Relatório Hatsumi 2.pdf

1 Movimento no Plano Inclinado

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

LABORATÓRIO DE FÍSICA I

MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO

DE UM CORPO EM UMA DIMENSÃO

NO PLANO INCLINADO

ACADÊMICO: DANIEL OSVALDO MILCHIARI DA SILVEIRA

TURMA: 9 PROFESSORA: HATSUMI MUKAI

MARINGÁ, JULHO DE 2015


1. RESUMO

Este relatório tem como objetivos determinar a equação de movimento de um móvel deslizando

sobre um plano inclinado em dois graus sem atrito, bem como interpretar e confeccionar gráficos. Nele

utilizamos dentre outros materiais, um cronômetro AZEHEB de precisão 0,01s, um trilho de ar AZEHEB,

uma trena VONDER de precisão 0,1cm, um compressor de ar AZEHEB, um eletroímã AZEHEB e um

transferidor de precisão de um grau. Em condições iniciais de atrito nulo, velocidade variando

uniformemente, tempo inicial igual a zero, velocidade inicial igual a zero, espaço inicial igual a zero e

aceleração constante, no fim, chegamos à fórmula 𝑆(𝑐𝑚) = 0,02 + 4,36𝑡(𝑠) + 17,18𝑡2(𝑠²).

Observamos que houve uma proporcionalidade direta entre as variáveis "S" e "t", além do movimento do

carrinho (móvel) ser considerado retilíneo uniformemente variado, logo, com a interferência de uma

aceleração constante.

2. INTRODUÇÃO GERAL

A Mecânica é a área da Física que estuda o movimento (também conhecida como Mecânica

Clássica ou Mecânica de Newton, assim chamada em honra a Isaac Newton, que fez contribuições

fundamentais para a teoria) é a parte da Física que analisa os movimentos, as variações de energia e as

forças que atuam sobre um corpo. No ensino de física, a mecânica clássica geralmente é a primeira área

da física a ser lecionada. É dividida em três partes fundamentais: cinemática, dinâmica e estática. Neste

experimento nos atentaremos à cinemática definida como o ramo da física que se ocupa da descrição

dos movimentos dos corpos, sem se preocupar com a análise de suas causas. Geralmente trabalha com

partículas ou pontos materiais, corpos em que todos os seus pontos se movem de maneira igual e em

que são desprezadas suas dimensões em relação ao problema. O conceito de partícula que será usado

aqui difere do conceito de partícula encontrado na física quântica (ex: quarks, elétrons). Definiremos uma

partícula como algo que possui apenas duas propriedades: localização e massa. Trabalharemos em um

espaço unidimensional, em que a partícula se deslocará em linha reta inclinada. Neste experimento

exploraremos o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) e os conceitos que ele abrange. O

experimento consiste em um móvel que desliza por um trilho de ar, logo, sem atrito, levemente inclinado,

sua velocidade irá variar linearmente, caracterizando uma aceleração constante.

Estaremos observando no experimento duas grandezas 𝑺 (cm) que será o espaço percorrido pelo

móvel em função de 𝒕, que é o tempo onde o móvel se encontra em determinado ponto. A partir destas

duas grandezas poderemos calcular a velocidade (𝒗) e a aceleração (𝒂). Com tais grandezas seremos

capazes de calcular a equação de movimento do móvel, esta fornece a posição (𝑺), a velocidade (𝒗) e a

aceleração (𝒂) em qualquer tempo (𝒕).

As equações que regem o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado são:


S = 𝑺𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐 Fórmula 2.1

𝒗 =𝒅𝑺

𝒅𝒕= 𝐥𝐢𝐦

∆𝒕→𝟎𝒗𝒎 = 𝐥𝐢𝐦

∆𝒕→𝟎

∆𝑺

∆𝒕 Fórmula 2.2

𝒂 =𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝐥𝐢𝐦

𝚫𝒕→𝟎𝒂𝒎 = 𝐥𝐢𝐦

𝚫𝒕→𝟎

𝚫𝒗

𝚫𝒕 Fórmula 2.3

3. OBJETIVOS

Obter a equação de movimento para um móvel que percorre uma trajetória retilínea e caracterizar

o tipo de movimento. E como objetivo principal a interpretação via gráfico papel milimetrado, e aplicação

da teoria dos erros.

