Relasi Fungsi Teknik

7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik

1/26

1

2

4

5

1

2

3

5

A B

Relasi dan Fungsi

Pengertian Relasi dan Fungsi

1. Relasi antara dua himpunan

Jika A dan B dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:

{ }BdanA,!BA = yxyx , A B dise"ut hasil kali #artesian antara

himpunan A dan B.

Jika R !A B, maka R dise"ut relasi dari himpunan A ke himpunan B.

Relasi dapat diartikan se"agai aturan yang menga$ankan dua himpunan.

Ada "e"erapa #ara menyatakan relasi, yaitu:

a. diagram panah

". himpunan pasangan "erurutan

#. grafik kartesius

%ontoh:

&iketahui himpunan A =' 1, 2, 4, 5( dan B =' 1, 2, 3, 5(, nyatakan relasi dari

A ke B dengan )dua le"ihnya dari* +

enyelesaian:

a. diagram panah #. -rafik kartesius

1

1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

-" 2.2. #ontoh grafik kartesius

A

B


2/26

". himpunan pasangan "erurutan

'!1,1, !4,2, !5,3(

2. emetaan atau fungsi

emetaan atau fungsi fdari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi

yang menghu"ungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.

emetaan seperti ini "iasa dinotasikan dengan

f: x y atau y =f!/

di"a#a )f memetakanx key *

y dinamakan peta atau "ayangan dari x oleh fungsi f. 0impunan semua

peta"ayangan dari fungsi dise"ut daerah hasil (range).

Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:

a. 0impunan A se"agai daerah asal atau daerah definisi !domain.

". 0impunan B se"agai daerah ka$an !kodomain.

#. 0impunan R se"agai daerah hasil !range

d. uatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap

anggota A dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain

setiap anggota A dipasangkan ha"is tetapi tidak "oleh ada satu anggota A

yang punya pasangan le"ih dari atau kurang dari satu.

&omain fungsi f"iasanya dilam"angkan dengan & fsedangkan range fungsi f

"iasanya dilam"angkan dengan Rf.

%ontoh:

2


3/26

1 &iantara diagram panah "erikut yang merupakan fungsi !pemetaan dari A

ke B adalah

a. #.

". d.

enyelesaian:

" adalah a$a"nya, se"a" setiap anggota A dipasangkan ha"is dan punya

ka$an tunggal

a "ukan fungsi se"a" ada anggota A yang tidak punya ka$an #

"ukan fungsi se"a" ada anggota A yang punya ka$an le"ih dari satu

d "ukan fungsi se"a" ada anggota A yang tidak punya ka$an dan ada

anggota A yang punya ka$an le"ih dari satu.

2 &iketahui suatu fungsi yang memetakan A ='1, , 2( ke B ='1, 2,

3, 4( dengan sifat )pangkat tiga dari*

a Buatlah diagram panahnya

" 6entukan domain, kodomain dan range fungsi terse"ut.

enyelesaian:

a

3

A B

A B

A B

-".2.3. diagram panah

A B

1

2

1

2

3

4

A B

-". 2.4. diagram panah


4/26

-". 2.5. korespondensi satusatu

A B

" &omain fungsi !&f adalah A ='1, , 2(

7odomain fungsi adalah B ='1, 2, 3, 4(

Range fungsi !Rf adalah R ='1, 2, 3(

&iagram panah di "a$ah ini menunukkan keadian khusus dari pemetaan

yang dise"ut korespondensi satusatu.

7orespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghu"ungkan setiap

anggota A dengan tepat satu anggota pada B dan menghu"ungkan setiap

anggota B dengan tepat satu anggota pada A.

Jika suatu fungsi fmempunyai daerah asal dan daerah ka$an yang

sama, misalkan & maka sering dikatakan fungsi fpada &. Jika daerah asal

dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua

bilangan riil (). 8ntuk fungsifungsi pada kita kenal "e"erapa fungsi

khusus antara lain: fungsi linier dan fungsi kuadrat.

4


5/26

A. Fungsi Linier

9ungsi linier mempunyai persamaan y=ax b, a,bdan a. -rafik fungsi

linier "erupa garis lurus. 8ntuk menggam"ar grafik fungsi linier ada dua #ara,

yaitu: dengan ta"el dan dengan menentukan titik potong pada sum"u / dan

sum"u y.

%ontoh:

-am"arlah grafik fungsi y =2x 2

enyelesaian:

1. &engan ta"el

x 1 1

y =2x 2 2 4

2. &engan titik potong sum"u / dan sum"u y

ersamaan garis y =2x 2

6itik potong grafik dengan sum"u /:

syarat y= =2x 2

2x=2

x=1

sehingga titik potong grafik dengan sum"u / adalah ! 1,

5

&ari ta"el diperoleh titiktitik "erupa

pasangan koordinat, kita gam"ar titik

terse"ut dalam "idang kartesius

kemudian dihu"ungkan sehingga

tampak mem"entuk garis lurus.

