33
RELASI DAN FUNGSI A. Relasi 1. Pengertian Relasi Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita mendengar istilah relasi. Secara umum relasi berarti hubungan, namun dalam ilmu matematika relasi memiliki arti yang lebih khusus. Misalkan Dian, Adi, Dwi, dan Lani diminta untuk menyebutkan warna kesukaan masing-masing: Dian menyukai warna merah dan hijau Adi menyukai warna putih Dwi menyukai warna merah Lani menyukai warna hijau Jika A = {Dian, Adi, Dwi, Lani} dan B = {merah, putih, hijau} maka dapat dibentuk relasi atau hubungan antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut. Relasi yang tepat untuk dua himpunan tersebut di atas adalah “menyukai warna”. Dian dipasangkan dengan warna merah dan hijau, artinya Dian menyukai warna merah dan hijau. Adi dipasangkan dengan warna putih, artinya Adi menyukai warna putih. Tiap anggota himpunan A dapat dipasangkan dengan satu atau beberapa anggota himpunan B, bahkan dapat juga anggota himpunan A tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan B. Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa : Definisi Relasi Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B merah putih hijau Dian Adi Dwi Lani A B

Relasi Dan Fungsi

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Mantap!

Citation preview

  • RELASI DAN FUNGSI

    A. Relasi

    1. Pengertian Relasi

    Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita mendengar istilah relasi. Secara

    umum relasi berarti hubungan, namun dalam ilmu matematika relasi memiliki arti

    yang lebih khusus.

    Misalkan Dian, Adi, Dwi, dan Lani diminta untuk menyebutkan warna

    kesukaan masing-masing:

    Dian menyukai warna merah dan hijau

    Adi menyukai warna putih

    Dwi menyukai warna merah

    Lani menyukai warna hijau

    Jika A = {Dian, Adi, Dwi, Lani} dan B = {merah, putih, hijau} maka dapat

    dibentuk relasi atau hubungan antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B.

    Relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut.

    Relasi yang tepat untuk dua himpunan tersebut di atas adalah menyukai

    warna. Dian dipasangkan dengan warna merah dan hijau, artinya Dian menyukai

    warna merah dan hijau. Adi dipasangkan dengan warna putih, artinya Adi menyukai

    warna putih. Tiap anggota himpunan A dapat dipasangkan dengan satu atau

    beberapa anggota himpunan B, bahkan dapat juga anggota himpunan A tidak

    memiliki pasangan dengan anggota himpunan B.

    Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa :

    Definisi Relasi

    Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan

    anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B

    merah

    putih

    hijau

    Dian

    Adi

    Dwi

    Lani

    A B

  • Relasi dan Fungsi* 2

    2. Menyatakan Relasi

    Relasi dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan

    menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.

    a) Diagram Panah

    Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua

    himpunan dengan disertai anak panah.

    Contoh:

    Diketahui dua himpunan A dan B dengan A = {3,4,5,6} dan B = {4,5,6}. Untuk

    menyatakan relasi dari himpunan A dan B dapat kita buat dalam diagram panah

    sebagai berikut :

    Dari diagram panah di atas tanda panah () menyatakan relasi antara himpunan

    A dan B.

    b) Himpunan Pasangan Berurutan

    Relasi antara dua himpunan, misalnya relasi dari himpunan A ke himpunan B

    dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x A dan y B.

    Contoh :

    Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5}. Jika relasi dari himpunan A ke

    himpunan B adalah kurang dari, maka himpunan pasangan berurutan yang dapat

    dibuat adalah{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) }.

    c) Diagram Cartesius

    Relasi juga dapat dinyatakan dalam diagram cartesius dengan anggota himpunan

    A dibuat pada sumbu mendatar (horisontal), dan anggota himpunan B dibuat

    pada sumbu tegak (vertikal). Setiap pasangan himpunan A dan B yang berelasi

    dinyatakan dengan sebuah noktah ().

    4

    5

    6

    3

    4

    5

    6

    A kurang dari B

    4

    5

    6

    3

    4

    5

    6

    A lebih dari B

    4

    5

    6

    3

    4

    5

    6

    A faktor dari B

  • Relasi dan Fungsi* 3

    Contoh:

    Diketahui A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Relasi himpunan A ke

    himpunan B adalah "lebih dari". Jadi, diagram cartesiusnya adalah sebagai

    berikut.

    B. Fungsi

    1. Pengertian Fungsi

    Gambar diagram panah di bawah menunjukkan relasi rasanya dari

    himpunan B ={garam, gula, cabai, lada} ke himpunan R ={asam, asin, pahit, manis,

    pedas}. Pada relasi dari anggota himpunan B ke anggota himpunan R tersebut,

    ternyata setiap bahan-bahan dapur ini memiliki satu rasa dan tidak ada bahan-bahan

    dapur yang tidak memiliki rasa atau memiliki lebih dari satu rasa.

    Karena setiap anggota himpunan B mempunyai hubungan dengan anggota

    himpunan R dan setiap anggota himpunan B tepat memiliki satu kawan pada

    himpunan B maka relasi dari B ke R disebut fungsi atau pemetaan.

    Asam

    Asin

    Pahit

    Manis

    Pedas

    B Rasanya R

    Garam

    Gula

    Cabai

    Lada

    Definisi Fungsi atau Pemetaan

    Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang

    menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota

    himpuman B.

  • Relasi dan Fungsi* 4

    Contoh :

    Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?

    Jawab:

    Diagram panah (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan

    dengan tepat satu anggota B.

    Diagram panah (ii) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu p,

    mempunyai empat pasangan anggota B, yaitu 1, 2, 3, 4 dan ada anggota A, yaitu

    q dan r tidak mempunyai pasangan anggota B.