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

4.1 VELOCIDADE MÉDIA

Primeiramente devemos compreender alguns conceitos que utilizaremos no experimento, tais como

a velocidade média, esta é a razão do deslocamento (∆S) pelo intervalo de tempo (∆t). A velocidade

média pode ser considerada escalar se for considerado apenas o módulo do deslocamento. Em uma

corrida de fórmula 1, por exemplo, se levarmos em conta somente o vetor posição, ao final de cada volta

o piloto não terá desenvolvido velocidade, pois não houve deslocamento, uma vez que o vetor �⃗� final é o

mesmo que �⃗� 0. Entretanto, considerando o módulo do espaço percorrido pelo piloto, teremos uma

velocidade escalar média diferente de 0, portanto, muito mais útil para as análises necessárias. No

movimento unidimensional, trabalhar tanto com um quanto com outro nos leva aos mesmos resultados.

Pode-se definir a velocidade média como:

Fórmula 4.1.1

4.2 VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Já a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de

tempo Δ𝑡 infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea 𝑣 ou simplesmente


velocidade como sendo:

Fórmula 4.2.1

Seu desvio pode ser calculado através de:

𝜎 = 𝑣 (𝜎𝑠

𝑠+

𝜎𝑡

𝑡) Fórmula 4.2.2

4.3 ACELERAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA

Temos também a aceleração média (𝑎 𝑚) e instantânea (𝑎 ). Neste experimento inverteremos o eixo

𝑦, a fim de que quando o vetor é para baixo seu valor é positivo. Aceleração é a taxa de variação da

velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas

interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração

instantânea). Elas são definidas respectivamente como:

Fórmula 4.3.1

Fórmula 4.3.2

Podemos encontrar a aceleração por três maneiras distintas:

1 - Através do coeficiente angular da reta 𝑣 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡. Porque fazendo uma análise de

grandezas encontraremos [𝐿]

[𝑡𝑚]2, ou seja, [𝐿]. [𝑡𝑚]−2. Encontramos tais grandezas justamente na

aceleração, tal coeficiente angular pode ser calculado pela Fórmula 4.3.3, onde 𝑡𝑔𝜃 = 𝑎 =𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃, como

𝑠𝑒𝑛𝜃 equivale ao eixo y e 𝑐𝑜𝑠𝜃 ao eixo 𝑥. Temos a Fórmula 4.3.4 onde 𝑎 =𝑦

𝑥=

Δ𝑣

Δt.

2 - A partir da derivada da velocidade, como visto a cima na Fórmula 4.3.2;

3 - E também, pela Segunda Lei de Newton, onde encontramos a Fórmula 4.3.5 em que

𝑎 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃, onde 𝑔 representa a gravidade, esta equivale a 9,807 m/s². E 𝜃 como sendo o ângulo de

inclinação do trilho de ar.

Seu desvio padrão é calculado através da fórmula:

𝜎𝑎 = 𝑔. 𝜎𝑠𝑒𝑛𝜃 Fórmula 4.3.6


4.4 CONFECÇÃO DE GRÁFICOS

Faremos, agora, uma breve discussão sobre a confecção de gráficos utilizando o módulo de escala.

Após essa discussão, estudaremos o movimento unidimensional obtendo as equações que regem esse

tipo de movimento a partir de análise gráfica.

Um gráfico expressa a relação entre duas ou mais grandezas físicas, onde uma delas representará

a causa e a outra o efeito. Em nosso experimento serão utilizados somente duas grandezas físicas em

cada gráfico, sendo uma delas a variável dependente e a outra a independente. A primeira deverá ser

posta no eixo das ordenadas e a outra no eixo das abscissas. Devemos sempre apresentar a grandeza

correspondente com suas respectivas unidades de medida entre parênteses. A fim de obter uma melhor

visualização adotaremos o papel milimetrado. Nele os eixos são representados por duas retas

perpendiculares encontradas à esquerda, sendo o lado maior o representante do eixo das ordenadas e o

menor o eixo das abscissas.

Quando confeccionamos um gráfico y versus 𝑥𝑛 independente de quanto for 𝑛, o resultado deverá

ser uma reta.

4.5 DETERMINAÇÃO DA ESCALA DE UM GRÁFICO

É importante aprender a determinar a escala do gráfico em papel milimetrado. Procuramos escolher

sempre múltiplos que facilitem a divisão. Uma das maneiras mais tradicionais e úteis para definir a escala

dos eixos é utilizar o "módulo de escala". Adotaremos, portanto, a Equação 4.5.1:

𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

Depois devemos multiplicar todos os valores obtidos experimentalmente pelo seu módulo de escala.

Dessa forma, você terá diretamente o valor medido no experimento, em milímetros, que corresponde à

escala do papel milimetrado.

Utilizar o módulo de escala facilita a distribuição dos pontos, aproveitando melhor o papel

milimetrado, e apresentando o gráfico de forma agradável de se visualizar.

