Upload
ade-andre-payadnya
View
101
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mantap!
Citation preview
RELASI DAN FUNGSI
A. Relasi
1. Pengertian Relasi
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita mendengar istilah relasi. Secara
umum relasi berarti hubungan, namun dalam ilmu matematika relasi memiliki arti
yang lebih khusus.
Misalkan Dian, Adi, Dwi, dan Lani diminta untuk menyebutkan warna
kesukaan masing-masing:
Dian menyukai warna merah dan hijau
Adi menyukai warna putih
Dwi menyukai warna merah
Lani menyukai warna hijau
Jika A = {Dian, Adi, Dwi, Lani} dan B = {merah, putih, hijau} maka dapat
dibentuk relasi atau hubungan antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B.
Relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut.
Relasi yang tepat untuk dua himpunan tersebut di atas adalah menyukai
warna. Dian dipasangkan dengan warna merah dan hijau, artinya Dian menyukai
warna merah dan hijau. Adi dipasangkan dengan warna putih, artinya Adi menyukai
warna putih. Tiap anggota himpunan A dapat dipasangkan dengan satu atau
beberapa anggota himpunan B, bahkan dapat juga anggota himpunan A tidak
memiliki pasangan dengan anggota himpunan B.
Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa :
Definisi Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B
merah
putih
hijau
Dian
Adi
Dwi
Lani
A B
Relasi dan Fungsi* 2
2. Menyatakan Relasi
Relasi dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan
menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.
a) Diagram Panah
Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua
himpunan dengan disertai anak panah.
Contoh:
Diketahui dua himpunan A dan B dengan A = {3,4,5,6} dan B = {4,5,6}. Untuk
menyatakan relasi dari himpunan A dan B dapat kita buat dalam diagram panah
sebagai berikut :
Dari diagram panah di atas tanda panah () menyatakan relasi antara himpunan
A dan B.
b) Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi antara dua himpunan, misalnya relasi dari himpunan A ke himpunan B
dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x A dan y B.
Contoh :
Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5}. Jika relasi dari himpunan A ke
himpunan B adalah kurang dari, maka himpunan pasangan berurutan yang dapat
dibuat adalah{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) }.
c) Diagram Cartesius
Relasi juga dapat dinyatakan dalam diagram cartesius dengan anggota himpunan
A dibuat pada sumbu mendatar (horisontal), dan anggota himpunan B dibuat
pada sumbu tegak (vertikal). Setiap pasangan himpunan A dan B yang berelasi
dinyatakan dengan sebuah noktah ().
4
5
6
3
4
5
6
A kurang dari B
4
5
6
3
4
5
6
A lebih dari B
4
5
6
3
4
5
6
A faktor dari B
Relasi dan Fungsi* 3
Contoh:
Diketahui A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Relasi himpunan A ke
himpunan B adalah "lebih dari". Jadi, diagram cartesiusnya adalah sebagai
berikut.
B. Fungsi
1. Pengertian Fungsi
Gambar diagram panah di bawah menunjukkan relasi rasanya dari
himpunan B ={garam, gula, cabai, lada} ke himpunan R ={asam, asin, pahit, manis,
pedas}. Pada relasi dari anggota himpunan B ke anggota himpunan R tersebut,
ternyata setiap bahan-bahan dapur ini memiliki satu rasa dan tidak ada bahan-bahan
dapur yang tidak memiliki rasa atau memiliki lebih dari satu rasa.
Karena setiap anggota himpunan B mempunyai hubungan dengan anggota
himpunan R dan setiap anggota himpunan B tepat memiliki satu kawan pada
himpunan B maka relasi dari B ke R disebut fungsi atau pemetaan.
Asam
Asin
Pahit
Manis
Pedas
B Rasanya R
Garam
Gula
Cabai
Lada
Definisi Fungsi atau Pemetaan
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang
menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
himpuman B.
Relasi dan Fungsi* 4
Contoh :
Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?
Jawab:
Diagram panah (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan
dengan tepat satu anggota B.
Diagram panah (ii) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu p,
mempunyai empat pasangan anggota B, yaitu 1, 2, 3, 4 dan ada anggota A, yaitu
q dan r tidak mempunyai pasangan anggota B.
Pemetaan atau fungsi ditulis atau dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h
dan huruf kecil lainnya. Misalnya:
f : x 3 dibaca fungsi f memetakan x ke 3
g : A B dibaca fungsi g memetakan anggota himpunan A ke anggota
himpunan B .
2. Menyatakan Fungsi
Pada bahasan pengertian pemetaan telah dikemukakan bahwa pemetaan adalah
relasi khusus. Oleh karena itu, pemetaan pun dapat dinyatakan dengan tiga cara
yaitu diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram cartesius.
Contoh:
Diketahui A = {1,3,5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan dengan
1 -1, 3 1, 5 3!
b. Nyatakan f dengan diagram Cartesius!
c. Nyatakan f sebagai himpunan pasangan berurut!
