RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi ... · PDF fileIpung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunan

Outline

RELASI DAN FUNGSI(Kajian tentang karakteristik, operasi,

representasi fungsi)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan Matematika FKIPPS. Sistem Informasi

University of JemberIndonesia

Jember, 2009

Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI

Outline

Outline

1 Relasi, Fungsi dan KomputasiRelasiFungsiMacam Fungsi

2 Komposisi Fungsi dan Fungsi InversKomposisi FungsiFungsi Invers

3 Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograman


Outline

Outline





Outline

Outline





Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Fungsi dan Bahasa Pemrograman

RelasiFungsiMacam Fungsi

Pengertian Relasi

Definisi

Relasi (R) dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunanbagian tak kosong dari hasil perkalian himpunan A dan B, yaitu

R ⊆ A× B

Contoh

relasi ”gemar” yang menghubungkan himpunan manusiadengan himpunan cabang olah raga; Watik gemar voli,Ipung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja

relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunanpropinsi; Jember terletak di Jawa Timur, Klaten terletak diJawa Tengah, Denpasar terletak di Bali





Pengertian Relasi

Definisi


R ⊆ A× B

Contoh







Pengertian Relasi

Definisi


R ⊆ A× B

Contoh







Pengertian Relasi

Definisi


R ⊆ A× B

Contoh







Relasi pada Sebuah Himpunan

Relasi biner

Sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A merupakansebuah subset pada A× A

Contoh

nyatakan relasi kurang dari pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}sebagai himpunan pasangan terurut.

gambarlah representasi grafis (diagram) dari relasitersebut.

konstruksilah matriks relasi untuk relasi tersebut.






Relasi biner


Contoh









Relasi biner


Contoh









Relasi biner


Contoh









Relasi biner


Contoh








Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan

Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A

1 R adalah refleksif jika xRx ,∀x ∈ A2 R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)

3 R adalah simetris jika (xRy) ⇒ (yRx),∀x ∈ A4 R adalah antisimetris jika

[(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y ,∀x , y ∈ A5 R adalah transitif jika [(xRy) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz),∀x , y , z ∈ A


















































Identifikasi

Klasifikasikan!

”saudara perempuan dari”

”ayah dari”

”memiliki orangtua yang sama dengan”

pada himpunan semua manusia

Klasifikasikan!

”kurang dari atau sama dengan”

”terbagi oleh”

”memiliki kesamaan parity dengan”

pada himpunan bilangan bulat, Z





Identifikasi

Klasifikasikan!


”ayah dari”



Klasifikasikan!


”terbagi oleh”







Identifikasi

Klasifikasikan!


”ayah dari”



Klasifikasikan!


”terbagi oleh”







Identifikasi

Klasifikasikan!


”ayah dari”



Klasifikasikan!


”terbagi oleh”







Identifikasi

Klasifikasikan!


”ayah dari”



Klasifikasikan!


”terbagi oleh”







Identifikasi

Klasifikasikan!


”ayah dari”



Klasifikasikan!


”terbagi oleh”







Identifikasi

Klasifikasikan!


”ayah dari”



Klasifikasikan!


”terbagi oleh”







Identifikasi

Klasifikasikan!


”ayah dari”



Klasifikasikan!


”terbagi oleh”







Relasi Ekivalensi

Definisi

Sebuah relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitifdisebut relasi ekivalensi

Relasi ekivalensi pada sebuah himpunan A

memunculkan kelas-kelas ekivalensi. Misalnya untuk suatux ∈ A, maka kelas ekivalensi x adalah [x ] = {y ∈ A|yRx}

Contoh

Relasi ”memiliki kesamaan parity dengan” pada himpunanbilangan bulat menjadikan himpunan ini terbagi ke dalam 2kelas ekivalensi yakni [0] dan [1]. Kelas [0] berisikan semuabilangan genap dan kelas [1] berisikan semua bilangan ganjil.





Relasi Ekivalensi

Definisi




Contoh






Relasi Ekivalensi

Definisi




Contoh






Partisi

Definisi

Misalkan A adalah sebuah himpunan. Sebuah partisi terhadaphimpunan A merupakan sebuah himpunan yang berisikansubset-subset dari A sedemikian hingga setiap elemen dari Amerupakan sebuah elemen pada tepat satu subset.

