Experimento 2: Teoremas de Thévenin e Norton.

Disciplina: EN2703 – Circuitos Elétricos 1.

Discentes: Fernando Henrique Gomes Zucatelli Manuela Petagna Pedro Caetano de Oliveira Raian Bolonha Castilho Spinelli Washington Fernandes Souza

Turma: A/Diurno

Prof ª. Dra. Katia Franklin Albertin Torres.

Santo André, 17 de Junho 2011

Sumário

EQUATION CHAPTER 1 SECTION 1 1. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 2

2. PARTE EXPERIMENTAL ................................................................................................ 2

2.1. Materiais e equipamentos ............................................................................................ 2

2.2. Cuidados experimentais ............................................................................................... 2

2.3. Procedimentos .............................................................................................................. 3

2.3.1. Teorema de Thévenin ............................................................................................... 3

2.3.2. Teorema de Norton................................................................................................... 6

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO ....................................................................................... 9

3.1.1. Teorema de Thévenin ........................................................................................... 9

3.1.2. Teorema de Norton ............................................................................................. 13

4. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 15

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 15

2

1. OBJETIVOS

Verificar experimentalmente os teoremas de Norton e Thévenin, além de

familiarizar-se com os instrumentos de medida de grandeza elétrica (multímetros

digital e de bancada) e a fonte tensão.

Perceber que resultados teóricos diferem um pouco dos experimentais devido a

características reais do sistema (resistências internas e influência do aparelho de

medição).

2. PARTE EXPERIMENTAL

2.1. Materiais e equipamentos

• Multímetro digital portátil Minipa ET-2510;

• Multímetro digital de bancada Minipa 8045A;

• Fonte de Tensão Minipa MPL – 3303;

• Placa Protoboard (Matriz de contatos);

• Resistores de: 100Ω; 120Ω, 270Ω, 390Ω, 470Ω;

• 4 resistores de 1kΩ;

• 1 potenciômetro de 1kΩ;

• Cabos e fios para conexão.

2.2. Cuidados experimentais

• Atentar para a conexão do multímetro ao circuito, dependendo da escolha da

sua função: o voltímetro deve ser conectado em paralelo, ao passo que o

amperímetro deve ser conectado em série entre a bateria e o sistema. Para

efetuar medidas de resistência com o ohmímetro, deve-se desconectar o

resistor do circuito, evitando que os demais componentes do circuito interfiram

na medida;

• Antes de conectar as pontas de prova do multímetro para se realizar qualquer

medida, deve-se primeiramente ajustar o seletor de funções para a medida

desejada. Para medidas de tensão, deve-se verificar se o seletor de funções

encontra-se realmente em “V”. Haverá queima de fusível (ou do próprio

aparelho), caso o multímetro esteja com o seletor ajustado para medida de

corrente e for conectado em paralelo no circuito;

3

• Nunca mudar a função de um multímetro sem desconectá-lo do circuito;

• Embora a mudança de escala do multímetro seja automática, poderá ser feita

manualmente pressionando a tecla “RANGE”, sempre que for conveniente;

• Os painéis e visores dos instrumentos (como por exemplo, do osciloscópio)

nunca devem ser tocados com as mãos ou com os dedos, pois ficam sujos,

engordurados e riscados, sendo muito difícil limpá-los;

• Manipular os botões de controle do gerador de sinais e do osciloscópio com

delicadeza, exercendo apenas a força necessária para o seu acionamento;

• Ao final das medições ou cálculos, fazer os arredondamentos necessários de

forma a manter os valores e incertezas com o mesmo número de casas

decimais;

• Identificar as unidades de todos os valores apresentados nas tabelas.

2.3. Procedimentos

2.3.1. Teorema de Thévenin

A Figura 1 mostra o circuito utilizado para a medição da tensão e corrente da

carga no resistor, R5, e no potenciômetro que foi montado na protoboard, sendo

XMM1 o voltímetro e XMM2 o amperímetro.

Figura 1 – Circuito para medição de corrente e tensão na carga.

A fonte de tensão foi ajustada para 10V e o potenciômetro variado, sendo que

a cada aumento de 0,1V na tensão da carga (de 3,00V a 3,50V) a corrente através

da carga obtida com o amperímetro XMM2 era anotada.

4

A Figura 2 mostra o circuito para a medição da tensão de Thévenin, para isso

foram retirados o resistor R5 e o potenciômetro, pois a tensão de Thévenin

corresponde à tensão que passa pelo circuito sem a carga que esta sendo testada

(circuito aberto). Na Figura 2, XMM1 é um voltímetro que mede a tensão nos

mesmos terminais que estariam a carga e o potenciômetro, pois a tensão em dois

ramos paralelos são iguais.