Relasi dan Fungsi* 5
Penyelesaian:
a. Diagram Panah
b. Diagram Cartesius
Penyajian diagram cartesius pada fungsi , sumbu mendatar (horisontal)
merupakan daerah asal (domain) dan sumbu tegak (vertikal) merupakan
daerah kawan (kodomain).
c. Himpunan pasangan terurut
f : {(1,-1), (3,1), (5,2)}
3. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi
Gambar diagram panah di bawah menyatakan fungsi yang memetakan anggota
himpunan A ke anggota himpunan B.
a1
a2
a3
b1
b2
b3 b4
Daerah Asal (Domain)
B A
Daerah Kawan (Kodomain)
Peta dari A (Range atau
daerah hasil )
Relasi dan Fungsi* 6
Daerah asal (domain) dari gambar di atas adalah himpunan A dan untuk
daerah kawan (kodomain) adalah himpunan B. Daerah hasil (range) pada gambar di
atas adalah anggota himpunan B yang merupakan peta dari anggota himpunan A.
Contoh:
Perhatikan gambar di bawah A={1, 2, 3} disebut domain
(daerah asal) dan B ={1, 2, 3, 4} disebut kodomain
(daerah kawan) .
Dari gambar tersebut, juga diperoleh:
2 B merupakan peta dari 1 A
3 B merupakan peta dari 2 A
4 B merupakan peta dari 3 A
Himpunan peta {2, 3, 4} dinamakan range (daerah hasil).
4. Menentukan Banyaknya Pemetaan dari Dua Himpunan
Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan,
perhatikan uraian berikut.
a) Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.
Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram panah
seperti tampak pada Gambar (a).
b) Jika A = {1, 2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.
Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak seperti diagram panah
pada Gambar (b).
c) Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat, seperti tampak pada
diagram panah pada Gambar di bawah.
(a) (b)
Relasi dan Fungsi* 7
d) Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada
diagram panah pada Gambar berikut.
D
e
Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan banyaknya pemetaan dari
suatu himpunan A ke himpunan B dapat dilihat pada tabel berikut.
Banyaknya Anggota
Banyaknya Pemetaan
yang Mungkin dari
A ke B
Banyaknya
Pemetaan
yang Mungkin dari
B ke A Himpunan A Himpunan B
1 1 1 = 11 1 = 1
1
2 1 1 = 12 2 = 2
1
1 2 2 = 21 1 = 1
2
3 1 1 = 13 3 = 3
1
1 3 3 = 31 1 = 1
3
2 2 4 = 22 4 = 2
2
3 2 8 = 23 9 = 3
2
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota
himpunan B adalah n(B) = b maka
i. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba
ii. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.
Relasi dan Fungsi* 8
Contoh :
Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya
pemetaan
a. dari A ke B;
b. dari B ke A,
tanpa menggambar diagram panahnya.
Penyelesaian:
A = {2, 3}, n(A) = 2
B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5
a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 5
2 = 25
b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 2
5 = 32
5. Grafik Fungsi
Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuatkan grafik
fungsinya. Grafik suatu fungsi adalah bentuk diagram cartesius dari fungsi tersebut.
Misalkan diberikan suatu pemetaan dengan aturan yang memetakan himpunan A ke
himpunan B adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke (x + 1) anggota B. Dengan
A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4} .
Dengan demikian, pada pemetaan f : x x + 1 dari himpunan A ke himpunan
B diperoleh
Untuk x = 1, f : 1 1 + 1 atau f : 1 2 sehingga (1, 2) f,
Untuk x = 2, f : 2 2 + 1 atau f : 2 3 sehingga (2, 3) f,
Untuk x = 3, f : 3 3 + 1 atau f : 3 4 sehingga (3, 4) f.
Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat
dituliskan dalam bentuk tabel atau daftar. Untuk fungsi f : x x + 1, tabelnya adalah
sebagai berikut.
X 1 2 3
x + 1 2 3 4
Pasangan Berurutan (1, 2) (2, 3) (3, 4)
Dengan menggunakan pasangan-pasangan berurutan yang diperoleh pada tabel
di atas dapat digambar grafik Cartesius untuk fungsi f: x x + 1 seperti tampak
pada gambar berikut.
Relasi dan Fungsi* 9
Jika domain dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil,
rangenya ditunjukkan dengan garis yang melalui noktah-noktah seperti pada gambar
di bawah.
C. Nilai Fungsi
1. Notasi Fungsi
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa fungsi dinotasikan dengan huruf kecil
seperti f, g, atau h. Pada fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, x A maka peta
atau bayangan x oleh f dinotasikan dengan f(x).
Notasi fungsi yang memetakan x anggota himpunan A ke y anggota himpunan
B dapat ditulis sebagai berikut.
Contoh:
Diberikan fungsi himpunan A ke himpunan B adalah f : x 2x + 1. Disini x
merupakan anggota domain f. Fungsi f : x 2x + 1 berarti fungsi f memetakan x ke
2x + 1. Oleh karena itu, bayangan x oleh fungsi f adalah 2x + 1.
2. Menentukan Nilai Fungsi
Jika fungsi f memetakan x 3x 2 maka fungsi f dapat dinyatakan dalam
bentuk rumus fungsi yaitu f(x) = 3x 2.