    Pemetaan atau fungsi ditulis atau dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h

    dan huruf kecil lainnya. Misalnya:

    f : x 3 dibaca fungsi f memetakan x ke 3

    g : A B dibaca fungsi g memetakan anggota himpunan A ke anggota

    himpunan B .

    2. Menyatakan Fungsi

    Pada bahasan pengertian pemetaan telah dikemukakan bahwa pemetaan adalah

    relasi khusus. Oleh karena itu, pemetaan pun dapat dinyatakan dengan tiga cara

    yaitu diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.

    Contoh:

    Diketahui A = {1,3,5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

    a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan dengan

    1 -1, 3 1, 5 3!

    b. Nyatakan f dengan diagram Cartesius!

    c. Nyatakan f sebagai himpunan pasangan berurut!

  • Relasi dan Fungsi* 5

    Penyelesaian:

    a. Diagram Panah

    b. Diagram Cartesius

    Penyajian diagram cartesius pada fungsi , sumbu mendatar (horisontal)

    merupakan daerah asal (domain) dan sumbu tegak (vertikal) merupakan

    daerah kawan (kodomain).

    c. Himpunan pasangan terurut

    f : {(1,-1), (3,1), (5,2)}

    3. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

    Gambar diagram panah di bawah menyatakan fungsi yang memetakan anggota

    himpunan A ke anggota himpunan B.

    a1

    a2

    a3

    b1

    b2

    b3 b4

    Daerah Asal (Domain)

    B A

    Daerah Kawan (Kodomain)

    Peta dari A (Range atau

    daerah hasil )

  • Relasi dan Fungsi* 6

    Daerah asal (domain) dari gambar di atas adalah himpunan A dan untuk

    daerah kawan (kodomain) adalah himpunan B. Daerah hasil (range) pada gambar di

    atas adalah anggota himpunan B yang merupakan peta dari anggota himpunan A.

    Contoh:

    Perhatikan gambar di bawah A={1, 2, 3} disebut domain

    (daerah asal) dan B ={1, 2, 3, 4} disebut kodomain

    (daerah kawan) .

    Dari gambar tersebut, juga diperoleh:

    2 B merupakan peta dari 1 A

    3 B merupakan peta dari 2 A

    4 B merupakan peta dari 3 A

    Himpunan peta {2, 3, 4} dinamakan range (daerah hasil).

    4. Menentukan Banyaknya Pemetaan dari Dua Himpunan

    Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan,

    perhatikan uraian berikut.

    a) Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.

    Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram panah

    seperti tampak pada Gambar (a).

    b) Jika A = {1, 2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.

    Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak seperti diagram panah

    pada Gambar (b).

    c) Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.

    Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat, seperti tampak pada

    diagram panah pada Gambar di bawah.

    (a) (b)

  • Relasi dan Fungsi* 7

    d) Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.

    Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada

    diagram panah pada Gambar berikut.

    D

    e

    Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan banyaknya pemetaan dari

    suatu himpunan A ke himpunan B dapat dilihat pada tabel berikut.

    Banyaknya Anggota

    Banyaknya Pemetaan

    yang Mungkin dari

    A ke B

    Banyaknya

    Pemetaan

    yang Mungkin dari

    B ke A Himpunan A Himpunan B

    1 1 1 = 11 1 = 1

    1

    2 1 1 = 12 2 = 2

    1

    1 2 2 = 21 1 = 1

    2

    3 1 1 = 13 3 = 3

    1

    1 3 3 = 31 1 = 1

    3

    2 2 4 = 22 4 = 2

    2

    3 2 8 = 23 9 = 3

    2

    Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota

    himpunan B adalah n(B) = b maka

    i. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba

    ii. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.

  • Relasi dan Fungsi* 8

    Contoh :

    Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya

    pemetaan

    a. dari A ke B;

    b. dari B ke A,

    tanpa menggambar diagram panahnya.

    Penyelesaian:

    A = {2, 3}, n(A) = 2

    B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5

    a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 5

    2 = 25

    b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 2

    5 = 32

    5. Grafik Fungsi

    Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuatkan grafik

    fungsinya. Grafik suatu fungsi adalah bentuk diagram cartesius dari fungsi tersebut.

    Misalkan diberikan suatu pemetaan dengan aturan yang memetakan himpunan A ke

    himpunan B adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke (x + 1) anggota B. Dengan

    A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4} .

    Dengan demikian, pada pemetaan f : x x + 1 dari himpunan A ke himpunan

    B diperoleh

    Untuk x = 1, f : 1 1 + 1 atau f : 1 2 sehingga (1, 2) f,

    Untuk x = 2, f : 2 2 + 1 atau f : 2 3 sehingga (2, 3) f,

    Untuk x = 3, f : 3 3 + 1 atau f : 3 4 sehingga (3, 4) f.

    Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat

    dituliskan dalam bentuk tabel atau daftar. Untuk fungsi f : x x + 1, tabelnya adalah

    sebagai berikut.

    X 1 2 3

    x + 1 2 3 4

    Pasangan Berurutan (1, 2) (2, 3) (3, 4)

    Dengan menggunakan pasangan-pasangan berurutan yang diperoleh pada tabel

    di atas dapat digambar grafik Cartesius untuk fungsi f: x x + 1 seperti tampak

    pada gambar berikut.

  • Relasi dan Fungsi* 9

    Jika domain dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil,

    rangenya ditunjukkan dengan garis yang melalui noktah-noktah seperti pada gambar

    di bawah.

    C. Nilai Fungsi

    1. Notasi Fungsi

    Sebelumnya telah dijelaskan bahwa fungsi dinotasikan dengan huruf kecil

    seperti f, g, atau h. Pada fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, x A maka peta

    atau bayangan x oleh f dinotasikan dengan f(x).

