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Professor: Carlos Carvalho Horrio da Aula: 07:30

Resistncia Interna de Fontes e o Conceito de Fora Eletromotriz

Estela Hirata, Morgana Giatti.

Universidade Federal do Paran

Centro Politcnico Jardim das Amricas 81531-980 Curitiba PR - Brasil e-mail: hirata.estela@gmail.com; morgana294@gmail.com

Resumo: O experimento visa o entendimento dos conceitos de fora eletromotriz, resistncia

interna de fontes e mxima transferncia de potncia. Utilizando uma fonte de constituio

interna desconhecida (caixa preta), medimos os valores de corrente e tenso para diferentes resistores conectados em srie com a fonte em um circuito. Com esses dados em mos, pudemos

estudar como a tenso da fonte varia em funo da corrente injetada por ela no circuito. Plotando

a tenso da fonte em funo da corrente para os diferentes resistores, pudemos ajustar uma reta

tima, e atravs da anlise dos coeficientes da reta, determinar a resistncia interna da fonte e

sua fora eletromotriz. Os dados coletados tambm permitem estudar como o fluxo de potncias e

o rendimento da fonte funcionam em funo do resistor conectado ao circuito.

Palavras chave: Fora eletromotriz, resistncia interna, potncia.

Introduo

No estudo dos fenmenos relacionados

eletricidade, muitas simplificaes so utilizadas a

fim de facilitar os clculos e o entendimento do

fenmeno em questo. Na prtica, muitas dessas

simplificaes so vlidas apenas para casos

especficos que dispe de equipamentos e

componentes no utilizados no cotidiano. Um

exemplo disso so as pilhas e baterias, que no

obedecem lei de Ohm (Eq.1), que afirma que o

produto entre a corrente e a resistncia conectada a

um circuito uma constante:

(1)

A tenso medida quando os terminais da bateria

esto em aberto chamada Fora Eletromotriz , onde o trabalho por unidade de carga que uma fora no

eletrosttica realiza sobre uma carga que

transportada de um ponto a outro por um determinado

trajeto, isto , diferentemente da diferena de

potencial, a fora eletromotriz depende do caminho

percorrido pela carga. Sua unidade no sistema

internacional o volt (V).

Todos os tipos de materiais exercem resistncia ao

fluxo de eltrons (corrente eltrica), o que acarreta em

uma perda de energia por efeito Joule. O mesmo

ocorre internamente nas fontes de tenso, como a

bateria. Enquanto a corrente passa do polo negativo

para o positivo, h uma perda de energia devido

resistncia interna da prpria bateria, isso faz com que

a tenso medida em seus polos (quando conectada a

um circuito fechado) seja diferente de sua fora

eletromotriz. A Fig. 1 mostra o modelo equivalente de

uma bateria real, onde a fora eletromotriz, V a tenso nos terminais da bateria, r a sua resistncia

interna, e i a corrente no circuito.

Fig. 1: Modelo eltrico de uma bateria real.

Equacionando este circuito chegamos a uma

expresso para V, esta expresso chamada de

Equao do gerador, e escrita da seguinte forma:

(2)

Assim, se forem conhecidos os valores de V, e i, podemos determinar r. Conhecidos esses valores,

podemos calcular outras grandezas relevantes para

nosso estudo, a potncia dissipada na resistncia

interna da fonte e a potencia dissipada no resistor

externo, quando h uma carga R conectada ao circuito. Quando h uma carga R conectada ao

circuito, a tenso V sobre a carga calculada da

seguinte forma:

(3)

Substituindo a Eq. 3 na Eq. 2, podemos isolar a

corrente no circuito:

(4)

Essa equao da corrente ser importante para o

clculo das potncias envolvidas no experimento.

A potncia pode ser calculada de diferentes

maneiras, as equaes utilizadas so:

(5)

(6)

2

(7)

A potncia dissipada na resistncia interna da

fonte a perda de energia mencionada anteriormente,

e pode ser calculada substituindo a Eq. 4 na Eq. 5,

assim temos a equao para a potncia dissipada na

resistncia interna da fonte:

(8)

J a potncia dissipada no resistor externo R, ou

seja, na carga, obtida substituindo a Eq. 3 na Eq. 6:

(9)

Substituindo a Eq. 4 na Eq. 9 chagamos equao

final para a potncia dissipada na carga R:

(10)

Conhecendo o valor da potncia dissipada na

carga, podemos aprofundar a anlise e calcular o

rendimento do circuito. O rendimento a razo entre a potncia

consumida na carga, e a potencia total fornecida pela

bateria, e indica quanto da energia total fornecida pela

bateria de fato consumida externamente. Para

calcul-lo precisamos primeiro descobrir qual a

potencia total disponibilizada pela fonte (Pt), que

obtida da seguinte forma:

(11)

Substituindo a Eq. 4 na Eq. 11:

(12)

Agora podemos calcular o rendimento, que dado

por:

(13)

O rendimento pode assumir valores de 0 a 1, onde

indica que toda a potncia fornecida pela fonte foi dissipada internamente e no entregue carga, e

indica que toda a potncia fornecida pela fonte foi entregue carga, ou seja, o rendimento funciona

como um fator de qualidade para determinar perdas de

potncia. Essas equaes compem a base terica do

experimento, e sero utilizadas na anlise de

resultados.

Procedimento Experimental

Para este experimento, os materiais utilizados

foram uma fonte de corrente contnua com

constituio interna desconhecida (caixa preta), voltmetro, ampermetro, placa para conexes,

resistores diversos, cabos de conexo e um interruptor

de campainha.

Iniciamos o experimento montando na placa para

conexes o circuito mostrado na Fig. 2, com a fonte

de tenso em srie com o interruptor de campainha e o

resistor R. Para coletarmos os dados relevantes ao

experimento, conectamos o voltmetro em paralelo e o

ampermetro em srie com a fonte. Em srie tambm

estavam o interruptor e resistor R, sempre respeitando

a polaridade dos componentes (vermelho positivo,

preto negativo). Com esse arranjo, podemos obter a

tenso da fonte e a corrente que percorre o circuito

quando o interruptor acionado.

Fig. 2: Esquema de montagem do circuito.

Em seguida, com o circuito aberto (sem pressionar

o interruptor), anotamos o valor de tenso da fonte,

esse valor corresponde fora eletromotriz . Concluda esta etapa, demos sequncia ao

experimento e separamos 8 resistores cujos valores

nominais de resistncia so 22, 34, 68, 100, 220, 320,

560, 780 e 1000 . Utilizando um multmetro na funo Ohmmetro, medimos o valor efetivo de

resistncia para cada resistor, e anotamos esses

valores, que sero utilizados na anlise de resultados.

Enfim, conectamos o resistor R ao circuito,

comeando pelo valor mais alto de resistncia.

Para cada resistor, pressionamos o interruptor por

tempo suficiente para fazer a leitura e anotar os

valores da tenso V e corrente I no circuito, assim

encerramos a coleta de dados do experimento.

Anlise e Resultados

A tenso medida quando os terminais da bateria

esto em aberto representa a fora eletromotriz . As foras eletromotriz medidas foram V e V. As resistncias efetivas, correntes e tenses medidas para os diferentes resistores esto

relacionados na Tabela 1.

Tabela 1: Valores de resistncia efetiva, tenso e

corrente para diferentes resistores utilizados no

experimento.

Fonte 1 Fonte 2

Resistncia

Efetiva

Tenso

(V)

Corrente

(A)

Tenso

(V)

Corrente

(A)

23,6 0,16 0,0064 0,65 0,0577

34,9 0,22 0,0061 1,37 0,0403

69,8 0,38 0,0054 1,88 0,0275

98,7 0,5 0,0049 2,13 0,0215

229 0,8 0,0035 2,56 0,0112

320 - - 2,69 0,0082

562 1,14 0,002 2,83 0,0050

835 1,25 0,0015 2,89 0,0036

1018 1,3 0,0013 2,92 0,0030

3

As medidas devem ser feitas rapidamente, logo

aps o interruptor ser acionado. Isso importante,

pois como a fonte utilizada de origem qumica (uma

bateria), ela se descarrega se ficar ligada por perodos

prolongados de tempo, o que acarretaria em erros nos

valores obtidos no experimento. Isso justifica o uso do

interruptor, que permite uma leitura instantnea de

corrente e tenso no circuito.

Plotando os pontos de Tenso(V) em funo de

i(A), podemos ajustar uma reta, como mostrado na

Fig. 3:

(a) Fonte 1

(b) Fonte 2

Fig. 3: Grfico da tenso em funo da corrente no circuito, com a reta ajustada e sua equao.

As equaes obtidas para as retas ajustadas so:

(14.1a)

(14.1b)

Essa equao j foi estudada, basta lembrar-se da

Equao (2): V=-ri. Comparando as equaoes (14.1a), (14.1b) e (2), constatamos que o coeficiente linear

encontrado corresponde fora eletromotriz, e o

coeficiente angular resistncia interna da fonte. Se

compararmos a fora eletromotriz medida diretamente

com a encontrada a partir do ajuste da reta,

percebemos que os valores so prximos, o que valida

a teoria envolvida, bem como o experimento em si.