Figura 2 – Circuito para medição da tensão de Thévenin.

A Figura 3mostra a medição de tensão e corrente, para cálculo da resistência

de Thévenin. A tensão de 6V é aplicada em série com todos os resistores e assim o

voltímetro, XMM1, mede a tensão que passa por pelo conjunto de resistores e o

amperímetro, XMM2, mede a corrente que passa pelo conjunto de resistores

também. Obtendo estes dois valores foi possível obter a resistência equivalente do

circuito, a resistência de Thevénin.

5

Figura 3 – Circuito para medição da resistência de Thévenin (Método 1).

A Figura 4 mostra o circuito para a medição da resistência de Thévenin

diretamente. Nesse circuito foi retirada a tensão de 6V, assim como o voltímetro e o

amperímetro. Para medir a resistência equivalente do circuito foi colocado um

ohmímetro, XMM1, nos terminais em que estariam as cargas a serem medidas.

Figura 4 – Circuito para medição da resistência de Thévenin (Método 2).

A Figura 5 mostra o circuito equivalente de Thévenin, em que a tensão e a

resistência são os equivalentes encontradas anteriormente. A tensão de Thévenin é

ajustada na fonte de tensão e, a partir dos resistores disponíveis, é montada na

protoboard a resistência equivalente necessária. A resistência de carga é recolocada

e a tensão e corrente referentes a ela são novamente medidas da mesma forma do

início do experimento, variando-se o potênciometro.

6

Figura 5 – Circuito em que se aplica o teorema de Thévenin.

2.3.2. Teorema de Norton

A Figura 6 mostra o circuito pra medição de tensão e corrente na carga de

470Ω que foi montado na protoboard, sendo XMM2 o voltímetro e XMM1 o

amperímetro.

Figura 6 – Circuito para medição da corrente e tensão na carga (Norton).

A Figura 7 mostra o circuito para a medição da corrente de Norton, no qual a

carga foi retirada e um amperímetro, XMM3, foi colocado entre os terminais em que

estaria a carga para ser medida a corrente nesse curto circuito.

7

Figura 7 – Circuito para medição da corrente de Norton.

A Figura 8 mostra o circuito para a medição da resistência de Norton em que

foi retirada fonte de tensão e assim com um ohmímetro, XMM3, foi possível se medir

a resistência equivalente de Norton entre os terminais em que será colocada a

carga.

Figura 8 – Circuito para medição da resistência de Norton.

A Figura 9 mostra o circuito equivalente de Norton. Neste circuito há a

resistência equivalente encontrada em paralelo com a carga de 470Ω. Essa

resistência foi montada na protoboard a partir das resistências disponíveis. Foi

utilizado um amperímetro, XMM3, para determinar se a corrente que fornecida ao

circuito era realmente a equivalente de Norton e também um amperímetro, XMM4,

para medir a corrente e um voltímetro, XMM5, para medir a tensão, ambas no

resistor de 470Ω.

V310 V

R5

270Ω

R6

120Ω

R7390Ω

XMM3

11

10

9

12

8

Figura 9 – Circuito em que se aplica o teorema de Norton.

Depois foi usado teorema das fontes equivalentes para montar um circuito mais

confiável (já que o controle de tensão na fonte de tensão é mais preciso que o da

corrente) para medição da corrente conforme a Figura 10, ou seja, foi colocada uma

tensão de Thévenin (determinada a partir da multiplicação da corrente de Norton

pela resistência de Norton) e em série a resistência de Norton encontrada.

Figura 10 – Circuito com fonte de tensão equivalente a Figura 9.

9

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

3.1.1. Teorema de Thévenin Na Tabela 1 encontram-se os valores da corrente na carga (IL) medidos em

relação a tensão da carga (VL), variada por meio da variação do potenciômetro na

carga (Figura 1).

Tabela 1 – Medições da Figura 1..

VL (V) IL (mA)

3,000 2,581

3,100 2,374

3,200 2,192

3,300 1,994

3,400 1,811

3,482 1,659

No gráfico da Figura 11 tem-se a curva plotada baseada nos valores da Tabela

1 e a função obtida com o ajuste por meio de função linear aos pontos coletados,

utilizando-se para essa análise o software Microsoft Excel 2007®. A função linear

ajustada é do tipo descrito por (1):

0( ) .y ax b V I R I V= + ≡ = + (1)

Em que:

V(I): Valor da tensão da carga VL em função da corrente.

R: Valor da resistência, (Na Figura os valores se encontram em kΩ)

I: Corrente da carga RL.

V0: tensão para I=0, o que implica que V0 = Vth.

10

Figura 11– Gráfico da tensão VL em função da corrente IL medidos.

Dessa forma, com os valores da função ajusta pelo software tem-se que o

coeficiente a = -0,524kΩ = -524Ω que é aproximadamente igual a resistência de

Thévenin (Rth) calculada de 521,74 Ω (o negativo deve-se ao fato da reta ser

decrescente).

O termo independente corresponde à tensão de Thévenin, sendo V0 = 4,3495

≈ Vth(calc) = 4,348V. A diferença é de 0,0015V, sendo não significativa dada a própria

resolução dos instrumentos de medição.

O coeficiente R²=99,97% indica o quão bem ajustada a curva está nos pontos.

Este ajuste já era esperado devido à característica ôhmica do resistor, que

apresenta comportamento linear, como enunciado pela lei de Ohm.

Retirando-se os resistores de carga do circuito, mediu-se a tensão de Thévenin

diretamente, já que a montagem equivale a abrir o circuito no ponto dos resistores

de carga e o valor medido foi 4,369V, novamente próximo do calculado que é

4,348V, embora o anterior tenha sido mais próximo.

Após montar o circuito da Figura 3, mediram-se os valores de 5,931V e 11,219

mA para V1 e I1, respectivamente. O valor da resistência do conjunto de resistores

encontrado, que corresponde a resistência de Thévenin Rth, foi de 528,657Ω obtido a

partir da equação 2.

=

(2)

y = -0,524x + 4,350

R² = 0,9997

VL(V)

IL(mA)

VL (V)

11

Retirando a fonte de tensão de 6V, mediu-se a resistência equivalente do

circuito com o multímetro na função ohmímetro, obtendo-se o valor de 519,20Ω. As

diferenças encontradas entre os valores medidos devem-se às imprecisões dos

instrumentos que variam dependendo do modo utilizado (mudança de resistências

internas).

Com a configuração da Figura 3, a tensão e a corrente medidas eram

referentes ao conjunto de resistores, de forma que os valores medidos são

equivalentes a apenas um resistor, o próprio Rth.

Da mesma forma, o multímetro no modo ohmímetro mediu a resistência do

conjunto de resistores e, por isso, os valores são equivalentes entre si. Isso se

comprova pela forma como ele trabalha, fornecendo uma corrente pré-definida para

o circuito e avaliando a queda de tensão nos terminais, aplicando a lei de Ohm.

Ou seja, o método utilizado na Figura 3 é exatamente o mesmo utilizado pelo

aparelho na função ohmímetro.

Os valores anteriormente comentados são reunidos na Tabela 2

Tabela 2 – Medições das respectivas figuras e valores teóricos calculados.

Figura 2

Figura 3 Figura 4

Vth(calc) 4,348 V V1 5,931 V Rth(calc) 521,740 Ω Vth(medi

do) 4,369 V I1 11,219 mA Rth(medid

o) 519,200 Ω

Rth=V1/I1 528,657 Ω

A Tabela 3 mostra os valores de IL e VL, corrente e tensão sobre a carga,

medidos com o multímetro digital, para o circuito da Figura 5.

Tabela 3 – Medições da Figura 5.

VL (V) IL (mA)

3,000 2,421

3,100 2,238

3,200 2,039

3,300 1,857

3,400 1,677

3,431 1,635

A Figura 12 apresenta a curva com os valores da Tabela 3. De acordo com o

gráfico o coeficiente a = -0,524kΩ = -524,500Ω que é exatamente o valor obtido no

12

gráfico da Figura 11. Entretanto o termo independente que representa V0=4,312V é

0,0364V menor que o valor calculado.

O coeficiente R² indica ajuste de 99,93% dos pontos a função aproximada.

Figura 12 – Gráfico da tensão VL em função da corrente IL medidos.

Observa-se que os valores de corrente encontrados são bem próximos, sendo

assim os coeficientes da equação também serão bem próximos, isso mostra a

validade do teorema Thévenin, sendo que a diferença de valores entre as tabelas é

mínimo, se reduzindo praticamente as tolerâncias dos valores dos resistores e

imprecisões nos instrumentos.

O erro percentual entre os valores de corrente da Tabela 3 em relação aos

valores da Tabela 1 é apresentado na Tabela 4.

Tabela 4 – Erro percentual entre as correntes da Tabela 1 e Tabela 3.

IL1 (mA) IL2 (mA) Erro %

2,421 2,581 6,199

2,238 2,374 5,729

2,039 2,192 6,980

1,857 1,994 6,871

1,677 1,811 7,399

1,635 1,659 1,447

Os valores de erro percentual encontrados foram relativamente baixos, apesar

da resistência utilizada no circuito não ser exatamente igual a resistência de

Thévenin devido às combinações das resistências dos resistores fornecidos (foram

y = -0,542x + 4,312

R² = 0,9993VL(V)

IL(mA)

VL (V)

13

utilizados dois resistores de 1kΩ em paralelo obtendo 500Ω), além de variações no

valor nominal das resistências e do valor de tensão fornecida pela fonte.

3.1.2. Teorema de Norton Na Figura 6 mediram-se os valores de VL e IL, tensão e corrente no resistor de

carga, com o multímetro digital.

Na Figura 7, a carga foi substituída por um curto-circuito e mediu-se o valor

da corrente nesta região, que equivale a corrente de Norton IN.

Na Figura 8 repetiu-se o mesmo procedimento utilizado na Figura 4 e assim

obteve-se a resistência de Norton RN.

Basicamente, repetiram-se os mesmos procedimentos utilizados na parte

anterior, porém adaptados para o circuito equivalente de Norton.

Os valores medidos e os calculados, nos circuitos das Figuras de 6 a 8, estão

apresentados na Tabela 5.

Tabela 5 – Medições e valores teóricos.

Figura 6 Figura 7 Figura 8

VL IL IN RN(medido)

Calculado 3,534 V 7,520 mA

25,40 mA 195,0 Ω

Medido 3,488 V 7,498 mA

25,96 mA 210,7 Ω

Na Figura 9 mediram-se os valores de VL e IL sobre o resistor de 470Ω

considerando o circuito equivalente de Norton. Os resultados obtidos encontram-se

na Tabela 6.

A diferença nos valores medidos se deve aos mesmos motivos discutidos para

o circuito de Thévenin. A diferença, no entanto, é um pouco maior, pois na medição

de corrente, no qual esse circuito é fortemente baseado, o multímetro é mais

impreciso (maior influência da resistência interna).

Pelos motivos discutidos na seção procedimentos, foram utilizadas tanto a

fonte de corrente equivalente de Norton quanto o seu equivalente em Thévenin.

A fonte de tensão equivalente em relação à fonte de corrente que fornecesse o

valor de I de Norton ao circuito foi calculada de acordo com (2).

3( ) ( ). 25, 4.10 .218 5,537

N N medido N calcE R I A V

−= = Ω = (2)

14

Tabela 6 – Medições e valores teóricos referentes ao circuito da Figura 9.

com fonte de corrente com fonte de tensão equivalente

RN(montagem do

equivalente)* VL(medido) 3,832 V VL(medido) 3,726 V

216,400 Ω IL(medido) 8,250 mA IL(medido) 8,010 mA

218,000 Ω Rx=VL/IL 464,480 Ω Rx=VL/IL 465,170 Ω

*Resistor obtido com associações de outros resistores disponíveis (Eq. (3)).

Para utilizar um resistor RN próximo do valor medido da Tabela referente a

Figura 8 foram associados os resistores de 270Ω e 150Ω em paralelo e em série

com o equivalente do paralelo foi associado em série um resistor de 120Ω, o valor

está calculado em (3).

1 1 1(150 270 ) 120 96,4 120 216,4N

R− − −

= + + = + = Ω (3)

Os erros percentuais dos valores de VL e IL da Tabela 5 em relação aos valores

da Tabela 6 estão apresentados na Tabela 7.

Tabela 7 – Erros percentuais entre os valores de VL e IL das Tabelas 4 e 5.

VL1 (V) VL2 (V) Erro % IL1 (mA) IL2 (mA) Erro %

3,488 3,832 8,977 7,498 8,250 9,115

3,488 3,726 6,388 7,498 8,010 6,392

A explicação dos erros se deve aos mesmos motivos discutidos anteriormente

no circuito equivalente de Thévenin, embora agora um pouco maiores dada a

imprecisão maior desse circuito (baseado em medidas de corrente, como já

comentado).

15

4. CONCLUSÃO

A partir dos resultados obtidos no experimento, verificou-se a validade dos

teoremas de Thévenin e Norton e como determiná-los experimentalmente.

Para Thévenin, inclusive, verificou-se uma outra maneira de determinar a

resistência equivalente (aplicação de tensão e medida da tensão e corrente no

conjunto de resistores). Tal método é também utilizado pelos aparelhos de medição

de resistência (multímetro no modo ohmímetro), também utilizados nesse

experimento

Perceberam-se também as diferenças existentes entre os valores teóricos e os

experimentais, dado que em um sistema real existem influências de diversos fatores

na medida, como o valor real das resistências (tolerância em relação ao valor

nominal), resistência interna da fonte de tensão, ocasionando uma queda de tensão

já na saída, além das resistências internas dos próprios aparelhos de medição, que

deveriam se mostrar “invisíveis ao circuito”.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] BOYLESTAD, R.L.; Introdução à análise de circuitos; 10.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.