    Notasi fungsi yang memetakan x anggota himpunan A ke y anggota himpunan

    B dapat ditulis sebagai berikut.

    Contoh:

    Diberikan fungsi himpunan A ke himpunan B adalah f : x 2x + 1. Disini x

    merupakan anggota domain f. Fungsi f : x 2x + 1 berarti fungsi f memetakan x ke

    2x + 1. Oleh karena itu, bayangan x oleh fungsi f adalah 2x + 1.

    2. Menentukan Nilai Fungsi

    Jika fungsi f memetakan x 3x 2 maka fungsi f dapat dinyatakan dalam

    bentuk rumus fungsi yaitu f(x) = 3x 2.

    Dengan menggunakan rumus fungsi, dapat diperoleh nilai-nilai fungsi tersebut

    untuk setiap nilai x yang diberikan. Caranya dengan mensubstitusikan (mengganti)

    nilai x pada rumus fungsi tersebut sehinggan diperoleh nilai f(x). Seperti misalnya

    Gambar di samping adalah grafik Carteius untuk fungsi

    f : x x + 1 dengan domain A = {1, 2, 3}, kodomain B

    = {1, 2, 3, 4} dan Range = {2, 3, 4} yang digambarkan

    dengan noktah-noktah.

    .

    f : x y

  • Relasi dan Fungsi* 10

    nilai fungsi untuk x = 5 maka dapat ditulis f(5). Nilai fungsi untuk x = a maka dapat

    ditulis f(a).

    Contoh:

    Diketahui fungsi f : x 2x 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan:

    a) f(1)

    b) f(2)

    c) Bayangan (-2) oleh f

    d) Nilai f untuk x = -5

    e) Nilai x untuk f(x) = 8

    f) Nilai a jika f(a) = 14

    Penyelesaian:

    Diketahui f : x 2x 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus

    fungsinya f (x) = 2x 2.

    a) f (1) = 2(1) 2 = 0

    b) f (2) = 2(2) 2 = 4

    c) Bayangan (2) oleh f sama dengan f (2). Jadi, f (2) = 2 (2) 2 = 6

    d) Nilai f untuk x = 5 adalah f (5) = 2 (5) 2 = 12

    e) Nilai x untuk f (x) = 8 adalah 2x 2 = 8

    2x = 8 + 2

    2x = 10

    x = 5

    f) Nilai a untuk f (a) = 14 adalah 2a 2 = 14

    2a = 14 + 2

    2a = 16

    a = 8

    3. Menentukan Nilai Perubahan Fungsi

    Perhatikan fungsi f beserta tabelnya berikut ini! Fungsi f(x) = 2x + 1 dengan

    daerah asal {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

    x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

    2x

    1

    -6

    1

    -4

    1

    -2

    1

    0

    1

    2

    1

    4

    1

    6

    1

    8

    1

    f (x) -5 -3 -1 1 3 5 7 9

  • Relasi dan Fungsi* 11

    Pada tabel di atas diperoleh:

    Untuk x = 1 diperoleh nilai f(x) = 3

    Untuk x = 2 diperoleh nilai f(x) = 5, dan

    Untuk x = 3 diperoleh nilai f(x) = 7

    Jika nilai x bertambah dari x = 1 menjadi x = 2, maka nilai f(x) bertambah dari

    3 menjadi 5. Jadi, jika nilai x bertambah 1, maka nilai f(x) bertambah 2. Jika nilai x

    bertambah dari x = 1 menjadi x = 3, maka nilai f(x) bertambah dari 3 menjadi 7.

    Jadi, jika nilai x bertambah 2, maka nilai f(x) bertambah 4.

    Dari uraian di atas, pada fungsi f(x) = 2x + 1, jika nilai variabel x bertambah

    besar atau naik, maka nilai fungsinya juga bertambah besar atau naik. Hal ini bisa

    dilihat pada grafik di bawah.

    Perhatikan fungsi f beserta tabelnya berikut ini! Fungsi f(x) = 2 3x dengan

    daerah asal {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

    x -3 -2 -1 0 1 2 3

    2

    -3x

    2

    9

    2

    6

    2

    3

    2

    0

    2

    -3

    2

    -6

    2

    -9

    f (x) 11 8 5 2 -1 -4 -7

    7 6 5 4 3 2 1 0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    Pada fungsi f (x) = ax + b dengan a > 0 atau a bilangan positif (+), jika nilai

    variabel x berubah makin besar atau naik, maka nilai fungsinya juga berubah

    menjadi semakin besar atau naik.

  • Relasi dan Fungsi* 12

    Pada tabel di atas diperoleh:

    Untuk x = 1 diperoleh nilai f(x) = -1

    Untuk x = 2 diperoleh nilai f(x) = -4, dan

    Untuk x = 3 diperoleh nilai f(x) = -7

    Jika nilai x bertambah dari x = 1 menjadi x = 2, maka nilai f(x) berkurang dari

    -1 menjadi -4. Jadi, jika nilai x bertambah 1, maka nilai f(x) berkurang (-3). Jika

    nilai x bertambah dari x = 1 menjadi x = 3, maka nilai f(x) berkurang dari -1 menjadi

    -7. Jadi, jika nilai x bertambah 2, maka nilai f(x) berkurang (-6).

    Dari uraian di atas, pada fungsi f(x) = 1 - 3x, jika nilai variabel x bertambah

    besar atau naik, maka nilai fungsinya akan berkurang atau menurun. Hal ini bisa

    dilihat pada grafik di bawah.

