MINISTRIO DA DEFESA

MINISTRIO DA DEFESA

EXRCITO BRASILEIRO

SECRETARIA DE CINCIA E TECNOLOGIA

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

(Real Academia de Artilharia Fortificao e Desenho - 1792)

LABORATRIO DE FSICA I

DETERMINAO DA ACELERAO DA GRAVIDADE1Ten DIEGO APULCHRO ISMAEL MENDES

1Ten THIAGO AUGUSTO SOUZA DA PIEDADE

1Ten ANDERSON BRUNO GOMES DA COSTA1Ten JOS OSCAR LIMA VASCONCELOS JNIORRESUMO

O experimento tem o objetivo o valor da acelerao da gravidade local, utilizando para isso o pndulo simples e as respectivas medies do tempo de revoluo, cujas variveis consistem em: massa de prova e perodo de oscilao. Fixado a massa de prova e medindo o tempo de 05 oscilaes e a partir do perodo de oscilao determinada a acelerao gravitacional.

SUMRIO

1INTRODUO TERICA................041.1Teoria dos Erros.................................................................................................................041.1.1 Valor experimental......................................................................................................041.2Gravidade...........................................................................................................................062METODOLOGIA............................................................................................................092.1Material Utilizado...........................................092.2Cronmetro.............................................................................................................102.3Pndulo Simples.............................................................102.4Montagem e Procedimento Experimental..........................................................................112.5Resultados e Discusses.....................................................................................................123CONCLUSO..........174REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS..........181 INTRODUO TERICA

1.1 Teoria dos ErrosAs grandezas fsicas so obtidas experimentalmente por combinaes de medidas que apresentam incertezas fruto dos equipamentos usados nos experimentos, e tambm do operador.1 A realizao de repetidas medidas com o mesmo cuidado e procedimento pelo mesmo operador ou vrios operadores leva a resultados, em geral, no idnticos. Ao proceder a medio de uma grandeza fsica, chega-se a um resultado que a caracteriza, no entanto um fator a se considerar a preciso do dado medido considerando os fatores citados que conduzem s incertezas. A palavra preciso usualmente implica exatido. Entretanto, no campo das medidas, preciso est relacionada com a falta de exatido. (...) O nmero obtido quase totalmente intil se no for acompanhado de uma quantidade numrica que descreva a preciso da medida efetuada.2

Com a finalidade de padronizar a apresentao de grandezas fsicas e estimar com preciso aceitvel seus valores so adotados mtodos adequados para combinar as incertezas aos fatores que influenciam o resultado, com base na chamada Teoria dos Erros.3A Teoria dos Erros o estudo para que se estime com maior preciso possvel valor da grandeza medida e o seu erro havendo uma anlise adequada de seus dados considerando as incertezas causadas pelo operador ou equipamento de medio.1.1.1 Valor ExperimentalO objetivo final da realizao de diversas medidas de forma metodolgica e sistemtica chegar a um Valor Experimental Corrigido (Vec) dotado de preciso. Para tal, com base nas medies realizadas so feitos alguns clculos que possibilitam afirmar que determinada grandeza possui um valor com uma margem de erro que pode ser aceitvel ou no de acordo com a necessidade do experimento.

Para a execuo de tais clculos sero introduzidos alguns conceitos a fim de se atingir um melhor entendimento, so eles:Valor Mdio (M) como j foi dito, para se obter uma grandeza fsica so realizadas vrias medidas, alcanando-se um valor mdio pela seguinte frmula:

(1.1)

onde o valor de cada medida realizada e n o nmero de medidas realizadas.

Erro Absoluto (Eai) para cada medida realizada existe uma diferena, que pode ser nula, entre a medida e o Valor Mdio. Essa grandeza denominada Erro Absoluto.Eai= li M

(1.2)Desvio Padro () demonstra a disperso existente entre os valores encontrados nas medidas e o Valor Mdio.

(1.3)Erro Tolervel (Et) com base na disperso do valor mdio (desvio padro) e de acordo o a necessidade, o operador ou o responsvel pelo experimento define o Erro Tolervel, que nada mais do que um limite de k vezes o desvio padro. Os valores que se afastam do Valor Mdio uma quantidade superior ao Erro Tolervel so descartados.

Et=k

(1.4)Erro Mdio da Mdia (Em) o valor que vai determinar a preciso da grandeza medida.

(1.4)Valor Experimental Corrigido (Vec) trata-se da grandeza fsica medida dotada de sua preciso:

(1.5)

Erro Percentual (EP) Trata-se da comparao percentual da grandeza obtida com seu valor terico.

(1.6)

onde x o valor experimental encontrado e x o valor terico, obtido por intermdio dos clculos. O valor x-x representa a preciso (x) do valor x.

Propagao de Erros ao ser realizada a medida de uma grandeza fsica por experimento em condies no ideais, precisa-se considerar que as variveis da medida podem sofrer maior ou menor influncia do meio de forma a alterar o valor da grandeza encontrada ocorrendo, assim a propagao do erro na execuo da medida. Para isso precisamos relacionar cada possibilidade de erro em cada varivel e obtemos a frmula da propagao de erros pela seguinte expresso:

(1.7)

Onde f representa a variao da grandeza medida, x a preciso da varivel x e y a preciso da varivel y.

1.2 GravidadePara conceituar Gravidade consegue-se descrever seus efeitos de interao entre dois corpos, planetas ou partculas, que produz um movimento.3 Este movimento produzido acelerado, cuja acelerao chamamos de acelerao da gravidade, ou simplesmente gravidade.Essa interao consequncia de um campo gravitacional gerado pela massa de cada corpo sendo proporcional sua massa e inversamente proporcional ao quadrado de seu raio. Desta forma podemos determinar a gravidade como sendo:

(1.8)Onde g a gravidade, M a massa do corpo, r seu raio e uma constante.

Para determinar a gravidade de da Terra pela frmula acima possvel, mas informaes como a massa do planeta e seu raio no so to simples de se adquirir de forma experimental, sendo mais simples chegar a um resultado aproximado por meio do perodo de um pndulo simples. Seja o esquema do pndulo simples abaixo com as foras que atuam sobre ele representadas.

Figura 1. Atuao das foras.Seja T a trao do fio de comprimento l que sustenta a esfera, P o peso do corpo e o ngulo entre o fio em uma determinada posio e a posio vertical, onde:

(1.9)

Podemos calcular e chegar a um valor terico para a gravidade por meio da oscilao do pndulo. Partindo da figura acima notamos que a fora resultante (F) na direo tangencial trajetria de valor:

(1.10)

Onde at a acelerao tangencial. Logo:

(1.11)

Sabe-se que:

(1.12)Onde a velocidade angular do pndulo. Logo, da equao 1.11 podemos escrever que:

(1.13)

A equao 2.3 do tipo Equao Diferencial Ordinria de Primeira Ordem, Homognea e No Linear, cuja soluo a seguinte:

(1.14)

Por outro lado sabe-se que:

(1.15)Onde o perodo de oscilao do pndulo. Sabe-se tambm e percebemos de 1.15 que:

(1.16)E tambm que:

(1.17)

Ento, temos o seguinte:

(1.18)De onde tiramos o valor terico da gravidade sendo:

(1.19)

2. METODOLOGIA

2.1 MATERIAL UTILIZADO

Os materiais utilizados foram os seguintes:

a) bancada nivelada;b) um trip e haste de fixao para o pndulo;c) 3(trs) pesos de prova;d) fio natural de algodo;e) cronmetro CASIO G SHOCK;f) paqumetro KINGTOOLS;g) rgua milimetrada;h) calculadora CASIO;i) material de anotao.