Dengan menggunakan rumus fungsi, dapat diperoleh nilai-nilai fungsi tersebut
untuk setiap nilai x yang diberikan. Caranya dengan mensubstitusikan (mengganti)
nilai x pada rumus fungsi tersebut sehinggan diperoleh nilai f(x). Seperti misalnya
Gambar di samping adalah grafik Carteius untuk fungsi
f : x x + 1 dengan domain A = {1, 2, 3}, kodomain B
= {1, 2, 3, 4} dan Range = {2, 3, 4} yang digambarkan
dengan noktah-noktah.
.
f : x y
Relasi dan Fungsi* 10
nilai fungsi untuk x = 5 maka dapat ditulis f(5). Nilai fungsi untuk x = a maka dapat
ditulis f(a).
Contoh:
Diketahui fungsi f : x 2x 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan:
a) f(1)
b) f(2)
c) Bayangan (-2) oleh f
d) Nilai f untuk x = -5
e) Nilai x untuk f(x) = 8
f) Nilai a jika f(a) = 14
Penyelesaian:
Diketahui f : x 2x 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus
fungsinya f (x) = 2x 2.
a) f (1) = 2(1) 2 = 0
b) f (2) = 2(2) 2 = 4
c) Bayangan (2) oleh f sama dengan f (2). Jadi, f (2) = 2 (2) 2 = 6
d) Nilai f untuk x = 5 adalah f (5) = 2 (5) 2 = 12
e) Nilai x untuk f (x) = 8 adalah 2x 2 = 8
2x = 8 + 2
2x = 10
x = 5
f) Nilai a untuk f (a) = 14 adalah 2a 2 = 14
2a = 14 + 2
2a = 16
a = 8
3. Menentukan Nilai Perubahan Fungsi
Perhatikan fungsi f beserta tabelnya berikut ini! Fungsi f(x) = 2x + 1 dengan
daerah asal {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2x
1
-6
1
-4
1
-2
1
0
1
2
1
4
1
6
1
8
1
f (x) -5 -3 -1 1 3 5 7 9
Relasi dan Fungsi* 11
Pada tabel di atas diperoleh:
Untuk x = 1 diperoleh nilai f(x) = 3
Untuk x = 2 diperoleh nilai f(x) = 5, dan
Untuk x = 3 diperoleh nilai f(x) = 7
Jika nilai x bertambah dari x = 1 menjadi x = 2, maka nilai f(x) bertambah dari
3 menjadi 5. Jadi, jika nilai x bertambah 1, maka nilai f(x) bertambah 2. Jika nilai x
bertambah dari x = 1 menjadi x = 3, maka nilai f(x) bertambah dari 3 menjadi 7.
Jadi, jika nilai x bertambah 2, maka nilai f(x) bertambah 4.
Dari uraian di atas, pada fungsi f(x) = 2x + 1, jika nilai variabel x bertambah
besar atau naik, maka nilai fungsinya juga bertambah besar atau naik. Hal ini bisa
dilihat pada grafik di bawah.
Perhatikan fungsi f beserta tabelnya berikut ini! Fungsi f(x) = 2 3x dengan
daerah asal {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2
-3x
2
9
2
6
2
3
2
0
2
-3
2
-6
2
-9
f (x) 11 8 5 2 -1 -4 -7
7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Pada fungsi f (x) = ax + b dengan a > 0 atau a bilangan positif (+), jika nilai
variabel x berubah makin besar atau naik, maka nilai fungsinya juga berubah
menjadi semakin besar atau naik.
Relasi dan Fungsi* 12
Pada tabel di atas diperoleh:
Untuk x = 1 diperoleh nilai f(x) = -1
Untuk x = 2 diperoleh nilai f(x) = -4, dan
Untuk x = 3 diperoleh nilai f(x) = -7
Jika nilai x bertambah dari x = 1 menjadi x = 2, maka nilai f(x) berkurang dari
-1 menjadi -4. Jadi, jika nilai x bertambah 1, maka nilai f(x) berkurang (-3). Jika
nilai x bertambah dari x = 1 menjadi x = 3, maka nilai f(x) berkurang dari -1 menjadi
-7. Jadi, jika nilai x bertambah 2, maka nilai f(x) berkurang (-6).
Dari uraian di atas, pada fungsi f(x) = 1 - 3x, jika nilai variabel x bertambah
besar atau naik, maka nilai fungsinya akan berkurang atau menurun. Hal ini bisa
dilihat pada grafik di bawah.
Pada fungsi f (x) = ax + b dengan a < 0 atau a bilangan negatif (-), jika nilai
variabel x berubah makin besar atau naik, maka nilai fungsinya juga berubah
menjadi semakin kecil atau turun.
Relasi dan Fungsi* 13
4. Menentukan Rumus Fungsi
Jika fungsi f : x ax + b dengan x merupakan anggota domain f, rumus
fungsi f adalah f (x) = ax + b.
Suatu fungsi dapat ditentukan rumusnya apabila nilai datanya diketahui. Dapat
dilakukan dengan menggunakan rumus umum fungsi, yaitu f(x) = ax + b (untuk
fungsi linear) sehingga terbentuk persamaan dalam a dan b dengan cara mengganti
nilai variabel x.