    Pada fungsi f (x) = ax + b dengan a < 0 atau a bilangan negatif (-), jika nilai

    variabel x berubah makin besar atau naik, maka nilai fungsinya juga berubah

    menjadi semakin kecil atau turun.

  • Relasi dan Fungsi* 13

    4. Menentukan Rumus Fungsi

    Jika fungsi f : x ax + b dengan x merupakan anggota domain f, rumus

    fungsi f adalah f (x) = ax + b.

    Suatu fungsi dapat ditentukan rumusnya apabila nilai datanya diketahui. Dapat

    dilakukan dengan menggunakan rumus umum fungsi, yaitu f(x) = ax + b (untuk

    fungsi linear) sehingga terbentuk persamaan dalam a dan b dengan cara mengganti

    nilai variabel x.

    Contoh :

    Fungsi h pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus h(x) = a x + b, dengan

    a dan b bilangan bulat. Jika h (2) = 4 dan h(1) = 5, tentukan:

    a) Nilai a dan b

    b) Rumus fungsi tersebut

    Penyelesaian:

    h(x) = a x + b

    a) Oleh karena h(-2) = -4 maka 2 = 2 + = 4

    2 + = 4 (1)

    Oleh karena h(1) = 5 maka 1 = 1 + = 5

    + = 5

    = 5 (2)

    Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:

    2 + = 4

    2 + 5 = 4

    3 + 5 = 4

    3 = 9

    = 3

    Substitusikan nilai = 3 ke persamaan (2),

    = 5

    = 5

    = 2

    Jadi nilai a = 3 dan nilai b = 2.

    b) Oleh karena nilai a = 3 dan nilai b = 2, rumus fungsinya adalah h(x) = 3x + 2.

  • Relasi dan Fungsi* 14

    D. Macam macam Fungsi

    1. Fungsi Konstan (Tetap)

    Suatu fungsi f : A B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan

    apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C

    bilangan konstan. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana

    domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.

    Contoh:

    Diketahui f : R R dengan rumus f(x) = 3 dengan domainnya {x | 3 x < 2}.

    Tentukan gambar grafiknya.

    Penyelesaian:

    Untuk mempermudah dalam pembuatan grafik, maka kita dapat buatkan tabel

    seperti berikut.

    x -3 -2 -1 0 1

    f(x) 3 3 3 3 3

    Grafik:

    2. Fungsi Linier

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) =

    ax + b, di mana a 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

    Contoh:

    Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.

    Penyelesaian:

    Tabel:

    2x + 3

    x 0 3

    2

    f(x) 3 0

  • Relasi dan Fungsi* 15

    Grafik:

    3. Fungsi Kuadrat

    Suatu fungsi f(x) dinamakan fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh

    f(x) = ax2 + bx + c, dimana a 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya

    berupa parabola.

    Contoh:

    Perhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x 3.

    Penjelasan:

    a. Domain fungsi f {x| -4 x 2}

    b. Nilai minimum fungsi f adalah -4

    c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5

    d. Range fungsi f {x| -4 x 5}

    e. Pembuat nol fungsi f adalah -3 dan 1

    f. Koordinat titik balik minimum adalah (-1,-4)

    4. Fungsi Identitas

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi

    berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.

    Tentukanlah:

    a. Domain fungsi f

    b. Nilai minimum fungsi f

    c. Nilai maksimum fungsi f

    d. Range fungsi f

    e. Pembuat nol fungsi f

    f. Koordinat titik balik minimum

  • Relasi dan Fungsi* 16

    Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik

    absis maupun ordinatnya sama.

    Contoh:

    Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.

    a. Tentukan nilai f(-2), f(0), f(1), f(3)

    b. Gambarlah grafiknya

    Penyelesaian:

    a. f(-2) = -2

    f(0) = 0

    f(1) = 1

    f(3) = 3

    b. grafik fungsi f

    5. Fungsi Tangga (Bertingkat)

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk

    interval-interval yang sejajar.

    Contoh:

    Diketahui fungsi f (x) =

    a. Tentukan interval dari :

    f (-2)

    f (0)

    f (1)

    f (3)

    f (5)

    -1, Jika x -1

    0, Jika -1 < x 2

    2, Jika 2 < x 4

    3, Jika x > 4

  • Relasi dan Fungsi* 17

    b. Gambarlah grafik fungsinya!

    Penyelesaian:

    f (-2) = [-2]= -1

    f (0) = [0] = 0

    f (1) = [1] = 0

    f (3) = [3] = 2

    f (5) = [5] = 3

    Grafik fungsinya

    6. Fungsi Modulus

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini

    memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

    f : x | x | atau f : x | ax+b |

    f(x) = | x | artinya :

    | x | =

    7. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

    Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(x) = f(x) dan disebut

    fungsi genap apabila berlaku f(x) = f(x). Jika f(x) f(x) dan f(x) f(x) maka

    fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

    Contoh:

    Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak

    genap dan tidak ganjil.

    1. f(x) = 2x3 + x

    2. f(x) = 3 cos x 5

    3. f(x) = x2 8x

    x, jika x 0

    -x, jika x < 0

  • Relasi dan Fungsi* 18

    Penyelesaian:

    1. f(x) = 2x3 + x

    f(-x) = 2(-x)3 + (-x)

    = -2x3 x

    = -(2x3 + x)

    = - f(x) (fungsi ganjil)

    2. f(x) = 3 cos x 5

    f(-x) = 3 cos (-x) 5

    = 3 cos x 5 (fungsi genap)

    3. f(x) = x2 8x

    f(-x) = (-x)2 8(-x)

    = x2 + 8x (fungsi tidak genap dan tidak ganjil)

    8. Fungsi Polinomial

    Fungsi Polinomial merupakan fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :

    = + 1

    1+ . . . . . . . . . . +33 + 2

    2 + 1 + 0.

    Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus).

    Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola).

    E. Sifat-sifat Fungsi

    1. Fungsi Satu-satu ( Injektif )

    Jika fungsi f : A B dimana setiap anggota himpunan A dipasangkan

    dengan satu anggota himpunan B yang berbeda atau setiap b B hanya mempunyai

    satu kawan saja di A disebut fungsi satu-satu (injektif).

    Definisi Fungsi satu-satu ( Injektif )

    Fungsi f : A B disebut fungsi injektif jika terdapat x1, x2 A dengan x1 x2

    sehingga f (x1) f (x2).

  • Relasi dan Fungsi* 19

    Sebagai contoh fungsi = 2 2 merupakan fungsi satu-satu karena untuk

    setiap x1 x2 diperoleh y1 y2. Jika dibuatkan garis mendatar yang memotong

    grafik = 2 2 maka akan terlihat bahwa garis tersebut akan memotong grafik

    = 2 2 di satu titik seperti tampak pada gambar di bawah.

    Jika garis mendatar memotong grafik fungsi di lebih dari satu titik maka fungsi

    tersebut bukan fungsi satu-satu (injektif). Fungsi yang bukan fungsi satu-satu dapat

    diubah menjadi fungsi satu-satu dengan membatasi daerah asal fungsi tersebut.

    Sebagai contoh fungsi f(x) = x2, fungsi ini bukan

    merupakan fungsi satu-satu di R. Karena untuk garis

    mendatar memotong grafik f (x) = x2 di dua titik

    seperti pada gambar.

    Apabila fungsi f (x) = x2 dibatasi untuk x 0 atau x 0 maka fungsi f (x) = x2

    merupakan fungsi satu-satu pada interval x 0 atau x 0. Adapun fungsi f (x) = x2

    pada selang x 0 atau x 0 diperlihatkan pada gambar berikut.

    2. Fungsi Surjektif

    Pada fungsi f : A B disebut fungsi surjektif jika setiap anggota himpunan

    B merupakan peta (bayangan) dari anggota-anggota himpunan A. Jika pada

    himpunan B terdapat paling sedikit satu unsur yang bukan anggota dari range fungsi

    tersebut maka ini bukan fungsi surjektif.

    x

    y

    y = 2x 2

    y = k

  • Relasi dan Fungsi* 20

    3. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

    Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif

    atau korespondensi satu-satu. Dimana, setiap anggota himpunan A dipetakan ke

    setiap anggota himpunan B yang berbeda dan setiap anggota himpunan B

    merupakan peta (bayangan) dari tepat satu anggota A.

    Dengan kata lain, jika f adalah fungsi bijektif dari A ke B maka harus berlaku

    n(A) = n(B).

    F. Aljabar Fungsi

    Operasi aljabar yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian atau

    pembagian dapat diterapkan dalam fungsi. Untuk mendapatkan sebuah fungsi baru, kita

    dapat mengoperasikan dua fungsi atau lebih. Misal diketahui dua fungsi f (x) dan g (x)

    yang terdefinisi. Operasi aljabar pada kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut.

    a. Penjumlahan fungsi f (x) dan g (x) dinyatakan dengan (f + g)(x) = f (x) + g (x)

    b. Selisih fungsi f (x) dan g (x) dinyatakan dengan (f g)(x) = f (x) g (x)

    Definisi Fungsi Pada ( Surjektif )

    Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y B,

    terdapat x A sehingga y = f (x).

    Definisi Fungsi Bijektif ( Korespondensi Satu-satu )

    Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f adalah

    fungsi injektif dan fungsi surjektif.

  • Relasi dan Fungsi* 21

    c. Perkalian fungsi f (x) dan g (x) dinyatakan dengan (f . g)(x) = f (x) . g (x)

    d. Pembagian fungsi f (x) dan g (x), untuk g (x) 0 dinyatakan dengan

    f

    g =

    f(x)

    g(x)

    Contoh:

    Diberikan f(x) = x 5 dan g(x) = x + 3, untuk x R. Tentukan fungsi-fungsi berikut

    ini:

    a. ( f + g )(x)

    b. ( f g )(x)

    c. ( f g )(x)

    d. f

    g (x)

    Penyelesaian:

    a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x 5) + (x + 3) = 2x 2.

    b. (f g)(x) = f(x) g(x) = (x 5) (x + 3) = -2x 8.

    c. (f . g)(x) = f(x) . g(x) = (x 5)(x + 3) = x2 2x 15.

    d. f

    g (x) =

    f(x)

    g(x) =

    x 5

    x + 3 untuk x + 3 0.

    G. Fungsi Komposisi

    1. Pengertian dan Aturan Fungsi Komposisi

    Jika g adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, sedangkan f

    adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C, fungsi dari himpunan A ke

    himpunan C dinamakan fungsi komposisi , dilambangkan dengan yang

    dibaca f bundaran g.

    Diketahui himpunan A, B, dan C seperti pada gambar di atas. Jika a A, b

    B, c C, g(a) = b, dan f(b) = c maka = f(g(a)) = c. Oleh karena itu, fungsi

    komposisi dapat ditulis sebagai berikut.

    g f

    (f o g)

    A C B

    a b c

  • Relasi dan Fungsi* 22

    Contoh:

    1. Diketahui fungsi f dan g pada bilangan real ditentukan oleh aturan f(x) = 5x + 3

    dan g(x) = 15x. Tentukan komposisi fungsi berikut ini:

    a.

    b.

    c. Apakah = !

    Penyelesaian:

    a. = (()) = (5 + 3) = 15(5 + 3) = 75 + 45

    b. = (()) = (15) = 5(15) + 3 = 75 + 3

    c. Karena = 75 + 45, sedangkan = 75 + 3 maka

    .