Secara teknis

Jika {A1, A2, ..., An} merupakan partisi dari himpunan A maka1 A1, A2, ..., An merupakan subset-subset dari A yang saling

asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A





Partisi

Definisi


Secara teknis


asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A





Partisi

Definisi


Secara teknis


asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A





Partisi

Definisi


Secara teknis


asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A





Relasi Ekivalensi dan Partisi

Teorema

Misalkan A adalah sebuah himpunan, dan R adalah sebuahrelasi ekivalensi pada A. Untuk setiap elemen x ∈ A, misalkanE(x) = {y ∈ A|yRx}. Maka {E(x)|x ∈ A} merupakan sebuahpartisi terhadap A.

Bukti

Teorema tersebut terbukti kebenarannya dengan dipenuhinyakedua aksioma berikut:

1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)

2 jika a ∈ A maka a ∈ E(a)






Teorema


Bukti


1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)







Teorema


Bukti


1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)







Teorema


Bukti


1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)







Contoh:

Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulatdengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4.

1 Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.2 Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.3 Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R

Pada sisi lain

Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, makadapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakanrelasi ekivalensi.

Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi






Contoh:



Pada sisi lain








Contoh:



Pada sisi lain








Contoh:



Pada sisi lain








Contoh:



Pada sisi lain








Contoh:



Pada sisi lain







Relasi Order Parsial

Definisi

Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif

Contoh

relasi ≤ pada himpunan bilangan riil

relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan

relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli

relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika

Catatan

Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p






Definisi


Contoh





Catatan







Definisi


Contoh





Catatan







Definisi


Contoh





Catatan







Definisi


Contoh





Catatan







Definisi


Contoh





Catatan







Definisi


Contoh





Catatan







Partial order relations

terjadi pada beberapa area komputasi. Salah satu contoh, jikakita memiliki sebuah program komputer yang memuat sejumlahmodul: program utama, subprogram yang dipanggil olehprogram utama, subprogram yang dipanggil oleh subprogram,dan sebagainya.

Pada himpunan modul {M1, M2, ..., Mn}dapat didefinisikan suatu relasi R dengan aturan MiRMj jika Mi

berada dalam jalur panggilan dari Mj






Partial order relations

terjadi pada beberapa area komputasi. Salah satu contoh, jikakita memiliki sebuah program komputer yang memuat sejumlahmodul: program utama, subprogram yang dipanggil olehprogram utama, subprogram yang dipanggil oleh subprogram,dan sebagainya.

Pada himpunan modul {M1, M2, ..., Mn}dapat didefinisikan suatu relasi R dengan aturan MiRMj jika Mi

berada dalam jalur panggilan dari Mj





Fungsi

Definisi

Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi dari A ke B adalahsuatu aturan yang memasangkan setiap elemen A dengantepat satu elemen B

Analisis Fungsi

Secara notasi dapat dinyatakan bahwa f : A → B merupakansebuah fungsi jika (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B), f (a) = b. Sehingga untukmenunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsimaka perlu dibuktikan bahwa

(∀a1, a2 ∈ A), a1 = a2 =⇒ f (a1) = f (a2)





Fungsi

Definisi

Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi dari A ke B adalahsuatu aturan yang memasangkan setiap elemen A dengantepat satu elemen B

Analisis Fungsi

Secara notasi dapat dinyatakan bahwa f : A → B merupakansebuah fungsi jika (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B), f (a) = b. Sehingga untukmenunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsimaka perlu dibuktikan bahwa

(∀a1, a2 ∈ A), a1 = a2 =⇒ f (a1) = f (a2)





Fungsi

Terminologi

Jika f : A → B adalah fungsi maka

A disebut domain atau daerah asal

B disebut codomain atau daerah lawan

f (A) = {b ∈ B|b = f (a), a ∈ A} disebut range f atau daerahhasil





Fungsi

Terminologi









Fungsi

Terminologi









Fungsi

Terminologi









Fungsi

Contoh

Misalkan C adalah himpunan semua karakter ASCII. Setiapkarakter ASCII memiliki sebuah kode karakter dalam rangebilangan bulat dari 0 sampai 127.

Sehingga dapat dibuat fungsi-fungsi berikut:1 ord : C → {0, 1, 2, ..., 127} dengan aturan ord(c) = kode

ASCII dari c2 chr : {0, 1, 2, ..., 127} → C dengan aturan chr(n) =

karakter ASCII yang kodenya n.





