Click here to load reader

Relasi Dan Fungsi

  • View
    94

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Mantap!

Text of Relasi Dan Fungsi

  • RELASI DAN FUNGSI

    A. Relasi

    1. Pengertian Relasi

    Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita mendengar istilah relasi. Secara

    umum relasi berarti hubungan, namun dalam ilmu matematika relasi memiliki arti

    yang lebih khusus.

    Misalkan Dian, Adi, Dwi, dan Lani diminta untuk menyebutkan warna

    kesukaan masing-masing:

    Dian menyukai warna merah dan hijau

    Adi menyukai warna putih

    Dwi menyukai warna merah

    Lani menyukai warna hijau

    Jika A = {Dian, Adi, Dwi, Lani} dan B = {merah, putih, hijau} maka dapat

    dibentuk relasi atau hubungan antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B.

    Relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut.

    Relasi yang tepat untuk dua himpunan tersebut di atas adalah menyukai

    warna. Dian dipasangkan dengan warna merah dan hijau, artinya Dian menyukai

    warna merah dan hijau. Adi dipasangkan dengan warna putih, artinya Adi menyukai

    warna putih. Tiap anggota himpunan A dapat dipasangkan dengan satu atau

    beberapa anggota himpunan B, bahkan dapat juga anggota himpunan A tidak

    memiliki pasangan dengan anggota himpunan B.

    Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa :

    Definisi Relasi

    Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan

    anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B

    merah

    putih

    hijau

    Dian

    Adi

    Dwi

    Lani

    A B

  • Relasi dan Fungsi* 2

    2. Menyatakan Relasi

    Relasi dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan

    menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.

    a) Diagram Panah

    Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua

    himpunan dengan disertai anak panah.

    Contoh:

    Diketahui dua himpunan A dan B dengan A = {3,4,5,6} dan B = {4,5,6}. Untuk

    menyatakan relasi dari himpunan A dan B dapat kita buat dalam diagram panah

    sebagai berikut :

    Dari diagram panah di atas tanda panah () menyatakan relasi antara himpunan

    A dan B.

    b) Himpunan Pasangan Berurutan

    Relasi antara dua himpunan, misalnya relasi dari himpunan A ke himpunan B

    dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x A dan y B.

    Contoh :

    Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5}. Jika relasi dari himpunan A ke

    himpunan B adalah kurang dari, maka himpunan pasangan berurutan yang dapat

    dibuat adalah{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) }.

    c) Diagram Cartesius

    Relasi juga dapat dinyatakan dalam diagram cartesius dengan anggota himpunan

    A dibuat pada sumbu mendatar (horisontal), dan anggota himpunan B dibuat

    pada sumbu tegak (vertikal). Setiap pasangan himpunan A dan B yang berelasi

    dinyatakan dengan sebuah noktah ().

    4

    5

    6

    3

    4

    5

    6

    A kurang dari B

    4

    5

    6

    3

    4

    5

    6

    A lebih dari B

    4

    5

    6

    3

    4

    5

    6

    A faktor dari B

  • Relasi dan Fungsi* 3

    Contoh:

    Diketahui A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Relasi himpunan A ke

    himpunan B adalah "lebih dari". Jadi, diagram cartesiusnya adalah sebagai

    berikut.

    B. Fungsi

    1. Pengertian Fungsi

    Gambar diagram panah di bawah menunjukkan relasi rasanya dari

    himpunan B ={garam, gula, cabai, lada} ke himpunan R ={asam, asin, pahit, manis,

    pedas}. Pada relasi dari anggota himpunan B ke anggota himpunan R tersebut,

    ternyata setiap bahan-bahan dapur ini memiliki satu rasa dan tidak ada bahan-bahan

    dapur yang tidak memiliki rasa atau memiliki lebih dari satu rasa.

    Karena setiap anggota himpunan B mempunyai hubungan dengan anggota

    himpunan R dan setiap anggota himpunan B tepat memiliki satu kawan pada

    himpunan B maka relasi dari B ke R disebut fungsi atau pemetaan.

    Asam

    Asin

    Pahit

    Manis

    Pedas

    B Rasanya R

    Garam

    Gula

    Cabai

    Lada

    Definisi Fungsi atau Pemetaan

    Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang

    menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota

    himpuman B.

  • Relasi dan Fungsi* 4

    Contoh :

    Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?

    Jawab:

    Diagram panah (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan

    dengan tepat satu anggota B.