Observação: As escalas escritas na lateral do gráfico devem ser referentes aos valores originais e

não os com o módulo de escala.

4.6.a. AJUSTE DE RETA

Em muitas situações, conhece-se uma tabela de pontos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), onde cada 𝑦𝑖 é obtido


experimentalmente, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) que melhor se

ajusta a esse conjunto de pontos. Aprenderemos como ajustar um conjunto de pontos a uma reta 𝑦 =

𝑎 + 𝑏𝑥 , onde 𝑎 e 𝑏 são parâmetros a serem determinados. O coeficiente linear (𝑎) é dado pela fórmula:

𝑎 =∑𝑦 ∑𝑥2 − ∑𝑥 ∑𝑥𝑦

𝑛∑𝑥2−(∑𝑥)2 Fórmula 4.6.a.1

E o angular (𝑏) pela fórmula:

𝑏 = 𝑛∑𝑥𝑦 ∑𝑥2 − ∑𝑥∑𝑥𝑦

𝑛∑𝑥2 −(∑𝑥)2 Fórmula 4.6.a.2

As unidades de 𝑎 e 𝑏 será de acordo com as grandezas envolvidas fisicamente, e 𝑛 é o número de

medidas inclusive o zero.

4.6.b. AJUSTE DE RETA VIA Casio - fx 82 MS

1- Apertar a tecla Mode;

2- Apertar a tecla 3 (reg - regressão);

3- Apertar a tecla 1 (lin – linear) ou em caso de quadrática (→) + (3) (quad - quadrática);

4- Insira os dados 𝑥, 𝑦. Para isso, digite um dado da coluna 𝑥 tecle vírgula e insira o respectivo dado

da coluna 𝑦. Para inserir o próximo par ordenado, aperte 𝑀 +;

5- Aperte a tecla shift e depois a tecla 2 (S-var);

6- Apertar duas vezes a tecla que indica voltando (→→) no botão grande central;

7- Apertar a tecla 1 e posteriormente 2; apertar 2 vezes (→→) e selecionar o número 2 e apertar igual;

8- De posse dos valores de 𝑎 e 𝑏, escreva a sua equação da reta, para as grandezas físicas

envolvidas.

4.7 DESVIO PADRÃO

O desvio padrão é capaz de identificar o “erro” em um conjunto de dados, caso quiséssemos

substituir um dos valores coletados pela média aritmética.

O desvio padrão aparece junto à média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Ele

é apresentado da seguinte forma:

𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑥) ± 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 (𝑑𝑝) Fórmula 4.7.1

Ele é atribuído à medida de uma dada grandeza é uma dispersão estatística. Este informa o quanto

de variação ou dispersão existe em relação à média ou o valor esperado da medida, e é dado pela

Fórmula 4.7.2:


𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Onde i corresponde a i-ésima medida e n o número total de medidas realizadas.

Como o desvio é feita a partir da medida direta de várias medidas, em que consiste medirmos várias

vezes a mesma grandeza para minimizar a imprecisão. Precisamos primeiramente tirar a média das

medidas.

O desvio padrão do seno de um ângulo deve ser calculado através de:

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝜎𝜃 Fórmula 4.7.3

O desvio padrão do tempo médio ao quadrado é calculado por:

𝜎𝑡̅²= 2𝑡̅ . 𝜎𝑡 ̅ Fórmula 4.7.4

4.8 MÉDIA ARITMÉTICA

Caso tenha diferentes medidas para uma mesma grandeza, utilizamos o valor médio. Uma vez que

as medidas foram obtidas da mesma forma, o peso atribuído a cada medida será o mesmo. Portanto, a

média que utilizaremos será uma média aritmética simples, descrita pela Fórmula 4.8.1:

�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯+ 𝑥𝑛

𝑛=

1

𝑛∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Onde 𝑛 corresponde ao número total de medidas realizadas.

4.9 LINEARIZAÇÃO E CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE

A linearização através de uma forma simplificada, é transformar uma curva ou semi-parábola em

uma reta. É encontrar uma relação entre duas variáveis que satisfaça a equação da reta, ou seja,

determinar o coeficiente angular e linear da reta.

𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥

Utilizaremos a linearização uma vez que a análise de uma reta é mais simples que a análise de

uma curva, que é complexa. O processo de linearização facilita a determinação de leis físicas que regem

o experimento que gerou os dados.