Ao analisar o grfico obtido, observa-se que a tenso

de fonte diminui medida que a corrente fornecida

aumenta. O modelo eltrico da Fig.1 mostra que a

resistncia interna da fonte est em srie com a carga

conectada ao circuito. Nos circuitos em srie, a

corrente que flui pelos resistores a mesma, logo, a

corrente que passa pela resistncia interna da fonte a

mesma que passa pelo resistor externo R conectado ao

no circuito. Assim, a corrente no circuito depende

diretamente dos valores de R e r, o que est

demonstrado matematicamente na Equao (4). Como

os valores de e r so constantes, o valor de R que determina a corrente que flui pelo circuito. Quanto

menor o valor de R, maior a corrente que flui pelo

circuito. V diminui para valores baixos de R, pois

quanto maior a corrente no circuito, maior parte da

fora eletromotriz da bateria fica sobre a resistncia

interna da fonte, o que mostrado na Equao (2). A

partir dos dados da Tabela 1 e dos valores encontrados,

calculamos a potncia dissipada, P, no resistor R, no

resistor interna r e a potncia total. As potncias

calculadas so mostradas nas Tabelas 2 e 3:

Tabela 2: Potncias calculadas por diferentes mtodos.

Fonte 1

Experimental Teorico

PR (W) Pr (W) Pt (W) PR (W) Pr (W) Pt (W)

0,001 0,009 0,010 0,0003 0,0021 0,0102

0,001 0,008 0,010 0,0005 0,0019 0,0098

0,002 0,007 0,009 0,0010 0,0015 0,0086

0,002 0,005 0,008 0,0012 0,0012 0,0078

0,003 0,003 0,006 0,0018 0,0006 0,0056

0,002 0,001 0,003 0,0022 0,0002 0,0032

0,002 0,001 0,002 0,0023 0,0001 0,0024

0,002 0,000 0,002 0,0023 0,0001 0,0020

Tabela 3: Potncias calculadas por diferentes mtodos.

Fonte 2

Experimental Terico

PR (W) Pr (W) Pt (W) PR (W) Pr (W) Pt (W)

0,038 0,138 0,175 0,0111 0,392 0,145

0,055 0,067 0,122 0,0187 0,277 0,122

0,052 0,031 0,083 0,0355 0,132 0,084

0,046 0,019 0,065 0,0460 0,079 0,065

0,029 0,005 0,034 0,0651 0,023 0,035

0,022 0,003 0,025 0,0721 0,012 0,025

0,014 0,001 0,015 0,0797 0,004 0,015

0,010 0,001 0,011 0,0829 0,002 0,011

0,009 0,000 0,009 0,0848 0,001 0,009

y = -223,32x + 1,5869

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,002 0,004 0,006 0,008

Ten

so

(V

)

Corrente (A)

y = -41,405x + 3,0322

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

Ten

so

(V

)

Corrente (A)

4

Com os dados das Tabela 2 e 3, podemos plotar os

grficos das a potncia dissipada, P, no resistor R, no

resistor interna r e a potncia total, como segue:

Fig 4.1.a: Potncia total, dissipada na resistncia

interna da fonte e no resistor externo em funo do

resistor externo para Fonte 1.

Fig. 4.1.b: Curvas tericas para as potencias

dissipadas no resistor externo e resistncia interna da

fonte e potncia total para Fonte 1.

Fig 4.2.a: Potncia total, dissipada na resistncia

interna da fonte e no resistor externo em funo do

resistor externo para Fonte 2.

Fig. 4.2.b: Curvas tericas para as potencias

dissipadas no resistor externo e resistncia interna da

fonte e potncia total para Fonte 2.

Percebe-se que h diferenas entre valores obtidos

pelos dois mtodos, que teoricamente deveriam ser

idnticos, mas ainda assim os valores so prximos.

Essa diferena ocorre, pois existem erros de

medida no ampermetro e voltmetro, visto que a

resistncia interna do voltmetro real no infinita,

nem a do ampermetro zero, porm o erro do

ampermetro mais significativo. Ao calcularmos a

potncia utilizando a Eq. 5, o erro do ampermetro

est elevado ao quadrado, o que o torna ainda mais

significativo. Por essa razo, a potncia obtida

utilizando a Eq. 6 mais confivel e prxima da

realidade.

Para saber em qual valor de R ocorre a mxima

transferncia de potncia, derivamos a Eq. 10 em

relao a R:

(15)

Igualando a Eq. 15 a zero, obtemos a mxima

transferncia de potncia que ocorre quando R = r, e

realmente foi o que aconteceu. Observando os

grficos de P em funo de R, percebe-se que a

mxima potncia dissipada ocorreu para e , um valor bem prximo do obtido de r que foi 223.32 e 41.405 .

