Relatividad General y Especial

8/8/2019 Relatividad General y Especial

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Principios Generales

Las caractersticas esenciales de la teora general de larelatividad son lassiguientes:

El principio general de covariancia: las leyes de la fsicadeben tomar la misma forma en todos lossistemas decoordenadas.

El movimiento libre inercial de una partcula en uncampo gravitatorio se realiza a travs de

trayectorias geodsicas. El principio de equivalencia o de invariancia local de

Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacioplano de Minkowsky) se aplican localmente para todoslos observadores inerciales.


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Principio de Covarianza El principio de covariancia es la generalizacin de la teora

de la relatividad especial, donde se busca que las leyes parala naturaleza tengan la misma forma en todos los sistemasde referencia, lo cual equivale a que todos lossistemas dereferencia sean indistinguibles. En otras palabras, quecualquiera que sea el movimiento de los observadores, lasecuaciones tendrn la misma forma y contendrn losmismos trminos. sta fue la principal motivacinde Einstein para que estudiara y postulara la relatividadgeneral.

El principio de covariancia sugera que las leyes debanescribirse en trminos de tensores, cuyas leyes detransformacin covariantesy contravariantes podanproporcionar la "invariancia" de forma buscada,satisfacindose el principio de covariancia.


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Principio de Equivalencia.

Un hito fundamental en eldesarrollo de la teora de la

Relatividad General lo constituy laenunciacin por Albert Einstein enel ao 1912 del principio deequivalencia. Dicho principiosupone que un sistema que seencuentra en cada libre y otro quese mueve en una regin del espacio-tiempo sin gravedad se encuentranen un estado fsico sustancialmentesimilar: en ambos casosse tratade sistemas inerciales.

Los dos astronautas de la imagen se

encuentran en una nave en cada libre.Por ello no experimentangravedad alguna (su estado sedescribe coloquialmente como "degravedad cero"). Se dice por ello

que son observadores inerciales.


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La mecnica clsica distingua entre cuerpos de movimiento inercial(en reposo o movindose a velocidad constante) o cuerpos demovimiento no inercial (aquellossometidos a un movimientoacelerado). En virtud de la segunda ley de Newton, toda aceleracinestaba causada por la aplicacin de una fuerza exterior. La relacin

entre fuerza y aceleracin se expresaba mediante esta frmula:

Donde a la aceleracin, F la fuerza ym la masa. La fuerza poda serde origen mecnico, electromagntico, y cmo no, gravitatorio.


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Sin embargo, la Teora de la Relatividad considera quelos efectos gravitatorios no son creados por fuerzaalguna, sino que encuentran su causa en la curvatura delespacio-tiempo generado por la presencia de masas. Porello, un cuerpo en cada libre es un sistema inercial, yaque no est sometido a fuerza alguna (porque lagravedad no lo es). Un observador situado en un sistemainercial (como una nave en rbita) no experimentaaceleracin alguna y es incapaz de discernir si estatravesando o no un campo gravitatorio. Comoconsecuencia de ello, las leyes de la fsica se comportan

como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. Deah que el principio de equivalencia tambin reciba elnombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemasinerciales rigen los principios y axiomas de laRelatividad Especial.


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Ejemplos de sistemas inercialessegn el Principio de EquivalenciaSistema Es inercial?

(Principio de

Equivalencia)

Es inercial?(Mecnica

Newtoniana)Cuerpo en Cada LibreCuerpo en Reposo sobre la superficieterrestrePlaneta orbitando alrededor del solNave precipitndose hacia la tierra

Cohete Despegando desde una base delanzamiento

SiNo

SiSi

No

NoSi

NoNo

No


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La curvatura Espacio-Tiempo La aceptacin del principio de equivalencia por

Albert Einstein le llev a un descubrimiento ulterior:La contraccin o curvatura del tiempo comoconsecuencia de la presencia de un campogravitatorio, que qued expresado en su artculo de1911 "Sobre la influencia de la gravedad en lapropagacin de la luz".1

Supongamos que un fotn emitido por una estrellacercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley deconservacin del tetramomentum la energaconservada del fotn permanece invariante. Por otrolado, el principio de equivalencia implica que unobservador situado en el fotn (que es un sistemainercial, es decir,se halla en cada libre) no

experimenta ninguno de los efectos originados por elcampo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que laenerga conservada del fotn no se altera comoconsecuencia de la accin de la gravedad, y tampocolo hace la frecuencia de la luz, ya que,segn laconocida frmula de la fsica cuntica, la energa deun fotn es igual a su frecuencia (v) multiplicada porla constante de Planck (h):E = h.


