Relatività ristrettaRelatività ristretta

A volte mi chiedo come sia accaduto che sia stato io a A volte mi chiedo come sia accaduto che sia stato io a formulare la teoria della relatività. La ragione, credo, è che formulare la teoria della relatività. La ragione, credo, è che un adulto normale non si ferma mai a riflettere sui problemi un adulto normale non si ferma mai a riflettere sui problemi dello spazio e del tempo, perché queste sono cose su cui ha dello spazio e del tempo, perché queste sono cose su cui ha

pensato da pensato da bambinobambino. Ma il mio sviluppo intellettuale fu . Ma il mio sviluppo intellettuale fu tardivo, e di conseguenza io cominciai ad interrogarmi sullo tardivo, e di conseguenza io cominciai ad interrogarmi sullo

spazio e sul tempo quando ero già adulto. spazio e sul tempo quando ero già adulto. Albert Einstein Albert Einstein

Non so come apparirò al mondo. Mi sembra soltanto di essere stato come un

bambino che gioca sulla spiaggia e di essermi divertito a trovare, ogni tanto, un sasso o una conchiglia più bella del solito,

mentre l’oceano della verità giaceva insondato davanti a me.

Newton

Einstein era guidato solo dal requisito che la teoria avesse la bellezza e l’eleganza che ci si

aspetta di trovare in una descrizione fondamentale della Natura. (...) Il risultato di

questo modo di procedere è una teoria di grande semplicità ed eleganza nelle sue idee di base.

Dirac(La relatività generale)...la più bella delle Teorie

Scientifiche. Lev Landau

La storia inizia molto tempo prima …La storia inizia molto tempo prima …

Principio di relatività Principio di relatività galileianagalileiana

• Le leggi della meccanica sono le Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali.stesse in tutti i sistemi inerziali.

• Dal punto di vista matematico questo Dal punto di vista matematico questo principio impone che le equazioni principio impone che le equazioni che descrivono la dinamica dei corpi che descrivono la dinamica dei corpi siano isiano invariantinvarianti in ogni riferimento in ogni riferimento inerziale.inerziale.

Le trasformazioni di Galileo Le trasformazioni di Galileo (T.G.)(T.G.)

• X’ = X - VTX’ = X - VT

• Y’ = YY’ = Y

• Z’ = ZZ’ = Z

• T’ = TT’ = T

L’ultima trasformazione ci dice L’ultima trasformazione ci dice che …che …

• IL TEMPO E’ ASSOLUTO!IL TEMPO E’ ASSOLUTO!

Newton scriveva nei Principia:“Lo spazio assoluto, per sua natura, resta sempre tale e

invariabile senza alcuna relazione con l’esterno.Il tempo assoluto, vero e matematico, per sua natura scorre allo

stesso modo, senza alcuna relazione con l’esterno”.

James Clerk MaxwellJames Clerk Maxwell(1831 – 1879)(1831 – 1879)

• Maxwell, intorno al 1864, completa la Maxwell, intorno al 1864, completa la formulazione della teoria dei campi formulazione della teoria dei campi elettromagnetici unificando elettromagnetici unificando elettricità, magnetismo ed ottica.elettricità, magnetismo ed ottica.

La sintesi La sintesi sublimesublime è costituita è costituita da 4 “bellissime” equazioni!da 4 “bellissime” equazioni!

t

EjXBc

Bt

BXE

E

0

2

0

0

LE EQUAZIONI DI MAXWELL LE EQUAZIONI DI MAXWELL HANNO UN DIFETTO …HANNO UN DIFETTO …

• NON SONO NON SONO INVARIANTIINVARIANTI RISPETTO A T.G. RISPETTO A T.G. ! !

IPOTESI AVANZATEIPOTESI AVANZATE• Il principio di relatività è valido per la Il principio di relatività è valido per la

meccanica e non per l’elettrodinamica; meccanica e non per l’elettrodinamica; deve allora esistere un sistema di deve allora esistere un sistema di riferimento privilegiato rispetto al quale riferimento privilegiato rispetto al quale le leggi dell’elettrodinamica sono le leggi dell’elettrodinamica sono invarianti: il riferimento dell’etere.invarianti: il riferimento dell’etere.