Para estudar melhor como a potncia se comporta,

podemos calcular tambm a potncia dissipada no

resistor interno, r. Utilizando a Eq. 5 e os valores de

corrente, i, da Tabela 1, obtivemos os dados da Tabela

3.

Os grficos da Fig 4.1.a, Fig. 4.1.b, da Fig 4.2.a e

da Fig. 4.2.b, aliado com a Eq. 12, permite

entendermos porque a potncia total diminui com o

aumento de R.

Comparando o grfico da Fig 4.1.a com o da Fig.

4.1.b e o grfico da Fig 4.2.a com o da Fig. 4.2.b,

conclumos que os valores obtidos experimentalmente

so condizentes com os tericos.

Com os valores de Potencia total e da Potncia

dissipada em R, podemos calcular a eficincia da

fonte para os diferentes valores de R. A eficincia

calculada utilizando a Eq. 13, e o grfico da Fig. 5

mostra o rendimento em funo de R.

5

Fig. 5: Rendimento da fonte em funo de R.

O grfico mostra que o rendimento diretamente

proporcional a R. Isso acontece, pois com o aumento

de R, maior parte da energia fornecida pela fonte ser

de fato transmitida para a carga. Levando ao limite

extremo, o rendimento ser mximo, isto , igual a 1.

quando R = , o que faria com que toda a potncia da fonte fosse transmitida para a carga. Levando para o

outro extremo, quando R=0, o rendimento igual a

zero, e toda a potncia da fonte dissipada em sua

resistncia interna. Obviamente, quanto mais prximo

de 1 for o rendimento, melhor, pois assim as perdas

(correspondem potncia dissipada internamente) so

muito pequenas.

Fig 6:

em funo de

Fig 7:

em funo .

Da eq: V = portanto a tenso proporcional ao rendimento. No ponto de mxima potncia externa,

onde = 1/2, a tenso apenas metade da mxima. Nos sistemas usuais de alimentao eltrica, onde a

tenso varia bem pouco com a carga, o rendimento

bem prximo de 1, o que mostra que esses sistemas

operam na regio R>> r, e que a potncia disponvel

muito menor que a mxima.

Concluso O tratamento dos dados coletados no experimento

em questo nos possibilita determinar a fora

eletromotriz e a resistncia interna de uma fonte de

tenso real, bem como a potncia dissipada na

resistncia interna e no resistor externo, que nos

permitiu verificar a validade do teorema da mxima

transferncia de energia de potncia.

Determinou-se a partir do primeiro ajuste de reta,

feita no grfico plotado de tenso versus corrente, a

fora eletromotriz (1,5869 V e 3,0322 V) e a

resistncia interna da fonte (223,32 e 41,405 ).

Observou-se que a tenso de fonte diminui medida

que a corrente fornecida aumenta, ou seja, V diminui

para valores baixos de R pois quanto maior a corrente

no circuito, maior parte da fora eletromotriz da

bateria fica sobre a resistncia interna da fonte.

A anlise da potncia dissipada no resistor externo

do circuito permitiu descobrirmos qual o valor de R

para maior transferncia de potncia, o que ocorre

quando o resistor externo possui a mesma resistncia

que a resistncia interna da fonte. Tambm pudemos

observar que apesar de existirem meios diferentes de

se calcular a potncia em um circuito, e que

teoricamente todos levam ao mesmo resultado, existe

um meio mais confivel quando aplicado prtica em

virtude das no idealidades dos equipamentos de

medio

Para verificar o teorema da mxima transferncia

de potncia, plotou-se um grfico de Pr , PR e PT

versus R, onde se observou um ponto de encontro

entre as curvas correspondente a potncia mxima

dissipada. Esse ponto ocorreu num valor de ). A ltima anlise feita foi a do rendimento da fonte, e para isso um grfico do

rendimento () versus R foi plotado. Verificou-se, como j esperado, que o rendimento diretamente

6

proporcional a R. Quando R = a maior parte da energia fornecida pela fonte e transmitida pela carga,

ou seja, o rendimento mximo. Portanto, o

rendimento ser mnimo quanto menor for a

resistncia oferecida, pois quando R = 0 toda a

potncia da fonte e dissipada em sua resistncia

interna.

Em suma, o experimento possibilitou o

entendimento de um fenmeno importante no estudo

da eletricidade, por meio da interpretao dos

resultados experimentais e comparao com os

resultados obtidos teoricamente.

Referncias

[1] Halliday, Resnick, Jearl Walker; Fundamentos

de Fsica, vol. 3: Eletromagnetismo 7 edio pp 161-167 / traduo e reviso tcnica Ronaldo Srgio

de Biasi. Rio de Janeiro: LTC. [2] Sears, Francis Weston; Zemansky, Mark Waldo;

YOUNG, Hugh D. Fsica. 2a ed. Rio de Janeiro