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Ahora bien,si las observaciones las realizara un astrnomo situado

en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campogravitatorio, los resultadosseran muy diferentes: El astronomopodra comprobar cmo el fotn, por efecto de su cada hacia laTierra, va absorbiendo progresivamente energa potencialgravitatoria y, como consecuencia de esto ltimo,su frecuencia secorre hacia el azul. Los fenmenos de absorcin de energa por losfotones en cada libre y corrimiento hacia el azul se expresanmatemticamente mediante lassiguientes ecuaciones:

rec =eme

Donde EOBS es la energa medida por un observador en reposo respecto alcampo gravitatorio (en este caso un astrnomo), el potencial gravitatoriode la regin donde se encuentra ste, ECON la energa conservada delfotn, em la frecuencia de emisin, rec es la frecuencia percibida por elobservador (y corrida hacia el azul) y h la constante de Planck.


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Teora de la Relatividad Especial La Teora de la Relatividad

Especial, tambin llamada Teorade la Relatividad Restringida, es

una teora fsica publicadaen 1905 por Albert Einstein. Surgede la observacin de que la

velocidad de la luz en el vaco esigual en todos los sistemas dereferencia inerciales y de sacar

todas

las

cons

ecuencias

del principio de relatividad, segnel cual cualquier experiencia hechaen un sistema de referencia inercialse desarrollar de manera idnticaen cualquier otro sistema inercial.


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Postulados

Primer postulado - Principio especial derelatividad - Las leyes de la fsica son las mismas

en todos los sistemas de referencia inerciales. Enotras palabras, no existe un sistema inercial dereferencia privilegiado, que se pueda considerarcomo absoluto.

Segundo postulado - Invariancia de c -La velocidad de la luz en el vaco es una constanteuniversal, c, que es independiente del movimientode la fuente de luz.


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Principio de la Relatividad Henri Poincar a finales del siglo XIX sugiri que el principio de

relatividad se mantenga para todas las leyes de la naturaleza. JosephLarmor y Hendrik Lorentz descubrieron que las ecuaciones de Maxwell,

la piedra angular del electromagnetismo, era invariante solo por unavariacin en el tiempo y una cierta unidad longitudinal. Lo que produjomucha confusin en los fsicos, ellos estaban tratando de argumentar las

bases del ter lumnico, pero este ter era incompatible con el principiode relatividad.

En su publicacin de 1905 en electrodinmica,Henri Poincar y AlbertEinstein explicaron que, con las transformaciones hechas por Lorentz,ste principio se mantena perfectamente invariable. La contribucin deEinstein fue el elevar a este axioma a principio y proponer alas transformadas de Lorentz como primer principio. Adems descart lanocin de tiempo absoluto y requiri que la velocidad de la luz enel vaco sea la misma para todos los observadores,sin importar si stossemovan o no. Esto era fundamental para las ecuaciones de Maxwell, yaque stas necesitan de una invarianza general de la velocidad de la luz enel vaco.


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Transformaciones de Lorentz

Los fsicos de la pocahaban encontrado una

inconsistencia entre lacompleta descripcindel electromagnetismorealizado por Maxwell yla mecnica clsica. Para

ellos, la luz era una ondaelectromagntica transversal que se mova porun sistema de referenciaprivilegiado, al cual lodenominaban ter.

Diferentes sistemas dereferencia para un mismofenmeno.


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Hendrik Lorentz trabaj en resolver este problema y fue desarrollando unas

transformaciones para las cuales las ecuaciones de Maxwell quedabaninvariantesysin necesidad de utilizar ese hipottico ter. La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como la Teora electrnica de

Lorentz, no exclua -sin embargo- al ter. En la misma, Lorentz proponaque la interaccin elctrica entre dos cuerpos cargados se realizaba pormedio de unos corpsculos a los que llamaba electrones y que seencontraban adheridos al amasa en cada uno de los cuerpos.

Estos electrones interactuaban entre s mediante el ter, el cual eracontrado por los electrones acorde a transformaciones especficas,mientras estos se encontraban en movimiento relativo al mismo.

stas transformaciones se las conoce ahora como transformaciones deLorentz. La formulacin actual fue trabajo de Poincar, el cual las presentde una manera ms consistente en 1905.

Donde es el llamado factor de Lorentz y es la velocidad dela luz en el vacio


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Simultaneidad

Se refiere al hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dosacontecimientos en diferente lugar puedan haberse realizado almismo tiempo. Si dos observadores, en el mismo lugar (espacio),presencian un fenmeno, podran decir simultneamente que se realiz enel mismo tiempo. Los dos indicaran el mismo tiempo del acontecimiento.Pero si los dos presencian ese acontecimiento en lugares diferentes,espacios diferentes, al mismo tiempo, ninguno de ellos podra afirmar quese realiz simultneamente.

Matemticamente, esto puede comprobarse en la primera ecuacin dela transformacin de Lorentz:

un evento que se realiza en el sistema de referencia S, que satisface ,no nono necesariamente debe ser simultneo en otro sistema de referenciainercial S', para satisfacer .