    2. Misalkan f dan g merupakan dua fungsi yang dinyatakan dengan pasangan terurut

    sebagai berikut

    = { 1,3 , 2,0 , 3,6 , (4,5)}

    = { 3,3 , 0,4 , 6,1 , (5,2)}

    Tentukan fungsi komposisi dan .

    Penyelesaian:

    Dengan bantuan diagram panah, kita dapat menunjukkan dan

    dengan mudah.

    =

    =

    1

    2

    3

    4

    -3

    0

    6

    5

    3

    4

    1

    2

    x y z

    f g

    = {(1,3), (2,4), (3,1), (4,2)}

  • Relasi dan Fungsi* 23

    2. Nilai Fungsi Komposisi

    Nilai dari suatu fungsi komposisi dapat ditentukan dengan menggunakan dua

    cara, yaitu.

    a. Langsung mengoperasikan fungsi-fungsi tersebut secara berurutan

    b. Menentukan rumus komposisi fungsi terlebih dahulu, kemudian

    menyubstitusikan nilai-nilai pada domainnya ke dalam rumus komposisi itu.

    Contoh:

    Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus

    = 3 1 dan () = 2 + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi

    komposisi berikut.

    a) 2

    b) 3

    Penyelesaian:

    Cara 1

    a) 2 = {(2)}

    = ((2)2 + 4)

    = (8)

    = 3 8 1 = 23

    b) 3 = {(3)}

    = (3 3 1)

    = (10)

    = (10)2 + 4 = 104

    -3

    0

    6

    5

    3

    4

    1

    2

    6

    5

    -3

    0

    x y z

    g f

    = {(-3,6), (0,5), (6,-3), (5,0)}

  • Relasi dan Fungsi* 24

    Cara 2

    a) = (2 + 4)

    = 3 2 + 4 1

    = 32 + 11

    2 = 3(2)2 + 11 = 23

    b) = (3 1)

    = (3 1)2 + 4

    = 92 6 + 5

    3 = 9(3)2 6 3 + 5

    = 81 + 18 + 5 = 104

    3. Sifat-sifat Fungsi Komposisi

    Berikut merupakan sifat sifat yang berlaku pada fungsi komposisi.

    1. Secara umum sifat komutatif tidak berlaku pada fungsi komposisi, yaitu

    2. Jika fungsi f dan g sama, sifat komutatif yang berlaku adalah

    =

    3. Jika salah satu fungsi f dan g merupakan fungsi identitas yang dilambangkan

    dengan I, berlaku sifat komutatif = = ()

    4. Untuk komposisi tiga fungsi atau lebih, berlaku sifat asosiatif. Ini berarti, untuk

    ketiga buah fungsi f, g dan h, selalu berlaku

    =

    4. Syarat Dua Fungsi dapat Dikomposisikan menjadi Fungsi Komposisi

    Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi.

    Untuk mengetahui syarat agar komposisi dua buah fungsi merupakan sebuah fungsi

    komposisi, perhatikan gambar dibawah.

    f g

    A B C

    a1 o

    a2 o

    a3 o a4 o

    a5 o

    o b1

    o b2

    o b3

    o b4

    o c1

    o c2

    o c3

    o c4

  • Relasi dan Fungsi* 25

    Dari gambar di atas tampak bahwa:

    f(a1) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (a1) = c1;

    f(a2) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (a2) = c1;

    f(a3) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (a3) = c3;

    f(a4) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (a4) = c3;

    f(a5) = b4 dan g(b4) = c4 sehingga (a5) = c3;

    Dengan demikian, disimpulkan bahwa : A C merupakan sebuah

    fungsi atau fungsi komposisi. Dari gambar tersebut, terlihat bahwa g adalah fungsi

    dengan domain himpunan B, sedangkan f adalah fungsi dengan daerah kawan

    himpunan B. Range f adalah {b1, b3, b4} sehingga range f merupakan himpunan

    bagian dari himpunan B. Dengan kata lain, range f merupakan bagian dari domain g.

    5. Komposisi dari Dua Fungsi atau Lebih

    Suatu fungsi komposisi dapat disusun atas dua fungsi atau lebih. Jika

    komposisi fungsi terdiri dari tiga fungsi atau lebih pengerjaannya harus dilakukan

    secara berurutan atau tidak boleh terbalik (ingat : komposisi fungsi pada umumnya

    tidak bersifat komutatif).

    Contoh:

    1. Diberikan fungsi = 2 + 5, dan = (), tuliskan rumus fungsi

    komposisi untuk komponen-komponen fungsi pertama f dan fungsi kedua g.

    Penyelesaian:

    = 2 + 5 dapat kita baca sebagai pertama, kuadratkan x, kemudian

    tambah dengan 5. Fungsi pertama = 2 dan fungsi kedua = + 5.

    2. Diketahui fungsi f, g, dan h pada bilangan real dan didefinisikan f(x) = x2, g(x) =

    5x, dan h(x) = x + 1. Tentukan komposisi fungsi berikut.

    a. ()

    b. ()

    Penyelesaian:

    Fungsi g dapat dikomposisikan dengan fungsi f sehingga fungsi

    merupakan sebuah fungsi apabila range f merupakan himpunan bagian dari

    domain g atau dapat ditulis Rf .

  • Relasi dan Fungsi* 26

    a. ( )() = (()) = (5) = (5)2 = 252.

    b. = = ( + 1)

    = ( + 1 )

    = ( + 1)2

    = (2 + 2 + 1)

    = 5(2 + 2 + 1) = 52 + 10 + 5.