• Il principio di relatività è valido sia per la Il principio di relatività è valido sia per la meccanica che per l’elettrodinamica, ma meccanica che per l’elettrodinamica, ma non è corretta la formulazione di non è corretta la formulazione di Maxwell.Maxwell.

• Il principio di relatività è valido sia per la Il principio di relatività è valido sia per la meccanica che per l’elettrodinamica, ma meccanica che per l’elettrodinamica, ma non è corretta la formulazione di Newton.non è corretta la formulazione di Newton.

Einstein dimostrò che la terza Einstein dimostrò che la terza ipotesi è essenzialmente corretta, ipotesi è essenzialmente corretta, non per colpa di Newton, ma non per colpa di Newton, ma perché bisogna abbandonare perché bisogna abbandonare l’usuale idea di spazio e tempo.l’usuale idea di spazio e tempo.

• Dal punto di vista matematico, le Dal punto di vista matematico, le esatte leggi di trasformazione esatte leggi di trasformazione delle coordinate fra sistemi delle coordinate fra sistemi inerziali non sono quelle date da inerziali non sono quelle date da Galileo!Galileo!

Le esatte leggi di trasformazione Le esatte leggi di trasformazione erano già state scritte da Lorentz.erano già state scritte da Lorentz.

• LE TRASFORMAZIONI DI LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ (T.L.)LORENTZ (T.L.)

2

2

2

2

2

1

'

'

'

1

'

C

V

XC

VT

T

ZZ

yyC

V

VTXx

• Le T.L. scaturiscono dai due Le T.L. scaturiscono dai due postulati della relatività.postulati della relatività.

La luce si propaga nello spazio vuoto con la stessa velocità per tutti gli osservatori, indipendentemente dal loro moto o da quello della sorgente luminosa.

Le leggi della fisica restano inalterate indipendentemente dalla scelta del sistema di riferimento inerziale.

SimultaneitàSimultaneità

• Consideriamo una linea ferroviaria di Consideriamo una linea ferroviaria di estremi A e B e supponiamo che i estremi A e B e supponiamo che i due punti siano raggiunti da un due punti siano raggiunti da un fulmine.fulmine.

• Diremo che il lampo di luce in A è Diremo che il lampo di luce in A è simultaneo a quello in B se un simultaneo a quello in B se un osservatore che si trovi esattamente osservatore che si trovi esattamente nel punto di mezzo tra A e B, vede i nel punto di mezzo tra A e B, vede i lampi contemporaneamente.lampi contemporaneamente.

Consideriamo un treno che Consideriamo un treno che percorra la linea a velocità percorra la linea a velocità costante vcostante v

• L’osservatore in m vede due lampi L’osservatore in m vede due lampi simultanei in A e B.simultanei in A e B.

• L’osservatore in m’ (che si muove verso B) L’osservatore in m’ (che si muove verso B) vede arrivare prima la luce proveniente da vede arrivare prima la luce proveniente da B poi quella da A.B poi quella da A.

• Per questo osservatore i due eventi non Per questo osservatore i due eventi non sono simultanei!sono simultanei!

V -- ---------- m’---------- treno

A----------m----------B banchina

Nei primi anni del 1900 ciò è chiaro a tutte le persone sufficientemente ragionevoli, cioè solo ad Albert Einstein!(La considerazione è del prof. Carlo Rovelli)

• Dopo aver così annullato il Dopo aver così annullato il tempo assoluto della fisica tempo assoluto della fisica newtoniana, Einstein impiegò newtoniana, Einstein impiegò poche settimane a ricavare le poche settimane a ricavare le conseguenze sconvolgenti dei conseguenze sconvolgenti dei postulati della relatività:postulati della relatività:

• dilatazione del tempodilatazione del tempo

• contrazione delle lunghezzecontrazione delle lunghezze

• variazione della massa con la variazione della massa con la velocitàvelocità

• addizione di velocitàaddizione di velocità

• equivalenza tra massa ed equivalenza tra massa ed energiaenergia

DILATAZIONE DEL TEMPO E DILATAZIONE DEL TEMPO E CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZECONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

• Newton scriveva nei Newton scriveva nei PrincipiaPrincipia::• ““Lo spazio assoluto, per sua Lo spazio assoluto, per sua

natura, resta sempre tale e natura, resta sempre tale e invariabile senza alcuna invariabile senza alcuna relazione con l’esterno.relazione con l’esterno.

• Il tempo assoluto, vero e Il tempo assoluto, vero e matematico, per sua natura matematico, per sua natura

scorre allo stesso modo, senza scorre allo stesso modo, senza alcuna relazione con l’esterno”.alcuna relazione con l’esterno”.

Einstein inizia i suoi Einstein inizia i suoi <<Gedanken Experimente>><<Gedanken Experimente>>

Confrontiamo le durate di uno stesso fenomeno secondo il punto di vista di due osservatori O ed O’ in moto relativo.

I due osservatori vogliono misurare l’intervallo di tempo che un segnale luminoso impiega per percorrere una certa distanza.

L’osservatore O’ si muove rispetto ad O a velocità costante.

Gli orologi di O ed O’ sono inizialmente sincronizzati!

O’ lancia un segnale luminoso verso uno specchio che lo riflette indietro.

Vogliamo misurare la durata di questo evento per i due osservatori.

Ne vedremo delle belle!...

La situazione vista da O’La situazione vista da O’

specchio

Per O’ il fenomeno avviene nello stesso luogo! (tempo proprio)

L’

Lo stesso fenomeno visto da O:

s

HP1 P2

vP1S = cΔt

P1H = v Δt

Δt è l’intervallo di tempo misurato da O (che non è nel riferimento proprio)

SH = L = L’

L’intervallo di tempo misurato da O’ che impiega la luce per arrivare allo specchio lo indichiamo con Δt’.

c

Lt

''

Teorema di Pitagora!

22222 Ltvtc

2222 )( Ltvc

2

22

2

22

22

1

1

cvc

L

vc

Lt

2

2

1

1

cvc

Lt

ma ''

tc

L

c

L

2

2

1

'

cv

tt

•L’intervallo di L’intervallo di tempo misurato tempo misurato

dall’osservatore O dall’osservatore O risulta dilatato risulta dilatato

rispetto a quello rispetto a quello misurato da O’ !!!misurato da O’ !!!

c

v

11

1

1

12

2

2

cv

Ponendo

si ha:

Tale quantità è detta fattore di dilatazione.

Si dimostra, altrettanto semplicemente, Si dimostra, altrettanto semplicemente, che le lunghezze si contraggono:che le lunghezze si contraggono:

• N.B. La lunghezza ΔL è misurata in N.B. La lunghezza ΔL è misurata in moto, mentre ΔL’ è la lunghezza in moto, mentre ΔL’ è la lunghezza in quiete.quiete.

2

2

1'c

vLL

E’ interessante calcolare il E’ interessante calcolare il limite per c →∞ delle due limite per c →∞ delle due precedenti relazioni.precedenti relazioni.

• Scopriremmo … la fisica classicaScopriremmo … la fisica classica

Nel limite di v →C ?Nel limite di v →C ?

• Il fotone è eterno!Il fotone è eterno!

IL muone (µ)

Particelle simili agli elettroni, ma con massa circa 200 volte superiore che si formano per interazione tra i raggi cosmici e l’atmosfera a quote abbastanza alte, circa 9000 metri!