Contoh :
Fungsi h pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus h(x) = a x + b, dengan
a dan b bilangan bulat. Jika h (2) = 4 dan h(1) = 5, tentukan:
a) Nilai a dan b
b) Rumus fungsi tersebut
Penyelesaian:
h(x) = a x + b
a) Oleh karena h(-2) = -4 maka 2 = 2 + = 4
2 + = 4 (1)
Oleh karena h(1) = 5 maka 1 = 1 + = 5
+ = 5
= 5 (2)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:
2 + = 4
2 + 5 = 4
3 + 5 = 4
3 = 9
= 3
Substitusikan nilai = 3 ke persamaan (2),
= 5
= 5
= 2
Jadi nilai a = 3 dan nilai b = 2.
b) Oleh karena nilai a = 3 dan nilai b = 2, rumus fungsinya adalah h(x) = 3x + 2.
Relasi dan Fungsi* 14
D. Macam macam Fungsi
1. Fungsi Konstan (Tetap)
Suatu fungsi f : A B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan
apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C
bilangan konstan. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana
domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.
Contoh:
Diketahui f : R R dengan rumus f(x) = 3 dengan domainnya {x | 3 x < 2}.
Tentukan gambar grafiknya.
Penyelesaian:
Untuk mempermudah dalam pembuatan grafik, maka kita dapat buatkan tabel
seperti berikut.
x -3 -2 -1 0 1
f(x) 3 3 3 3 3
Grafik:
2. Fungsi Linier
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) =
ax + b, di mana a 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.
Contoh:
Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
Tabel:
2x + 3
x 0 3
2
f(x) 3 0
Relasi dan Fungsi* 15
Grafik:
3. Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi f(x) dinamakan fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax2 + bx + c, dimana a 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya
berupa parabola.
Contoh:
Perhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x 3.
Penjelasan:
a. Domain fungsi f {x| -4 x 2}
b. Nilai minimum fungsi f adalah -4
c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5
d. Range fungsi f {x| -4 x 5}
e. Pembuat nol fungsi f adalah -3 dan 1
f. Koordinat titik balik minimum adalah (-1,-4)
4. Fungsi Identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi
berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.
Tentukanlah:
a. Domain fungsi f
b. Nilai minimum fungsi f
c. Nilai maksimum fungsi f
d. Range fungsi f
e. Pembuat nol fungsi f
f. Koordinat titik balik minimum
Relasi dan Fungsi* 16
Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik
absis maupun ordinatnya sama.
Contoh:
Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Tentukan nilai f(-2), f(0), f(1), f(3)
b. Gambarlah grafiknya
Penyelesaian:
a. f(-2) = -2
f(0) = 0
f(1) = 1
f(3) = 3
b. grafik fungsi f
5. Fungsi Tangga (Bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk
interval-interval yang sejajar.
Contoh:
Diketahui fungsi f (x) =
a. Tentukan interval dari :
f (-2)
f (0)
f (1)
f (3)
f (5)
-1, Jika x -1
0, Jika -1 < x 2
2, Jika 2 < x 4
3, Jika x > 4
Relasi dan Fungsi* 17
b. Gambarlah grafik fungsinya!
Penyelesaian:
f (-2) = [-2]= -1
f (0) = [0] = 0
f (1) = [1] = 0
f (3) = [3] = 2
f (5) = [5] = 3
Grafik fungsinya
6. Fungsi Modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini
memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
f : x | x | atau f : x | ax+b |
f(x) = | x | artinya :
| x | =
7. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(x) = f(x) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku f(x) = f(x). Jika f(x) f(x) dan f(x) f(x) maka
fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
Contoh:
Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak
genap dan tidak ganjil.
1. f(x) = 2x3 + x
2. f(x) = 3 cos x 5
3. f(x) = x2 8x
x, jika x 0
-x, jika x < 0
Relasi dan Fungsi* 18
Penyelesaian:
1. f(x) = 2x3 + x
f(-x) = 2(-x)3 + (-x)
= -2x3 x
= -(2x3 + x)
= - f(x) (fungsi ganjil)
2. f(x) = 3 cos x 5
f(-x) = 3 cos (-x) 5
= 3 cos x 5 (fungsi genap)
3. f(x) = x2 8x
f(-x) = (-x)2 8(-x)
= x2 + 8x (fungsi tidak genap dan tidak ganjil)
8. Fungsi Polinomial
Fungsi Polinomial merupakan fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :
= + 1
1+ . . . . . . . . . . +33 + 2
2 + 1 + 0.
Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus).
Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola).
E. Sifat-sifat Fungsi
1. Fungsi Satu-satu ( Injektif )
Jika fungsi f : A B dimana setiap anggota himpunan A dipasangkan
dengan satu anggota himpunan B yang berbeda atau setiap b B hanya mempunyai
satu kawan saja di A disebut fungsi satu-satu (injektif).
Definisi Fungsi satu-satu ( Injektif )
Fungsi f : A B disebut fungsi injektif jika terdapat x1, x2 A dengan x1 x2
sehingga f (x1) f (x2).