    6. Menentukan Suatu Fungsi jika Fungsi Komposisi dan Fungsi yang lain

    Diketahui

    Jika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komposisi atau juga

    diketahui maka, fungsi g dapat kita tentukan. Demikian juga jika yang diketahui

    fungsi g dan fungsi komposisi atau , fungsi f dapat kita tentukan.

    Contoh:

    1. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3 dan fungsi (f o g)(x) = -3x + 6. Tentukan fungsi

    g(x)!

    Penyelesaian:

    Karena ( )() = f(g(x)) maka,

    (()) = 3 + 6

    2 () + 3 = 3 + 6

    2 () = 3 + 3

    () = 3

    2+

    3

    2

    Jadi, () = 3

    2+

    3

    2

    2. Jika = 5 dan = 2, tentukan g(x).

    Penyelesaian:

    Karena ( )() = g(f(x)) maka,

    = 2

    5 = 2

    Yang akan dicari adalah g(x) bukan 5 . Maka kita misalkan 5 =

    5 = 2

    = 2 + 5

  • Relasi dan Fungsi* 27

    Ganti 5 dengan a dan x dengan 2 + 5, diperoleh

    = 2 + 5 2 = 2 + 3

    Kembali kita dapat buat a = x, maka didapatkan nilai dari g(x).

    = 2 + 3

    H. Fungsi Invers

    1. Pengertian Invers Suatu Fungsi

    Notasi untuk fungsi invers f adalah 1. Daerah asal f adalah daerah hasil dari

    f-1

    dan daerah hasil f adalah daerah asal dari 1. Dua fungsi sebarang f dan g

    dikatakan saling invers jik = dan = . Jika invers suatu fungsi

    f atau f -1

    merupakan fungsi, maka fungsi ini disebut fungsi invers. Fungsi f

    dikatakan memiliki fungsi invers apabila f adalah fungsi bijektif.

    Contoh:

    Diberikan fungsi g = {(2,1), (-1,4), (5,2), (3,0)}. Tentukan:

    a. fungsi invers g-1

    c. g-1

    (g-1

    (1)) e. g(g-1

    (2))

    b. g-1

    (1) d. g-1

    (g(2))

    Penyelesaian:

    a. g-1 = {(1,2), (4,-1), (2,5), (0,3)}

    b. g-1(1) = 2

    c. g-1(g-1(1)) = g-1 (2) = 5

    d. g-1(g(2)) = g-1(1) = 2

    e. g(g-1(2)) = g(5) = 2

    Dari contoh tersebut, kita dapat melihat bahwa 1 = 1 = .

    2. Menentukan Rumus Fungsi Invers

    Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers adalah sebagai

    berikut.

    1. Ubah bentuk = () menjadi bentuk = ().

    Definisi Fungsi Invers

    Jika fungsi f : A B dinyatakan dengan pasangan berurut f = {(a, b)| BbAa ,

    }maka invers dari fungsi f adalah f -1

    : B A yang ditentukan dengan pasangan

    berurut f -1

    = {(b, a)| b , }.

  • Relasi dan Fungsi* 28

    Dalam hal ini, x merupakan f-1

    (y) sehingga diperoleh 1() = ()

    2. Ganti y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers 1() dalam variabel

    x.

    Contoh:

    Tentukan rumus fungsi invers untuk fungsi = 3 + 1

    Penyelesaian:

    Langkah 1: Ubah bentuk = () menjadi bentuk = () dengan memindahkan

    semua suku yang mengandung x ke ruas kiri dan semua semua suku

    lainnya ke ruas kanan.

    = 3 + 1

    3 = 1

    = 13

    Dalam hal ini x menunjukkan 1() sehingga 1 = 13

    .

    Langkah 2: Ganti y dengan x untuk memperoleh 1

    1 = 13

    3. Menentukan Domain, Kodomain, dan Menggambar Grafik Fungsi Invers

    a) Menentukan Domain dan Kodomain Fungsi Invers

    Telah diketahui bahwa invers fungsi f merupakan sebuah fungsi apabila

    fungsi f bijektif.

    Dengan memperhatikan syarat tersebut, domain dan kodomian suatu fungsi

    agar mempunyai fungsi invers dapat ditentukan.

    Contoh:

    Diketahui fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = 2

    x+1

    a. Carilah rumus f -1(x)

    b. Tentukan domain dari kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi

    invers

    Penyelesaian:

    a. Misalkan = () = 2

    +1

    + = 2

    = 2

  • Relasi dan Fungsi* 29

    1 () = 2

    Jadi, invers fungsi f(x) = 2

    x+1 adalah f

    -1(x) =

    2x

    x.

    b. 1) Dengah memperhatikan definisi sebuah fungsi maka domain dari fungsi

    f(x) = 2

    x+1 adalah semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak

    nol atau x + 1 0. Jadi, domainnya adalah x 1 untuk x himpunan

    bilangan real.

    2) Dari jawaban a, diperoleh f -1

    (x) = 2x

    x sehingga domain f-1(x) adalah

    semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak nol atau Df -1

    = {x|

    x 0, x himpunan bilangan real}. Selanjutnya, karena domain dari f -1

    adalah kodomian dari f, berarti kodomian dari fungsi f agar mempunyai

    fungsi invers adalah x 0.

    3) Jadi, domain f adalah Df = {x| x 1, x himpunan bilangan real}, dan

    kodomain f adalah Kf = {x| x 0, x himpunan bilangan real}.

    b) Menggambar Grafik Fungsi Invers dari Fungsi Asalnya

    Misalkan diberikan fungsi f : AB merupakan fungsi bijektif. Invers

    fungsi f ditulis f -1

    : BA merupakan suatu fungsi. Dari pengertian invers suatu

    fungsi yang telah dipahami sebelumnya f : AB dinyatakan dengan pasangan

    berurut. f = {(a, b)| BbAa , }maka invers dari fungsi f adalah f -1 : BA

    yang ditentukan dengan persamaan pasangan berurut f -1

    = {(b, a)| b B, a

    A}. Dari pengertian ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi invers dari

    fungsi asalnya.