!gam"ar 2.;

1 2 3 4

1

1


7/26

y y1=m !xx1

ada gam"ar 2., misalkan adalah sudut antara garis horisontal !seaar

sum"u x dan grafik fungsi linier dengan arah putaran "erla$anan arah

dengan arah putaran arum am, maka gradien dapat pula didefinisikan

dengan =

= tanx

ym .

Jadi

e"agai #atatan "ah$a

a Jika m = maka grafik seaar dengan sum"u xdan ini sering dise"ut

se"agai fungsi konstan.

" Jika m> maka grafik miring ke kanan !


8/26

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

=

y y1=m!xx1

y ? =;!x3

y=;x

1 ?

y=;x?

Jadi persamaan garisnya adalah y=;x?.

3. @enentukan persamaan garis melalui dua titik

ersamaan garis melalui dua titik A!x1,y1 dan B!x2,y2 dapat di#ari dengan

langkah se"agai "erikut:

persamaan garis melalui titik A!x1,y1 dan dengan memisalkan gradiennya m

adalah

y y1=m !xx1 . !i

karena garis ini uga melalui titik B!x2,y2, maka y2y1 =m !x2x1, sehingga

diperoleh gradien

12

12

xx

yym

= . !ii

persamaan !ii disu"stitusikan ke !i diperoleh12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

=

Jadi persamaan garis melalui dua titikA!x1,y1 danB!x2,y2 adalah

%ontoh:

6entukan persamaan garis yang melalui titik !1,; dan !3,.

enyelesaian:

7edua titik !1,; dan !3, disu"stitusikan ke persamaan garis melalui dua titik.


9/26

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

=

13

1

;

;

=

xy

2

1

2

; = xy

y; =x1

y=x 5

Jadi persamaan garisnya adalah y=x 5

4. @enentukan titik potong antara dua garis

@isalkan dua garis g1 dan g2 saling "erpotongan di titik P!x,y, maka nilaix

dan y harus memenuhi kedua persamaan garis terse"ut. 6itik potong dua

garis dapat di#ari dengan metode su"stitusi atau eliminasi.

%ontoh:

6entukan titik potong dari dua garis g1: y=3x 2 dan g2:y=x

enyelesaian:

oal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode

a. @etode su"stitusi

Cilai ypada persamaan g2diganti dengan nilai ypersamaan g1

y=x

3x 2 =x

2x=;

x=3

x=3 dimasukkan ke persamaan g2diperoleh

y=x =3 =11

adi titik potong g1: y=3x 2 dan g2:y=x adalah !3,11

?


10/26

". @etode eliminasi

@etode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu

Daria"el untuk menghilangkan salah satu Daria"el lainnya. 7arena kedua

persamaan terse"ut memiliki koefisien Daria"el y yang sama maka

langsung dieliminasikan

y=3x 2 x=3 dimasukkan ke persamaan g2

y=x y=x =3 =11

=2x;

2x=; x=3

adi titik potong g1: y=3x 2 dan g2:y=x adalah !3,11

%atatan:

a. -aris g1 yang "ergradien m1dikatakan sejajar dengan g2yang "ergradien

m2 ika memenuhi m1=m2

%ontoh:

Apakah garis y=5x 12 seaar dengan y=5x

enyelesaian:

7arena m1=m2=5 maka kedua garis terse"ut seaar.

". -aris g1 yang "ergradien m1 dikatakan tegak lurus dengan g2 yang

"ergradien m2 ika memenuhi m1. m2=1

%ontoh:

Apakah garis 2y=;x 12 dan ?y=3x saling tegak lurusE

enyelesaian:

g1: 2y=;x 12 y=3x ; m1=3

1

+


11/26

g2: ?y=3x y=?

3

1+ x m2=

3

1

m1. m2=3 .

3

1=1 sehingga kedua garis saling tegak lurus.

B. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y=ax2 bx cdengan a,b,c

dan a . -rafik fungsi kuadrat "er"entuk para"ola maka sering uga dise"ut

fungsi parabola.

Jika a> , para"ola ter"uka ke atas sehingga mempunyai titik "alik minimum

!gam"ar 2.?.a

Jika a

-". 2.?.". grafik para"ola

=


12/26

Jika ditinau dari nilai adan & maka sketsa grafik para"ola se"agai "erikut:

a G , & H a G , & = a G , & G

a H , & H a H , & = a H , & G

%atatan:

persamaan kuadrat ax2 bx c= dapat di#ari akarakarnya dengan:

emfaktoran

7uadrat sempurna

Rumus a"#:x12=a

acbb

2

42

%ontoh:

-am"arlah sketsa grafik fungsi y=x2;x

enyelesaian:

a. @enentukan pem"uat nol fungsi

&engan pemfaktoran diperoleh

x2;x =

!x 2 !x 4 =

x=2 ataux=4

". @enentukan sum"u simetri

12

&efinit positif

&efinit negatif

X2

X1

X2

X1

X1=X

2

X1=X

2


13/26

=

Documents

Relasi Fungsi Teknik