Relasi dan Fungsi* 19
Sebagai contoh fungsi = 2 2 merupakan fungsi satu-satu karena untuk
setiap x1 x2 diperoleh y1 y2. Jika dibuatkan garis mendatar yang memotong
grafik = 2 2 maka akan terlihat bahwa garis tersebut akan memotong grafik
= 2 2 di satu titik seperti tampak pada gambar di bawah.
Jika garis mendatar memotong grafik fungsi di lebih dari satu titik maka fungsi
tersebut bukan fungsi satu-satu (injektif). Fungsi yang bukan fungsi satu-satu dapat
diubah menjadi fungsi satu-satu dengan membatasi daerah asal fungsi tersebut.
Sebagai contoh fungsi f(x) = x2, fungsi ini bukan
merupakan fungsi satu-satu di R. Karena untuk garis
mendatar memotong grafik f (x) = x2 di dua titik
seperti pada gambar.
Apabila fungsi f (x) = x2 dibatasi untuk x 0 atau x 0 maka fungsi f (x) = x2
merupakan fungsi satu-satu pada interval x 0 atau x 0. Adapun fungsi f (x) = x2
pada selang x 0 atau x 0 diperlihatkan pada gambar berikut.
2. Fungsi Surjektif
Pada fungsi f : A B disebut fungsi surjektif jika setiap anggota himpunan
B merupakan peta (bayangan) dari anggota-anggota himpunan A. Jika pada
himpunan B terdapat paling sedikit satu unsur yang bukan anggota dari range fungsi
tersebut maka ini bukan fungsi surjektif.
x
y
y = 2x 2
y = k
Relasi dan Fungsi* 20
3. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif
atau korespondensi satu-satu. Dimana, setiap anggota himpunan A dipetakan ke
setiap anggota himpunan B yang berbeda dan setiap anggota himpunan B
merupakan peta (bayangan) dari tepat satu anggota A.
Dengan kata lain, jika f adalah fungsi bijektif dari A ke B maka harus berlaku
n(A) = n(B).
F. Aljabar Fungsi
Operasi aljabar yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian atau
pembagian dapat diterapkan dalam fungsi. Untuk mendapatkan sebuah fungsi baru, kita
dapat mengoperasikan dua fungsi atau lebih. Misal diketahui dua fungsi f (x) dan g (x)
yang terdefinisi. Operasi aljabar pada kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut.
a. Penjumlahan fungsi f (x) dan g (x) dinyatakan dengan (f + g)(x) = f (x) + g (x)
b. Selisih fungsi f (x) dan g (x) dinyatakan dengan (f g)(x) = f (x) g (x)
Definisi Fungsi Pada ( Surjektif )
Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y B,
terdapat x A sehingga y = f (x).
Definisi Fungsi Bijektif ( Korespondensi Satu-satu )
Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f adalah
fungsi injektif dan fungsi surjektif.
Relasi dan Fungsi* 21
c. Perkalian fungsi f (x) dan g (x) dinyatakan dengan (f . g)(x) = f (x) . g (x)
d. Pembagian fungsi f (x) dan g (x), untuk g (x) 0 dinyatakan dengan
f
g =
f(x)
g(x)
Contoh:
Diberikan f(x) = x 5 dan g(x) = x + 3, untuk x R. Tentukan fungsi-fungsi berikut
ini:
a. ( f + g )(x)
b. ( f g )(x)
c. ( f g )(x)
d. f
g (x)
Penyelesaian:
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x 5) + (x + 3) = 2x 2.
b. (f g)(x) = f(x) g(x) = (x 5) (x + 3) = -2x 8.
c. (f . g)(x) = f(x) . g(x) = (x 5)(x + 3) = x2 2x 15.
d. f
g (x) =
f(x)
g(x) =
x 5
x + 3 untuk x + 3 0.
G. Fungsi Komposisi
1. Pengertian dan Aturan Fungsi Komposisi
Jika g adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, sedangkan f
adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C, fungsi dari himpunan A ke
himpunan C dinamakan fungsi komposisi , dilambangkan dengan yang
dibaca f bundaran g.
Diketahui himpunan A, B, dan C seperti pada gambar di atas. Jika a A, b
B, c C, g(a) = b, dan f(b) = c maka = f(g(a)) = c. Oleh karena itu, fungsi
komposisi dapat ditulis sebagai berikut.
g f
(f o g)
A C B
a b c
Relasi dan Fungsi* 22
Contoh:
1. Diketahui fungsi f dan g pada bilangan real ditentukan oleh aturan f(x) = 5x + 3
dan g(x) = 15x. Tentukan komposisi fungsi berikut ini:
a.
b.
c. Apakah = !
Penyelesaian:
a. = (()) = (5 + 3) = 15(5 + 3) = 75 + 45
b. = (()) = (15) = 5(15) + 3 = 75 + 3
c. Karena = 75 + 45, sedangkan = 75 + 3 maka
.
2. Misalkan f dan g merupakan dua fungsi yang dinyatakan dengan pasangan terurut
sebagai berikut
= { 1,3 , 2,0 , 3,6 , (4,5)}
= { 3,3 , 0,4 , 6,1 , (5,2)}
Tentukan fungsi komposisi dan .
