaitu 1, 2, 3, 4 dan ada anggota A, yaitu

q dan r tidak mempunyai pasangan anggota B.

Pemetaan atau fungsi ditulis atau dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h

dan huruf kecil lainnya. Misalnya:

f : x 3 dibaca fungsi f memetakan x ke 3

g : A B dibaca fungsi g memetakan anggota himpunan A ke anggota

himpunan B .

2. Menyatakan Fungsi

Pada bahasan pengertian pemetaan telah dikemukakan bahwa pemetaan adalah

relasi khusus. Oleh karena itu, pemetaan pun dapat dinyatakan dengan tiga cara

yaitu diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.

Contoh:

Diketahui A = {1,3,5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan dengan

1 -1, 3 1, 5 3!

b. Nyatakan f dengan diagram Cartesius!

c. Nyatakan f sebagai himpunan pasangan berurut!

Relasi dan Fungsi* 5

Penyelesaian:

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

Penyajian diagram cartesius pada fungsi , sumbu mendatar (horisontal)

merupakan daerah asal (domain) dan sumbu tegak (vertikal) merupakan

daerah kawan (kodomain).

c. Himpunan pasangan terurut

f : {(1,-1), (3,1), (5,2)}

3. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Gambar diagram panah di bawah menyatakan fungsi yang memetakan anggota

himpunan A ke anggota himpunan B.

a1

a2

a3

b1

b2

b3 b4

Daerah Asal (Domain)

B A

Daerah Kawan (Kodomain)

Peta dari A (Range atau

daerah hasil )

Relasi dan Fungsi* 6

Daerah asal (domain) dari gambar di atas adalah himpunan A dan untuk

daerah kawan (kodomain) adalah himpunan B. Daerah hasil (range) pada gambar di

atas adalah anggota himpunan B yang merupakan peta dari anggota himpunan A.

Contoh:

Perhatikan gambar di bawah A={1, 2, 3} disebut domain

(daerah asal) dan B ={1, 2, 3, 4} disebut kodomain

(daerah kawan) .

Dari gambar tersebut, juga diperoleh:

2 B merupakan peta dari 1 A

3 B merupakan peta dari 2 A

4 B merupakan peta dari 3 A

Himpunan peta {2, 3, 4} dinamakan range (daerah hasil).

4. Menentukan Banyaknya Pemetaan dari Dua Himpunan

Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan,

perhatikan uraian berikut.

a) Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.

Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram panah

seperti tampak pada Gambar (a).

b) Jika A = {1, 2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.

Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak seperti diagram panah

pada Gambar (b).

c) Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat, seperti tampak pada

diagram panah pada Gambar di bawah.

(a) (b)

Relasi dan Fungsi* 7

d) Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada

diagram panah pada Gambar berikut.

D

e

Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan banyaknya pemetaan dari

suatu himpunan A ke himpunan B dapat dilihat pada tabel berikut.

Banyaknya Anggota

Banyaknya Pemetaan

yang Mungkin dari

A ke B

Banyaknya

Pemetaan

yang Mungkin dari

B ke A Himpunan A Himpunan B

1 1 1 = 11 1 = 1

1

2 1 1 = 12 2 = 2

1

1 2 2 = 21 1 = 1

2

3 1 1 = 13 3 = 3

1

1 3 3 = 31 1 = 1

3

2 2 4 = 22 4 = 2

2

3 2 8 = 23 9 = 3

2

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota

himpunan B adalah n(B) = b maka

i. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba

ii. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.

Relasi dan Fungsi* 8

Contoh :

Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya

pemetaan

a. dari A ke B;

b. dari B ke A,

tanpa menggambar diagram panahnya.

Penyelesaian:

A = {2, 3}, n(A) = 2

B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5

a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 5

2 = 25

b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 2

5 = 32

5. Grafik Fungsi

Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuatkan grafik

fungsinya. Grafik suatu fungsi adalah bentuk diagram cartesius dari fungsi tersebut.

Misalkan diberikan suatu pemetaan dengan aturan yang memetakan himpunan A ke

himpunan B adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke