Relatividade de Einstein

© J. Seixas (DFIST) 2001


• Onde se propaga a luz?• Como diferem a luz e o som?• Como varia a velocidade da luz com a velocidade do observador?• A experiência de Michelson-Moreley.• Dificuldades com o grupo de Galileu. • Então e o éter?


Diferenças de tempo = Diferença de fase

Interferómetro: Medida extremamente precisa


Detalhes...

cc

V

V

d

d

2

2

2

222221 212

1

12cV

cd

cVc

d

Vc

d

Vc

dT

2

2

2

22 12

1

12cV

cd

cVc

dVcd

VcdT

Ach so!

Vêlocidade da luz sêrr independente da vêlocidade do observadorr!

Mas experimentalmente não se observa diferença!


1'e

3'e

2'e

constV Referencia

l S’

1e

2e

3eReferencia

l S

Leis da Física devem sêrr as mesmas parra tôdos os rêfêrrênciais de inêrrcia! (Mêcânica ê Êlêctromagnetismo)


d

1'e

3'e

2'e

Referencial S’

cd

cd

cdt 2'

dl l

Vt

1e

2e

3eReferencial

S

222

21 ldVt

222

21

21

21

cttcVt

2

2

1

'

cV

tt

V


Exemplo:Uma partícula tem uma vida média em repouso de 1.53×10-6 s. Estas partículas encontram-se facilmente nos raios cósmicos com velocidades da ordem de 0.992 c. Em quanto tempo percorrem a distância de 1920 m do ponto de vista do referencial próprio do muão?

Resposta:

O tempo que um demora apercorrer 1920 m é (no referencial do laboratório)

sc

t 61045.6992.0

1920

No referencial próprio do isto corresponde a

st 5

2

6

101.5992.01

1045.6

ee


1'e

3'e

2'e

Referencial S’

l

clt

2 tcl 2

1e

2e

3eReferencial

S

l

V

1Vt2Vt

cVtl

t 11

cVtl

t 22

21 ttt

22

2Vcclt

2

2

12cVctl

Dilatação do tempo 2

2

1cVll


r

vt)k(xx' bx)a(tt'

A

O grupo de Lorentz

1e

2e

3e

Referencial S

'r

Referencial S’

1'e

3'e

2'e constv

222 tcr

222 tcr

22222 tczyx 22222 t'cz'y'x'

zz'yy'

vt

O ponto x’ = 0 de S’ corresponde ao ponto x = vt de S

Galileu: k = a = 1 b = 0

?OOO O


22222222222 xb2xbttaczytv2xvtxk

Usando as novas relações entre x, x’,t e t´ 22

2

2222222222222 tc

cvkazyxtcbavk2xcabk

1 cabk 2222 0cbavk 222 1cvka 2

222

Resolvemos este sistema de 3 equações para obter k, a e b

2

2

cv1

1ak

2

2

cvb

vt)k(xx' bx)a(tt'


2

2

2

2

2

cv1

xcvt

t

zzyy

cv1

vtxx

Grupo deLorentz


Invariantes

A distância

é um invariante

22BA rrs

A distância

é um invariante 222222

BABABABA ttczzyyxxs


1e

2e

3e

Referencial S

1'e

3'e

2'e

constV

Referencial S’

vv ?

v


dtdzvdt

dyvdtdxv zyx

Como abordar o problema:

v ?

tdzdvtd

ydvtdxdv zyx

v

2

2

2

2

2

cV1

xcVt

t

zzyy

cV1

Vtxx

dt

cV1

c vV1

cV1

dxcVdt

td

dzzddyyd

dt

cV1

Vv

cV1

dtVdxxd

2

2

2x

2

2

2

2

2x

2

2

Dividir


2x

2

2

z

z

2x

2

2

y

y

2x

xx

cVv1

cV1v

tdzdv

cVv1

cV1v

tdydv

cVv1

Vvtdxdv

Adição de velocidades

? cVx cVx OK!


E as acelerações?

2

2

2

2

3

2

23

2

2

1

1

1

1

cVa

a

cVa

a

cVv

cV

atddt

dtvd

tdvd

a

dtdv

adtdv

adtdv

a

zz

yy

x

xxx

x

zz

yy

xx

2

2

2

22

2

1cVcaVa

a

23

2

2

1

cV

aa

aV ||aV

© J. Seixas (DFIST) 2001Exemplo 1:

A vida média de um + no seu referencial próprio é 2.510-8 s. Num feixe de mesões + com a velocidade 0.99 c, qual é a distância média que percorrem no laboratório antes de decair? Qual seria essa distância se os efeitos relativistas não existissem?

Resposta:No referencial do +:•formação do + : (x’,y’,z’,t’)=(0,0,0,0)•desintegração do + : (0,0,0,t’=2.5 10-8 )

No referencial do laboratório:•formação do + : (xi,yi,zi,ti)•desintegração do + : (xf,yf,zf,tf)

Grupo de Lorentz

O + está em repouso


2

2

2

2

2

cV1

xcVt

t

zzyy

cV1

tVxx

O

OAtenção à velocidade relativa!

0t0z0y0x

i

i

i

i

2

2f

f

f

2

2f

cV1

tt

0z0y

cV1

tVx

2

2if

cV1

tVxx

2

2if

cV1

ttt

Dilatação do tempo!

52.7mxx 12 7.43mxx 12 Não relativista:


Exemplo 2:Um foguete tem um comprimento L=600m medida em repouso na Terra. Ele move-se directamente para longe da Terra com uma velocidade constante. Um sinal radar é enviado da Terra e reflecte-se em instrumentos colocados na cauda e no nariz do foguete. O sinal reflectido da cauda é detectado na Terra 200 s depois da emissão e o que vem do nariz 17.410-6 tarde. Calcule a distância e velocidade do foguete em relação à Terra.

Resposta:1ª parte: A velocidade do impulso é 3108

R

2R200 103 8 m103R 10

m21017.4 103 6-8 3106121

.

VtL s108.721017.4t 6

6

186

3ms102.31

108.7600102.61V

V~c!!


Lorentz:

0.77cVβ

ctVtβ1L 2

0.9

1Lct

1Lct

β 2

2

A distância R tem o mesmo valor, claro!

Do cálculo anterior:

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