REMARQUES ET CONSEILS SUR L’EPREUVED’ANALYSE DE DOCUMENTS SCIENTIFIQUES

——CONCOURS X BCPST

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Quelques rappels theoriques pour commencer. Deux heures avant de passer leur oral, lescandidats se voient remettre un texte a partir duquel ils devront construire un exposestructure. Durant leur temps de preparation, les candidats sont supposes lire, comprendre,assimiler tout ou partie de ce document et preparer un expose de synthese d’une dureecomprise entre 15 et 20 minutes. On ne demande pas aux candidats d’enoncer ou dedevelopper des resultats qui ne figurent pas dans le document, fussent-ils dans la memethematique. S’ils peuvent enrichir l’analyse des documents par une reflexion personnelle(eventuellement en emettant un point de vue critique), les candidats doivent s’adapter ets’en tenir aux documents fournis. Si l’etude de la totalite du dossier et la preparationd’un expose coherent ne leur paraissent pas possible, ils peuvent se limiter a une partiedu dossier. Ils sont libres de s’organiser comme ils le souhaitent et de choisir le type depresentation qui leur convient le mieux : expose au tableau – le plus enleve mais le plusrisque – , sur papier avec retroprojection – de loin, le plus prudent – , ou mixte : il peutetre judicieux de passer au tableau pour detailler quelques points.

Par ailleurs, les textes proposes peuvent presenter des defauts (coquilles, negligence ousous-entendus de l’auteur, erreurs. . . ) qui, sauf exception, n’ont pas ete corriges. Lescandidats doivent exercer leur esprit critique pour ne pas propager des erreurs. Les textesproposes peuvent contenir des exercices a ne pas resoudre. Neanmoins, les candidats peu-vent s’aider des enonces de ces exercices pour enrichir leur expose.

A la fin de l’epreuve, les documents fournis et supports d’expose seront recuperes. Ilsn’entreront pas en ligne de compte pour la fixation des notes puisque l’examinateur ne lesconsultera pas.

Voici maintenant quelques conseils et remarques plus precis pour bien comprendre etreussir cette epreuve.

Les textes proposes. Ils peuvent concerner tous domaines mathematiques sous reserve queleur analyse soit conduite a partir des connaissances du programme officiel. Ils font volon-tairement appel a des notions mathematiques situees a la marge de ce programme, que lesexaminateurs - connaissant les textes reglementaires - jugent suffisamment proches pouretre apprehendees par les candidats. C’est l’essence meme de cette epreuve que de deman-der aux candidats - futurs polytechniciens - d’etre capables de transcender leurs limites etde s’adapter rapidement a la nouveaute.

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L’esprit de l’epreuve. Disons tout d’abord qu’un bon expose est typiquement un exposeaussi dense que possible mais fait pour ses camarades de classe : clair, complet, riche,informatif, bien construit, facile a suivre.

Il est demande de reinterpreter tout ou partie du texte, et dans une certaine mesurede se le reapproprier pour formuler son propre discours. Ainsi on evitera par exemple lesformules du type “l’auteur demontre que”. Le texte constitue un support a partir duquel lecandidat doit presenter un sujet. En particulier, la numerotation des enonces doit etre cellede l’expose et non celle du texte auquel l’examinateur n’est pas cense devoir se reporter. Ilne faut pas non plus recopier le texte, propager ses manies ou son vocabulaire specifique.

Cette epreuve ne se resume pas a une presentation monotone d’enonces surtout lorsqueceux-ci n’ont pas ete compris. L’evaluation s’effectue selon plusieurs criteres avec en bonneplace la capacite de comprehension de tout ou partie d’un texte en temps tres limite et celled’en extraire un expose argumente, dynamique et vivant. Cela implique bien evidemmentque les candidats soient a la fois realistes sur leurs capacites et ambitieux dans le programmequ’ils se fixent.

Il faut rester honnete et placer l’expose au meilleur niveau possible, pas au-dessus.L’esbroufe est toujours du plus mauvais effet et severement punie. Eviter de soutenirperemptoirement un resultat, si necessaire a renfort de qualificatifs comme “classique” ou“standard”, alors meme qu’on ne dispose pas des bons arguments pour le demontrer. Si unpoint reste brumeux, il vaut bien mieux l’eviter ou, si c’est impossible, donner un enonceet expliquer les points qui en rendent la preuve delicate. C’est meme la une tres bonnefacon de montrer qu’on a percu certaines subtilites du texte.

Un oral de mathematiques. Un bon expose ne saurait s’abstenir de demonstration et secontenter d’enoncer des resultats a la facon d’un catalogue : passer l’essentiel de son tempsa introduire le texte et a donner des definitions ne saurait constituer une presentationacceptable d’un document. Meme si certaines approximations dans les raisonnementspourront etre pardonnees, il est conseille aux candidats de faire preuve de la plus granderigueur, surtout quand il s’agit de presenter des aspects classiques et bien connus de cesdemonstrations.

Organisation de l’oral. Ce n’est pas a l’examinateur de decider de l’organisation de l’epreu-ve. C’est seulement apres l’expose d’une duree maximale de 20 minutes que celui-ci poserades questions. C’est donc au candidat de decider ce qu’il presente ou pas, d’annoncer sonplan. Le candidat doit eviter de demander l’assentiment de l’examinateur lorsqu’il hesitesur l’opportunite de presenter ou de demontrer tel ou tel resultat. Ce type de choix faitpartie de l’examen. La liberte laissee aux candidats dans leur preparation suppose qu’ilssauront decider seuls de l’equilibre donne a leur expose. Un equilibre entre les partiesdu texte qu’ils expliqueront et celles qu’ils passeront sous silence ; entre des enonces sanspreuve et des demonstrations completes ; entre details techniques et explications “prenantde la hauteur” sur le texte. L’expose doit surtout mettre en evidence les points cruciauxdu texte et leur enchaınement. Tout choix suivant servilement le texte conduira a une note

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mediocre. Au contraire, les exposes avec des choix clairs et judicieux, et qui les assumeront,seront fortement recompenses.

La presentation devra etre mise en valeur par toute sorte de moyens d’enrichir et depersonnaliser son expose. Penser a considerer les exemples, interpreter les resultats, fairedes comparaisons, pourquoi pas formuler des conjectures. . . Si le texte propose un exercice,on peut par exemple s’en inspirer pour illustrer son discours ou suggerer une application.

Aspects pratiques. Les textes projetes appeles ici “transparents” doivent etre lisibles sanseffort par l’examinateur. Lors de la preparation, il faut eviter les surcharges et les ecritureslilliputiennes. Lors de la presentation, il ne faut pas cacher la projection de son expose ense mettant entre l’examinateur et l’ecran. L’epreuve est rapide. Il faut donc arriver avecdes transparents en ordre. Une fois projetes et commentes, les transparents peuvent etredemandes par l’examinateur pour preciser tel ou tel point. Il convient ainsi de ne pas lesmettre en desordre afin de ne pas perdre de temps lors des questions.

Attitude du candidat. Passer un oral inhabituel n’est jamais facile. L’examinateur en tientcompte. Comme en cas d’incendie, il n’y a pas de bonne raison de paniquer pour l’epreuved’ADS. Le texte est fourni et offre un support de travail sur lequel s’appuyer, ce qui permetde garder la tete froide.

La prestation d’un candidat sera d’autant plus agreable a suivre que celui-ci sera detendu.Un peu d’enthousiasme ne fait pas de mal : un etudiant d’aujourd’hui peut aussi prendredu plaisir a faire et/ou decouvrir des mathematiques. A ce titre, il est souhaitable deregarder de temps a autre l’examinateur pour verifier son interet. C’est a lui que s’adressele candidat.

Si un peu de hauteur de vue et d’enthousiasme s’ajoutent, il est certain que la prestationdu candidat sera bien recompensee.

L’entretien. Une fois l’expose termine, l’examinateur conduit la suite de l’entretien. Ilsera demande au candidat d’eclaircir eventuellement certains points et plus surement derepondre a quelques questions destinees a evaluer la comprehension du texte. Il est doncimportant de gerer parfaitement le minutage de sa presentation. Trop court, l’expose trahitun manque d’interet pour le texte. Plus long, il risquerait de reduire d’autant la deuxiemepartie de l’entretien, et par voie de consequence le temps disponible pour reagir a chacunedes questions de l’examinateur, ce qui est fort dommageable. Rappelons que l’expose nedoit pas depasser 20 minutes, duree au-dela de laquelle le candidat risque d’etre interrompuet donc de ne pouvoir finir sa presentation.

Expression. Il s’agit d’une epreuve orale. A ce titre, les candidats sont invites a reflechira l’importance de la qualite de la presentation et du respect de la langue. Il y a uneincontournable necessite a s’exprimer distinctement et suffisamment fort mais egalementen bon francais. Merci d’eviter les familiarites, les borborygmes, les onomatopees, lesexpressions a la mode ou les tics de langage.

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Sujet 0

Il est un exemple de sujet pouvant etre propose lors de l’epreuve d’ADS. Il se trouve quele sujet traite d’arithmetique. Il n’y a rien a en deduire, cela aurait aussi bien pu etre del’algebre, de l’analyse, des probabilites, de la combinatoire, des mathematiques appliquees,etc.

Le dossier se presente sous une forme classique. Une page de garde donnant quelquesinstructions generales assorties de quelques remarques particulieres a bien lire et memoriserpour ne pas se retrouver perdu durant l’epreuve. Le texte possede 16 pages, visiblementextraites d’un livre dont on a retire des passages. On note l’absence de quelques chapitres,1.1 par exemple; et des rajouts manuels : le candidat a ete prevenu, cela ne devrait ni etrederoutant ni gener la lecture. Seize pages, cela peut paraıtre long mais celles-ci ne sontpas trop densement remplies. Le candidat se rappelle qu’il peut n’etudier qu’une partie dusujet. Une premiere lecture rapide de l’integralite du texte s’impose (prevoir une trentainede minutes) pour voir le niveau general du texte et ce qu’il est possible de faire en 2 heures.

Cette premiere lecture nous apprend que le texte porte sur les nombres premiers, notionconnue depuis le college mais pas forcement beaucoup rencontree depuis. Par ailleurs, letexte commence en redonnant la definition, les prerequis semblent donc limites. Il y aquelques passages plus techniques et plus durs, sans preuve. Ces elements nous rappellentqu’on est bien en epreuve d’ADS !

Lors de cette premiere lecture, relever un plan du texte pour s’y retrouver plus tardpeut ne pas etre du temps perdu. Le chapitre 1.2 contient un theoreme connu avecune demonstration (facile). Le chapitre 1.3 contient deux theoremes dont l’un est laconsequence de l’autre. Il faudra aller jusque’a 2.10 pour connaıtre le fin mot de l’histoire(tout a la fin de notre texte). Etc. . .

Le texte contient a la fois des notions connues et peu mysterieuses, sur lesquelles il nesera pas necessaire d’insister et des passages citant des resultats visiblement plus difficiles,qu’on ne pourra, au mieux, que citer pour illustration. Il y a aussi un chapitre entier denotation (chapitre 1.6) qui est hors sujet pour nous, mais qu’il faut assimiler pour suivrela suite du texte.

Voici une proposition de plan :

1. Introduction : definition d’un nombre premier, exemples, crible d’Eratosthene, tablesde nombres premiers jusqu’a 100. Theoreme de decomposition des entiers en produits denombres premiers. (Partie basee sur 1.2 et 1.4)

2. Theoreme fondamental de l’arithmetique : a) Un lemme tres important : premiertheoreme d’Euclide ; enonce et demonstration utilisant les modules. Seconde demonstration;b) Preuve du theoreme lui-meme. (Partie basee sur 1.3, 2.9 et 2.10, 2.11)

3. Second theoreme d’Euclide, et ses plusieurs preuves. (Partie basee sur 1.4, 2.1, 2.4)

4. Etude du nombre de nombres premiers. Enonce du theoreme des nombres premiers.Demonstration de bornes inferieures. Reflexions sur une borne superieure. (Partie baseesur 1.8, 2.2, 2.6)

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5. Conclusion : les nombres premiers ne sont pas si bien connus et gardent leurs mysteres.Choix de quelques “curiosites” du texte.

Pour eviter de perdre du temps et de s’emmeler dans les concepts nouveaux, un exposesur feuilles retroprojetees paraıt le mieux indique.

Exemple de questions que pourrait poser l’examinateur en fonction de ce que le candidataura inclus dans son propre expose :

i) Decomposer en facteurs premiers 66600000. (Une telle question est un echauffement,il faut evidemment aller tres vite dans la reponse).

ii) Comment comprenez-vous la phrase au debut du deuxieme paragraphe du chapitre1.4 : “Ces tables montrent que la suite des nombres premiers est infinie” ?

iii) Pourquoi le produit de deux entiers de la forme 4n + 1 a-t-il encore cette forme ?Quelle est la forme du produit de deux entiers de la forme 4n + 3 ?

iv) Expliquer la divergence de la serie∑

1/p.v) Le pgcd defini dans 2.9 est-il le meme que celui que vous connaissez ?

SUJET 0

Travail demande

Les candidats doivent etudier puis presenter le dossier joint a travers un expose desynthese d’une duree comprise entre 15 et 20 minutes.

Si l’etude de la totalite du dossier et la preparation d’un expose coherent dans la dureeimpartie ne vous paraissent pas possible, vous pouvez decider de vous limiter a une partiedu dossier.

Remarques generales

Les textes proposes, quelle que soit leur origine, peuvent presenter des defauts (coquillestypographiques, negligence ou sous-entendus de l’auteur, voire erreurs. . . ) qui, sauf excep-tion, n’ont pas ete corriges.

Ils peuvent contenir des exercices qu’il n’est pas demande de resoudre. Neanmoins, vouspouvez vous aider des enonces de ces exercices pour enrichir votre expose.

Les documents fournis peuvent etre annotes. Ils seront recuperes, ainsi que vos sup-ports d’expose, a l’issue de l’examen. Il est important que les candidats sachent que leurseventuelles annotations ne seront pas lues par l’examinateur et ne seront donc pas prisesen compte pour la notation.

Remarques particulieres

1. Ne pas s’inquieter de la numerotation des parties du texte ou des ajouts manuels.Pour faciliter la lecture, certains passages ont ete retires, d’autres ont pu etre reamenagesou legerement modifies.

2. Nous disons qu’un entier a est divisible par un entier non nul b (ou que b est undiviseur de a ou encore que a est un multiple de b) s’il existe un entier c tel que a = bc. Onnote b | a qu’on lit : b divise a. En particulier, 1 divise tout entier non nul et tout entierdivise 0. Si b ne divise pas a, on note b 6 | a.

3. Dans le texte, la fonction log est le logarithme neperien, c’est-a-dire le logarithme debase e, note usuellement ln.

4. On note π(x) le nombre de nombres premiers compris entre 1 et x.

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