Penyelesaian:
Dengan bantuan diagram panah, kita dapat menunjukkan dan
dengan mudah.
=
=
1
2
3
4
-3
0
6
5
3
4
1
2
x y z
f g
= {(1,3), (2,4), (3,1), (4,2)}
Relasi dan Fungsi* 23
2. Nilai Fungsi Komposisi
Nilai dari suatu fungsi komposisi dapat ditentukan dengan menggunakan dua
cara, yaitu.
a. Langsung mengoperasikan fungsi-fungsi tersebut secara berurutan
b. Menentukan rumus komposisi fungsi terlebih dahulu, kemudian
menyubstitusikan nilai-nilai pada domainnya ke dalam rumus komposisi itu.
Contoh:
Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus
= 3 1 dan () = 2 + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi
komposisi berikut.
a) 2
b) 3
Penyelesaian:
Cara 1
a) 2 = {(2)}
= ((2)2 + 4)
= (8)
= 3 8 1 = 23
b) 3 = {(3)}
= (3 3 1)
= (10)
= (10)2 + 4 = 104
-3
0
6
5
3
4
1
2
6
5
-3
0
x y z
g f
= {(-3,6), (0,5), (6,-3), (5,0)}
Relasi dan Fungsi* 24
Cara 2
a) = (2 + 4)
= 3 2 + 4 1
= 32 + 11
2 = 3(2)2 + 11 = 23
b) = (3 1)
= (3 1)2 + 4
= 92 6 + 5
3 = 9(3)2 6 3 + 5
= 81 + 18 + 5 = 104
3. Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Berikut merupakan sifat sifat yang berlaku pada fungsi komposisi.
1. Secara umum sifat komutatif tidak berlaku pada fungsi komposisi, yaitu
2. Jika fungsi f dan g sama, sifat komutatif yang berlaku adalah
=
3. Jika salah satu fungsi f dan g merupakan fungsi identitas yang dilambangkan
dengan I, berlaku sifat komutatif = = ()
4. Untuk komposisi tiga fungsi atau lebih, berlaku sifat asosiatif. Ini berarti, untuk
ketiga buah fungsi f, g dan h, selalu berlaku
=
4. Syarat Dua Fungsi dapat Dikomposisikan menjadi Fungsi Komposisi
Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi.
Untuk mengetahui syarat agar komposisi dua buah fungsi merupakan sebuah fungsi
komposisi, perhatikan gambar dibawah.
f g
A B C
a1 o
a2 o
a3 o a4 o
a5 o
o b1
o b2
o b3
o b4
o c1
o c2
o c3
o c4
Relasi dan Fungsi* 25
Dari gambar di atas tampak bahwa:
f(a1) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (a1) = c1;
f(a2) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (a2) = c1;
f(a3) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (a3) = c3;
f(a4) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (a4) = c3;
f(a5) = b4 dan g(b4) = c4 sehingga (a5) = c3;
Dengan demikian, disimpulkan bahwa : A C merupakan sebuah
fungsi atau fungsi komposisi. Dari gambar tersebut, terlihat bahwa g adalah fungsi
dengan domain himpunan B, sedangkan f adalah fungsi dengan daerah kawan
himpunan B. Range f adalah {b1, b3, b4} sehingga range f merupakan himpunan
bagian dari himpunan B. Dengan kata lain, range f merupakan bagian dari domain g.
5. Komposisi dari Dua Fungsi atau Lebih
Suatu fungsi komposisi dapat disusun atas dua fungsi atau lebih. Jika
komposisi fungsi terdiri dari tiga fungsi atau lebih pengerjaannya harus dilakukan
secara berurutan atau tidak boleh terbalik (ingat : komposisi fungsi pada umumnya
tidak bersifat komutatif).
Contoh:
1. Diberikan fungsi = 2 + 5, dan = (), tuliskan rumus fungsi
komposisi untuk komponen-komponen fungsi pertama f dan fungsi kedua g.
Penyelesaian:
= 2 + 5 dapat kita baca sebagai pertama, kuadratkan x, kemudian
tambah dengan 5. Fungsi pertama = 2 dan fungsi kedua = + 5.
2. Diketahui fungsi f, g, dan h pada bilangan real dan didefinisikan f(x) = x2, g(x) =
5x, dan h(x) = x + 1. Tentukan komposisi fungsi berikut.
a. ()
b. ()
Penyelesaian:
Fungsi g dapat dikomposisikan dengan fungsi f sehingga fungsi
merupakan sebuah fungsi apabila range f merupakan himpunan bagian dari
domain g atau dapat ditulis Rf .
Relasi dan Fungsi* 26
a. ( )() = (()) = (5) = (5)2 = 252.
b. = = ( + 1)
= ( + 1 )
= ( + 1)2
= (2 + 2 + 1)
= 5(2 + 2 + 1) = 52 + 10 + 5.
6. Menentukan Suatu Fungsi jika Fungsi Komposisi dan Fungsi yang lain
Diketahui
Jika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komposisi atau juga
diketahui maka, fungsi g dapat kita tentukan. Demikian juga jika yang diketahui
fungsi g dan fungsi komposisi atau , fungsi f dapat kita tentukan.