Fungsi

Contoh









Fungsi

Contoh









Fungsi

Contoh









Fungsi

Untuk mendapatkan range dari fungsi-fungsi tersebut perlumerujuk pada tabel karakter ASCII. Misalnya:

ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′

ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′

ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′

Catatan

Notasi ord dan chr pada fungsi-fungsi tersebut digunakandalam bahasa pemrograman Pascal





Fungsi


ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′

ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′

ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′

Catatan






Fungsi


ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′

ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′

ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′

Catatan






Fungsi


ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′

ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′

ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′

Catatan






Fungsi


ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′

ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′

ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′

Catatan






Fungsi

Contoh

Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong danY = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikutwell-defined atau tidak?

1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.4 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan

menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.5 k : Y → X , k(n) = string yang terdiri atas n ”1”.





Fungsi

Contoh








Fungsi

Contoh








Fungsi

Contoh








Fungsi

Contoh








Fungsi

Contoh








Macam Fungsi

Sebuah fungsi adalah onto atau surjektif jika daerah hasilnya(range) sama dengan daerah lawannya (codomain)f : A → B onto jika ∀b ∈ B,∃a ∈ A, b = f (a)

Sebuah fungsi adalah satu-satu atau injektif jika tidak ada duaelemen yang berbeda dalam domain yang memiliki bayanganyang sama.f : A → B satu-satu jika berlakunya implikasi berikut

(∀a1, a2 ∈ A), f (a1) = f (a2) =⇒ a1 = a2

Fungsi yang yang sekaligus satu-satu dan onto disebutKorespondensi satu-satu atau fungsi Bijektif





Macam Fungsi



(∀a1, a2 ∈ A), f (a1) = f (a2) =⇒ a1 = a2






Macam Fungsi



(∀a1, a2 ∈ A), f (a1) = f (a2) =⇒ a1 = a2






Macam Fungsi

Contoh

Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!

1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan

Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan

menambahkan ”0” pada string s.





Macam Fungsi

Contoh









Macam Fungsi

Contoh









Macam Fungsi

Contoh









Macam Fungsi

Contoh









Macam Fungsi

Contoh









Macam Fungsi

Contoh









Macam Fungsi

Contoh








Komposisi FungsiFungsi Invers

Komposisi Fungsi

Misal f : A → B dan g : B → C adalah fungsi. Komposisifungsi dari f dan g adalah fungsi:

g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))

1 Jika f : R → R, f (x) = x2 dan g(x) = 3x − 1. Tentukanf ◦ g dan g ◦ f

2 Misalkan X = himpunan semua string karakter berhinggatak kosong. Misalkan fungsi f dan g didefinisikan sebagaiberikut:

f : X → N, f (s) = banyaknya karakter dalam string sg : X → X , g(s) = string yang didapatkan dengan

menambahkan ”a” kepada string s.

Jika ada, tentukan f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f dan g ◦ gAntonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI




Komposisi Fungsi


g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))









Komposisi Fungsi


g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))









Komposisi Fungsi


g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))









Fungsi Invers

Fungsi Identitas

Misalkan A adalah sebuah himpunan. Fungsi identitas dalamA adalah

i : A → A, i(x) = x

Fungsi Invers

Misalkan f : A → B dan g : B → A adalah fungsi. Jikag ◦ f : A → A adalah fungsi identitas dalam A, dan jikaf ◦ g : B → B adalah fungsi identitas dalam B, maka f adalahinvers dari g, dan g adalah invers dari f .

Teorema

Sebuah fungsi f memiliki sebuah invers jika dan hanya jika fsatu-satu dan onto





Fungsi Invers

Fungsi Identitas


i : A → A, i(x) = x

Fungsi Invers


Teorema






Fungsi Invers

Fungsi Identitas


i : A → A, i(x) = x

Fungsi Invers


Teorema






Fungsi Invers

Contoh1 Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord2 Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki

invers, jika ada tentukan inversnya1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 g : R →, g(x) = x2

3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2





Fungsi Invers



3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2





Fungsi Invers



3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2





Fungsi Invers



3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2





Fungsi Invers



3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2





Fungsi Invers



3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2



Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma

Fungsi dalam Bahasa Pemrograman

Dalam menyusun listing program menggunakan suatu bahasapemrograman kita seringkali membutuhkan fungsi




Quiz

Its now time for Quiz





30 minutes Quiz

1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}

Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B

3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh

R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}

Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.





30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}






30 minutes Quiz




R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}





Terima kasih

TERIMA KASIH


Documents

RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi ... · PDF fileIpung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunan