Click here to load reader

Relasi Dan Fungsi

  • View
    340

  • Download
    12

Embed Size (px)

Text of Relasi Dan Fungsi

  • 1

    RELASI DAN FUNGSI

    Standar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan

    fungsi linier dan persamaan fungsi kuadrat

    Kompetensi Dasar : 8. Konsep relasi fungsi, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi eksponen,

    fungsi logaritma dan fungsi trigonometri

    A. Pengertian Relasi dan Fungsi

    Himpunan

    Himpunan adalah kumpulan benda-benda tertentu yang menjadi satu kesatuan karena

    memiliki suatu kesamaan. Contoh: himpunan buah-buahan, himpunan sayuran, himpunan

    bilangan asli atau himpunan anak-anak kelas XI. Benda atau objek yang termasuk dalam

    suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen himpunan atau unsur himpunan.

    Suatu himpunan ditulis dengan huruf kapital, misal A, B, C. Sedang anggota hipunan

    ditulis dengan huruf kecil, misal a, b, c. Untuk mendefinisikan himpunan terdapat dua

    cara, yaitu:

    1. Enumerasi atau mendaftar

    Contoh:

    A = {persegi, persegi panjang, layang-layang, belah ketupat, trapesium}

    B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

    C = {segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga sembarang}

    2. Membangun himpunan

    Contoh:

    A = {a|a adalah bangun datar segi empat}

    * | + * | +

    C = {c|c adalah macam-macam segitiga menurut panjang sisi-sisinya}

    Relasi

    Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak dan

    tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika R

    suatu relasi yang menghubungkan dengan , maka kita dapat menulisnya

    dengan atau . Dimana x disebut prapeta y, y disebut peta atau bayangan

    dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B

    disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada

    anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range. Untuk

    lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

  • 2

    Contoh

    A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} dan R relasi dari A ke B yang ditunjukkan

    dengan kuadrat dari, maka relasi tersebut dapat digambarkan seperti diagram di bawah

    ini.

    Relasi tersebut memiliki

    Domain : {1, 2, 3, 4, 5}

    Kodomain : {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}

    Range : {1, 4, 9, 16, 25}

    Latihan Soal

    Gambarkan diagram panah dari relasi-relasi berikut, kemudian tentukan domai, kodomain

    dan rangenya.

    a. Himpunan A = {daun, langit, tanah, batu, laut, awan} dan himpunan B = {merah,

    hijau, biru, kuning, putih, coklat, abu-abu} dan R merupakan relasi A ke B yang

    menunjukkan memiliki warna

    b. D = {gula, asem, garam, jamu} E = {x|x adalah macam-macam rasa} dan F

    merupakan relasi dari D ke E yang menunjukkan mempunyai rasa

    c. P = {ayam, kucing, landak, ikan}, K = {bulu, jalu, insang, sayap, sisik} dan Q

    merupakan relasi P ke K yang menunjukkan memiliki

    Fungsi

    Suatu relasi disebut fungsi atau pemetaan, jika setiap anggota A berpasangan

    dengan tepat satu anggota B. Perhatikan diagram-diagram panah di bawah ini.

  • 3

    Keterangan:

    1. Relasi f adalah fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu dengan

    anggota B

    2. Relasi g adalah fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu

    dengan anggota B, meski peta semua anggota A sama.

    3. Relasi h adalah fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu

    dengan anggota B, meski terdapat anggota B yang tidak memiliki prapeta di A

    4. Relasi i bukan fungsi, karena terdapat anggota A yang memiliki peta di B lebih dari

    satu.

    5. Relasi j bukan fungsi, karena ada anggota A yang tidak memiliki peta di B

    Contoh

    Gambarkan diagram panah dari fungsi-fungsi C dengan C(x) = x+1 merupakan fungsi dari

    A = {0, 1, 2, 3, 4} ke B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

    Jawab:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    Diagram panah dari fungsi di atas adalah

    Semua fungsi adalah relasi, tapi tidak semua relasi adalah fungsi

    Relasi R:AB dikatakan fungsi apabila setiap anggota A memiliki pasangan

    tepat satu di B. Artinya:

    a. Semua anggota A harus memiliki peta di B

    b. Semua anggota A memiliki peta di B hanya satu, tidak boleh lebih

    c. Anggota B boleh ada yang tidak memiliki pasangan, tetapi tidak semua

    d. Anggota B boleh memiliki prapeta lebih dari satu

  • 4

    Latihan Soal

    1. Gambarkanlah diagram panah dari fungsi-fungsi berikut.

    a. D = {x|x adalah bilangan asli kurang dari 4}, E = {y|y adalah bilangan asli kurang

    dari 11} dan F merupakan fungsi dengan F(x) = x2

    + 1.

    b. G = {x|x adalah bilangan cacah kurang dari 5}, H = {-2, -1, 0, 1, 2} dan I

    merupakan fungsi dengan I(x) = 0

    c. J ={A, B, C, D, E}, K = {badut, cinderela, elang, diana, apel, kalung} dan L

    merupakan fungsi dari J ke K yang mendefinisikan inisial dari.

    d. M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, N = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1} dan O merupakan fungsi

    dengan O(x) = -x.

    2. Tentukan apakah diagram-diagram panah berikut merupakan fungsi atau bukan,

    jelaskan!

    B. Fungsi Linier

    Grafik Fungsi Linier

    Fungsi ( adalah himpunan bilangan Riil) merupakan fungsi linier jika untuk

    setiap berlaku f(x) = ax + b, dengan dan . Fungsi linier adalah

    fungsi berderajat satu. Sehingga grafiknya merupakan garis lurus dengan persamaan

    umumnya y = ax + b. Ada dua cara untuk menggambarkan grafik fungsi linier, yaitu

    dengan tabel dan dengan menentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y.

    Perhatikan contoh berikut

    Contoh

  • 5

    Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( ) .

    jawab:

    Cara 1 dengan Tabel

    Pilih nilai X = {1, 2, 3, 4, 5}

    A B C D E

    x 1 2 3 4 5

    y = 2x+1 3 5 7 9 11

    titik (1,3) (2,5) (3,7) (4,9) (5,11)

    Jika titik-titik (1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,13) digambar ke dalam bidang kartesius

    dan digabungkan dengan garis lurus, maka akan terbentuk garis berikut.

    Menentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y

    Titik potong terhadap sumbu X (y=0)

    ( )

    koordinat titik potongnya ( )

    Titik potong terhadap sumbu Y

    ( )

    ( ) ( )

    Koordinat titik potongnya (0,1)

    Jika titik ( ) dan (0,1) ditarik garis, maka akan terbentuk grafik berikut.

  • 6

    Latihan Soal

    1. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )

    2. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )

    3. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )

    4. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )

    5. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )

    Untuk menentukan fungsi dari suatu grafik yang berbentuk garis lurus, dapat dilakukan

    dengan langkah berikut.

    1. Jika diketahui gradien m dan satu titik (x1,y1), persamaannya dapat ditentukan dengan

    rumus ( ). Dengan gradien m adalah angka kemiringan grafik atau

    koefisien arah grafik atau kemiringan grafik dengan sumbu X. Berikut merupakan

    ubungan gradien terhadap dua garis

    a. Jika garis g sejajar garis l, maka

    b. Jika garis g tegak lurus garis l, maka atau

    Contoh

    a. Tentukan fungsi garis lurus yang bergradien dan melewati titik (2,3)!

    Jawab:

    Diketahui: garis bergradien m = 2 dan melalui titik (x1,y1) = (2,3)

    Persamaannya = ( )

    = ( )

    =

    =

    =

    Jadi, fungsi dari garis tersebut adalah ( )

    b. Tentukan persamaan garis g yang melalui titik (1,-2) dan sejajar garis

    .

    Jawab:

    Diketahui: garis g melewati titik (1,-2) dan sejajar

    Garis

    Sehingga gradien garis adalah

  • 7

    Garis g sejajar garis h sehingga

    Persamaan garis g: = ( )

    ( ) ( )

    Persamaan garis g:

    2. Jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2), persamaan dapat ditentukan dengan

    rumus

    Contoh

    Tentukan fungsi garis lurus yang melewati titik (5,4) dan (10,8)!

    Jawab:

    Diketahui: garis melalui titik (x1,y1) = (5,4) dan (x2,y2) = (10,8)

    Persamaannya:

    =

    =

    =

    ( ) = ( )

    =

    =

    =

    Jadi, fungsi dari garis lurus tersebut adalah ( )

    3. Khusus garis yang melalui titik (0,a) dan ( ), persamaan ditentukan dengan

    menggunakan persamaan

    Contoh

    Tentukan fungsi garis lurus yang melewati titik (0,3) dan (6,0)!

    Jawab:

    Diketahui: garis melalui titik ( ) ( ) dan ( ) ( )

    Persamaannya =

    =

    =

    =

    =

    Jadi, fungsi dari garis lurus tersebut adalah ( )

    Latihan Soal

    1. Tentukan fungsi dari garis lurus yang melalui titik ( ) dan ( )

    2. Tentukan fungsi garis yang mempunyai gradien dan melalui titik ( ).

    3. Tentukan fungsi garis yang melalui titik ( ) dan ( )

    Evaluasi

    1. Persamaan garis yang melalui titik ( 1, 1 ) dan titik ( 2, 6 ) adalah ...

  • 8

    2. Persamaan garis k yang sejajar dengan garis l :