Figura 2. Material Utilizado

Figura 3. Trip e haste de fixao para o pndulo2.2 CRONMETROO cronmetro um instrumento de medida de tempo com uma preciso de centsimos de segundos (1/100). Utilizado em medies de pequenas e mdias escalas (de centsimos de segundos at 90 minutos). 2.3 PNDULO SIMPLESO pndulo simples um aparelho experimental composto por 3 elementos bsicos: suporte, fio (ou haste) e um corpo de massa. O suporte fixado em um plano, o fio (ou haste) liga o corpo ao suporte e o corpo fica suspenso sob efeito da gravidade como na Figura 1.2.4 MONTAGEM E PROCEDIMENTO EXPERIMENTALInicialmente, o experimento foi montado e ajustado de acordo com as especificaes previstas a fim de obter resultados com o mnimo de erros. Foram utilizadas 03 esferas diferentes (ferro, cortia e madeira) e 03 fios de algodo com comprimento diferente. Com o auxilio do paqumetro determina o dimetro das esferas e sua respectiva incerteza, em seguida com a ajuda da rgua milimetrada determinada o comprimento dos fios e sua respectiva incerteza. Depois une as esferas com seus respectivos fios, ficando 03 conjuntos: C01 esfera de ferro com dimetro de 25 mm e fio com comprimento 70 cm; C02 esfera de cortia com dimetro de 22,45 mm e fio com comprimento 71 cm; e C03 esfera de madeira com dimetro de 25,05 mm e fio com comprimento 66 cm.Na sequncia, une o C01 (conjunto 01) na haste de fixao. Mantendo o fio esticado, ergue-se a esfera em um determinado ngulo formado com a vertical utilizando a rgua como referncia. Em seguida, partindo do repouso, pe a esfera a oscilar. Nesse momento inicia a contagem do cronmetro at completarem 05 oscilaes. Finda a contagem, divide esse tempo por 05 (cinco) obtendo o valor do perodo do movimento descrito pela a esfera. Resetou-se o cronmetro e repete o mesmo procedimento mais 19 (dezenove) vezes. Repete os passos anteriores para os conjuntos C2 e C3.Finalmente, calcula a incerteza dos perodos de revoluo das 03 (trs) esferas. Ao final do experimento, foi montada as trs tabelas abaixo organizando todos os dados, tanto os valores obtidos como os calculados.

Figura 4. Medio do dimetro da esfera

Figura 5. Imagem captada durante o experimento2.5 RESULTADOS E DISCUSSESAs tabelas 6.1, 6.2 e 6.3 contm os resultados referentes s medies dos perodos e o clculo da gravidade das respectivas esferas: ferro, cortia e madeiraMedioT ' (mm)T = T '/5 (mm)G=4/TEa=Va Va (mm)|Ea| (mm)Ea < Et