Contoh:
1. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3 dan fungsi (f o g)(x) = -3x + 6. Tentukan fungsi
g(x)!
Penyelesaian:
Karena ( )() = f(g(x)) maka,
(()) = 3 + 6
2 () + 3 = 3 + 6
2 () = 3 + 3
() = 3
2+
3
2
Jadi, () = 3
2+
3
2
2. Jika = 5 dan = 2, tentukan g(x).
Penyelesaian:
Karena ( )() = g(f(x)) maka,
= 2
5 = 2
Yang akan dicari adalah g(x) bukan 5 . Maka kita misalkan 5 =
5 = 2
= 2 + 5
Relasi dan Fungsi* 27
Ganti 5 dengan a dan x dengan 2 + 5, diperoleh
= 2 + 5 2 = 2 + 3
Kembali kita dapat buat a = x, maka didapatkan nilai dari g(x).
= 2 + 3
H. Fungsi Invers
1. Pengertian Invers Suatu Fungsi
Notasi untuk fungsi invers f adalah 1. Daerah asal f adalah daerah hasil dari
f-1
dan daerah hasil f adalah daerah asal dari 1. Dua fungsi sebarang f dan g
dikatakan saling invers jik = dan = . Jika invers suatu fungsi
f atau f -1
merupakan fungsi, maka fungsi ini disebut fungsi invers. Fungsi f
dikatakan memiliki fungsi invers apabila f adalah fungsi bijektif.
Contoh:
Diberikan fungsi g = {(2,1), (-1,4), (5,2), (3,0)}. Tentukan:
a. fungsi invers g-1
c. g-1
(g-1
(1)) e. g(g-1
(2))
b. g-1
(1) d. g-1
(g(2))
Penyelesaian:
a. g-1 = {(1,2), (4,-1), (2,5), (0,3)}
b. g-1(1) = 2
c. g-1(g-1(1)) = g-1 (2) = 5
d. g-1(g(2)) = g-1(1) = 2
e. g(g-1(2)) = g(5) = 2
Dari contoh tersebut, kita dapat melihat bahwa 1 = 1 = .
2. Menentukan Rumus Fungsi Invers
Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers adalah sebagai
berikut.
1. Ubah bentuk = () menjadi bentuk = ().
Definisi Fungsi Invers
Jika fungsi f : A B dinyatakan dengan pasangan berurut f = {(a, b)| BbAa ,
}maka invers dari fungsi f adalah f -1
: B A yang ditentukan dengan pasangan
berurut f -1
= {(b, a)| b , }.
Relasi dan Fungsi* 28
Dalam hal ini, x merupakan f-1
(y) sehingga diperoleh 1() = ()
2. Ganti y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers 1() dalam variabel
x.
Contoh:
Tentukan rumus fungsi invers untuk fungsi = 3 + 1
Penyelesaian:
Langkah 1: Ubah bentuk = () menjadi bentuk = () dengan memindahkan
semua suku yang mengandung x ke ruas kiri dan semua semua suku
lainnya ke ruas kanan.
= 3 + 1
3 = 1
= 13
Dalam hal ini x menunjukkan 1() sehingga 1 = 13
.
Langkah 2: Ganti y dengan x untuk memperoleh 1
1 = 13
3. Menentukan Domain, Kodomain, dan Menggambar Grafik Fungsi Invers
a) Menentukan Domain dan Kodomain Fungsi Invers
Telah diketahui bahwa invers fungsi f merupakan sebuah fungsi apabila
fungsi f bijektif.
Dengan memperhatikan syarat tersebut, domain dan kodomian suatu fungsi
agar mempunyai fungsi invers dapat ditentukan.
Contoh:
Diketahui fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = 2
x+1
a. Carilah rumus f -1(x)
b. Tentukan domain dari kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi
invers
Penyelesaian:
a. Misalkan = () = 2
+1
+ = 2
= 2
Relasi dan Fungsi* 29
1 () = 2
Jadi, invers fungsi f(x) = 2
x+1 adalah f
-1(x) =
2x
x.
b. 1) Dengah memperhatikan definisi sebuah fungsi maka domain dari fungsi
f(x) = 2
x+1 adalah semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak
nol atau x + 1 0. Jadi, domainnya adalah x 1 untuk x himpunan
bilangan real.
2) Dari jawaban a, diperoleh f -1
(x) = 2x
x sehingga domain f-1(x) adalah
semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak nol atau Df -1
= {x|
x 0, x himpunan bilangan real}. Selanjutnya, karena domain dari f -1
adalah kodomian dari f, berarti kodomian dari fungsi f agar mempunyai
fungsi invers adalah x 0.
3) Jadi, domain f adalah Df = {x| x 1, x himpunan bilangan real}, dan
kodomain f adalah Kf = {x| x 0, x himpunan bilangan real}.
b) Menggambar Grafik Fungsi Invers dari Fungsi Asalnya
Misalkan diberikan fungsi f : AB merupakan fungsi bijektif. Invers
fungsi f ditulis f -1
: BA merupakan suatu fungsi. Dari pengertian invers suatu
fungsi yang telah dipahami sebelumnya f : AB dinyatakan dengan pasangan
berurut. f = {(a, b)| BbAa , }maka invers dari fungsi f adalah f -1 : BA
yang ditentukan dengan persamaan pasangan berurut f -1
= {(b, a)| b B, a
A}. Dari pengertian ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi invers dari
fungsi asalnya.
Contoh:
Diberikan fungsi f : AB sebagai himpunan pasangan berurut dengan f =
{(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)}. Gambarlah grafik f-1
dari grafik f.
Penyelesaian:
Grafik fungsi f dan grafik fungsi f-1
simetris terhadap y = x.
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
0
f(x)
f-1(x)
Relasi dan Fungsi* 30
I. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi invers dari Fungsi Komposisi
2. Menentukan Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
Misalnya f dan g adalah fungsi-fungsi pada bilangan real dan ( ) adalah
komposisi fungsi f dan g. Salah satu cara untuk menentukan nilai ( )-1 adalah
dengan langkah berikut.
Langkah 1 : menentukan terlebih dahulu fungsi komposisi ( )
Langkah 2 : dari hasil fungsi komposisi itu, kemudian ditentukan fungsi
inversnya.
Contoh:
Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada bilangan real didefinisikan () = 3 + 2
dan () = 2. Tentukan,
a. () b. 1()
Penyelesaian:
a. ( )() = (()) = (2) = 3(2) + 2 = 6 + 2
b. Misalkan = ( )() = 6 + 2 6 = 2
= (2)
6
( )1() = ( 2)
6
( )1() = ( 2)
6
Jadi, fungsi invers dari ( )() adalah ( )1() = (2)
6.
Definisi Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
Jika h merupakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g ( ditulis h = ( ), invers
dari fungsi h merupakan fungsi invers dari fungsi komposisi f dan g yang ditulis.
h-1
= ( )
Relasi dan Fungsi* 31
3. Memahami (f o g)-1 = g-1 o f-1
Perhatikan gambar di atas, apabila f dan g adalah fungsi-fungsi bijektif dengan
f : A B dan g : BC maka ( ) adalah fungsi komposisi yang memetakan A
ke C. Invers dari fungsi komposisi ( ) atau ( )1pada gambar tersebut
dapat dinyatakan sebagai g-1
dan f -1
yaitu 1 1. Dengan demikian kita peroleh,
1 = (1 1(). Dengan cara yang sama dapat kita peroleh
1 = (1 1().
Contoh:
Diketahui f : RR dan g : RR (R = himpunan bilangan real) didefinisikan oleh
() = 4 6 dan () = + 3. Tentukan fungsi berikut ini.
a. 1 ()
b. 1 ()
c. ( )1()
d. ( )1()
Penyelesaian:
a. Misalkan = ()
= 4 6 4 = + 6
= ( + 6)
4
1() = + 6
4
Jadi, 1() = +6
4.
f g
f -1 g -1
(g o f)
(g o f)-1
x
f(x)
g(f(x))
Sifat Fungsi Invers dari Fungsi komposisi
1 = (1 1) = 1 1
1 = (1 1) = 1 1
Relasi dan Fungsi* 32
b. Misalkan =
= + 3 = 3
1() = 3
Jadi, 1() = 3.
c. ( )1() = (1 1)()
= 1(1())
= 1 +6
4
=+6
4 3
=6
4
d. ( )1() = (1 1)()
= 1(1())
= 1( 3)
= 3 +6
4 =
+3
4
4. Menggunakan Sifat Fungsi Komposisi untuk Memecahkan Suatu
Permasalahan
Di antara penerapan invers dari fungsi komposisi adalah menentukan rumus
sebuah fungsi apabila diketahui sebuah fungsi lainnya dan komposisi kedua fungsi
itu. Untuk itu, kita ingat kembali sifat komposisi sebuah fungsi dengan fungsi
inversnya, antara lain
1 = 1 =
Misalkan f dan g adalah fungsi pada bilangan real yang dapat dikomposisikan
dan g-1
adalah invers dari fungsi g. Berdasarkan sifat di atas, dapat diperoleh
= (1 )(())
` = ((1 ) )()
= (1 )()
= (1 )() [bersifat asosiatif]
= (( 1 )())
= ( ( 1 ))()
= ( 1 )()
Berdasaran uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa.
Apabila diketahui g(x) dan ( )() maka () = (1 ( ))()
Apabila diketahui g(x) dan ( )() maka () = (( ) 1))()
Relasi dan Fungsi* 33
Contoh:
Diketahui fungsi f dan g terdefinisi pada bilangan real dengan () = + 5.
Tentukan f(x) jika diketahui:
a. ( )() = 32 + 7
b. ( )() = 3 5
Penyelesaian:
Agar rumus di atas dapat digunakan, kita harus menentukan invers fungsi g, yaitu
1().
Misalkan = ()
= + 5
= 5
1 = 5
Jadi, 1 = 5.
a. f = (1 ( ))()
= 1(( )())
= 1(32 + 7)
= 32 + 7 5
Jadi, f(x) = 3x2 + 7x 5
b. () = (( ) 1)()
= ( )(1())
= ( )( 5)
= 3( 5) 5
= 3 20
Jadi, () = 3 20.