Para relacionarmos matematicamente, os dados do eixo da ordenada (𝑦) com os da abcissa (𝑥),

denotamos a variável dependente (𝑦) em função da independente (𝑥):

𝑦 ∝ 𝑥𝑛

Esta relação nos informa que os dados dos eixos das ordenadas são proporcionais aos dados do

eixo das abcissas elevado a uma potência. Está potência indicará se a função será linear (n=1), quadrática

(n=2) e assim por diante. O sinal ∝ indica a proporção. Esse símbolo pode ser substituído por um sinal

de igualdade e uma constante de proporcionalidade (ℂ), ficando assim:

𝑦 = ℂ . 𝑥𝑛

A linearização via papel milimetrado, método usado nesse experimento, obtenhamos 𝑛 de acordo

com o comportamento do gráfico 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥. E confeccionamos o gráfico 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥𝑛.

Independentemente de quanto for 𝑛, o resultado sempre deverá ser uma reta.

5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL

5.1. MATERIAIS UTILIZADOS

- 1 Compressor de ar Azeheb;

- 1 Trilho de ar Azeheb;

- 1 Cronômetro digital Azeheb de precisão de 0,001s;

- 1 Carrinho Azeheb;

- 1 Eletroímã Azeheb;

- 5 Sensores de tempo Azeheb;

- 1 Trena Vonder de precisão de 0,1 cm;

- 1 Transferidor de precisão de 1⁰;

- 1 Bloco de madeira.


5.2. MONTAGEM EXPERIMENTAL

Imagem 5.2.1 - Montagem experimental com o trilho de ar AZEHEB inclinado

(01) – Unidade de fluxo de ar: Marca Azeheb, é gerador de ar que impulsiona o ar para o trilho

através de uma mangueira. É um compressor bivolt, possui um controlador de fluxo. Em nosso laboratório

deve estar ligado em 110 V, e manter o controlador de fluxo no seu máximo. Graças ao fluxo de ar, que

o que é gerado, o carrinho fica suspenso, isso é, não fica em contato direto com o trilho, que movimenta

sem atrito considerável.

(02) – Mangueira: que leva o ar, gerado pela unidade de fluxo de ar para o trilho de ar.

(03) – Suporte lateral: Nas laterais da parte superior do trilho são fixados por meio de um parafuso

suporte laterais em formato de U, estes possuem um elástico. Estes possuem como função, evitar o

choque dos carrinhos, com a extremidade, bem como sua queda, ente outras funções;

(04) – Eletroímã: marca Azeheb, é um dispositivo que utiliza corrente elétrica que gera um campo

magnético, semelhantes aqueles encontrados nos imãs naturais. Este equipamento está fixado em uma

das extremidades superiores do trilho; sua função é manter o carrinho parado nesta posição, quando uma

força age sobre o carrinho.

(05) –Trilho de ar: Marca Azeheb, é um trilho feito de alumínio, oco, em formato triangular. Na base

lateral possui ao longo de seu comprimento uma escala milimétrica, e nas extremidades inferiores

reguladores de altura. Possui na sua parte superior furos uniformes, por onde sairá o ar. Possui uma trena

fixada na parte inferior do trilho, para que se possam fixar os sensores nas medidas exatas. O trilho de ar

é o percurso em que o carrinho irá se mover.

(06) –Sensores de Tempo: marca Azeheb, são sensores de luz que nos informa o tempo em que

o móvel passa na devida posição; São cinco sensores, e estes devem estar conectados na parte de trás


do cronômetro, cada qual na sua posição. O primeiro sensor é que ativa os demais sensores (tempo

inicial).

(07) – Móvel: Denominaremos de carrinho. Este possui um formato triangular que se encaixa na

parte superior do trilho. Possui um pino central na parte superior, utilizado para acionar os sensores de

tempo, e em cada lateral devidamente centralizado para colocar massas adicionais (pequenos discos

com furos) quando necessários. Também possui dois furos nas laterais à direita e a esquerda, onde se

conectam peças metálicas dependendo de cada experimento.

(08) – Pedaço de madeira – utilizado para dar a inclinação adequada ao trilho de ar.

(09) – Cronômetro: é um instrumento para medir tempo. Cronômetro digital da Azeheb possui

precisão de 0,01 segundos e uma incerteza de 0,001 segundos. Possui dois botões, um de Reset, que

serve para reiniciar o cronômetro e o outro de Função, que serve para trocar de função. Nesse

experimento, usamos a função F1. Está conectada com os sensores de tempo e com o acionador do

eletroímã.

(10) – Acionador do Eletroímã: chave seletora nas posições LIGA e DESLIGA. Este está

conectado tanto ao eletroímã quanto ao cronômetro.