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Dilatacin del Tiempo

El tiempo en esta teora deja deser absoluto como se propona

en la mecnica clsica. Osea, eltiempo para todos losobservadores del fenmeno dejade ser el mismo. Si tenemosun observador inmvil haciendo

una medicin del tiempo de unacontecimiento y otro que semueva a velocidades relativistas,los dos relojes no tendrn lamisma medicin de tiempo.


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Mediante la transformacin de Lorentz nuevamentellegamos a comprobar esto. Se coloca un reloj ligado alsistema S y otro al S', lo que nos indica que x = 0. Setiene las transformaciones ysus inversas en trminos dela diferencia de coordenadas:

Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos:

De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en elsistema en movimiento S' sern ms largos que los del S.La relacin entre ambos es esa . ste fenmeno se loconoce como dilatacin del tiempo.


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Contraccin de la Longitud.

Si se dice que el tiempo varaa velocidades relativistas,

la longitud tambin lo hace. Un ejemplosera si tenemos a dos observadoresinicialmente inmviles, stos miden unvehculo en el cual solo uno de ellos "viajar"a grandes velocidades, ambos obtendrn elmismo resultado. Uno de ellos entra al

vehculo y cuando adquiera la suficientevelocidad mide el vehculo obteniendo elresultado esperado, pero si el que estainmvil lo vuelve a medir, obtendr un valormenor. Esto se debe a que la longitud

tambin se contrae.

Grfico que explica laContraccin de Lorentz


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Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x ycondicionando a se obtiene:

de lo cual podemos ver que existir una disminucin debido alcociente. Estos efectossolo pueden verse a grandes

velocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana lasconclusiones obtenidas a partir de stos clculos no tienenmucho sentido.

Un buen ejemplo de estas contracciones y dilataciones fuepropuesto por Einstein en su paradoja de los gemelos.


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Anterior a la Relatividad Especial, la velocidad de un cuerpoen dossistemas vena dado por donde es la

velocidad del cuerpo con respecto al sistema S', Ues lavelocidad del sistema y Ves la velocidad desde el sistema enreposo S. Ahora, debido a la alteracin en la direccin de la

nocin de simultaneidad esto deja de ser del todo cierto. Conlos clculos debidos en las transformadas de Lorentz se lograobtener la siguiente ecuacin:

Al observar con cuidado esta frmula se nota que si un cuerpo

se mueve a la velocidad de la luz en el sistema S, tambin lohar en el sistema S'. Ademsse obtiene que si las velocidadesson muy pequeas en comparacin con la luz, esta frmula seaproxima a la anterior dada por Galileo.


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Masa, Momento y energia

El concepto de masa en la teora de la relatividad especial tiene dosbifurcaciones: la masa invariante y la masa relativista. La masa

relativista es la masa que va a depender del observador y puedeincrementar dependiendo de su velocidad, mientras que lainvariante es independiente de quien la mire y como su nombre lodice no vara.

Matemticamente se obtiene que M=m donde M es la masa

relativista, m es la invariante y es el factor de Lorentz


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Energa La relatividad especial postula una ecuacin para la energa, la

cual inexplicablemente llego a ser la ecuacin ms famosa delplaneta,E=mc2. A esta ecuacin tambin se la conoce como la

equivalencia entre masa y energa. En la relatividad, la energa y el momento estn relacionadosmediante la ecuacin

Esta relacin de energa-momento formulada en la relatividad

nos permite observar la independencia del observador tantode la energa como de la cantidad de momento. Para

velocidades no relativistas, la energa puede ser aproximadamediante una expansin de una serie de Taylor as


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Fuerza Empleando la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza

es:

contrariamente a lo que se deca en la mayora de los casos enla mecnica newtoniana, aqu la masa deja de ser unaconstante para ser una invariante. De este modo, la tan usadaecuacin de F=m.aya no puede ser utilizada aqu. Por lo quems estrictamente hablando la ecuacin tendra que ser:

donde M es la masa inercial. Adems la fuerza podra notener necesariamente la direccin de la aceleracin por lo querelativsticamente se suele usar esta frmula:


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Bibliografa

http://refugioantiaereo.com/2006/08/emc2-la-teoria-de-einstein-explicada

www.es.wikipedia.org http://astroverada.com/_/Main/T_spacetime.html Stephen W. HawkingLa Teora del Todo. Ed. Debate R. Eisberg y R. Resnick,Fsica cuntica: tomos, molculas,

slidos, ncleos y partculas, Limusa.

P. A. Tipler,Fsica para la ciencia y la ingeniera, volumen 2,Revert. R. Serway,Fsica, tomo 2, McGrawHill, tercera edicin. P. Fishbane, S. Gasiorowicz y S. T. Thornton,Fsica para

ciencias e ingeniera, volumen 2, Prentice-Hall.

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