Sono particelle instabili. Decadono per interazione debole secondo il seguente schema:

ee

_

IL tempo medio di decadimento misurato in laboratorio è

sec10)00004.019703.2( 6

s 2

I muoni viaggiano alla velocità

V = 0.99777c

A tale velocità, prima di decadere, potrebbero percorre la distanza:

VD

ss

mD 68 10210399777.0

Circa 600 metri

I rivelatori posti sulla superficie della Terra indicano la presenza di muoni provenienti dall’atmosfera: essi viaggiano, dunque, per 9000 metri!

Dilatazione dello spazio e contrazione delle lunghezze risolvono l’apparente paradosso.

L’osservatore sulla Terra non si trova in un riferimento proprio perché gli eventi: produzione e rivelazione del muone non avvengono nello stesso luogo!

Il tempo, dunque deve essere corretto secondo la formula della dilatazione:

15

1 2

t

mVD 900015

Cosa pensa il muone di tutto Cosa pensa il muone di tutto ciò?ciò?

Secondo il suo punto di vista, la distanza misurata in quiete (9000m) è contratta per effetto della velocità, secondo la relazione:

mL 60019000 2

La massa dipende dalla La massa dipende dalla velocità!velocità!

• La quantità M0 è la massa a riposo.La quantità M0 è la massa a riposo.

2

2

0

1c

v

MM

Teorema della somma delle velocitàTeorema della somma delle velocità(ovvero: due più due è uguale a (ovvero: due più due è uguale a

quattro?)quattro?)

• Un esercizio divertente: fare le Un esercizio divertente: fare le derivate delle formule di derivate delle formule di trasformazione di Lorentz e trasformazione di Lorentz e ricavare le regole di addizione ricavare le regole di addizione delle velocità.delle velocità.

• Il risultato è che per sommare la Il risultato è che per sommare la velocità V alla velocità v occorre velocità V alla velocità v occorre la seguente relazione:la seguente relazione:

21

c

vVvV

“…due più due quattro è una cosa assolutamente insopportabile. Due più due quattro, secondo me, è una vera e propria impertinenza. Due più due quattro vi fissa negli occhi con aria spavalda, si pianta in mezzo alla strada, si punta

le mani sui fianchi e sputa per terra. Io posso pure dire che due più due quattro è una cosa stupenda, (…) anche due più due cinque può essere una

cosetta graziosissima”Dostoevskij (Memorie dal sottosuolo)

Conseguenza di questa relazione:Conseguenza di questa relazione:

V + c = c c + c = c

La velocità della luce (nel vuoto) non può essere superata!

Equivalenza massa energiaEquivalenza massa energia

E = m c²

IL PARADOSSO DEI GEMELLIIL PARADOSSO DEI GEMELLI

Due gemelli di 19 anni d’età lasciano la Terra e viaggiano verso un pianeta lontano 12 anni luce. Si supponga che il pianeta e la Terra

siano in quiete relativa.I gemelli partono nello stesso istante su veicoli diversi. Un gemello viaggia alla velocità di 0.900c e l’altro alla velocità di 0.500c; al loro

incontro sul pianeta, quale dei due gemelli è più vecchio?

Chiamiamo A il gemello che viaggia alla Chiamiamo A il gemello che viaggia alla

velocità 0.900c.velocità 0.900c.

• Il tempo impiegato da A per Il tempo impiegato da A per raggiungere il pianeta valeraggiungere il pianeta vale

BIBLIOGRAFIA

Einstein - La relatività - Newton ComptonEinstein - Pensieri degli anni difficili - Boringhieri

Einstein - Come io vedo il mondo - Newton ComptonRussell - L’abc della relatività - Tea Editore

(fortemente consigliato)Durell - La relatività con le 4 operazioni – Boringhieri

Feynman - Lectures on physics - Inter-European Ed.Gamow - Biografia della fisica - Mondadori

Ciurleo - La teoria della relatività - D’AnnaLa bellezza come metodo - Paul A. M. Dirac - Indiana

Sette brevi lezioni di fisica – Rovelli - AdelphiLe Scienze - Einstein

Le Scienze - Maxwell