5.3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO

Primeiramente devemos inclinar o trilho de ar Azeheb criando um ângulo menor que 5⁰ com a

horizontal. Depois devemos conectar adequadamente os sensores ao cronômetro obedecendo a ordem

entre eles. Em seguida, é importante colocar os sensores de tempo distanciados de 15,00 cm entre si,

sem usar a escala do trilho, meça com ajuda de uma trana ou régua pela parte superior dos sensores, a

fim de diminuir o erro. Como é importante neste experimento que a velocidade inicial seja zero, deve-se

colocar o primeiro sensor de forma que este seja acionado imediatamente após o início do movimento.

Depois, devemos ligar o compressor de ar Azeheb com sua intensidade máxima. Devemos, também,

posicionar o carrinho junto ao eletroímã e liga-lo (posição LIGA). Para iniciar o carrinho devemos desligar

o eletroímã (posição DESLIGA). Por fim, basta anotar os resultados encontrados na Tabela 5.4.1 e repetir

tais medidas três vezes, depois, mantenha a posição do primeiro sensor e mude a dos outros três de

forma a obter mais dados. Anote os resultados na mesma tabela. Não se esqueça de desligar e guardar

tudo após o término do experimento.


5.4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE

Tabela 5.4.1 – Dados experimentais da posição do móvel (𝑆) e tempo (𝑡), com seus respectivos

desvios:

(𝑆 ± 0,05)𝑠 (𝑡1 ± 0,001)𝑠 (𝑡2 ± 0,001)𝑠 (𝑡3 ± 0,001)𝑠

0,00 0,000 0,000 0,000

15,00 0,815 0,814 0,816

15,00 0,815 0,815 0,814

30,00 1,199 1,197 1,200

35,00 1,306 1,305 1,305

45,00 1,498 1,496 1,500

55,00 1,669 1,668 1,667

60,00 1,746 1,744 1,747

75,00 1,966 1,964 1,964

5.5. INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS

As condições iniciais que utilizamos para realizar o experimento foram: o movimento

unidimensional, plano inclinado, “ausência” de forças dissipativas, 𝑆0 = 0,00 𝑐𝑚; 𝑡0 = 0,000 𝑠 e, portanto,

𝑣0 = 0,00 𝑐𝑚/𝑠 e aceleração constante.

A fim de obtermos a fórmula geral do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, precisamos

calcular algumas grandezas preliminares.

Calculando o tempo médio através da Fórmula 4.8.1 temos:

𝑡1̅ = 0,815 + 0,814 + 0,816

3≅ 0,815𝑠

𝑡2̅ =0,815 + 0,815 + 0,814

3≅ 0,815𝑠

𝑡3̅ =1,199 + 1,197 + 1,200

3≅ 1,199𝑠

𝑡4̅ =1,306 + 1,305 + 1,305

3≅ 1,305𝑠

𝑡5̅ =1,498 + 1,496 + 1,500

3≅ 1,498𝑠

𝑡6̅ =1,669 + 1,668 + 1,667

3≅ 1,668𝑠

𝑡7̅ =1,746 + 1,744 + 1,747

3≅ 1,746𝑠

𝑡8̅ =1,966 + 1,964 + 1,964

3≅ 1,965𝑠


Para calcular o desvio padrão, a partir da Fórmula 4.7.2, dos tempos acima temos:

𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

𝜎2 = √(0,815 − 0,815)2 + (0,814 − 0,815)2 + (0,816 − 0,815)2

3 − 1= 0,001𝑠

𝜎3 = √(0,815 − 0,815)2 + (0,815 − 0,815)2 + (0,814 − 0,815)2

3 − 1= 0,001𝑠

𝜎4 = √(1,199 − 1,199)2 + (1,197 − 1,199)2 + (1,200 − 1,199)2

3 − 1= 0,002𝑠

𝜎5 = √(1,306 − 1,305)2 + (1,305 − 1,305)2 + (1,305 − 1,305)2

3 − 1= 0,001𝑠

𝜎6 = √(1,498 − 1,498)2 + (1,496 − 1,498)2 + (1,500 − 1,498)2

3 − 1= 0,002𝑠

𝜎7 = √(1,669 − 1,668)2 + (1,668 − 1,668)2 + (1,667 − 1,668)2

3 − 1= 0,001𝑠

𝜎8 = √(1,746 − 1,746)2 + (1,744 − 1,746)2 + (1,747 − 1,746)2

3 − 1= 0,002𝑠

𝜎9 = √(1,966 − 1,965)2 + (1,964 − 1,965)2 + (1,964 − 1,965)2

3 − 1= 0,001𝑠

Tabela 5.5.1 – Dados experimentais da posição do móvel (S) e do tempo médio (𝑡̅) e os respectivos

desvios obtidos com os dados da Tabela 5.4.1.

(𝑆 ± 0,05)𝑐𝑚 𝑡̅ (𝑠)

0,00 0,000 ± 0,001

15,00 0,815 ± 0,001

15,00 0,815 ± 0,001

30,00 1,199 ± 0,002

35,00 1,305 ± 0,001

45,00 1,498 ± 0,002

55,00 1,668 ± 0,001

60,00 1,746 ± 0,002

75,00 1,965 ± 0,001


Gráfico 5.5.1 – Encontra-se nos anexos.

Efetuando os cálculos para ajuste de reta através da calculadora Casio – f x 82 MS, devidamente

apresentados no tópico 4.6.b, temos:

𝑎 = 0,01673912 ≅ 0,02 𝑐𝑚

𝑏 = 4,36271238 ≅ 4,36 𝑐𝑚/𝑠

𝑐 = 17,17834495 ≅ 17,18 𝑐𝑚/𝑠2

Portanto, obtivemos a fórmula 𝑺 = 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟒, 𝟑𝟔𝒕 + 𝟏𝟕, 𝟏𝟖𝒕𝟐 . Utilizando os conceitos de derivada

(Fórmula 4.3.2), determinaremos a velocidade como:

𝑣 = 4,36 + 34,36𝑡

Para os tempos temos a velocidade instantânea (Fórmula 4.2.1) e o desvio através da Fórmula

4.2.2:

𝑣1 = 4,36 + 34,6 . 0,000 = 4,36 𝑐𝑚/𝑠

𝑣2 = 4,36 + 34,6 . 0,815 = 32,56 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 32,56 (0,05

15,00+

0,001

0,815) = 0,15 𝑐𝑚/𝑠

𝑣3 = 4,36 + 34,6 . 0,815 = 32,56 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 32,56 (0,05

15,00+

0,001

0,815) = 0,15 𝑐𝑚/𝑠

𝑣4 = 4,36 + 34,6 . 1,199 = 45,85 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 45,85 (0,05

30,00+

0,002

1,199) = 0,11 𝑐𝑚/𝑠

𝑣5 = 4,36 + 34,6 . 1,305 = 49,51 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 49,51 (0,05

35,00+

0,001

1,305) = 0,11 𝑐𝑚/𝑠

𝑣6 = 4,36 + 34,6 . 1,498 = 56,19 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 56,19 (0,05

45,00+

0,002

1,498) = 0,10 𝑐𝑚/𝑠

𝑣7 = 4,36 + 34,6 . 1,668 = 62,07 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 62,07 (0,05

55,00+

0,001

1,668) = 0,09 𝑐𝑚/𝑠

𝑣8 = 4,36 + 34,6 . 1,746 = 64,77 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 64,77 (0,05

60,00+

0,002

1,746) = 0,09 𝑐𝑚/𝑠

𝑣9 = 4,36 + 34,6 . 1,965 = 72,35 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 72,35 (0,05

75,00+

0,001

1,965) = 0,08 𝑐𝑚/𝑠

Com tais dados faremos um gráfico 𝑣 𝑥 𝑡, sendo que o módulo de escala em 𝑦 é 2,2𝑚𝑚/𝑐𝑚. 𝑠−1 e

em 𝑥 é 61𝑚𝑚/𝑠.

Fazendo o ajuste da reta através da calculadora (Tópico 4.6.b) temos que:

𝑎 = 4,361 𝑐𝑚

𝑏 = 34,599 𝑐𝑚/𝑠²


𝑟 = 0,999

𝑣 (𝑐𝑚/𝑠) = 4,36 + 34,60 . 𝑡(𝑠)

𝑣1 = 4,36 + 34,60 . 0,000 = 4,36 𝑐𝑚/𝑠

𝑣2 = 4,36 + 34,60 . 0,815 = 32,56 𝑐𝑚/𝑠

𝑣3 = 4,36 + 34,60 . 1,199 = 45,85 𝑐𝑚/𝑠

𝑣4 = 4,36 + 34,60 . 1,305 = 49,51 𝑐𝑚/𝑠

𝑣5 = 4,36 + 34,60 . 1,498 = 56,19 𝑐𝑚/𝑠

𝑣6 = 4,36 + 34,60 . 1,668 = 62,07 𝑐𝑚/𝑠

𝑣7 = 4,36 + 34,60 . 1,746 = 64,77 𝑐𝑚/𝑠

𝑣8 = 4,36 + 34,60 . 1,965 = 72,35 𝑐𝑚/𝑠


Derivando novamente, a fim de encontrarmos a aceleração, temos que:

𝑎 = 34,60 𝑐𝑚/𝑠2

Com tal dado faremos um gráfico 𝑎 𝑥 𝑡:


Podemos calcular a aceleração também por meio da Fórmula 4.3.5:

𝑎 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑎 = 980,665 . 𝑠𝑒𝑛20 = 34,22𝑐𝑚/𝑠²

E também através da Fórmula 4.3.4 onde:

𝑎 =𝑦

𝑥=

Δ𝑣

Δt

Vamos agora encontrar a inclinação da reta do gráfico 𝑣 = 𝑓(𝑡 ), ou seja, o coeficiente angular

desta reta, este é igual a velocidade. Calculando temos que:

𝑎 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 =Δ𝑉

Δ𝑡=

72,35

1,965= 36,82 𝑐𝑚/𝑠²


Uma vez que calculamos a aceleração através dos três métodos calcularemos agora seu desvio,

através da Fórmula 4.3.6 e 4.7.3:

𝜎𝑎 = 𝑔. 𝜎𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜎𝑎 = 980,665 . 𝜎𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜎𝑎 = 980,665 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝜎𝜃

𝜎𝑎 = 980,665 . cos𝜋

90 .

1

360

𝜎𝑎 = 980,665 . 0,999 . 0,002778

𝜎𝑎 = 2,72 𝑐𝑚/𝑠2

Agora precisamos linearizar o gráfico via papel milimetrado, a partir da posição em função do tempo.

Nota-se que o gráfico é uma semi-parábola, portanto, substituindo a equação por n = 2. A constante de

proporcionalidade está contida no tópico 4.9.

𝑆 𝛼 𝑡𝑚𝑛

𝑆 = ℂ . 𝑡𝑚2

Devemos, portanto, calcular os valores de Δ𝑡2 e seus desvios (Fórmula 4.7.4), assim temos:

𝑡12̅ = 0,0002 = 0,000𝑠² Colocaremos o desvio do tempo médio = 0,001 s²

𝑡22̅ = 0,8152 = 0,664𝑠² 𝜎𝑡̅2²

= 2 . 0,815 . 0,001 = 0,00163 ≅ 0,002 𝑠²

𝑡32̅ = 0,8152 = 0,664𝑠² 𝜎𝑡̅3²

= 2 . 0,815 . 0,001 = 0,00163 ≅ 0,002 𝑠²

𝑡42̅ = 1,1992 = 1,438𝑠² 𝜎𝑡̅4²

= 2 . 1,199 . 0,002 = 0,00480 ≅ 0,005 𝑠²

𝑡52̅ = 1,3052 = 1,703𝑠² 𝜎𝑡̅5²

= 2 . 1,305 . 0,001 = 0,00261 ≅ 0,003 𝑠²

𝑡62̅ = 1,4982 = 2,244𝑠² 𝜎𝑡̅6²

= 2 . 1,498 . 0,002 = 0,00599 ≅ 0,006 𝑠²

𝑡72̅ = 1,6682 = 2,782𝑠² 𝜎𝑡̅7²

= 2 . 1,668 . 0,001 = 0,00334 ≅ 0,003 𝑠²

𝑡82̅ = 1,7462 = 3,049𝑠² 𝜎𝑡̅8²

= 2 . 1,746 . 0,002 = 0,00698 ≅ 0,007 𝑠²

𝑡92̅ = 1,9652 = 3,861𝑠² 𝜎𝑡̅9²

= 2 . 1,965 . 0,001 = 0,00393 ≅ 0,004 𝑠²

Fazendo o gráfico com o módulo de escala para o eixo 𝑥 sendo 31 𝑚𝑚/𝑠²

Gráfico 5.5.4 – Encontra-se nos anexos


Efetuando o ajuste de reta através da calculadora (Tópico 4.6.b) temos:

𝑎 = 1,56 𝑐𝑚

𝑏 = 19,22 𝑐𝑚/𝑠

𝑟 = 0,99943

Portanto temos:

𝑆 = 1,56 + 19,22 (𝑡2)¹

𝑆1 = 1,56 + 19,22 . 0,000 = 1,56 𝑐𝑚

𝑆2 = 1,56 + 19,22 . 0,664 = 14,32 𝑐𝑚

𝑆3 = 1,56 + 19,22 . 1,438 = 29,20 𝑐𝑚

𝑆4 = 1,56 + 19,22 . 1,703 = 34,29 𝑐𝑚

𝑆5 = 1,56 + 19,22 . 2,244 = 44,69 𝑐𝑚

𝑆6 = 1,56 + 19,22 . 2,782 = 55,03 𝑐𝑚

𝑆7 = 1,56 + 19,22 . 3,049 = 60,16 𝑐𝑚

𝑆8 = 1,56 + 19,22 . 3,861 = 75,77 𝑐𝑚

Sobre a constante de proporcionalidade, temos que:

𝑆 = ℂ . 𝑡𝑚2

15,00 = ℂ1 . 0,664

ℂ1 = 22,59 𝑐𝑚/𝑠²

30,00 = ℂ2 . 1,438

ℂ2 = 20,86 𝑐𝑚/𝑠²

35,00 = ℂ3 . 1,703

ℂ3 = 20,55 𝑐𝑚/𝑠²

45,00 = ℂ4 . 2,244

ℂ4 = 20,05 𝑐𝑚/𝑠²

55,00 = ℂ5 . 2,782


ℂ5 = 19,79 𝑐𝑚/𝑠²

60,00 = ℂ6 . 3,049

ℂ6 = 19,68 𝑐𝑚/𝑠²

75,00 = ℂ7 . 3,861

ℂ7 = 19,43 𝑐𝑚/𝑠²

Como foi citado na fundamentação teórica no Tópico 4.9 a constante de proporcionalidade possui

como unidade cm/s² a mesma unidade encontrada na aceleração.

Portanto, podemos descobrir a proporcionalidade desta constante e a aceleração:

ℂ = ℂ′ . 𝑎

19,43 = ℂ′ . 34,22

ℂ′ = 0,568

Como a constante de proporcionalidade ℂ’ relaciona duas grandezas de mesma unidade, podemos

afirmar que ela é adimensional

Finalizando, a equação de movimento do móvel resultou em:

𝑆 = 0,02 + 4,36𝑡 + 17,18𝑡2

Generalizando obtemos a seguinte equação:

𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2

6. ANÁLISE E DISCUSSÕES

Sabemos que a velocidade pode tanto aumentar quanto diminuir, caracterizando respectivamente

um movimento acelerado e retardado. Nesta prática observamos o movimento acelerado. Entretanto, a

aceleração, do sistema, obtida foi constante, logo a velocidade variou uniformemente, graças a isso o

gráfico da aceleração foi uma reta paralela ao eixo 𝑥. Todavia, nota-se que podemos obter a aceleração

através da decomposição da segunda lei de Newton, unindo, portanto, a prática com a teórica.

Ao calcular a velocidade das três formas variadas notamos que a que possui menor chance de erro

é a 𝑎 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃, uma vez que há possui um menor número de variáveis, diminuindo a propagação do erro,

existente quando coletamos alguns dados e a partir deles descobrimos outros.

Percebemos também, que a constante de proporcionalidade adimensional deveria ser igual a 0,5.

Porém, houve uma alteração, resultando em 0,568. Isso deve-se às incertezas dos resultados combinado


ao arredondamento dos resultados propagados cálculo após cálculo. Quando linearizamos um gráfico

facilitamos a obtenção de resultados.

7. CONCLUSÕES

Concluímos que como a aceleração é constante e a velocidade varia uniformemente, a prática

condiz com a teoria estudada em classe.

Como resultados obtivemos através do movimento, no plano inclinado, foram a variação uniforme

da velocidade pelo tempo; e a aceleração constante caracterizando, portanto, um movimento retilíneo

uniformemente variado.

Além de que, com a ajuda da linearização, podemos obter os resultados mais facilmente. Visto que

analisar uma reta é mais fácil comparado a analisar uma parábola.

8. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

1 - Hatsumi Mukai e Paulo R.G. Fernandes - Manual de Laboratório – Física 1 – Departamento

de Física – Universidade Estadual de Maringá - 2015

2 -

http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_f%C3%ADsica/Mec%C3%A2nica

<visitado em 17 de julho>

3 - http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica <visitado em 17 de julho>

4 - http://www.brasilescola.com/fisica/primeira-lei-newton.htm <visitado em 17 de julho>

5 - http://www.cienciamao.usp.br/dados/azed/_trilhodearlinear12mpara4.zoom.jpg <visitado em 17

de julho>

9. ANEXOS

http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_f%C3%ADsica/Mec%C3%A2nica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica

http://www.brasilescola.com/fisica/primeira-lei-newton.htm

http://www.cienciamao.usp.br/dados/azed/_trilhodearlinear12mpara4.zoom.jpg




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Relatório Hatsumi 2.pdf