    Contoh:

    Diberikan fungsi f : AB sebagai himpunan pasangan berurut dengan f =

    {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)}. Gambarlah grafik f-1

    dari grafik f.

    Penyelesaian:

    Grafik fungsi f dan grafik fungsi f-1

    simetris terhadap y = x.

    1 2 3 4 5 6

    1

    2

    3

    4

    5

    0

    f(x)

    f-1(x)

  • Relasi dan Fungsi* 30

    I. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

    1. Pengertian Fungsi invers dari Fungsi Komposisi

    2. Menentukan Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

    Misalnya f dan g adalah fungsi-fungsi pada bilangan real dan ( ) adalah

    komposisi fungsi f dan g. Salah satu cara untuk menentukan nilai ( )-1 adalah

    dengan langkah berikut.

    Langkah 1 : menentukan terlebih dahulu fungsi komposisi ( )

    Langkah 2 : dari hasil fungsi komposisi itu, kemudian ditentukan fungsi

    inversnya.

    Contoh:

    Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada bilangan real didefinisikan () = 3 + 2

    dan () = 2. Tentukan,

    a. () b. 1()

    Penyelesaian:

    a. ( )() = (()) = (2) = 3(2) + 2 = 6 + 2

    b. Misalkan = ( )() = 6 + 2 6 = 2

    = (2)

    6

    ( )1() = ( 2)

    6

    ( )1() = ( 2)

    6

    Jadi, fungsi invers dari ( )() adalah ( )1() = (2)

    6.

    Definisi Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

    Jika h merupakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g ( ditulis h = ( ), invers

    dari fungsi h merupakan fungsi invers dari fungsi komposisi f dan g yang ditulis.

    h-1

    = ( )

  • Relasi dan Fungsi* 31

    3. Memahami (f o g)-1 = g-1 o f-1

    Perhatikan gambar di atas, apabila f dan g adalah fungsi-fungsi bijektif dengan

    f : A B dan g : BC maka ( ) adalah fungsi komposisi yang memetakan A

    ke C. Invers dari fungsi komposisi ( ) atau ( )1pada gambar tersebut

    dapat dinyatakan sebagai g-1

    dan f -1

    yaitu 1 1. Dengan demikian kita peroleh,

    1 = (1 1(). Dengan cara yang sama dapat kita peroleh

    1 = (1 1().

    Contoh:

    Diketahui f : RR dan g : RR (R = himpunan bilangan real) didefinisikan oleh

    () = 4 6 dan () = + 3. Tentukan fungsi berikut ini.

    a. 1 ()

    b. 1 ()

    c. ( )1()

    d. ( )1()

    Penyelesaian:

    a. Misalkan = ()

    = 4 6 4 = + 6

    = ( + 6)

    4

    1() = + 6

    4

    Jadi, 1() = +6

    4.

    f g

    f -1 g -1

    (g o f)

    (g o f)-1

    x

    f(x)

    g(f(x))

    Sifat Fungsi Invers dari Fungsi komposisi

    1 = (1 1) = 1 1

    1 = (1 1) = 1 1

  • Relasi dan Fungsi* 32

    b. Misalkan =

    = + 3 = 3

    1() = 3

    Jadi, 1() = 3.

    c. ( )1() = (1 1)()

    = 1(1())

    = 1 +6

    4

    =+6

    4 3

    =6

    4

    d. ( )1() = (1 1)()

    = 1(1())

    = 1( 3)

    = 3 +6

    4 =

    +3

    4

    4. Menggunakan Sifat Fungsi Komposisi untuk Memecahkan Suatu

    Permasalahan

    Di antara penerapan invers dari fungsi komposisi adalah menentukan rumus

    sebuah fungsi apabila diketahui sebuah fungsi lainnya dan komposisi kedua fungsi

    itu. Untuk itu, kita ingat kembali sifat komposisi sebuah fungsi dengan fungsi

    inversnya, antara lain

    1 = 1 =

    Misalkan f dan g adalah fungsi pada bilangan real yang dapat dikomposisikan

    dan g-1

    adalah invers dari fungsi g. Berdasarkan sifat di atas, dapat diperoleh

    = (1 )(())

    ` = ((1 ) )()

    = (1 )()

    = (1 )() [bersifat asosiatif]

    = (( 1 )())

    = ( ( 1 ))()

    = ( 1 )()

    Berdasaran uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa.

    Apabila diketahui g(x) dan ( )() maka () = (1 ( ))()

    Apabila diketahui g(x) dan ( )() maka () = (( ) 1))()

  • Relasi dan Fungsi* 33

    Contoh:

    Diketahui fungsi f dan g terdefinisi pada bilangan real dengan () = + 5.

    Tentukan f(x) jika diketahui:

    a. ( )() = 32 + 7

    b. ( )() = 3 5

    Penyelesaian:

    Agar rumus di atas dapat digunakan, kita harus menentukan invers fungsi g, yaitu

    1().

    Misalkan = ()

    = + 5

    = 5

    1 = 5

    Jadi, 1 = 5.

    a. f = (1 ( ))()

    = 1(( )())

    = 1(32 + 7)

    = 32 + 7 5

    Jadi, f(x) = 3x2 + 7x 5

    b. () = (( ) 1)()

    = ( )(1())

    = ( )( 5)

    = 3( 5) 5

    = 3 20

    Jadi, () = 3 20.