    Diagram panah (ii) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu p,

    mempunyai empat pasangan anggota B, yaitu 1, 2, 3, 4 dan ada anggota A, yaitu

    q dan r tidak mempunyai pasangan anggota B.

    Pemetaan atau fungsi ditulis atau dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h

    dan huruf kecil lainnya. Misalnya:

    f : x 3 dibaca fungsi f memetakan x ke 3

    g : A B dibaca fungsi g memetakan anggota himpunan A ke anggota

    himpunan B .

    2. Menyatakan Fungsi

    Pada bahasan pengertian pemetaan telah dikemukakan bahwa pemetaan adalah

    relasi khusus. Oleh karena itu, pemetaan pun dapat dinyatakan dengan tiga cara

    yaitu diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.

    Contoh:

    Diketahui A = {1,3,5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

    a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan dengan

    1 -1, 3 1, 5 3!

    b. Nyatakan f dengan diagram Cartesius!

    c. Nyatakan f sebagai himpunan pasangan berurut!

  • Relasi dan Fungsi* 5

    Penyelesaian:

    a. Diagram Panah

    b. Diagram Cartesius

    Penyajian diagram cartesius pada fungsi , sumbu mendatar (horisontal)

    merupakan daerah asal (domain) dan sumbu tegak (vertikal) merupakan

    daerah kawan (kodomain).

    c. Himpunan pasangan terurut

    f : {(1,-1), (3,1), (5,2)}

    3. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

    Gambar diagram panah di bawah menyatakan fungsi yang memetakan anggota

    himpunan A ke anggota himpunan B.

    a1

    a2

    a3

    b1

    b2

    b3 b4

    Daerah Asal (Domain)

    B A

    Daerah Kawan (Kodomain)

    Peta dari A (Range atau

    daerah hasil )

  • Relasi dan Fungsi* 6

    Daerah asal (domain) dari gambar di atas adalah himpunan A dan untuk

    daerah kawan (kodomain) adalah himpunan B. Daerah hasil (range) pada gambar di

    atas adalah anggota himpunan B yang merupakan peta dari anggota himpunan A.

    Contoh:

    Perhatikan gambar di bawah A={1, 2, 3} disebut domain

    (daerah asal) dan B ={1, 2, 3, 4} disebut kodomain

    (daerah kawan) .

    Dari gambar tersebut, juga diperoleh:

    2 B merupakan peta dari 1 A

    3 B merupakan peta dari 2 A

    4 B merupakan peta dari 3 A

    Himpunan peta {2, 3, 4} dinamakan range (daerah hasil).

    4. Menentukan Banyaknya Pemetaan dari Dua Himpunan

    Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan,

    perhatikan uraian berikut.

    a) Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.

    Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram panah

    seperti tampak pada Gambar (a).

    b) Jika A = {1, 2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.

    Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak seperti diagram panah

    pada Gambar (b).

    c) Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.

    Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat, seperti tampak pada

    diagram panah pada Gambar di bawah.

    (a) (b)

  • Relasi dan Fungsi* 7

    d) Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.

    Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada

    diagram panah pada Gambar berikut.

    D

    e

    Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan banyaknya pemetaan dari

    suatu himpunan A ke himpunan B dapat dilihat pada tabel berikut.

    Banyaknya Anggota

    Banyaknya Pemetaan

    yang Mungkin dari

    A ke B

    Banyaknya

    Pemetaan

    yang Mungkin dari

    B ke A Himpunan A Himpunan B

    1 1 1 = 11 1 = 1

    1

    2 1 1 = 12 2 = 2

    1

    1 2 2 = 21 1 = 1

    2

    3 1 1 = 13 3 = 3

    1

    1 3 3 = 31 1 = 1

    3

    2 2 4 = 22 4 = 2

    2

    3 2 8 = 23 9 = 3

    2

    Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota

    himpunan B adalah n(B) = b maka

    i. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba

    ii. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.

  • Relasi dan Fungsi* 8

    Contoh :

    Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya

    pemetaan

    a. dari A ke B;

    b. dari B ke A,

    tanpa menggambar diagram panahnya.

    Penyelesaian:

    A = {2, 3}, n(A) = 2

    B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5

    a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 5

    2 = 25

    b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 2

    5 = 32

    5. Grafik Fungsi

    Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuatkan grafik

    fungsinya. Grafik suatu fungsi adalah bentuk diagram cartesius dari fungsi tersebut.

    Misalkan diberikan suatu pemetaan dengan aturan yang memetakan himpunan A ke

    himpunan B adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke