Relasi dan Fungsi

  • View
    118

  • Download
    9

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Relasi dan Fungsi. Matematika Diskrit. Relasi. Relasi antara Ayah dan anak , Ibu dengan anak , dll Dalam aritmatika : Relasi “ Lebih besar ” atau “ Lebih kecil ” digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan yang berbeda Binary Relation/Relation = relasi antara 2 objek. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Relasi dan Fungsi

MatDis - Relasi

Relasi dan FungsiMatematika Diskrit

RelasiRelasi antara Ayah dan anak, Ibu dengan anak, dllDalam aritmatika: Relasi Lebih besar atau Lebih kecil digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan yang berbedaBinary Relation/Relation = relasi antara 2 objek

Relasi dalam himpuananRelasi dari himpunan A ke himpunan B, artinyaMemetakan setiap anggota pada himpunan A (x A) dengan anggota pada himpunan B (y B)Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga merupakan himpunan, yaitu himpunan yang berisi pasangan berurutan yang mengikuti aturan tertentu, contoh (x,y) RRelasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A B atau R (A B)

NotasiRelasi antara dua buah objek dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan(x,y) R

contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan anaknya, maka:F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}

xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y

ContohHumpunan A : himpunan nama orangA={Via, Andre, Ita}

Himpunan B : himpunan nama makananB={es krim, coklat, permen}

Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:Contoh

ABRR : Relasi dengan nama Makanan Kesukaan Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A

Cara menyatakan relasiDiagaram panahHimpunan pasangan berurutanDiagram CartesiusTabel MatriksGraph BerarahCara menyatakan relasi

permencoklatEs krim R={(x,y)|x menyukai y; x A dan y B}

ABR Diagram PanahCara menyatakan relasiHimpunan pasangan berurutanR={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

Diagram Kartesius

Cara menyatakan relasiTabelNamaMakananViaPermenViaCoklatAndreCoklatAndreEs KrimItaEs KrimCara menyatakan relasiMatriksBaris = domainKolom = kodomain

PermenCoklatEs krimpermencoklatEs krimVia110Andre011Ita001Cara menyatakan relasiGraph berarahhanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara dua himpuanan). Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex)Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc). Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loopCara menyatakan relasiContoh graph berarahMisalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

Latihan 1Z = {1,2,3,4}; R = {(x,y)|x > y ; x Z dan y Z}Nyatakan relasi tersbut dalam bentukHimpunan pasangan berurutanMatrixGrafSifat- sifat relasiRefleksif (reflexive)Transitif (transitive) SIMETRIK (SYMMETRIC)ASIMETRIK (ASYMMETRIC)EQUVALENTPOSET

RefleksifSebuah relasi dikatakan refleksif jika sedikitnya: x A, xRxMinimal

TransitifSebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika:xRy , yRz => xRz ; (x,y, z) AContoh:R = {(a,d),(d,e),(a,e)}

SimetrikSebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika:xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ACotoh:A={a,b,c,d}R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}

AsimetrikRelasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrikArtinya (a,b) R, (b,a) RContohnyaR = {(a,b), (a,c), (c,d)}

EquivalenSebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi syarat:RefelksifSimeteris TransitifPartially Order Set (Poset)Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET) jika memenuhi syarat:RefleksifAntisimetri Transitif Latihan 2A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada himpunan A !Apakah relasi berikut asimetris, transitif?R = {(1,2),(3,4),(2,3),(3,3)}Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?

Operasi dalam relasiOperasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan (beda setangkup) juga berlaku pada relasi

Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1 R2, R1 R2, R1 R2, dan R1 R2 juga adalah relasi dari A ke B.Contoh operasi relasiMisalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} Maka : R1 R2 = {(a, a)} R1 R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} R1 R2 = {(b, b), (c, c)} R2 R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} R1 R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

Operasi dalam bentuk matriksMisalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

Maka:

Komposisi relasiMisalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan BT adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan T, dinotasikan dengan T R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :T R = {(a, c) a A, c C, dan untuk suatu b B sehingga (a, b) R dan (b, c) T }

Komposisi relasiMisalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u} Relasi dari A ke B didefinisikan oleh : R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)} Relasi dari B ke C didefisikan oleh : T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} Maka komposisi relasi R dan T adalah T o R= {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

Komposisi relasiT o R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}