Relazione tra i numeri quantici n, l ed m

Schema dell’esperimento di Stern e Gerlach.

Dualismo onda-particella

vm

h

p

h

c

hE

cmE

2

Dualismo onda-particella

Palla da golf: m = 45,0 g v = 30 m∙s–1 :

msmkg

sj

vm

h 3413

34

109,4)0,30()100,45(

10626,6

vm

h

p

h

c

hE

cmE

2

Dualismo onda-particella

Palla da golf: m = 45,0 g v = 30 m∙s–1 :

msmkg

sj

vm

h 3413

34

109,4)0,30()100,45(

10626,6

msmkg

sj

vm

h 101631

34

103,3)1019,2()1011,9(

10626,6

1631 1019,21011,9 smvkgm

Elettrone nella 1° orbita dell’atomo di idrogeno:

vm

h

p

h

c

hE

cmE

2

Non è possibile determinare simultaneamente e con uguale precisione posizione e momento di una particella:

Principio di Indeterminazione di Heisenberg

p xh

4

Non è possibile determinare simultaneamente e con uguale precisione posizione e momento di una particella:

Principio di Indeterminazione di Heisenberg

p xh

4

Per determinare con una certa esattezza la posizione dell’elettrone si potrebbe pensare di localizzarlo entro 10-12 m.

4

hxp

Non è possibile determinare simultaneamente e con uguale precisione posizione e momento di una particella:

Principio di Indeterminazione di Heisenberg

p xh

4

Per determinare con una certa esattezza la posizione dell’elettrone si potrebbe pensare di localizzarlo entro 10-12 m.

4

hxp

12312312

34

103,5103,5104

10626,6

4

smkgmsj

m

sj

x

hp

1731

123

108,51011,9

103,5

sm

kg

smkg

m

pv

Equazione di Schrödinger

Nel 1926 E. Schrödinger propose un modello ondulatorio per la descrizione del comportamento di un elettrone nell’atomo di idrogeno.

Equazione di Schrödinger

Nel 1926 E. Schrödinger propose un modello ondulatorio per la descrizione del comportamento di un elettrone nell’atomo di idrogeno.

Le onde si dividono in onde progressive e stazionarie a seconda che la loro ampiezza sia funzione dello spazio e del tempo o solo dello spazio.

Equazione di Schrödinger

Nel 1926 E. Schrödinger propose un modello ondulatorio per la descrizione del comportamento di un elettrone nell’atomo di idrogeno.

Le onde si dividono in onde progressive e stazionarie a seconda che la loro ampiezza sia funzione dello spazio e del tempo o solo dello spazio.

Esempio di onda progressiva.

Esempio di onda stazionaria.

Vibrazioni di una corda di chitarra fissa alle due estremità. a) corda di lunghezza d a riposo;

b) n=1: vibrazione fondamentale; c) n=2: prima armonica; d) n=3: seconda armonica.

Le onde stazionarie sono quelle la cui ampiezza dipende solo dalle coordinate spaziali x, y e z.

Schrödinger descrisse il comportamento di un elettrone orbitante attorno al nucleo come quello di un’onda stazionaria.

Schrödinger descrisse il comportamento di un elettrone orbitante attorno al nucleo come quello di un’onda stazionaria.

Propose, quindi, un’equazione, detta equazione d’onda con la quale rappresentare l’onda associata all’elettrone.

Onde stazionarie circolari: a) n=5; b) n=6.

2r = nλdove n = 1, 2, 3, …

Schrödinger descrisse il comportamento di un elettrone orbitante attorno al nucleo come quello di un’onda stazionaria.

Propose, quindi, un’equazione, detta equazione d’onda con la quale rappresentare l’onda associata all’elettrone.

Tale onda potrebbe essere immaginata come ottenuta dalla vibrazione di una corda chiusa su se stessa:

Le soluzioni di questa equazione, dette funzioni d’onda , non hanno un definito significato fisico, ma ad esse è associato un ben determinato valore dell’energia da confrontare con i valori ricavati sperimentalmente.

Le soluzioni di questa equazione, dette funzioni d’onda , non hanno un definito significato fisico, ma ad esse è associato un ben determinato valore dell’energia da confrontare con i valori ricavati sperimentalmente.

Matematicamente esistono infinite soluzioni di tale equazione. Soltanto alcune, finite, soluzioni (autofunzioni) soddisfano determinati requisiti (vincoli) e sono, quindi, accettabili.

Le soluzioni di questa equazione, dette funzioni d’onda , non hanno un definito significato fisico, ma ad esse è associato un ben determinato valore dell’energia da confrontare con i valori ricavati sperimentalmente.

Matematicamente esistono infinite soluzioni di tale equazione. Soltanto alcune, finite, soluzioni (autofunzioni) soddisfano determinati requisiti (vincoli) e sono, quindi, accettabili.

In particolare, i vincoli della funzione d’onda possono esser così riassunti:1) continua e finita2) ad un sol valore in ogni punto dello spazio3) deve tendere a 0 all’infinito4) deve soddisfare la condizione di normalizzazione: ∫ 2dV = 1.

EVdx

d

m

2

22

2

s o l u z i o n i :

2

22

8 am

hnE e x

Em

a

2

1

2

2

12

sen2

U n ' o n d a s t a z i o n a r i a h a a l l e p a r e t i u n ' a m p i e z z a u g u a l e a 0 e p e r c h é q u e s t o s i v e r i f i c h i l a d i s t a n z a a d e v e e s s e r e u n m u l t i p l o i n t e r o d i m e t à d e l l a l u n g h e z z a d ' o n d a :

2

na e s s e n d o i n o l t r e

vm

h s i h a :

vm

hna

2

a

hnvm

2

2

22

2

22222

842

1

2

1

2

1

am

hn

ma

hn

m

vmvmE

Il movimento dell’elettrone orbitante attorno al nucleo è tridimensionale, per cui è caratterizzato da tre costanti, dette numeri quantici, indicate con n, l ed m.

Il movimento dell’elettrone orbitante attorno al nucleo è tridimensionale, per cui è caratterizzato da tre costanti, dette numeri quantici, indicate con n, l ed m.

Relazione tra i numeri quantici