18,46001,69209,6523-0,17280,0299Valor til

28,33001,66609,95590,13080,0171Valor til

38,42501,68509,7327-0,09250,0086Valor til

48,51001,70209,5392-0,28590,0818Valor til

58,39501,67909,8024-0,02280,0005Valor til

68,25001,650010,15000,32480,1055Valor til

78,37001,67409,86100,03580,0013Valor til

88,26501,653010,11320,28800,0829Valor til

98,26001,652010,12540,30020,0901Valor til

108,37001,67409,86100,03580,0013Valor til

118,31501,66309,99190,16670,0278Valor til

128,34001,66809,93210,10690,0114Valor til

138,35501,67109,89640,07130,0051Valor til

148,52001,70409,5168-0,30830,0951Valor til

158,41001,68209,7674-0,05770,0033Valor til

168,62001,72409,2973-0,52780,2786Descartvel

178,36001,67209,88460,05950,0035Valor til

188,48001,69609,6068-0,21830,0477Valor til

198,34001,66809,93210,10690,0114Valor til

208,36001,67209,88460,05950,0035Valor til

Valor Mdio8,38689,8252Desvio Padro0,0227

Erro tolervel0,0680

MedioT ' (mm)T = T '/5 (mm)G=4/TEa=Va Va (mm)|Ea| (mm)Ea < Et

18,35501,67109,8964-0,10980,0121Valor til

28,50501,70109,5504-0,45580,2078Descartvel

38,30501,661010,01600,00970,0001Valor til

48,34001,66809,9321-0,07420,0055Valor til

58,45001,69009,6752-0,33110,1096Valor til

68,58001,71609,3842-0,62210,3870Descartvel

78,37001,67409,8610-0,14530,0211Valor til

88,22001,644010,22420,21790,0475Valor til

98,24001,648010,17460,16830,0283Valor til

108,42001,68409,7442-0,26200,0687Valor til

118,28001,656010,07650,07030,0049Valor til

128,13001,626010,45180,44550,1985Descartvel

138,17001,634010,34970,34340,1179Valor til

148,21501,643010,23660,23030,0531Valor til

158,24001,648010,17460,16830,0283Valor til

168,31001,662010,0039-0,00240,0000Valor til

178,29001,658010,05220,04600,0021Valor til

188,24001,648010,17460,16830,0283Valor til

198,43001,68609,7211-0,28510,0813Valor til

208,14001,628010,42610,41990,1763Descartvel

Valor Mdio8,311510,0063Desvio Padro0,0395

Erro tolervel0,1184

MedioT ' (mm)T = T '/5 (mm)G=4/TEa=Va Va (mm)|Ea| (mm)Ea Et

1,00008,15001,63009,8062-0,11990,0144Valor til

2,00007,98001,596010,22850,30240,0914Descartvel

3,00008,04001,608010,07640,15030,0226Valor til

4,00007,95001,590010,30580,37970,1442Descartvel

5,00008,13001,62609,8546-0,07160,0051Valor til

6,00008,09001,61809,95220,02610,0007Valor til

7,00008,13001,62609,8546-0,07160,0051Valor til

8,00008,10001,62009,92770,00160,0000Valor til

9,00008,09001,61809,95220,02610,0007Valor til

10,00007,98001,596010,22850,30240,0914Descartvel

11,00008,08001,61609,97690,05080,0026Valor til

12,00008,08001,61609,97690,05080,0026Valor til

13,00008,23001,64609,6165-0,30960,0959Descartvel

14,00008,08001,61609,97690,05080,0026Valor til

15,00008,10001,62009,92770,00160,0000Valor til

16,00008,16001,63209,7822-0,14390,0207Valor til

17,00008,04501,609010,06390,13780,0190Valor til l

18,00008,23001,64609,6165-0,30960,0959Descartvel

19,00008,22001,64409,6399-0,28620,0819Descartvel

20,00008,17001,63409,7583-0,16780,0282Valor til l

Valor Mdio8,10189,9261Desvio Padro0,0181

Erro tolervel0,0544

Segue nos grficos abaixo a gravidade experimental e a gravidade real e a aproximao dos dados obtidos. Uma vez que o clculo do tempo varia de acordo com a sensibilidade do operador e que uma pequena diferena na medio do tempo representa uma significante influencia no valor da acelerao da gravidade.Esfera 1 - Ferro

Esfera 2 Cortia Esfera 3 - Madeira

3 CONCLUSO possvel verificar que todas as aceleraes da gravidade encontradas ficaram prximas do valor real de 9,7878 m/s, que o valor da gravidade na cidade do Rio de Janeiro fornecido pelo Observatrio Nacional. O valor encontrado para a acelerao da gravidade varia (erro percentual) na primeira esfera de 1,8% abaixo da mdia at 3,3% acima da mdia, na segunda esfera 4,3% abaixo da mdia at 6,6% acima da mdia e na terceira esfera de 2,0% abaixo da mdia at 5,4% acima da mdia para as condies no qual as medies foram realizadas. E vale ressaltar que a formula do item (1.19) validade para situao ideal, sem a presena do ar (vcuo).4 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

1. 1 aula do professor de Laboratrio de Fsica, Cap Renato Guedes, realizada no dia 14 de Janeiro de 2014.2. ALONSO, M; FINN, J,E. Fsica: Um curso universitrio So Paulo: Blucher, 1972. Vol 1 (pg 21 e 22)3. Apostila Teoria dos Erros. Disponvel em: http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/ApostilaTeoriaDosErros.pdf Acesso em 15 Jan 14.4. ALONSO, M; FINN, J,E. Fsica: Um curso universitrio So Paulo: Blucher, 1972. Vol 1 (pg 395)

5. Disponvel em http://pt.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o_da_gravidade .Acesso em 17 Jan 14.13

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